2025人教B版高中数学必修第二册同步练习题--全书综合测评（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第二册
全书综合测评
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知向量=(m,-3),若B,C,D三点共线,则m=(　　)
A.-16　　　　B.16　　　　C.
2.设a=log0.33,b=,c=log23,则(　　)
A.c>b>a　　　　B.c>a>b　　　　C.a>c>b　　　　D.b>c>a
3.某中学高中部共有80名教师,初中部共有120名教师,其性别比例如图所示,现采用分层抽样的方法从中抽取25人进行优质课展示,则应抽取的高中部男教师的人数为(　　)
A.3　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.9
4.在△ABC中,=0,则(　　)
A.
C.
5.在标准温度和标准大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位:mol/L,记作[H+])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位:mol/L,记作[OH-])的乘积等于常数10-14.已知pH的定义为pH=-lg[H+],健康人体血液的pH保持在7.35~7.45之间(包括边界),那么健康人体血液中的可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　)
A.
6. 2023年7月18日,第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动,某校为了迎接此次活动,对本校高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查,得到日阅读时间(单位:分钟)的统计表如下:
年级 抽查人数 平均时间 方差
高一 40 50 4
高二 60 40 6
则估计两个年级学生日阅读时间的方差为(　　)
A.52　　　　B.29.2　　　　C.10　　　　D.6.4
7.函数y=的图象大致为(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
8.已知函数f(x)=-ex-2x+4,其中e是自然对数的底数,若f(a-6)+f(a2)>8,则实数a的取值范围是(　　)
A.(2,+∞)　　　　B.(-3,2)
C.(-∞,-3)　　　　D.(-∞,-3)∪(2,+∞)
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9. 2024年4月,国内鲜菜、食用油、粮食、禽肉、鲜果、鸡蛋、猪肉价格同比(与去年同期相比)的变化情况如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.食用油、粮食、禽肉、鲜果、鸡蛋、猪肉这6种食品中,食用油价格同比涨幅最小
B.猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍
C.去年4月鲜菜价格要比今年4月高
D.这7种食品价格同比涨幅的平均值不超过10%
10.某次数学考试有多项选择题,要求如下:在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.已知某多项选择题的正确答案是CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做,则下列表述正确的是　　(　　)
A.甲同学随机选择一个选项,能得2分的概率是
B.乙同学随机选择两个选项,能得5分的概率是
C.丙同学随机选择选项,能得分的概率是
D.丁同学随机选择至少两个选项,能得分的概率是
11.已知函数f(x)=则方程[f(x)]2-2f(x)+a2-1=0(a∈R)的根的个数可能为(　　)
A.2　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.4
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.在一次篮球比赛中,某支球队共进行了8场比赛,得分(单位:分)分别为29,30,38,25,37,40,42,32,那么这组数据的75%分位数为　　　　.
13.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若(μ∈R),则μ的取值范围是　　　　.
14.一个袋子中装有形状和大小完全相同的3个白球与2个黑球,每次从中取出1个球,取到白球得2分,取到黑球得3分.甲从袋子中有放回地依次取出3个球,则甲三次都取到白球的概率为　　　　,甲的总得分是7分的概率为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)=log3x的定义域是[3,27],g(x)=2f(3x)-[f(x)]2.
(1)求函数g(x)的定义域;
(2)若函数h(x)=,求h(x)的最小值.
16.(15分)实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量,实现垃圾资源利用,改善垃圾资源环境.2019年下半年以来,全国各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例.某部门在某小区年龄(单位:岁)处于[20,45]内的居民中随机抽取x人,进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查,并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”,得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.
组数 分组 “环保族”人数 “环保族”占本组的频率
第一组 [20,25) 45 0.75
第二组 [25,30) 25 y
第三组 [30,35) 20 0.5
第四组 [35,40) z 0.2
第五组 [40,45] 3 0.1
(1)求x,y,z的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这x人年龄的平均值(同一组数据用该区间的中点值代替,结果按四舍五入保留整数);
(3)从年龄在[35,45]内的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取6人进行专访,并在这6人中选取2人作为记录员,求选取的2名记录员中至少有1人年龄在[40,45]内的概率.
17.(15分)某学校组织安全防护知识挑战赛,每位选手挑战时,主持人采用电脑出题的方式,从题库中随机选3道题,编号分别为T1,T2,T3,电脑依次出题,选手按规则作答,挑战规则如下:
①选手每答对一道题得5分,每答错一道题扣3分;
②选手若答对第Ti题,则继续作答第Ti+1题,选手若答错第Ti题,则失去第Ti+1题的答题机会,从第Ti+2题开始继续答题,直到3道题目出完,挑战结束;
③选手初始分为0分,若挑战结束后,累计得分不低于7分,则选手挑战成功,否则挑战失败.
选手甲即将参与挑战,已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为,各次作答结果相互独立,且他不会主动放弃任何一次作答机会.求:
(1)挑战结束时,选手甲共答对2道题的概率P1;
(2)挑战结束时,选手甲恰好作答了2道题的概率P2;
(3)选手甲挑战成功的概率P3.
18.(17分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本为每瓶4元,售价为每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,酸奶的每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,那么需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25)内,那么需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,那么需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数 2 16 36 25 7 4
用最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y元,当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能取值,并估计Y大于零的概率.
19.(17分)已知a∈R,函数f(x)=log2.
(1)设a>0,若对任意t∈,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过2,求实数a的最小值;
(2)若关于x的方程f-log2[(a-2)x+3a-5]=0的解构成的集合中只有一个元素,求实数a的取值范围.
答案与解析
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1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.B
7.B 8.B 9.CD 10.ABC 11.ACD
1.A　由题意得=(m+1,-5),
因为B,C,D三点共线,所以,所以m+1=-15,解得m=-16.
2.A　易知a=log0.33log22=1,所以c>b>a.
3.B　依题意知,高中部、初中部的教师人数之比为,则采用分层抽样的方法抽取的25人中,高中部的教师人数为25×=10,所以应抽取的高中部男教师的人数为10×60%=6.
4.C　因为,所以,
所以,
因为=0,所以P为AB的中点,所以,
所以.
5.C　由题意得,[H+]·[OH-]=10-14,则=1014[H+]2.
又健康人体血液的pH保持在7.35~7.45之间(包括边界),即7.35≤-lg[H+]≤7.45,所以10-7.45≤[H+]≤10-7.35,
所以10-0.9≤1014[H+]2≤10-0.7,所以-0.9≤lg{1014[H+]2}≤-0.7.
A选项,lg=-2lg 2≈-0.602,其不在[-0.9,-0.7]内,故A错误;
B选项,lg=-lg 5=-(1-lg 2)≈-0.699,其不在[-0.9,-0.7]内,故B错误;
C选项,lg,
而lg=lg 2-lg 3-lg 5=2lg 2-lg 3-1≈-0.875,
lg=-lg 6=-lg 2-lg 3≈-0.778,所以-0.875其在[-0.9,-0.7]内,故C正确;
D选项,lg=-3lg 2≈-0.903,其不在[-0.9,-0.7]内,故D错误.
6.B　由题意估计高一高二日阅读时间的平均数=44,方差s2=[4+(50-44)2]×=29.2.
7.B　易得函数y=为奇函数,选项C错误;当x>0时,y>0,选项D错误;当x=4时,y==8,选项A错误.故选B.
8.B　令g(x)=f(x)-4=-ex-2x,则g(x)的定义域为R,关于原点对称,g(-x)=+2x=-g(x),所以g(x)为奇函数.
所以不等式f(a-6)+f(a2)>8等价于f(a-6)-4>-[f(a2)-4],
即g(a-6)>-g(a2)=g(-a2),
易知g(x)为R上的减函数,
所以a-6<-a2,即a2+a-6<0,解得-39.CD　由题图可知,粮食价格同比涨幅比食用油价格同比涨幅小,故A错误;
猪肉价格同比涨幅为34.4%,禽肉价格同比涨幅为8.5%,≈4,故B错误;
鲜菜价格同比涨幅为-21.2%,说明去年4月鲜菜价格要比今年4月高,故C正确;
这7种食品价格同比涨幅的平均值为≈7.47%<10%,故D正确.
10.ABC　对于A,甲同学随机选择一个选项,样本空间Ω1={A,B,C,D},共4个样本点,设事件M为“甲能得2分”,则M={C,D},共2个样本点,故所求概率为P(M)=,故A正确;
对于B,乙同学随机选择两个选项,样本空间Ω2={AB,AC,AD,BC,BD,CD},共6个样本点,设事件N为“乙能得5分”,则N={CD},共1个样本点,故所求概率为P(N)=,故B正确;
对于C,丙同学随机选择选项,样本空间Ω3={A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD},共15个样本点,设事件S为“丙能得分”,则S={C,D,CD},共3个样本点,故所求概率为P(S)=,故C正确;
对于D,丁同学随机选择至少两个选项,样本空间Ω4={AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD},共11个样本点,设事件T为“丁能得分”,则T={CD},共1个样本点,故所求概率为P(T)=,故D错误.
故选ABC.
11.ACD　画出f(x)的图象如图所示.
令t=f(x),则原方程即为t2-2t+a2-1=0,易知Δ=4(2-a2).
当Δ<0,即a2>2时,方程无解,则原方程的根的个数为0.
当Δ=0,即a2=2时,t=1,即f(x)=1,由图可知,直线y=1与函数f(x)的图象有2个交点,所以此时方程[f(x)]2-2f(x)+a2-1=0的根的个数为2,A正确.
当Δ>0,即a2<2时,t=1±,因为0<,所以1<1+≤1+≤1-<1.
当t=1-时,f(x)∈[1-,1),由图可知,直线y=1-与函数f(x)的图象有2个交点,
当t=1+时,若t∈(1,2],则由图可知,直线y=1+与函数f(x)的图象有3个交点,若t∈(2,1+],则由图可知,直线y=1+与函数f(x)的图象有2个交点.
故此时方程[f(x)]2-2f(x)+a2-1=0的根的个数为5或4,C、D正确.
故选ACD.
12.答案　39
解析　8场比赛的得分数据从小到大排列为:25,29,30,32,37,38,40,42,
因为8×75%=6,所以75%分位数为=39.
13.答案　
解析　由题意可得AD=1,CD=,所以.
因为点E在线段CD上,所以可设(0≤λ≤1).
所以估计.
因为,所以μ=.
因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤.
14.答案　
解析　易知甲从袋子中取出白球的概率为,取出黑球的概率为,所以甲从袋子中有放回地依次取出3个球,三次都取到白球的概率为.
甲的总得分是7分,即三次取球中,取到2次白球,1次黑球,概率为3×.
15.解析　(1)因为f(x)=log3x的定义域是[3,27],所以3≤x≤27.
令3≤3x≤27,得1≤x≤9.(3分)
故f(3x)的定义域是[1,9],(4分)
因为g(x)=2f(3x)-[f(x)]2,所以g(x)的定义域为[3,9].(6分)
(2)g(x)=-(log3x)2+2log3x+2,(8分)
令t=log3x,3≤x≤9,则1≤t≤2,函数g(x)等价为m(t)=-t2+2t+2,1≤t≤2,(10分)
所以2≤m(t)≤3,所以h(x)≥,当x=3时取等号.(12分)
所以h(x)的最小值为.(13分)
16.解析　(1)由题意得x==0.625,z=200×0.03×5×0.2=6.(5分)
(2)估计这x人年龄(单位:岁)的平均值=22.5×0.06×5+27.5×0.04×5+32.5×0.04×5+37.5×0.03×5+42.5×0.03×5=30.75≈31.(8分)
(3)从年龄在[35,45]内的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取6人进行专访,
则应从年龄在[35,40)内的“环保族”中选6×=4(人),分别记为A,B,C,D,从年龄在[40,45]内的“环保族”中选6×=2(人),分别记为a,b,(10分)
从这6人中选取2人作为记录员的情况有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15种,选取的2名记录员中至少有1人年龄在[40,45]内的情况有:(A,a),(B,a),(C,a),(D,a),(A,b),(B,b),(C,b),(D,b),(a,b),共9种,(13分)
所以选取的2名记录员中至少有1人年龄在[40,45]内的概率P=.(15分)
17.解析　设事件Ai为选手甲答对第Ti题,其中i=1,2,3.(1分)
(1)设挑战结束后,选手甲共答对2道题为事件A.
选手甲共答对2道题即选手甲前2题答对且第3题答错,所以A=A1A2　,
所以P1=P(A)=P(A1A2.　　(5分)
(2)设挑战结束时,选手甲恰好作答了2道题为事件B.
选手甲恰好作答了2道题即选手甲第1题答错或第1题答对且第2题答错,所以B=∪A1,(7分)
则P2=P(B)=P(∪A1.(10分)
(3)设选手甲挑战成功为事件C.
选手甲挑战成功的情况如下:①3道题全答对,②第T1,T2题答对,第T3题答错,
所以C=A1A2A3∪A1A2,(13分)
则P3=P(C)=.(15分)
18.解析　(1)由题意可知,当且仅当最高气温低于25 ℃时,这种酸奶当天的需求量不超过300瓶,(3分)
由题表中数据知,最高气温低于25 ℃的频率为=0.6,(5分)
所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.　　(7分)
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,
若当天最高气温不低于25 ℃,则Y=6×450-4×450=900;
若当天最高气温(单位:℃)位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;
若最高气温低于20 ℃,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.(12分)
所以Y的所有可能取值为900,300,-100.(14分)
当天最高气温不低于20 ℃时,Y大于零,由题表中数据知,最高气温不低于20 ℃的频率为=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.(17分)
19.解析　(1)因为y=在[t,t+1]上单调递减,
所以+a∈.
因为y=log2u在上单调递增,
所以f(x)∈.(3分)
所以log2≤2在上恒成立,即≤4在上恒成立,即3at2+3(a+1)t-1≥0在上恒成立.
所以y=3at2+3(a+1)t-1在上的最小值大于或等于0.(6分)
因为a>0,所以y=3at2+3(a+1)t-1在上单调递增,所以ymin=3a,所以≥0,解得a≥,所以实数a的最小值为.(9分)
(2)方程f-log2[(a-2)x+3a-5]=0即log2-log2[(a-2)x+3a-5]=0,即(a-2)x2+(2a-5)x-2=0,且+a>0.(11分)
当a-2=0,即a=2时,x=-2,符合题意;
当a-2≠0,即a≠2时,x1=-2,x2=,
当-2=时,a=,符合题意;
当-2≠,即a≠且a≠2时,需满足
解得1综上,实数a的取值范围为.(17分)
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