2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--1.1.2　集合的基本关系（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
1.1.2　集合的基本关系
基础过关练
题组一　集合间关系的判断
1.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则(　　)
A.A B　　　B.C B　　　C.D C　　　D.A D
2.下列六个关系式:①{a,b} {b,a};②{a,b}={b,a};③0∈ ;④0∈{0};⑤ ∈{0};⑥ {0},其中正确的个数为(　　)
A.6　　　B.5　　　C.4　　　D.3
3.(2024北京首都师范大学附属中学月考)设集合M=,N=xx=,k∈Z,则(　　)
A.M=N　　　B.M N C.N M　　　D.M,N无关系
4.下列各组中的M,P表示同一集合的是(　　)
A.M={3,-1},P={(3,-1)}
B.M={(3,1)},P={(1,3)}
C.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}
D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={a|a=x2-1,x∈R}
题组二　子集的个数问题
5.(2023辽宁省实验中学期中)已知集合A满足{1,2} A {1,2,3,4,5},{2,3} A {1,2,3,5,6},则满足条件的集合A的个数为(　　)
A.8　　　B.4　　　C.2　　　D.1
6.(2023上海闵行月考)已知集合A={1,3,5},则集合A的所有非空子集的元素之和为　　　　.
7.(2024四川南充高级中学月考)若集合A={x|(a-1)x2+4x-2=0}有且仅有两个子集,则实数a的值是　　　　.
题组三　由集合间的关系求参数
8.(2024湖南长沙期中)已知集合A={x|1A.{a|a≥2 023}　　　B.{a|a>2 023}
C.{a|a≥1}　　　D.{a|a>1}
9.(2024河北保定三中月考)已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B A,则实数m=　　　　.
10.已知集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,求实数a,b的值.
11.(2023山东济宁月考)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B A,求实数m的取值范围.
能力提升练
题组一　子集的个数问题
1.(2023广东揭阳期中)设集合A={1,0},B={2,3},M={x|x=b(a+b),a∈A,b∈B},则集合M的真子集的个数为(　　)
A.7　　　B.12　　　C.16　　　D.15
2.(2023北京中国人民大学附属中学期中)若集合A的所有子集中,任意子集的所有元素和均不相同,则称A为互斥集.已知A={a,b,c} {1,2,3,4,5},且A为互斥集,则的最大值为(　　)
A.
3.(多选题)(2024江苏苏州月考)定义集合运算:A B={z|z=(x+y)×(x-y),x∈A,y∈B},设A={},则(　　)
A.1∈A B
B.(A A) B=A (A B)
C.A B中有4个元素
D.A B的子集有8个
4.(2023湖南衡阳期中)设A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},若存在非空集合C,使C中的每一个元素都加上2组成的集合为A的一个子集,且C中的每一个元素都减去2组成的集合为B的子集,则集合C所有可能的情况为　　　　.
题组二　由集合间的关系解决参数问题
5.(2023江苏南京金陵中学月考)已知集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0},若B A,则实数a的取值范围是(　　)
A.-≤a<1　　　B.-≤a≤1
C.a<-1或a≥0　　　D.-≤a<0或06.(多选题)(2024山东普高大联考期中)已知集合A={x|x2-6x+5=0},B={x|ax2-2ax-1=0},且B A,则实数a的值可能是(　　)
A.-
7.(多选题)(2023云南玉溪一中月考)已知集合A=,B={2,2-b,c},若A=B,则a+b+c的值可能为(　　)
A.　　　D.12
8.(2022湖北宜昌夷陵中学阶段性检测)若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”;若两个集合有公共元素且互不为对方的子集,则称两个集合构成“蚕食”.对于集合A={-1,2},B={x|ax2=2,a≥0},若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”,则a的取值集合为　　(　　)
A.
C.{0,2}　　　D.
9.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1或x>16}.
(1)若A为非空集合,求实数a的取值范围;
(2)若A B,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.1.2　集合的基本关系
基础过关练
1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 8.A
1.B　因为矩形、正方形、菱形都是特殊的平行四边形,所以B A,
C A,D A,又正方形是特殊的矩形和菱形,所以C B,C D.故选B.
2.C　根据任何集合是自身的子集,可知①正确;根据集合中元素的无序性,可知②正确;根据空集的定义,可知③错误;易知④正确,⑤错误;根据空集是任何集合的子集,可知⑥正确.故正确的共有4个.故选C.
3.B　由M==xx=(2k+1),k∈Z可知,集合M表示的是的奇数倍;
由N==xx=(k+2),k∈Z可知,集合N表示的是的整数倍,所以M是N的真子集,即M N.故选B.
4.D　对于A,M={3,-1}为有两个元素的实数集,P={(3,-1)}为有一个元素的点集,故不表示同一集合;
对于B,M={(3,1)}表示点(3,1)组成的集合,P={(1,3)}表示点(1,3)组成的集合,故不表示同一集合;
对于C,M={y|y=x2-1,x∈R}表示函数y=x2-1中y的取值范围,P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}表示函数y=x2-1图象上的所有点组成的集合,故不表示同一集合;
对于D,M,P均表示x2-1的取值范围,故表示同一集合.
5.C　因为{1,2} A {1,2,3,4,5},{2,3} A {1,2,3,5,6},所以1,2,3是集合A中的元素,4,6不是集合A中的元素,5可以是集合A中的元素,所以集合A是{1,2,3}或{1,2,3,5},故满足条件的集合A的个数为2.
6.答案　36
解析　集合A的所有非空子集为{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}.注意到集合A中的每个元素都会出现在集合A的4个子集中,即集合A中的每个元素在集合A的所有非空子集的元素之中都出现4次,故所求元素之和为(1+3+5)×4=36.
7.答案　±1
解析　因为集合A={x|(a-1)x2+4x-2=0}有且仅有两个子集,
所以方程(a-1)x2+4x-2=0只有一个实数根或两个相等的实数根,
所以a=1或所以a=1或a=-1.
8.A　因为集合A={x|1所以可用数轴表示它们的关系,如图所示.
由图可知,a≥2 023,故选A.
9.答案　1
解析　因为B A,m2≠-1,所以m2=2m-1,即m2-2m+1=0,解得m1=m2=1,
当m=1时,A={-1,3,1},B={3,1},满足B A.
故m=1.
10.解析　∵A=B,且1∈A,∴1∈B.
若a=1,则a2=1,不满足集合中元素的互异性,∴a≠1.
若a2=1,则a=-1或a=1(舍去),此时A={1,-1,b},B={-1,1,-b},∴b=-b,∴b=0,符合题意.
若ab=1,则a2=b,可得a3=1,即a=1(舍去).
综上,a=-1,b=0.
11.解析　①当B≠ 时,如图所示,
∴解得2≤m≤3.
②当B= 时,m+1>2m-1,解得m<2,满足题意.
综上可得,m的取值范围是{m|m≤3}.
能力提升练
1.D 2.C 3.AD 5.A 6.AB 7.ABD 8.A
1.D　当a=1,b=2时,x=6;当a=1,b=3时,x=12;当a=0,b=2时,x=4;当a=0,b=3时,x=9.故M={4,6,9,12},故M的真子集的个数为24-1=15.
2.C　∵A={a,b,c} {1,2,3,4,5},∴A可以为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},又A为互斥集,∴A可以为{1,2,4},{1,2,5},{1,3,5},{2,3,4},{2,4,5},{3,4,5},要想取得最大值,则a,b,c要最小,此时A={1,2,4},∴.
3.AD　由题意得A B={0,1,2},所以A B中有3个元素,A B的子集有23=8个,且1∈A B,故A,D正确,C错误;A A={-1,0,1},则(A A) B={-2,-1,0},又A (A B)={-2,-1,1,2,3},
所以(A A) B≠A (A B),故B错误.故选AD.
4.答案　{4,7},{4},{7}
解析　由题意可知,集合C≠ ,将A中元素都减2,B中元素都加2,则C {0,2,4,6,7}且C {3,4,5,7,10},易知两个集合的共同元素构成的集合为{4,7},所以集合C是{4,7}的非空子集,即C={4,7}或{4}或{7}.
5.A　解法一(特殊值法):当a=0时,B= ,满足B A,因此D错误;当a=1时,B={x|x≤-1},不满足B A,因此B、C错误.故选A.
解法二:当a=0时,B= ,满足B A;
当a>0时,B=,由B A得-<-1,解得0当a<0时,B=,由B A得-≥3,解得-≤a<0.
综上,实数a的取值范围是-≤a<1.故选A.
6.AB　集合A={x|x2-5x+6=0}={2,3},
因为B A,所以B= 或B={2}或B={3}或B={2,3}.
当B= 时,a=0或所以-1当B={2}时,4a-4a-1=0,无解;
当B={3}时,9a-6a-1=0,解得a=,
当a=时,B=={-1,3},B A;
当B={2,3}时,由上面的分析知无解.
结合选项可知,a的值可能是-,0.故选AB.
7.ABD　因为A=B,所以2-b=0或c=0.①当2-b=0,即b=2时,A=,B={2,0,c},所以a+2=2或=2,即a=0或a=4.若a=0,则=0,集合A中元素不满足互异性,舍去;若a=4,则A={0,6,2},故c=6,满足题意,此时a+b+c=12.②当c=0时,A=,B={2,2-b,0},所以(舍去)或若a=1,b=1,则A=B={0,2,1},满足题意,此时a+b+c=2;若a=1,b=,则A=B=,满足题意,此时a+b+c=.故选ABD.
8.A　集合A={-1,2},B={x|ax2=2,a≥0},
若a=0,则B= ,此时B A,两集合构成“鲸吞”,满足题意;
若a>0,则B=,故B A,且A B,
若集合A,B构成“蚕食”,则A,B两个集合有公共元素,则=2或-=-1,解得a=或a=2.
综上可得,a的取值集合为.故选A.
9.解析　(1)若A≠ ,则有2a+1≤3a-5,解得a≥6,
故实数a的取值范围为{a|a≥6}.
(2)①当A= 时,3a-5<2a+1,解得a<6,满足题意;
②当A≠ 时,若A B,
则解得a>.
综上可得,若A B,则实数a的取值范围为.
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