2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--1.2.3　充分条件、必要条件（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教B版高中数学必修第一册
1.2.3　充分条件、必要条件
基础过关练
题组一　充分条件、必要条件与充要条件的判定
1.(2024河南创新发展联盟月考)巴布亚企鹅,属鸟类,是企鹅家族中游泳速度最快的种类,速度可达36千米/时,也是鸟类中当之无愧的游泳冠军,其模样憨态有趣,犹如绅士一般,十分可爱,被称为“绅士企鹅”,若小迪是一只鸟,则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024山东菏泽期中)“a>b”是“ac2>bc2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2022北京首师大附中月考)下列说法错误的是　　(　　)
A.“A∩B=B”是“B= ”的必要不充分条件
B.“x=3”的一个充分不必要条件是“x2-2x-3=0”
C.“|x|=1”是“x=1”的必要不充分条件
D.“m是实数”的一个充分不必要条件是“m是有理数”
4.(多选题)(2024浙江杭州月考)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则(　　)
A.p是q的充分条件
B.p是s的必要条件
C.r是q的必要不充分条件
D.s是q的充要条件
5.指出下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一个作答).
(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC;
(2)对于实数x,y,p:x+y=8,q:x=2且y=6;
(3)已知x,y∈R,p:{(x,y)|(x-1)2+(y-2)2=0},q:{(x,y)|(x-1)(y-2)=0}.
题组二　利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
6.(2023广东惠州月考)已知“xa+1”是“x>2或x<-1”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|0C.{a|07.(2022安徽阜阳第一中学月考)已知p:{x|x2+x-6=0},q:{x|mx+1=0},且q是p的充分不必要条件,则m的所有取值构成的集合是(　　)
A. C.
8.(2023河北高碑店崇德实验中学月考)已知集合A={x|x<-1或x>2},B={x|2a≤x≤a+3},若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
9.(2023河北金科大联考期中)已知全集U=R,集合A={x|-3≤x≤7},集合B={x|3-2a≤x≤2a-5},其中a∈R.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求a的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求a的取值范围.
题组三　充分条件、必要条件的探索与证明
10.(2024广东深圳段考)设x∈R,则使不等式1A.10　　　C.x<4　　　D.2≤x≤3
11.(2023江苏连云港期中)设x,y∈R,则“xy+1≠x+y”的充要条件是(　　)
A.x,y不都为1
B.x,y都不为1
C.x,y都不为0
D.x,y中至多有一个是1
12.(多选题)(2024浙江杭州学军中学月考)设全集为R,在下列条件中,是B A的充要条件的有(　　)
A.A∩B=A　　　B.( RA)∩B=R
C. RA RB　　　D.A∪( RB)=R
13.求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0.
14.(2023湖南长沙月考)已知a+b≠0,证明a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
能力提升练
题组一　充分条件、必要条件与充要条件的判定
1.(2023山东聊城一中期中)“a=-4”是“函数y=ax2+4x-1的图象与x轴只有一个公共点”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024山东名校检测)已知a,b∈N,则“a2-b2为偶数”是“a-b为偶数”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(多选题)(2024山东青岛期中)下列说法正确的是(　　)
A.“a<5”是“a<3”的必要条件
B.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件
C.“|x|>|y|”是“x>y”的必要条件
D.“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正根和一负根”的充要条件
4.对于任意实数x,表示不小于x的最小整数,例如<1.1>=2,<-1.1>=-1,则“|x-y|<1”是“=”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.(2023宁夏银川一中期中)已知A是B的充分不必要条件,C是B的必要不充分条件,D是C的充分必要条件,则D是A的　　　　条件.
题组二　利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
6.(2023河南开封期中)已知p:-17.(2024福建莆田期末)已知非空集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3,求( RP)∩Q;
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
题组三　充分条件、必要条件的探索与证明
8.(2023江西南昌月考)设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么(2,3)∈A∩( UB)的充要条件是(　　)
A.m>-1,n<5　　　B.m<-1,n<5
C.m>-1,n>5　　　D.m<-1,n>5
9.(2024江苏三校联合质量检测)不等式x2-x-m>0在x∈R上恒成立的一个必要不充分条件是(　　)
A.m≤- C.m<-
答案与分层梯度式解析
1.2.3　充分条件、必要条件
基础过关练
1.B 2.B 3.B 4.AD 6.B 7.C 10.D 11.B
12.CD
1.B　会游泳的鸟类有很多种,巴布亚企鹅是其中的一种,则由“小迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪会游泳”,但由“小迪会游泳”并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”,所以“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的充分不必要条件.故选B.
2.B　若a>b,当c=0时,ac2=bc2=0;当c≠0时,ac2>bc2,所以a>b /ac2>bc2.
若ac2>bc2,则c≠0,所以a>b,所以ac2>bc2 a>b.
故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件.故选B.
3.B　“A∩B=B”是“B= ”的必要不充分条件,因此A中说法正确;由x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1,故“x=3”是“x2-2x-3=0”的充分不必要条件,因此B中说法错误;“|x|=1”是“x=1”的必要不充分条件,因此C中说法正确;“m是实数”的一个充分不必要条件是“m是有理数”,因此D中说法正确.故选B.
4.AD　由题意得,p r,q r,r s,s q.
对于A,因为p r s q,所以p是q的充分条件,故A正确;
对于B,因为p r s,所以p是s的充分条件,故B不正确;
对于C,因为r s q,q r,所以r是q的充要条件,故C不正确;
对于D,因为s q,q r s,所以s是q的充要条件,故D正确.故选AD.
5.解析　(1)在△ABC中,显然有∠A>∠B BC>AC,所以p是q的充要条件.
(2)因为x=2且y=6 x+y=8,但x+y=8 /x=2且y=6,所以p是q的必要不充分条件.
(3)因为p对应集合A={(1,2)},q对应集合B={(x,y)|x=1或y=2},A是B的真子集,
所以p是q的充分不必要条件.
6.B　设集合A={x|xa+1},B={x|x>2或x<-1},根据题意得B A,作出数轴如下,
则且等号不同时成立,解得0≤a≤1.
7.C　设p,q对应的集合分别为A,B,则A={x|x2+x-6=0}={-3,2},B={x|mx+1=0},
由q是p的充分不必要条件,可得B A,则B为 或{-3}或{2},
①若B= ,则m=0;
②若B={-3},则-3m+1=0,解得m=;
③若B={2},则2m+1=0,解得m=-.
所以m的所有取值构成的集合是.
故选C.
8.答案　(-∞,-4)∪(1,+∞)
解析　因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B A.
当B= 时,满足B A,此时2a>a+3,解得a>3;
当B≠ 时,要想满足B A,则解得a<-4或1综上,实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞).
9.解析　(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A B,作出数轴如下:
则解得a≥6,所以a的取值范围为[6,+∞).
(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B A.
①当B= 时,3-2a>2a-5,即a<2,符合题意;
②当B≠ 时,作出数轴如下:
则解得2≤a≤3,
综上所述,a的取值范围为(-∞,3].
10.D　设集合A={x|111.B　xy+1≠x+y即xy+1-x-y≠0,即(x-1)(y-1)≠0,等价于x≠1且y≠1,所以“xy+1≠x+y”的充要条件是x,y都不为1.
12.CD　若A∩B=A,则A B,不满足题意,故A错误;
若( RA)∩B=R,则A= ,B=R,则A B,不满足题意,故B错误;
若 RA RB,则B A,反之,若B A,则 RA RB,满足题意,故C正确;
若A∪( RB)=R,则B A,反之,若B A,则A∪( RB)=R,满足题意,故D正确.故选CD.
13.证明　①充分性:如果b=0,那么y=kx(k≠0),当x=0时,y=0,
所以一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点.
②必要性:若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点,
则当x=0时,y=0,即0·k+b=0,所以b=0.
综上所述,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0.
14.证明　充分性:若a+b=1,则a2+b2-a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1=0,即充分性成立.
必要性:若a2+b2-a-b+2ab=0,则(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)=0,
∵a+b≠0,∴a+b-1=0,即a+b=1,即必要性成立.
综上所述,a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
思维拓展　对于充要条件的证明问题,可分别证明充分性与必要性,此时应注意分清楚谁是条件,谁是结论,充分性是由条件成立来证明结论成立,而必要性则是由结论成立证明条件成立;也可进行等价转化,此时应注意每一步得出的结论均能反推出得到这个结论的条件.
能力提升练
1.B 2.C 3.ABD 4.B 8.A 9.A
1.B　当a=0时,函数y=ax2+4x-1的图象与x轴只有一个公共点;当a≠0时,若函数y=ax2+4x-1的图象与x轴只有一个公共点,则Δ=16+4a=0,解得a=-4.故“a=-4”是“函数y=ax2+4x-1的图象与x轴只有一个公共点”的充分不必要条件.
2.C　已知a,b∈N,若a2-b2为偶数,则a2-b2=(a+b)·(a-b)为偶数,所以a+b与a-b都为偶数;若a-b为偶数,则a+b为偶数,所以a2-b2=(a+b)·(a-b)为偶数.
综上可知,“a2-b2为偶数”是“a-b为偶数”的充要条件.故选C.
3.ABD　a<3时一定满足a<5,所以“a<5”是“a<3”的必要条件,故A正确.
当a>1,b>1时,有ab>1,所以“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件,故B正确.
由绝对值的几何意义可知,x>y不能得到|x|>|y|,所以“|x|>|y|”不是“x>y”的必要条件,故C错误.
当m<0时,对于方程x2-2x+m=0,Δ=4-4m>0,方程有两个不相等的实数根,且两根之积为m,又m<0,所以方程有一正根和一负根;
若关于x的方程x2-2x+m=0有一正根和一负根,设为x1,x2,则有解得m<0.
所以“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正根和一负根”的充要条件,故D正确.
故选ABD.
4.B　令x=1.8,y=0.9,满足|x-y|<1,但<1.8>=2,<0.9>=1,≠,故充分性不成立;当=时,必有|x-y|<1,故必要性成立.所以“|x-y|<1”是“=”的必要不充分条件.故选B.
5.答案　必要不充分
解析　∵A是B的充分不必要条件,C是B的必要不充分条件,∴A B,B /A,B C,C /B,∴A C,C /A,∵D是C的充分必要条件,∴D C,∴A D,D /A,
∴D是A的必要不充分条件.
6.答案　[-2,1]
解析　因为 q是 p的充分不必要条件,所以p是q的充分不必要条件,则且等号不同时成立,解得-2≤m≤1.
7.解析　(1)当a=3时,P={x|4≤x≤7}, RP={x|x<4,或x>7}.又Q={x|-2≤x≤5},
所以( RP)∩Q={x|-2≤x<4}.
(2)因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,所以P是Q的真子集,
又Q={x|-2≤x≤5},P≠ ,
所以解得0≤a≤2.
故a的取值范围是{a|0≤a≤2}.
解题模板　研究充分性、必要性时,可转化为集合间的关系,若p,q对应的集合分别为P,Q,则p是q的充分条件 P Q,p是q的必要条件 Q P.
8.A　易知 UB={(x,y)|x+y-n>0},
故A∩( UB)={(x,y)|x+y-n>0,且2x-y+m>0}.
(2,3)∈A∩( UB)等价于即m>-1,n<5.
所以(2,3)∈A∩( UB)的充要条件为m>-1,n<5.
9.A　不等式x2-x-m>0在x∈R上恒成立即一元二次方程x2-x-m=0在x∈R上无实数根,
∴Δ=(-1)2-4×(-m)<0,解得m<-.
易知B选项是充要条件,不满足题意;
A选项中,m<-可推出m≤-,但m≤-不能推出m<-,故m≤-是m<-的必要不充分条件,A正确;
C选项中,m<-不能推出m<-,C错误;
D选项中,m<-不能推出-1故选A.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)