2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--2.2.1　不等式及其性质（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教B版高中数学必修第一册
2.2　不等式
2.2.1　不等式及其性质
基础过关练
题组一　不等关系与不等式
1.(2023陕西西安碑林期中)铁路乘车行李规定如下:乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过M cm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a,b,c(单位:cm),则这个规定用数学关系式可表示为(　　)
A.a+b+c≤M　　　B.a+b+c>M
C.a+b+c≥M　　　D.a+b+c题组二　比较大小
2.(2023湖南邵阳期中)已知P=a2+2b+3,Q=-b2+4a-2,则(　　)
A.P>Q　　　B.P3.(2024广东部分名校检测)若a=,则(　　)
A.a>c>b　　　B.a>b>c　　　C.c>b>a　　　D.b>c>a
4.(2024河南新乡九师联盟月考)已知a>b>0,则a3+b3　　　　ab2+a2b. (填“>”“<”或“=”)
5.(2024贵州六盘水期中)(1)设x>1,M=,比较M,N的大小;
(2)设a>b>0,M=,比较M,N的大小.
题组三　不等式的性质及其推论
6.(2023北京朝阳期中)已知a,b,c,d∈R,则下列结论正确的是(　　)
A.若a>b,c>d,则a+b>c+d
B.若a>-b,则c-aC.若a>b,cD.若a2>b2,则-a<-b
7.(多选题)(2024广东茂名七校联盟联考)下列命题正确的是(　　)
A.如果a>b,cb-d
B.如果a>b>0,那么
C.如果-1D.如果a>b>0,c题组四　求代数式的取值范围
8.已知α∈,β∈,则2α-的取值范围是(　　)
A.
9.(2024山东淄博桓台一中月考)(1)如果12(2)已知x,y满足-,0能力提升练
题组一　 比较大小
1.(2024湖北恩施期末)某商场计划做一次活动刺激消费,计划对某商品降价两次,方案甲:第一次降价m%,第二次降价n%.方案乙:第一次降价n%,第二次降价m%.方案丙:两次均降价%,其中m>n>0.那么两次降价后价格最高的方案为(　　)
A.甲　　　B.乙 C.丙　　　D.无法判断
2.(2023福建泉州月考)有三个房间需要粉刷,粉刷方案为:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xA.ax+by+cz　　　B.ay+bx+cz
C.ay+bz+cx　　　D.az+by+cx
3.(2023上海华东师范大学第一附属中学期中)16世纪中叶,英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首次把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈里奥特首次使用符号“<”和“>”,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是(　　)
A.若a>0,则a2+1>(a-1)(a+2)
B.若aC.若|a|≤1,|b|≤1,则|a-b|≤|1-ab|
D.若a>b>0,则
4.若a>b>c,则 .(填“>”“=”或“<”)
5.(2024湖北鄂东南教学改革联盟期中)(1)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了,请将这一事实表示为一个不等式,不必证明,利用此结论证明:若a,b,c为三角形的三边长,则<2;
(2)超市里面提供两种糖:白糖每千克p1元,红糖每千克p2元(p1≠p2).小东买了相同质量的两种糖,小华买了相同价钱的两种糖.那么谁买的糖的平均价格比较高 请证明你的结论.(物品的平均价格=物品的总价格÷物品的总质量)
题组二　不等式的性质及其应用
6.(2023山东烟台月考)已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中一定成立的是(　　)
A.xy>yz　　　B.xz>yz
C.xy>xz　　　D.x|y|>z|y|
7.(2024辽宁朝阳月考)实数a,b,c在数轴上对应的点A,B,C如图所示,下列判断正确的是(　　)
A.ab>c　　　B.abc>　　　C.c+2b2b
8.设x,y为实数,满足2≤xy2≤3,3≤≤4,则的最大值是　　　　.
答案与分层梯度式解析
2.2　不等式
2.2.1　不等式及其性质
基础过关练
1.A 2.C 3.A 6.B 7.AD 8.D
1.A
2.C　P-Q=a2+2b+3-(-b2+4a-2)=a2-4a+b2+2b+5=(a-2)2+(b+1)2,因为(a-2)2≥0,(b+1)2≥0,所以P-Q≥0,即P≥Q.
3.A　a-c=>0,所以a>c,
c-b=,
因为(2>0,且2>0,
所以2,所以c-b>0,所以c>b.
综上所述,a>c>b.故选A.
4.答案　>
解析　a3+b3-ab2-a2b=a3-ab2+b3-a2b=a(a2-b2)+b(b2-a2)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),
因为a>b>0,所以(a-b)2>0,a+b>0,所以(a-b)2(a+b)>0,所以a3+b3-ab2-a2b>0,即a3+b3>ab2+a2b.
5.解析　(1)M=,
因为>0,
所以,即,
故M>N.
(2)解法一(作差法):M-N=
=
=,
因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0,2ab>0,a2+b2>0,
所以>0,所以M>N.
解法二(作商法):因为a>b>0,所以>0,2ab>0,
所以>1,
所以M>N.
6.B　对于A,取a=1,b=0,c=2,d=1,则a+b-b,所以-a-b,故D错误.
7.AD　对于A,∵c-d,又a>b,∴a-c>b-d,故A正确;
对于B,∵a>b>0,∴ab>0,∴>0,∴a·>b·,即,故B错误;
对于C,∵2对于D,∵c-d>0,又a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴0<,又e<0,∴,故D正确.
故选AD.
8.D　因为0<α<,0≤β≤,
所以0<2α<1,0≤≤-≤0,
所以-<1.故选D.
9.解析　(1)因为12所以27(2)设3x-y=m(x-y)+n(x+y)=(m+n)x+(n-m)y,m,n∈R,
则
所以3x-y=2(x-y)+(x+y),
因为-,所以-1<2(x-y)<1,又0所以-1<3x-y<2,
所以3x-y的取值范围是(-1,2).
能力提升练
1.C 2.D 3.C 6.C 7.D
1.C　不妨设商品原价格为10 000元,则方案甲两次降价后的价格为(100-m)(100-n)元;
方案乙两次降价后的价格为(100-m)(100-n)元;
方案丙两次降价后的价格为元.
所以方案甲和方案乙两次降价后的价格相同.
又>0,
所以方案丙两次降价后的价格最高.故选C.
2.D　解法一:因为x所以ax+by+cz-(az+by+cx)=a(x-z)+c(z-x)=(x-z)·(a-c)>0,故ax+by+cz>az+by+cx;
同理,ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)·(c-b)<0,故ay+bz+cx因为az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)·(z-y)<0,故az+by+cx故最低费用为(az+by+cx)元.
解法二(特殊值法):取x=1,y=2,z=3,a=1,b=2,c=3,则ax+by+cz=1×1+2×2+3×3=14,az+by+cx=1×3+2×2+3×1=10,ay+bz+cx=1×2+2×3+3×1=11,ay+bx+cz=1×2+2×1+3×3=13,故az+by+cx最小,故选D.
3.C　对于A,a2+1-(a-1)(a+2)=a2+1-a2-a+2=3-a,当a>3时,3-a<0,a2+1<(a-1)(a+2),当a=3时,3-a=0,a2+1=(a-1)(a+2),当00,a2+1>(a-1)(a+2),故A错误;易知B错误;对于C,(a-b)2-(1-ab)2=a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)≤0,故|a-b|≤|1-ab|,故C正确;对于D,易得,由a>b>0,得b-a<0,但无法判断ab-1的符号,所以不一定成立,故D错误.故选C.
4.答案　>
解析　∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0,
∴
=
=
=>0,
∴.
5.解析　(1)由糖水变甜了得出不等式(b>a>0,m>0).
证明:若a,b,c为三角形的三边长,则有a+b>c,a+c>b,b+c>a,
由上述不等式可得,
将以上不等式左右两边分别相加,得=2,
所以<2.
(2)小东买到的糖的平均价格为元/千克,
设小华买两种糖的费用均为c元,则小华买到的糖的总质量为千克,
故小华买到的糖的平均价格为(元/千克),
因为>0,所以小东买到的糖的平均价格较高.
6.C　因为x>y>z,x+y+z=0,所以3x>x+y+z=0,3z0,z<0.对于A,当y≤0时不成立;对于B,因为x>y,z<0,所以xzz,x>0,所以xy>xz;对于D,当y=0时不成立.故选C.
7.D　对于A,由题图可得-1对于B,由对于C,因为-a,故C错误;
对于D,因为-12b,故D正确.故选D.
8.答案　32
解析　易得,∵3≤≤4,∴27≤≤64,∵2≤xy2≤3,∴,所以9≤≤32,即9≤≤32,故的最大值为32.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)