2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--2.1.1 等式的性质与方程的解集 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
第二章　等式与不等式
2.1　等式
2.1.1　等式的性质与方程的解集
2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系
基础过关练
题组一　等式的性质与恒等式
1.根据等式的性质,下列说法错误的是(　　)
A.若x=y,则x-5=y-5　　　
B.若(m+1)x=m+1,则x=1
C.若(a2+1)x=5,则x=　　　
D.若a=b,则am=bm
2.(2024上海奉贤中学月考)若等式x2-10x-7=a(x+1)2+b(x+1)+c恒成立,则a+b+c的值为　　　　.
3.(1)化简:(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1);
(2)已知a+b+c=4,ab+bc+ac=4,求a2+b2+c2的值.
题组二　因式分解
4.如果要在二次三项式x2+(　　)x-6的括号中填上一个整数,使它能按恒等式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)分解因式,那么这个整数可以是(　　)
A.1,-1,-2,3　　　B.5,-5,3,-2
C.1,-1,5,-5　　　D.以上都不对
5.已知n是正整数,则下列各数中一定能整除(2n+3)2-25的是(　　)
A.6　　　B.3　　　C.4　　　D.5
6.分解因式:
(1)x2-2x-15;
(2)(a2+1)2-4a2;
(3)12x2-5xy-2y2;
(4)(x2+x)2-8(x2+x)+12.
题组三　方程的解集
7.方程(x+3)(x-3)=3(x+3)的解集是(　　)
A.{3}　　　B.{6}
C.{-3,6}　　　D.{-6,3}
8.(2022北京八一学校月考)如果方程2x2+px+q=0的解集为{-1,2},那么2x2+px+q可分解为(　　)
A.(x+1)(x-2)　　　B.(2x+1)(x-2)
C.2(x-1)(x+2)　　　D.2(x+1)(x-2)
9.(多选题)(2023山东枣庄月考)设集合A={x|x2-8x+12=0},B={x|ax-1=0},若A∪B=A,则实数a的值可以是(　　)
A.0　　　B.　　　D.2
10.求下列关于x的方程的解集:
(1)ax=-x+1;
(2)x2-6x+9=0;
(3)x3-x=0;
(4)-4=0;
(5)=x+1.
11.(2023河北石家庄一中期中)集合A={x|x2-ax+a2-13=0},B={x|x2-7x+12=0},C={x|x2-4x+3=0}.
(1)若A∩B=B∩C,求a的值;
(2)若A∩B= ,A∩C≠ ,求a的值.
题组四　一元二次方程根与系数的关系
12.(2024北京中关村中学月考)已知α,β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个不相等的实数根,则α+β+αβ的值为(　　)
A.-1　　　B.2　　　C.3　　　D.7
13.(2024上海宜川中学期末)已知一元二次方程x2-nx+5=0的两个实数根分别为x1,x2,且=1,则实数n的值为　　　　.
14.(2023江苏苏州月考)设x1,x2是一元二次方程x2+4x-3=0的两个根,2x1(+5x2-3)+a=2,则a=　　　　.
15.(2024北京育才学校月考)已知方程x2-4x+1=0的两根为x1和x2,则=　　　;|x1-x2|=　　　　.
16.(2023北京石景山月考)已知关于x的方程mx2-(m-1)x-1=0.
(1)求证:对于任意实数m,该方程总有实数根;
(2)若x1,x2是原方程的两根,且=2x1x2+1,求m的值.
能力提升练
题组一　等式的性质与恒等式
1.(2023湖北孝感期中)已知多项式2x3-x2-13x+k有一个因式2x+1,则 k=　　　　　.
2.我国古代数学家赵爽在注释《周髀算经》时,用几何的方法讨论一元二次方程x2+px-q=0的解:将四个长为x+p,宽为x的矩形围成如图所示的正方形,则中间小正方形的面积为　　　,大正方形的面积为　　　　,从而由面积关系得到一元二次方程的根.(用p,q表示)
3.已知a,b,c为△ABC的三边长.
(1)当a2+b2+c2=ab+bc+ac时,试判断△ABC的形状,并证明你的结论;
(2)判断a2-b2+c2-2ac的值的正负.
题组二　方程的解集
4.(2023山东潍坊月考)已知集合A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3},当A={2}时,集合B=(　　)
A.{1} 　　　B.{1,2}　　　C.{2,5}　　　D.{1,5}
5.已知三个集合A={x|x2-3x+2=0},B={x∈R|x2-ax+a-1=0},C={x∈R|x2-bx+2=0},同时满足B A,C A的实数a,b是否存在 若存在,求出实数a,b的值或取值范围;若不存在,请说明理由.
题组三　一元二次方程根与系数的关系
6.(多选题)(2023吉林长春期中)一元二次方程ax2+4x+3=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)
A.a<0　　　B.a<-2　　　C.a<-1　　　D.a<1
7.(2023浙江杭州学军中学期中)关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题:
甲:x=2是该方程的根;
乙:x=1是该方程的根;
丙:该方程两根之和为1;
丁:该方程两根异号.
已知只有一个假命题,则该命题是(　　)
A.甲　　　B.乙　　　C.丙　　　D.丁
8.若实数a≠b,且a,b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,则代数式的值是(　　)
A.-20　　　B.2
C.2或-20　　　D.2或20
9.设x2-px+q=0的两个实数根分别为α,β,而以α2,β2为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,则满足条件的数对(p,q)的个数是(　　)
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.0
10.(多选题)(2024重庆调研)已知x1,x2(x1>x2)是关于x的方程x2-(k+1)x+2k-1=0的两个实数根,则(　　)
A.k∈∪(5,+∞)
B.x1-x2=
C.≥2
D.
11.(2024湖南常德汉寿一中月考)已知关于x的方程3mx2+3px+4q=0(其中m,p,q均为实数)有两个不相等的实数根x1,x2(x1(1)若p=q=1,求m的取值范围;
(2)若x1,x2为两个整数根,p为整数,且m=-,求x1,x2;
(3)若x1,x2满足=x1x2+1,且m=1,求p的取值范围.
12.(2023山东青岛一中月考)已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立 若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由;
(2)若k是整数,求使-2的值为整数的所有k的值.
13.(2024辽宁省实验中学月考)设m是不小于-1的实数,关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)若=10,求m的值;
(2)求的最大值.
答案与分层梯度式解析
第二章　等式与不等式
2.1　等式
2.1.1　等式的性质与方程的解集
2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系
基础过关练
1.B 4.C 5.C 7.C 8.D 9.ABC 12.C
1.B　易得A中说法正确;对于B,当m+1=0时,x可取任意值,故B中说法错误;对于C,易知a2+1>0,等式两边同时除以a2+1,得x=,故C中说法正确;对于D,等式两边同时乘m等式成立,故D中说法正确.故选B.
2答案　-7
解析　解法一:因为x2-10x-7=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+(a+b+c),
所以a+b+c=-7.
解法二:令x=0,得-7=a+b+c.
3.解析　(1)原式=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)
=(x3+1)(x3-1)=x6-1.
(2)a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=42-2×4=8.
4.C　-6可以分解成-2×3,2×(-3),-1×6,1×(-6),括号中填上的整数应该是-6的两个因数的和,即1,-1,5,-5.故选C.
5.C　(2n+3)2-25=[(2n+3)+5][(2n+3)-5]=(2n+8)(2n-2)=4(n+4)(n-1),
∴(2n+3)2-25一定能被4整除.故选C.
6.解析　(1)x2-2x-15=(x-5)(x+3).
(2)(a2+1)2-4a2=(a2+1+2a)(a2+1-2a)=(a+1)2(a-1)2.
(3)12x2-5xy-2y2=(3x-2y)(4x+y).
(4)(x2+x)2-8(x2+x)+12=(x2+x-6)(x2+x-2)
=(x+3)(x-2)(x+2)(x-1).
7.C　原方程可化为(x+3)(x-3)-3(x+3)=0,即(x+3)(x-3-3)=0,所以x+3=0或x-3-3=0,解得x1=-3,x2=6.故选C.
8.D　∵方程2x2+px+q=0的解集为{-1,2},∴2(x+1)·(x-2)=0,∴2x2+px+q可分解为2(x+1)(x-2).故选D.
9.ABC　集合A={x|x2-8x+12=0}={x|(x-2)(x-6)=0}={2,6}.因为A∪B=A,所以B A.当a=0时,B= ,符合题意;当a≠0时,B=,所以=2或=6,解得a=或a=.综上所述,a=0或a=或a=.故选ABC.
10.解析　(1)由ax=-x+1,得(a+1)x=1.
当a≠-1时,x=,方程的解集为;
当a=-1时,方程的解集为 .
(2)由x2-6x+9=0,得(x-3)2=0,故x1=x2=3,方程的解集为{3}.
(3)由x3-x=0,得x(x+1)(x-1)=0,故x1=-1,x2=0,x3=1,方程的解集为{-1,0,1}.
(4)设=y,则原方程变形为y2-3y-4=0,
即(y+1)(y-4)=0,解得y1=4,y2=-1.
当y=-1时,=-1,去分母,得x2=-x+1,即x2+x-1=0,解得x1=.
当y=4时,=4,去分母,得x2=4x-4,即x2-4x+4=0,解得x3=x4=2.
检验,把x=,2分别代入原方程的分母中,分母都不等于零,
所以,2都是原方程的解,
故方程的解集为.
(5)=x+1两边平方,得x+7=x2+2x+1,
移项,合并同类项,得x2+x-6=0,即(x+3)(x-2)=0,解得x1=-3,x2=2.
检验,把x=-3代入原方程,左边==2,右边=-2,故x=-3舍去;
把x=2代入原方程,左边==3,右边=3,所以x=2是原方程的解.
故方程的解集为{2}.
11.解析　(1)因为B={x|x2-7x+12=0}={x|(x-3)·(x-4)=0}={3,4},C={x|x2-4x+3=0}={x|(x-1)·(x-3)=0}={1,3},所以B∩C={3}.
又因为A∩B=B∩C,所以3∈A,4 A,
故9-3a+a2-13=0,解得a=4或a=-1.
当a=4时,A={x|x2-4x+3=0}={x|(x-1)(x-3)=0}={1,3},符合题意;
当a=-1时,A={x|x2+x-12=0}={x|(x+4)(x-3)=0}={-4,3},符合题意.
综上所述,a=4或a=-1.
(2)因为A∩B= ,所以3 A,4 A.
又因为A∩C≠ ,所以1∈A,故1-a+a2-13=0,解得a=4或a=-3.
当a=4时,A={1,3},不符合题意;
当a=-3时,A={x|x2+3x-4=0}={x|(x+4)(x-1)=0}={1,-4},符合题意.
综上所述,a=-3.
12.C　因为α,β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个不相等的实数根,
所以故α+β+αβ=5-2=3.
故选C.
13.答案　5
解析　∵一元二次方程x2-nx+5=0的两个实数根分别为x1,x2,
∴x1+x2=n,x1x2=5,Δ=n2-20≥0,
∴=1,解得n=5.
14.答案　8
解析　由题意可得x1x2=-3,+4x2-3=0,则2x1(+4x2-3+x2)+a=2x1x2+a=2×(-3)+a=2,解得a=8.
15.答案　14;2
解析　由根与系数的关系得x1+x2=4,x1x2=1,
所以=(x1+x2)2-2x1x2=42-2×1=14,
|x1-x2|=.
16.解析　(1)证明:当m=0时,原方程为x-1=0,解得x=1,原方程有一个实数根;
当m≠0时,Δ=[-(m-1)]2-4m×(-1)=(m+1)2≥0恒成立,故原方程有两个实数根.
综上,对于任意实数m,该方程总有实数根.
(2)∵x1,x2是方程mx2-(m-1)x-1=0的两根,
∴m≠0,x1+x2=.
又∵=2x1x2+1,
∴=2x1x2+1,
∴+1,
整理,得m2+m-1=0,
解得m=或m=.
能力提升练
4.D 6.BC 7.B 8.A 9.B 10.ABD
1.答案　-6
解析　设2x3-x2-13x+k=(2x+1)(x2+ax+b),则2x3-x2-13x+k=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x+b,
∴
2.答案　p2;p2+4q
解析　由题图可知,小正方形的边长为x+p-x=p,则小正方形的面积为p2.
又四个矩形的面积和为4x(x+p),
所以大正方形的面积为p2+4x(x+p).
又因为x2+px-q=0即x(x+p)=q,所以大正方形的面积为p2+4q.
3.解析　(1)△ABC为等边三角形.
证明:因为a2+b2+c2=ab+bc+ac,
所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,
所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,
所以a=b,b=c,a=c,所以△ABC为等边三角形.
(2)a2-b2+c2-2ac=(a2-2ac+c2)-b2
=(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b)
=[(a+b)-c][a-(b+c)],
由三角形的三边关系可知a+b>c,a所以[(a+b)-c][a-(b+c)]<0,
所以a2-b2+c2-2ac的值为负数.
4.D　由A={x|x2+px+q=x}={2}知,22+2p+q=2,且Δ=(p-1)2-4q=0,所以p=-3,q=4,则(x-1)2+p(x-1)+q=x+3可化为(x-1)2-3(x-1)+4=x+3,即(x-1)2-4(x-1)=0,即(x-1)(x-1-4)=0,解得x=1或x=5,所以集合B={1,5}.
5.解析　对于方程x2-ax+a-1=0,Δ=(-a)2-4(a-1)=(a-2)2≥0,∴B≠ .
∵A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B A,
∴B={1}或B={2}.
若B={1},则解得a=2;
若B={2},则无解.
∵C A,∴C= 或{1}或{2}或{1,2}.
当C= 时,对于方程x2-bx+2=0,Δ=(-b)2-8<0,
解得-2;
当C={1}时,不成立;
当C={2}时,不成立;
当C={1,2}时,解得b=3.
综上,存在满足题意的实数a,b,实数a,b满足a=2,b=3或-2.
6.BC　若一元二次方程ax2+4x+3=0(a≠0)有一个正根和一个负根,
则解得a<0.
求充分不必要条件即求集合{a|a<0}的真子集,结合选项知B,C符合题意.
7.B　若甲为假命题,则乙、丙、丁为真命题,由乙、丙得方程的两根分别为0,1,此时丁为假命题,不满足题意;
若乙为假命题,则甲、丙、丁为真命题,由甲、丙得方程的两根分别为-1,2,此时丁为真命题,满足题意;
若丙为假命题,则甲、乙、丁为真命题,显然不成立;
若丁为假命题,则甲、乙、丙为真命题,显然不成立.
综上,乙为假命题,故选B.
8.A　由题意得,a,b是方程x2-8x+5=0的两个实数根,易知Δ>0,所以a+b=8,ab=5,
∴
==-20.
故选A.
9.B　根据题意得,α+β=p①,αβ=q②,α2+β2=p③,α2β2=q④,
由②④可得α2β2-αβ=0,解得αβ=1或αβ=0,即q=1或q=0.
由①②③可得α2+β2=(α+β)2-2αβ=p2-2q=p,即p2-p-2q=0.
当q=0时,p2-p=0,解得p=0或p=1,
即
把它们分别代入原方程的判别式中可知符合题意;
当q=1时,p2-p-2=0,解得p=-1或p=2,
即不合题意,舍去.
所以满足条件的数对(p,q)的个数是3.故选B.
10.ABD　由已知得,Δ=[-(k+1)]2-4×1×(2k-1)=k2-6k+5>0,解得k>5或k<1,又k≠,∴k∈∪(5,+∞),故A正确.
由根与系数的关系,得
则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(k+1)2-4(2k-1)=k2-6k+5,∵x1>x2,∴x1-x2=,故B正确.
,
当k=0时,<0,故C错误.
,故D正确.
故选ABD.
11.解析　(1)若p=q=1,则方程为3mx2+3x+4=0,
若方程3mx2+3x+4=0有两个不相等的实数根,则解得m<且m≠0,
∴m的取值范围是(-∞,0)∪ .
(2)由题意得m≠0,且
则由m=-得x1+x2=3,由q=得x1x2=,
∵x1,x2,p均为整数,∴p=-1或p=1,
当p=-1时,x1x2=2,又x1+x2=3且x1当p=1时,x1x2=0,又x1+x2=3且x1综上,x1=1,x2=2或x1=0,x2=3.
(3)若m=1,则方程为3x2+3px+4q=0,Δ=9p2-48q>0,
则=x1x2+1,
∴(-p)2-2×+1,即4q=p2-1,
所以Δ=9p2-48q=9p2-12(p2-1)>0,解得-2∴p的取值范围是(-2,2).
12.解析　(1)不存在.理由如下:
∵一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0有两个实数根,
∴所以k<0,
又x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根,
∴x1+x2=1,x1x2=,
∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2(,
令-,解得k=(舍去),
∴不存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立.
(2),
要使-是整数,只需k+1能整除4,又k为整数,
∴k+1=±1,±2,±4,
∵k<0,∴满足条件的整数k为-2,-3,-5.
13.解析　(1)∵关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=4(m-2)2-4(m2-3m+3)=-4m+4>0,解得m<1,
则
∴=(x1+x2)2-2x1x2=4(m-2)2-2(m2-3m+3)=2m2-10m+10=10,解得m=0或m=5,
又-1≤m<1,所以m=0.
(2)
=
=2(m2-3m+1)=2,
因为-1≤m<1,所以当m=-1时,取得最大值,最大值为10.
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