2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--专题强化练2　实数大小的比较（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
专题强化练2　实数大小的比较
1.(多选题)(2023山东泰安月考)已知实数a,b,c满足cA.ab>ac　　　B.c(b-a)>0
C.ac(a-c)<0　　　D.cb22.(2023江苏无锡期中)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.c≥b>a　　　B.a>c≥b　　　C.c>b>a　　　D.a>c>b
3.(2023北京第六十六中学月考)有外表一样、质量不同的四个小球,它们的质量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+cA.d>b>a>c　　　B.b>c>d>a
C.d>b>c>a　　　D.c>a>d>b
4.(多选题)(2024江苏淮安调研)已知实数a,b满足a>b2+1,则下列不等关系一定正确的是(　　)
A.a>2b　　　B.a>2b+1
C.a>b-1　　　D.2a>b2-b+1
5.已知a,b,c∈(0,+∞),若,则(　　)
A.c6.若x>0,y>0,a=,则a与b的大小关系为(　　)
A.a>b　　　B.a7.若a>b>c>0,x=,则x,y,z的大小关系是　　　.(用“>”连接)
8.已知0”连接)
9.已知a”“<”或“=”)
10.(2024九省联考)以max M表示数集M中最大的数.设011.(2024河北石家庄期中)已知a>1,b>1,比较的大小.
12.已知a,b均为正实数.
(1)用作差法比较大小:
①a3+b3与a2b+ab2;
②a5+b5与a3b2+a2b3;
(2)请你根据(1)中比较大小的结果写出一个更一般的结论.(无须证明)
答案与分层梯度式解析
专题强化练2　实数大小的比较
1.ABC 2.A 3.A 4.ACD 5.A 6.B
1.ABC　因为c0,所以ab>ac,故A一定成立;因为b-a<0,所以c(b-a)>0,故B一定成立;因为a-c>0,ac<0,所以ac(a-c)<0,故C一定成立;当b=0时,cb2=ab2,当b≠0时,cb22.A　∵c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,∴c≥b.
2b=(b+c)-(c-b)=(6-4a+3a2)-(4-4a+a2)=2+2a2,∴b=1+a2,
∵1+a2-a=>0,∴1+a2>a,即b>a,∴c≥b>a.
3.A　∵a+b=c+d,a+d>b+c,∴a+d+(a+b)>b+c+(c+d),即a>c,∴b综上可得,d>b>a>c.
4.ACD　对于A,(b2+1)-2b=(b-1)2≥0,所以a>b2+1≥2b,则a>2b,故A正确;
对于B,取a=2.5,b=1,满足a>b2+1=2,但a<2b+1=3,故B错误;
对于C,(b2+1)-(b-1)=>0,所以a>b2+1>b-1,故C正确;
对于D,由a>b2+1,得2a>2b2+2,
因为(2b2+2)-(b2-b+1)=b2+b+1=>0,所以2a>2b2+2>b2-b+1,故D正确.
故选ACD.
5.A　因为,
所以+1,即,
又因为a,b,c∈(0,+∞),所以a+b>b+c>c+a.
由a+b>b+c可得a>c,由b+c>c+a可得b>a,
所以c6.B　∵x>0,y>0,∴x+y+1>0,b(1+x+y)==a.故选B.
7.答案　z>y>x
解析　解法一:易得y2-x2=2c(a-b)>0,∴y>x.同理,可得z>y,∴z>y>x.
解法二:令a=3,b=2,c=1,则x=,故z>y>x.
8.答案　M>N
解析　∵00.
∴M-N=
=>0,
∴M>N.
9.答案　<
解析　a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)
=(a2b-ab2)+(b2c-bc2)+(c2a-ca2)
=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)
=ab(a-b)+bc[(b-a)+(a-c)]+ca(c-a)
=ab(a-b)+bc(b-a)+bc(a-c)+ca(c-a)
=b(a-b)(a-c)+c(a-c)(b-a)
=(a-b)(a-c)(b-c).
∵a∴(a-b)(a-c)(b-c)<0,
∴a2b+b2c+c2a10.答案　
解析　解法一:令b-a=m,c-b=n,1-c=p,则m,n,p>0,b=1-n-p,a=1-m-n-p.
若b≥2a,则1-n-p≥2(1-m-n-p),即2m+n+p≥1.
令S=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p},
易得所以4S≥2m+n+p≥1,所以S≥.
若a+b≤1,则1-m-n-p+1-n-p≤1,即m+2n+2p≥1.
易得所以5S≥m+2n+2p≥1,所以S≥.
综上,max{b-a,c-b,1-c}的最小值为,当且仅当b-a=c-b=1-c=,即a=时,等号成立.
解法二:令S=max{b-a,c-b,1-c},则
若a+b≤1,则由①+2×②+2×③,得5S≥(b-a)+2(c-b)+2(1-c)=2-b-a=2-(b+a)≥1,所以S≥.
若b≥2a,则由2×①+②+③,得4S≥2(b-a)+(c-b)+(1-c)=1+b-2a≥1,所以S≥.
所以S的最小值为,当且仅当b-a=c-b=1-c=,即a=时,等号成立.
解法三:令S=max{b-a,c-b,1-c},则
②+③,得2S≥1-b,所以S≥④.
若b≥2a,则由①+④,得2S≥b-a+,所以S≥.
若a+b≤1,则由①+4×④,得5S≥b-a+4×=-a-b+2≥1,所以S≥.
所以S的最小值为,当且仅当b-a=c-b=1-c=,即a=时,等号成立.
解法四:令S=max{b-a,c-b,1-c},则
设(x+2y)S≥x(b-a)+y(c-b)+y(1-c)=-xa+(x-y)·b+y.
若b≥2a,则b-2a≥0,令
所以4S≥b-2a+1≥1,所以S≥.
若a+b≤1,则-a-b≥-1,令
所以5S≥-a-b+2≥1,所以S≥.
所以S的最小值为,当且仅当b-a=c-b=1-c=,即a=时,等号成立.
11.解析　
=,
因为a>1,b>1,
所以(a-b)2≥0,a+b>0,a-1>0,b-1>0,
所以-≤0,∴.
12.解析　(1)①(a3+b3)-(a2b+ab2)
=(a3-a2b)+(b3-ab2)
=a2(a-b)+b2(b-a)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).
当a=b时,a-b=0,a3+b3=a2b+ab2;
当a≠b时,(a-b)2>0,又a+b>0,∴a3+b3>a2b+ab2.
综上所述,a3+b3≥a2b+ab2.
②(a5+b5)-(a3b2+a2b3)
=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)
=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2).
∵a>0,b>0,∴a+b>0,a2+ab+b2>0,又(a-b)2≥0,
∴a5+b5≥a3b2+a2b3.
(2)一般性结论为:若a>0,b>0,m>0,n>0,则am+n+bm+n≥ambn+anbm.
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