2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--2.1.3　方程组的解集（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
2.1.3　方程组的解集
基础过关练
题组一　方程组的解集
1.(2023辽宁省实验中学月考)已知|x-z+4|+|z-2y+1|+|x+y-z+1|=0,则x+y+z=(　　)
A.9　　　B.10　　　C.5　　　D.3
2.(2024辽宁沈阳第十一中学月考)已知方程组的解也是方程3x+my+2z=0的解,则m的值为　　　　.
3.已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0有共同的根-1,则a=　　　　,b=　　　　.
4.(2024北京第一六一中学月考)求下列方程组的解集:
(1)
题组二　方程组在实际问题中的应用
5.桌面上有甲、乙、丙三个杯子,三个杯内均装有一些水.将甲杯的水全部倒入丙杯,此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升;再将乙杯的水全部倒入丙杯,此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升.若过程中水没有溢出,则原本甲、乙两杯内的水量相差(　　)
A.80毫升　　　B.110毫升C.140毫升　　　D.220毫升
6.(2023山东青岛期中)某商店有方形、圆形两种巧克力,小明如果购买3块方形巧克力和5块圆形巧克力,他带的钱不够,差8元,如果购买5块方形巧克力和3块圆形巧克力,他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力,则他带的钱会剩下(　　)
A.8元　　　B.16元　　
C.24元　　　D.32元
7.数学名著《九章算术》中有如下问题:今有甲、乙、丙三人持钱,甲语乙、丙:各将公等所持钱,半以益我,钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分给我一半,我手上就有90钱).乙复语甲、丙:各将公等所持钱,半以益我,钱成七十.丙复语甲、乙:各将公等所持钱,半以益我,钱成五十六.则乙手上原有(　　)
A.28钱　　　B.32钱　　　C.56钱　　　D.70钱
题组三　方程组的综合应用
8.一个正方体的平面展开图如图所示,若该正方体相对的两个面上的代数式的值均相等,则z+y-x的值为　　　　.
9.(2023四川雅安期末)对于实数a,b,定义运算“◆”:a◆b=例如4◆3==5.若x,y满足方程组则x◆y=　　　　.
10.(2023辽宁省重点高中协作校月考)甲、乙两位同学在求关于x,y的方程组的解时,甲因看错了m,解得乙因看错了n,解得
(1)求m,n的值;
(2)求方程组的解集.
11.若关于x,y的二元一次方程组的解集是{(x,y)|(1,2)},求关于a,b的二元一次方程组的解集.
12.对于任意的有理数a,b,c,d,我们规定:=ad-bc,根据这一规定,解答以下问题:若x,y同时满足=13,=4,求的值.
能力提升练
题组一　方程组的解集
1.“m=2”是“{(x,y)|mx+4y-6=0}∩{(x,y)|x+my-3=0}= ”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(多选题)关于x,y的方程组下列说法正确的是(　　)
A.一定有解　　　B.可能有唯一解
C.可能有无穷多解　　　D.可能无解
3.若方程组的解集是{(x,y)|(3,4)},则方程组的解集是(　　)
A.{(x,y)|(4,8)} B.{(x,y)|(9,12)}
C.{(x,y)|(15,20)} D.
4.(多选题)给出以下说法,其中正确的为(　　)
A.关于x的方程x+的解是x=c
B.方程组的正整数解有2组
C.已知关于x,y的方程组其中-3≤a≤1,当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4-a的解
D.以方程组的解为坐标的点(x,y)在第二象限
5.求方程组的解集.
题组二　方程组的应用
6.一个三位数,十位、百位上的数字的和等于个位上的数字,十位上的数字的9倍比个位、百位上的数字的和小2,个位、十位、百位上的数字的和为12,则这个三位数是　　　　.
7.(2024北京八一学校月考)若关于x,y的方程组的解集相等,则a=　　　　,b=　　　　.
8.(2024辽宁省实验中学月考)已知关于x,y的方程组的解都为正数,则实数a的取值范围为　　　　.
9.(2023辽宁沈阳辽中第二高级中学月考)已知的值为　　　　.
10.已知x,y均为有理数,且x,y满足2x2+3y+,则x+y的值为　　　　.
11.(2024北京西城期中)已知关于x,y的方程组其中k∈R.
(1)当k=1时,求该方程组的解;
(2)证明:无论k为何值,该方程组总有两组不同的解;
(3)记该方程组的两组不同的解分别为判断3(y1+y2)-2y1y2是不是定值.若是定值,请求出该值;若不是定值,请说明理由.
12.某汽车制造厂开发一款新式电动汽车,计划一年生产安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人,他们经过培训后上岗,能独立进行电动汽车的安装.生产开始后,调研部门发现:1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车;2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车.
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车
(2)如果工厂招聘n(0答案与分层梯度式解析
2.1.3　方程组的解集
基础过关练
1.A 5.B 6.D 7.B
1.A　由题意得
③-①,得y=3,把y=3代入②,得z=5,把z=5代入①,得x=1,所以x+y+z=1+3+5=9.
2.答案　-5
解析　已知方程组
由①得x=y+2,④
将④代入③,得z+y=-1,⑤
由②⑤,得y=1,z=-2,则x=3,
所以3x+my+2z=3×3+m+2×(-2)=5+m=0,
解得m=-5.
3.答案　1;-2
解析　把x=-1代入两方程,得
解得
4.解析　(1)已知方程组
由①+②,得5x+3z=-1,④
由②×3-③,得5x+11z=-17,⑤
联立代入①,得y=2,
所以方程组的解集为{(x,y,z)|(1,2,-2)}.
(2)由方程组整理得9x2-8x-1=0,解得x=1或x=-,
当x=1时,y=1;当x=-时,y=-.
所以方程组的解集为.
5.B　设甲杯中原有a毫升水,乙杯中原有b毫升水,丙杯中原有c毫升水,依题意有
②-①,得b-a=110.
6.D　设方形巧克力每块x元,圆形巧克力每块y元,小明带了a元钱,则②×5-①×3,得16x=2a-64,∴8x=a-32,即小明只购买8块方形巧克力会剩下32元.
7.B　设甲、乙、丙手上原来分别有x钱,y钱,z钱,
则故选B.
8.答案　-3
解析　由题意得x+y=4x-3①,z-1=7x+2y②,3x+2=5-6x③,
由①得y=3x-3,由③得x=,则y=-2,
把x,y的值代入②得z=-,则z+y-x=-=-3.
9.答案　60
解析　由
∵x10.解析　(1)依题意可得满足方程nx+y=3,满足方程x2+my=5,
则
(2)由(1)可得方程组为
由②得x=3-y,③
将③代入①,得(3-y)2+2y=5,解得y1=y2=2,所以x=1.
故方程组的解集为{(x,y)|(1,2)}.
11.解析　观察两个方程组的结构特点可得,a+b相当于x,a-b相当于y,
故由题意可得
所以二元一次方程组.
12.解析　根据题意可知
当x=2,y=-时,.
能力提升练
1.D 2.ABC 3.D 4.BC
1.D　联立消元,得(4-m2)y=6-3m.
当m=2时,y∈R;当m=-2时,无解,当m≠±2时,y=.因为{(x,y)|mx+4y-6=0}∩{(x,y)|x+my-3=0}= ,所以m=-2.故“m=2”是“{(x,y)|mx+4y-6=0}∩{(x,y)|x+my-3=0}= ”的既不充分也不必要条件.
2.ABC　已知
②×a-①得(a2-2a+1)y=a2-2a+1,
当a=1时,(a2-2a+1)y=a2-2a+1恒成立,有无穷多解;
当a≠1时,y=1,x=a,有唯一解.
3.D　由题意得
等式两边都除以5得
对照方程组.故选D.
4.BC　对于A,关于x的方程x+的解是x=c或x=,故A中说法不正确;对于B,方程组因为x,y,z是正整数,所以x+y≥2,
又因为23只能分解为23×1,方程②为(x+y)z=23,所以只能是z=1,x+y=23,将z=1代入原方程组可得所以原方程组的正整数解是(2,21,1),(20,3,1),故B中说法正确;对于C,由则x+y=2+a,当a=1时,x+y=3,故方程组的解也是方程x+y=4-a=3的解,故C中说法正确;对于D,解方程组在第一象限,故D中说法不正确.故选BC.
5.解析　设=b,
则有
所以
两式相减,得x2-x-2=0,解得x=-1或x=2.
当x=-1时,y=1-(-1)=2;
当x=2时,y=1-2=-1.
经检验,均符合题意.
故原方程组的解集为{(x,y)|(2,-1),(-1,2)}.
6.答案　516
解析　设这个三位数个位上的数字为x,十位上的数字为y,百位上的数字为z,根据题意得
将①代入③,得x=6,
将x=6代入①,得y+z=6,④
将x=6代入②,得9y=6+z-2,即9y-z=4,⑤
由④⑤可得y=1,z=5,则这个三位数为516.
7.答案　4;-
解析　因为方程组的解集相等,
所以的解集也是它们的解集,
由
所以
8.答案　(1,+∞)
解析　已知方程组
①×2+②,得x=a-1,③
将③代入②,得a-1+2y=3a+3,则y=a+2,
由题意得解得a>1,
所以实数a的取值范围为(1,+∞).
9.答案　
解析　由得3x-y=2x+y,即x=2y,
将x=2y代入3x-y-z=0,得z=5y,
所以.
10.答案　1或-7
解析　∵x,y均为有理数,
∴
∴x+y=1或x+y=-7.
11.解析　(1)当k=1时,方程组为
消去y得3x2+2x-1=0,解得x=-1或x=,
所以方程组的解为
(2)证明:消去y并整理,得(k2+2)x2+2kx-1=0,
显然k2+2≠0,Δ=8k2+8>0,
所以该方程有两个不同的解,该方程组也对应有两组不同的解.
(3)由根与系数的关系,得x1+x2=-,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2=,
y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=,
所以3(y1+y2)-2y1y2==4.
所以3(y1+y2)-2y1y2是定值,且定值为4.
12.解析　(1)设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车,每名新工人每月可以安装y辆电动汽车,
根据题意得
故每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车,每名新工人每月可以安装2辆电动汽车.
(2)设抽调熟练工m人,m∈N*,
由题意得12(4m+2n)=240,整理,得m=.
∵0∴
综上所述,所有可能的招聘方案如下:①抽调熟练工1人,招聘新工人8人;②抽调熟练工2人,招聘新工人6人;③抽调熟练工3人,招聘新工人4人;④抽调熟练工4人,招聘新工人2人.
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