2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--专题强化练3　利用均值不等式求最值（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
专题强化练3　利用均值不等式求最值
1.(2023豫南名校期中)已知两个正实数x,y满足x+y=1,则的最大值是(　　)
A.　　　C.6　　　D.9
2.(2024浙江温州期末)已知m,n均为正实数,且满足m2n+2mn2-4m-n=0,则m+2n的最小值为(　　)
A.2　　　C.+9
3.(2023浙江宁波九校期末)已知x>y>0,且x2-y2=1,则2x2+3y2-4xy的最小值为(　　)
A.
4.(多选题)(2024湖北孝感部分学校月考)已知a,b为正实数,且ab+2a+b=16,则(　　)
A.2a+b的最小值为8
B.
C.ab的最大值为8
D.b+
5.(2024广东梅州期末)若a>0,b>0,则min的最大值是　　　　　　.(注:min{x,y}表示x,y中的较小者)
6.(2023山东青岛月考)若正实数x,y满足-1,则x+2y的最大值为　　　　.
7.(2023河北石家庄正定中学月考)设a>2b>0,那么的最小值是　　　　.
8.(2022广东深圳南山外国语学校月考)已知x>0,y>0.
(1)若不等式≥0恒成立,求实数m的最小值;
(2)若x+y=1,≥9恒成立,求正实数a的最小值.
9.(2022江苏常州北郊高级中学月考)如图,我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC的直角边长分别为a,b,且直角三角形ABC的周长为1.
(1)求直角三角形ABC面积的最大值;
(2)求正方形ABDE面积的最小值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练3　利用均值不等式求最值
1.B 2.A 3.B 4.ACD
1.B　易得.因为正实数x,y满足x+y=1,所以≥5+2=9,当且仅当x=2y且x+y=1,即x=时取等号,则.故选B.
2.A　由题意得m2n+2mn2=mn(m+2n)=4m+n,所以m+2n=,所以(m+2n)2=≥9+2,当且仅当,即n=,m=1时,等号成立,所以(m+2n)min=+1.故选A.
3.B　由已知得x2-y2=(x+y)(x-y)=1.
设x+y=a,x-y=b,
则x=,且ab=1,a>0,b>0,
所以2x2+3y2-4xy=2-4·=1,
当且仅当a=3b,即a=时,等号成立.
故2x2+3y2-4xy的最小值为1.
4.ACD　由16=ab+2a+b得b=-2.
2a+b=2a+-4≥2-4=8,当且仅当2(a+1)=,即a=2时取等号,因此2a+b的最小值为8,A正确;
≥2,当且仅当a+1=b+2时取等号,因此,B错误;
16=ab+2a+b≥ab+2,当且仅当2a=b时取等号,解不等式得0<≤2,即ab≤8,因此ab的最大值为8,C正确;
b+-2
=≥2,
当且仅当,即a=时取等号,因此b+,D正确.
故选ACD.
5.答案　
解析　令h=min,因为a>0,b>0,所以0则h2≤,当且仅当a=时取等号,
而,当且仅当,即a=2b时取等号,
因此当a=,且a=2b,即a=时,hmax=,所以min.
6.答案　2
解析　∵,∴x2+4y2=2(3-xy),即(x+2y)2=6+2xy,∵2xy≤,∴(x+2y)2=6+2xy≤6+,整理得(x+2y)2≤8,又x,y均为正实数,∴07.答案　32
解析　因为a>2b>0,所以a-2b>0,所以b(a-2b)=(2b)(a-2b)≤,当且仅当2b=a-2b,即a=4b时,等号成立,所以≥8×2=32,当且仅当a2=,且a=4b,即a=时,等号成立.
8.解析　(1)∵x>0,y>0,≥0恒成立,
∴(x+y)≥-m恒成立,
又(x+y)≥4,当且仅当x=y时取等号,∴-m≤4,则m≥-4,故m的最小值为-4.
(2)∵≥9恒成立,∴≥9.
∵x>0,y>0,a>0,x+y=1,
∴≥a+1+2,当且仅当y=x时,等号成立,∴≥9,∴+1≥3,∴a≥4.
故a的最小值为4.
9.解析　(1)因为直角三角形ABC的直角边长分别为a,b,且直角三角形ABC的周长为1,
所以1=a+b+≥2)·,当且仅当a=b时取等号,
解得0<,所以0所以S△ABC=ab≤,
故直角三角形ABC面积的最大值为.
(2)易得正方形ABDE的面积为a2+b2,
因为2(a2+b2)≥(a+b)2,当且仅当a=b时取等号,
所以a+b≤,
所以1=a+b+,所以a2+b2≥,
所以正方形ABDE面积的最小值为3-2.
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