2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--专题强化练4　函数的单调性与奇偶性（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
专题强化练4　函数的单调性与奇偶性
1.(2022江苏苏州吴江高级中学期中)已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于y轴对称,且f(x)在(-∞,0]上单调递增,若f(3a-2)>f(2a),则实数a的取值范围是(　　)
A.a<或a>或a>2
C.2.(多选题)(2024浙江衢州期末)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,都有2f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时, f(x)>2,则(　　)
A.f(0)=2
B.f(x)为奇函数
C.f(x)的值域为(0,+∞)
D.f(x)在R上单调递增
3.(多选题)(2024湖北恩施期末)设函数f(x)=mid{|x-2|,x2,|x+2|},其中mid{x,y,z}表示x,y,z中的居中者.下列说法正确的有(　　)
A.f(x)只有一个最小值点
B.f(x)的值域为[1,+∞)
C.f(x)为偶函数
D.f(x)在(0,1)上单调递减
4.(多选题)(2024江西上饶期末)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,4]上单调递增,且f(2x-4)也是偶函数,则(　　)
A.f(-5)>f(2)
B.f(8)>f(1)
C.函数f(2x+2)的图象关于直线x=-3对称
D.函数y=f(2x+2)+f(4-2x)的图象关于直线x=对称
5.(2022江苏响水中学期中)已知函数f(x)是定义在(-1,1)上的函数,若f(x)为奇函数,当x∈(-1,0)时, f(x)=x3-1,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　;若函数f(x)是偶函数,且在(-1,0]上为增函数,则不等式f2x->f(1-x)的解集为　　　　　.
6.已知函数f(x)是定义在(-1,1)上的函数,对于区间(-1,1)内的任意两个数a,b都满足等式f(a)+f(b)=f ,且当x>0时, f(x)>0.
(1)求f(0)的值,并判断f(x)的奇偶性;
(2)证明f(x)是(-1,1)上的增函数;
(3)若f=1,解关于x的不等式f(x)+f(1-x)>2.
答案与分层梯度式解析
专题强化练4　函数的单调性与奇偶性
1.D 2.ACD 3.BCD 4.ACD
1.D　由题意可得f(x)是偶函数,因为f(x)在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,
由f(3a-2)>f(2a)可得f(|3a-2|)>f(|2a|),
所以|3a-2|<|2a|,即(3a-2)2<4a2,
整理,得5a2-12a+4<0,解得2.ACD　在2f(x+y)=f(x)f(y)中,令x=1,y=0,得2f(1)=f(1)f(0),因为当x>0时, f(x)>2,所以f(1)>2,所以f(0)=2,故A正确;
因为f(0)=2,所以函数f(x)不可能为奇函数,故B不正确;
在2f(x+y)=f(x)f(y)中,令y=-x,得2f(0)=f(x)f(-x)=4,
当x<0时,-x>0,则f(-x)>2,由f(x)f(-x)=4,得f(x)=∈(0,2),又f(0)=2,所以f(x)的值域为(0,+∞),故C正确;
任取x1,x2∈R,且x10,故f(x2-x1)>2,
因为2f(x+y)=f(x)f(y),所以由f(x2-x1)>2得f(x2)f(-x1)>2,又f(x)f(-x)=4,
所以f(x2)·>2,即 >1,
易知f(x1)>0,所以f(x2)>f(x1),即f(x)在R上单调递增,故D正确.
3.BCD　画出函数f(x)的图象如图中实线部分所示,
对于A,由图可知,当x=±1时, f(x)取得最小值1,所以f(x)有两个最小值点,A错误;
对于B,由图可知,函数f(x)的值域为[1,+∞),B正确;
对于C,由图可知,函数f(x)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)为偶函数,C正确;
对于D,由图可知,函数f(x)在(0,1)上单调递减,D正确.
4.ACD　因为f(2x-4)是偶函数,所以f(2x-4)=f(-2x-4),即f(x-4)=f(-x-4),
所以f(x)的图象关于直线x=-4对称.
因为f(x)是偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,
所以f(8)=f(-8)=f(0), f(-5)=f(-3)=f(3).
因为f(x)在[0,4]上单调递增,所以f(3)>f(2)>f(1)>f(0),即f(-5)>f(2)>f(1)>f(8),故A正确,B错误.
因为f(2x-4)是偶函数,所以f(2x-4)的图象关于y轴对称,将f(2x-4)的图象向左平移3个单位可得f(2x+2)的图象,所以f(2x+2)的图象关于直线x=-3对称,故C正确.
令g(x)=f(2x+2)+f(4-2x),则g(1-x)=f(4-2x)+f(2x+2),即g(x)=g(1-x),所以函数y=f(2x+2)+f(4-2x)的图象关于直线x=对称,故D正确.
5.答案　f(x)=
解析　当x∈(0,1)时,-x∈(-1,0),则f(-x)=(-x)3-1=-x3-1.
若函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,则当x∈(0,1)时, f(x)=-f(-x)=x3+1,当x=0时, f(x)=0.
所以函数f(x)的解析式为f(x)=
若函数f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且在(-1,0]上为增函数,则函数f(x)在[0,1)上为减函数,
则不等式f>f(1-x)等价于
解得0因此不等式f >f(1-x)的解集为.
6.解析　(1)令a=b=0,则f(0)+f(0)=f(0),
∴f(0)=0.
任取x∈(-1,1),则-x∈(-1,1),令a=x,b=-x,则f(x)+f(-x)=f =f(0)=0,即f(x)=-f(-x),
故f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数.
(2)证明:任取x1,x2∈(-1,1),且x1>x2,
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f .
∵x1>x2,∴x1-x2>0.∵-1∴1-x1x2>0,∴>0,∴f >0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)是定义在(-1,1)上的增函数.
(3)由f(x)的定义域为(-1,1)可知
解得0令a=b=,则f,则f=2,
故原不等式可化为f,
∵f(x)是定义在(-1,1)上的增函数,
∴.
∵0∴不等式可化为(2x-1)2>0,解得x≠,
∴原不等式的解集为.
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