2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--1.2.1　命题与量词（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
1.2　常用逻辑用语
1.2.1　命题与量词
基础过关练
题组一　命题及其真假的判断
1.下列语句是命题的是(　　)
A.2 025是一个大数
B.若两直线平行,则这两条直线没有公共点
C.y=kx+b(k≠0)是一次函数吗
D.a≤15
2.下列命题中不正确的是(　　)
A.对于任意的实数a,二次函数y=x2+a的图象关于y轴对称
B.存在一个无理数,它的立方是无理数
C.存在整数x,y,使得2x+4y=5
D.每个正方形都是平行四边形
3.有下列语句:①集合{a,b}有2个子集;②x2-4≤0;③今天天气真好啊;④若A∪B=A∩B,则A=B.其中真命题的序号为　　　　.
题组二　全称量词命题与存在量词命题
4.下列命题是全称量词命题的是(　　)
A.有些平行四边形是菱形
B.至少有一个整数x,使得x2+3x是质数
C.每个三角形的内角和都是180°
D. x∈R,x2+x+2=0
5.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题,下列选项中正确的是(　　)
A. a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
B. a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
C. a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
D. a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
6.下列命题中,是全称量词命题的是　　　　,是存在量词命题的是　　　　.(填序号)
①正方形的四条边相等;②有两个角相等的三角形是等腰三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
题组三　全称量词命题与存在量词命题的真假
7.(2024浙江宁波月考)下列命题中,是存在量词命题且是真命题的是(　　)
A.所有正方形都是矩形
B. x∈R,x2+2x+2=0
C.至少有一个实数x,使x3+1=0
D. x∈R,x2-x+<0
8.(2023江苏南京六校联考)设非空集合P,Q满足P∩Q=P,则下列选项正确的是(　　)
A. x∈Q,有x∈P B. x Q,有x P
C. x Q,使得x∈P D. x∈P,使得x Q
9.(2024广东深圳月考)下列命题中是全称量词命题且是真命题的是(　　)
A.所有的素数都是奇数
B.有些梯形是等腰梯形
C.平行四边形的对角线互相平分
D. x∈R,x2<0
10.(多选题)(2022福建龙岩四中期中)下列命题是真命题的是(　　)
A.空集是任何一个非空集合的真子集
B. x∈R,4x2>2x-1+3x2
C. x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2
D. a,b∈R,方程ax+b=0恰有一解
11.(多选题)(2024辽宁名校联盟联考)下列命题是真命题的有(　　)
A. x∈R,|x|-2x≤0
B. x∈Z,x2∈Q
C. x∈R,x2-2x+4>0
D. x∈R,x2+3x+5=0
12.(2023河北石家庄一中月考)用量词符号“ ”“ ”表述下列命题,并判断其真假.
(1)所有实数x都能使x2+x+>0成立;
(2)一定有整数x,y,使得3x-2y=10成立;
(3)所有的有理数x都能使x+1是有理数;
(4)对任意实数a,b,若a题组四　全称量词命题与存在量词命题的应用
13.已知 x∈{x|1≤x<3},都有m>x,则m的取值范围为(　　)
A.m≥3　　　B.m>3　　　C.m>1　　　D.m≥1
14.(2024山东潍坊测评)已知“ x∈R,a>x2-1”为真命题,则实数a的取值范围为(　　)
A.a>-1　　　B.a>1　　　C.a<-1　　　D.a<1
15.若命题“ x∈{x|0<2x-3<5},一次函数y=3x-a的图象都在x轴下方”为真命题,则实数a的取值范围是　　　　.
16.已知命题p: x∈[0,1],a>x+2;命题q: x∈R,使得x2+4x+a=0.若命题p和q均为真命题,则实数a的取值范围为　　　　.
17.(2023安徽阜阳调研)(1)判断是否存在实数m,使不等式m+x2-2x+5>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由;
(2)若存在实数x,使不等式m-(x2-2x+5)>0成立,求实数m的取值范围.
18.(2024四川资阳月考)已知命题p: x∈R,不等式x2+4x+9-m>0恒成立;命题q: x∈R,使x2-2mx+1<0有解.
(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题p,q中恰有一个为真命题,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.2　常用逻辑用语
1.2.1　命题与量词
基础过关练
1.B 2.C 4.C 5.D 7.C 8.B 9.C 10.AC
11.ABC 13.A 14.A
1.B　A,D不能判断真假,不是命题;B能够判断真假而且是陈述句,是命题;C是疑问句,不是命题.
2.C　易知A,D中命题正确.对于B,(,故B中命题正确.对于C,2x+4y=2(x+2y),为偶数,故不存在整数x,y,使得2x+4y=5,故C中命题不正确.故选C.
3.答案　④
解析　①是命题,但不是真命题,集合{a,b}有4个子集;易知②③不是命题;④是命题,且是真命题.
4.C　
5.D　A、B不是全称量词命题,故排除;因为等式a2+b2+2ab=(a+b)2对全体实数都成立,所以D正确.
6.答案　①②③;④
解析　①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”,是全称量词命题;
②可表述为“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”,是全称量词命题;
③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”,是全称量词命题;
④是存在量词命题.
7.C　A.所有正方形都是矩形为全称量词命题,故A错误;
B. x∈R,x2+2x+2=0为存在量词命题,因为x2+2x+2=(x+1)2+1≥1,所以该命题为假命题,故B错误;
C.至少有一个实数x,使x3+1=0为存在量词命题,当x=-1时,(-1)3+1=0,所以该命题为真命题,故C正确;
D. x∈R,x2-x+<0为存在量词命题,因为x2-x+≥0,所以该命题为假命题,故D错误.
故选C.
8.B　因为P∩Q=P,所以P Q,所以A,C,D错误,B正确.
9.C　对于A,该命题是全称量词命题,因为2是素数,但不是奇数,所以该命题是假命题;对于B,该命题是存在量词命题且是真命题;对于C,该命题是全称量词命题,根据平行四边形的性质,可得该命题是真命题;对于D,该命题是存在量词命题且是假命题.故选C.
10.AC　易知A中命题是真命题;对于B,将4x2>2x-1+3x2整理,得x2-2x+1>0,即(x-1)2>0,当x=1时,(x-1)2=0,故B中命题是假命题;对于C,当x=1时,|x-2|=|1-2|<2,故C中命题是真命题;对于D,当a=0,b=0时,方程ax+b=0有无数个解,故D中命题是假命题.故选AC.
11.ABC　对于A,当x=1时,满足|x|-2x≤0,故A正确;对于B, x∈Z,x2∈Z,又Z Q,所以x2∈Q,故B正确;对于C, x∈R,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3>0,故C正确;对于D,因为x2+3x+5=,所以不存在x∈R,x2+3x+5=0,故D错误.故选ABC.
12.解析　(1) x∈R,x2+x+>0,真命题.
(2) x,y∈Z,3x-2y=10,真命题.
(3) x∈Q,x+1是有理数,真命题.
(4) a,b∈R, 若a13.A　∵ x∈{x|1≤x<3},都有x<3,
∴要使m>x成立,只需m≥3.故选A.
14.A　由题意得a>,因为(x2-1)min=-1,此时x=0,所以a>-1.故选A.
15.答案　a≥12
解析　集合{x|0<2x-3<5}=,若“ x∈{x|0<2x-3<5},一次函数y=3x-a的图象都在x轴下方”为真命题,则当∴实数a的取值范围是a≥12.
16.答案　(3,4]
解析　由 x∈[0,1],a>x+2,得a>3.
因为 x∈R,使得x2+4x+a=0,所以Δ=16-4a≥0,解得a≤4.
故实数a的取值范围为(3,4].
17.解析　(1)存在.理由如下:
不等式m+x2-2x+5>0可化为m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4,要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.
故存在实数m使不等式m+x2-2x+5>0对于任意x∈R恒成立,此时m>-4.
(2)不等式m-(x2-2x+5)>0可化为m>x2-2x+5.
令t=x2-2x+5,若存在实数x使不等式m>x2-2x+5成立,只需m>tmin.
∵t=x2-2x+5=(x-1)2+4,∴tmin=4,∴m>4.
∴实数m的取值范围是{m|m>4}.
18.解析　(1)若命题p: x∈R,不等式x2+4x+9-m>0恒成立为真命题,则m<(x2+4x+9)min,因为x2+4x+9=(x+2)2+5≥5,所以m<5.
故实数m的取值范围为(-∞,5).
(2)x2-2mx+1<0可化为(x-m)20,解得m>1或m<-1.
若命题p,q中恰有一个为真命题,则命题p,q一真一假,
①当p真q假时,解得-1≤m≤1;
②当p假q真时,解得m≥5.
综上,实数m的取值范围为[-1,1]∪[5,+∞).
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