2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--2.2.3　一元二次不等式的解法（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
2.2.3　一元二次不等式的解法
基础过关练
题组一　一元二次不等式的解法
1.不等式3+5x-2x2≤0的解集为(　　)
A.∪(3,+∞)　　　B.
C.∪[3,+∞)　　　D.R
2.(2023广东肇庆期中)下列四个不等式中,解集为 的是(　　)
A.-x2+x+1≤0　　　B.2x2-3x+4<0
C.x2+3x+10>0　　　D.-x2-4x+3>0
3.(2023四川绵阳期中)在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A.{x|0C.{x|x<-2或x>1}　　　D.{x|-14.设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-6<0”的(　　)
A.充分不必要条件　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　
D.既不充分也不必要条件
5.(2024江苏泰州期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下:
x -4 -2 -1 1 2 4
y 6 -4 -6 -4 0 14
则关于x的不等式ax2+bx+c<6的解集为　　　　.
题组二　二次不等式与二次方程之间的关系
6.若不等式ax2+bx-1≥0的解集是,则a=(　　)
A.-6　　　B.-5　　　
C.　　　D.6
7.(2024河南部分重点中学质量检测)已知关于x的一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为{x|2≤x≤3},则关于x的不等式cx2+bx+1≤0的解集为(　　)
A.　　　B.{x|2≤x≤3}
C.{x|-3≤x≤-2}　　　D.
8.(2023北京师大附中期中)若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=(　　)
A.
9.(多选题)(2024广东揭阳期末)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是(　　)
A.a>0　　　B.b>0
C.c>0　　　D.a+b+c<0
10.已知关于x的不等式a(x-1)(x-2)>2x2-8x+8的解集为A.
(1)当a=1时,求集合A;
(2)若集合A=(-∞,-1)∪(2,+∞),求a的值;
(3)若3 A,求a的取值范围.
题组三　含参数的一元二次不等式
11.已知a>2,则关于x的不等式ax2-(2+a)x+2>0的解集为(　　)
A.　　　
B.
C.　　　
D.
12.(2024山东青岛月考)不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是(　　)
A.-3C.-3≤k≤0　　　D.-313.(2023湖北武汉武昌实验中学期中)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(2,6)　　　
B.[2,6]
C.(-∞,2]∪[6,+∞)　　　
D.(-∞,2)∪(6,+∞)
14.(2024江苏南京师大附中期末)设a为实数,则关于x的不等式(ax-2)(2x-4)<0的解集不可能是(　　)
A.　　　B.(-∞,2)∪
C.(2,+∞)　　　D.
15.(2023湖北襄阳四中期末)若“x2+3x-4<0”是“x2-(2k+3)x+k2+3k>0”的充分不必要条件,则实数k的取值范围是　　　　　　.
16.(2024上海大同中学期末)设a∈R,若关于x的不等式x2-ax<0的解集是集合{x|017.若关于x的不等式x2-2(m+1)x+4m≤0的解集中恰有4个正整数,求实数m的取值范围.
18.(2023江苏南通月考)已知M是关于x的不等式2x2+(3a-7)x+3+a-2a2<0的解集,且0是M中的一个元素,求实数a的取值范围,并用a表示出该不等式的解集.
题组四　简单的分式不等式
19.不等式≥0的解集为(　　)
A.[-2,1]　　　B.(-2,1]
C.[-2,1)　　　D.(-∞,-2)∪[1,+∞)
20.不等式≥2的解集是(　　)
A.
C.∪(1,3]　　　D.∪(1,3]
21.(2023海南海口第一中学期中)若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x>1},则关于x的不等式>0的解集为(　　)
A.{x|x>1或x<-2} 　　　
B.{x|1C.{x|x>2或x<-1} 　　　
D.{x|-122.(2023山东潍坊期中)若关于x的不等式≤1的解集为,则a=　　　　.
题组五　一元二次不等式的实际应用
23.(2023黑龙江大庆月考)某种杂志原来以每本2.5元的价格出售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就相应减少2 000本.要使提价后的销售总收入不低于20万元,则每本的定价最高为(　　)
A.4元　　　B.5元　　　C.6元　　　D.7元
24.(2023四川雅安中学月考)在限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2,则这次事故的主要责任方为　　　　.
25.(2023山东淄博期中)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区的电力成本价为0.3元/千瓦时.(注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价))
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y(元)与实际电价x(元/千瓦时)的关系式;
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%
能力提升练
题组一　一元二次不等式的解法
1.(2024山东潍坊期末)已知甲:x≥1,乙:x满足<0(a∈R),若甲是乙的必要不充分条件,则a的取值范围是(　　)
A.a≥1　　　B.a>1　　　C.a<0　　　D.a≤0
2.(2024河南驻马店段考)对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.1]=1,[3.8]=3,[-2.3]=-3,[5]=5,那么使得不等式-6[x]2+5[x]+21>0成立的x的取值范围是(　　)
A.-2≤x≤3　　　B.-1C.-1≤x<2　　　D.-1≤x<3
3.(2024河南百师联考期末)“-3A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选题)(2023浙江台州期中)已知关于x的不等式ax2+bx+3>0,关于此不等式的解集有下列结论,其中正确的是(　　)
A.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是{x|x>3}
B.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是R
C.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是
D.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是{x|-15.(2023湖南名校期中)对于问题:“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-10.”给出如下解法:由ax2+bx+c>0的解集为{x|-10的解集为{x|-20的解集为{x|-2A.{x|-2B.{x|-3C.{x|-3D.{x|-26.已知关于x的不等式-1<<1的解集是{x|-27.(2023山西省实验中学月考)设关于x的不等式ax2+8(a+1)x+7a+16≥0(a∈Z)只有有限个整数解,且0是其中一个解,则该不等式的所有整数解组成的集合为　　　　　　　　.
8.(2024山东日照期中)已知函数y=ax2-(a+1)·x+1(a∈R).
(1)当a=-2时,求不等式y≤0的解集;
(2)当a>0时,求不等式y<0的解集.
9.已知集合A={x|x2-3x+2≤0},B=x题组二　二次不等式与二次方程之间的关系
10.(2024辽宁部分高中期末)若关于x的不等式x2+px+q>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),则不等式>0的解集为(　　)
A.(-4,1)∪(2,+∞)　　　B.(-2,1)∪(4,+∞)
C.(-∞,-2)∪(1,4)　　　D.(-∞,-4)∪(1,2)
11.(多选题)(2024江苏南京期末)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|1A.a<0
B.a+b+c=0
C.4a+2b+c<0
D.不等式cx2-bx+a<0的解集是xx<-1或x>-
12.已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).
(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},求k的值;
(2)若不等式的解集为,求k的值;
(3)若不等式的解集是R,求k的取值范围;
(4)若不等式的解集是 ,求k的取值范围.
13.(2024福建三明五校期中)已知二次函数y=ax2+bx-a+2.
(1)若关于x的不等式ax2+bx-a+2>0的解集是{x|-1(2)若a>0,b=2,解关于x的不等式ax2+bx-a+2>0.
题组三　一元二次不等式的实际应用
14.(2024上海奉贤四校期中联考)某服装公司生产的衬衫每件定价160元,在某城市年销售10万件.现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫,以降低管理和营销成本.已知代理商被收取的代理费为总销售金额的r%(每100元销售额收取r元),且r为正整数.为确保单件衬衫的利润保持不变,服装公司将每件衬衫的价格提高到元,但提价后每年的销售量会减少0.62r万件.若为了确保每年收取代理商的代理费不少于65万元,则正整数r的取值组成的集合为　　　　.
答案与分层梯度式解析
2.2.3　一元二次不等式的解法
基础过关练
1.C 2.B 3.B 4.D 6.A 7.A 8.A 9.BC
11.A 12.A 13.B 14.B 19.B 20.D 21.C 23.A
1.C　不等式3+5x-2x2≤0等价于2x2-5x-3≥0,即(x-3)(2x+1)≥0,因此所求不等式的解集为-∞,-∪[3,+∞).
2.B　不等式-x2+x+1≤0等价于x2-x-1≥0,即,其解集为-∞,,+∞;不等式2x2-3x+4<0等价于x2-x+2<0,即,其解集为 ;不等式x2+3x+10>0等价于,其解集为R;不等式-x2-4x+3>0等价于x2+4x-3<0,即(x+2)2<7,其解集为(-2-).故选B.
3.B　由题意得,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),所以x☉(x-2)<0即(x+2)(x-1)<0,解得-24.D　由|x-2|<1得1所以“|x-2|<1”不能推出“x2+x-6<0”,且“x2+x-6<0”不能推出“|x-2|<1”,
所以“|x-2|<1”是“x2+x-6<0”的既不充分也不必要条件.故选D.
5.答案　(-4,3)
解析　由已知得
故不等式ax2+bx+c<6即x2+x-6<6,解得-4故不等式的解集为(-4,3).
6.A　∵不等式ax2+bx-1≥0的解集为,
∴-为方程ax2+bx-1=0的两个实数根,
根据一元二次方程根与系数的关系可得,-×-=,解得a=-6.
7.A　由题设知方程x2+bx+c=0的两个根为2和3,由根与系数的关系得故b=-5,c=6,
因此不等式cx2+bx+1≤0即6x2-5x+1≤0,即(3x-1)(2x-1)≤0,解得≤x≤.故选A.
8.A　解法一:x2-2ax-8a2<0可化为(x+2a)(x-4a)<0.
∵a>0且不等式的解集为(x1,x2),
∴x1=-2a,x2=4a,∴x2-x1=6a=15,解得a=.
解法二:由条件知x1,x2为方程x2-2ax-8a2=0的两个根,则x1+x2=2a,x1x2=-8a2,故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152,结合a>0得a=.
9.BC　由不等式ax2+bx+c>0的解集为,可得a<0,故A错误;
易知2和-是方程ax2+bx+c=0的两个根,所以-=-1<0,又a<0,所以b>0,c>0,故B,C正确;
因为1∈,所以a+b+c>0,故D错误.故选BC.
10.解析　(1)当a=1时,不等式为(x-1)(x-2)>2x2-8x+8,整理得(x-2)(x-3)<0,解得2故A=(2,3).
(2)若集合A=(-∞,-1)∪(2,+∞),则-1,2是方程a(x-1)(x-2)=2x2-8x+8的两个根,
将x=-1代入此方程,可得6a=18,所以a=3.
(3)若3 A,则a(3-1)(3-2)≤2×32-8×3+8,解得a≤1.
故a的取值范围为(-∞,1].
11.A　不等式ax2-(2+a)x+2>0等价于(ax-2)(x-1)>0,∵a>2,∴<1,故不等式的解集为xx<或x>1.
12.A　当k=0时,不等式为-<0,恒成立,满足题意;
当k≠0时,则解得-3综上所述,-313.B　不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立,即为(a-2)x2+(a-2)x+1≥0对x∈R恒成立.当a=2时,不等式为1≥0,恒成立,满足题意;当a≠2时,则解得2综上,实数a的取值范围是[2,6].
14.B　当a=0时,不等式为-2(2x-4)<0,解得x>2,其解集为(2,+∞).
当a≠0时,解方程(ax-2)(2x-4)=0,得x=或x=2,
当a<0时,解不等式(ax-2)(2x-4)<0,得x<或x>2,其解集为∪(2,+∞);
当02,解不等式(ax-2)(2x-4)<0,得2当a=1时,=2,不等式(ax-2)(2x-4)<0的解集为 ;
当a>1时,<2,解不等式(ax-2)(2x-4)<0,得综上所述,不等式(ax-2)(2x-4)<0的解集不可能是(-∞,2)∪.故选B.
15.答案　(-∞,-7]∪[1,+∞)
解析　解不等式x2+3x-4<0,得-4解不等式x2-(2k+3)x+k2+3k>0,得xk+3,
∵“x2+3x-4<0”是“x2-(2k+3)x+k2+3k>0”的充分不必要条件,
∴{x|-4k+3},
∴k≥1或k+3≤-4,即k≥1或k≤-7.
故实数k的取值范围是(-∞,-7]∪[1,+∞).
16.答案　[0,1)
解析　不等式x2-ax<0可化为x(x-a)<0,
当a>0时,不等式的解集为(0,a),
由不等式的解集是集合{x|0当a<0时,不等式的解集为(a,0),不符合题意;
当a=0时,不等式的解集为 ,符合题意.
综上可得,a的取值范围为[0,1).
17.解析　原不等式可化为(x-2)(x-2m)≤0.
若m=1,则不等式的解集为{x|x=2},不满足题意;
若m<1,则不等式的解集是[2m,2],不等式的解集中不可能有4个正整数;
若m>1,则不等式的解集是[2,2m],
由不等式的解集中恰有4个正整数,可得5≤2m<6,解得≤m<3.
所以实数m的取值范围是.
18.解析　原不等式可化为(2x-a-1)(x+2a-3)<0,
由x=0满足不等式,得(a+1)(2a-3)>0,
所以a<-1或a>.
若a<-1,则3-2a-(-a+1)>5,
所以3-2a>,
此时不等式的解集是;
若a>,则3-2a-,
所以3-2a<,
此时不等式的解集是.
综上,当a<-1时,原不等式的解集是x时,原不等式的解集是x3-2a19.B　由原不等式得解得-2故原不等式的解集为(-2,1].故选B.
20.D　不等式≥2等价于解得-≤x≤3,且x≠1,所以原不等式的解集是∪(1,3].
21.C　∵ax-b>0的解集为{x|x>1},∴a>0,且x=1为方程ax-b=0的根,∴a-b=0,即a=b.
故不等式>0即>0,等价于(x+1)(x-2)>0,解得x>2或x<-1.
22.答案　4
解析　由≤1得-1≤0,即≤0,因为原不等式的解集为,所以x=-是方程2x+a+1=0的根,故a=4.
23.A　设每本的定价为x元时,销售总收入为y元,则由题意得y=x,整理得y=-20 000x2+130 000x,令-20 000x2+130 000x≥200 000,解得≤x≤4,所以要使提价后的销售总收入不低于20万元,每本的定价最高为4元.
归纳总结　用一元二次不等式解决实际问题的步骤:
(1)理解题意,搞清量与量之间的关系;
(2)建立相应的不等关系,把实际问题转化为数学中的一元二次不等式问题;
(3)解这个一元二次不等式,结合实际问题得到最终结果.
24.答案　乙车
解析　设甲车车速为x甲 km/h,乙车车速为x乙 km/h.
由题意可得,s甲=0.1x甲+0.01>12,s乙=0.05x乙+0.005>10,分别求解,得x甲<-40(舍去)或x甲>30,x乙<-50(舍去)或x乙>40.故乙车超过限速,应负主要责任.
25.解析　(1)设下调后的电价为x元/千瓦时,依题意知该地区年用电量增至千瓦时,
则y=(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)由(1)及题意得(x-0.3)≥[a×(0.8-0.3)]·(1+20%),且0.55≤x≤0.75,
整理得解得0.6≤x≤0.75.
故当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
能力提升练
1.A 2.D 3.A 4.BD 5.B 10.B 11.ABD
1.A　设集合A=[1,+∞).<0等价于(x-a)(x-a-1)<0,解得a若甲是乙的必要不充分条件,则B A,所以a≥1.故选A.
2.D　-6[x]2+5[x]+21>0即(2[x]+3)(3[x]-7)<0,
解得-,则-1≤x<3.故选D.
3.A　当m=1时,不等式为-1<0,恒成立;
当m≠1时,要使不等式(m-1)x2+(m-1)x-1<0对任意x∈R恒成立,
只需解得-3所以“-34.BD　对于A,若不等式ax2+bx+3>0的解集为{x|x>3},则a=0,且3b+3=0,解得b=-1,此时不等式为-x+3>0,解得x<3,矛盾,故A错误;对于B,取a=1,b=2,则ax2+bx+3=x2+2x+3=(x+1)2+2>0恒成立,故原不等式的解集为R,故B正确;对于C,若不等式ax2+bx+3>0的解集为 ,则无解,故C错误;对于D,若不等式ax2+bx+3>0的解集为{x|-15.B　易知0不满足不等式<0,故此不等式可化为<0①,由关于x的不等式<0的解集为x-16.答案　{2}
解析　不等式-1<<1等价于<1,即(ax+1)2<(x-1)2,且x≠1,即(a2-1)x2+2(a+1)x<0,且x≠1,
∵不等式的解集是{x|-2∴a2-1>0且-=-2,解得a=2.故答案为{2}.
7.答案　{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3}
解析　易知a≠0,设y=ax2+8(a+1)x+7a+16,若y≥0的整数解只有有限个,则其图象开口向下,所以a<0.
因为0为其中一个解,所以7a+16≥0,解得a≥-,所以-≤a<0,又a∈Z,所以a=-2或a=-1,
则不等式为-2x2-8x+2≥0①或-x2+9≥0②,
由①得-2-≤x≤-2,所以不等式的整数解为-4,-3,-2,-1,0,由②得-3≤x≤3,所以不等式的整数解为-3,-2,-1,0,1,2,3,
所以该不等式的所有整数解组成的集合为{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3}.
8.解析　(1)当a=-2时,y=-2x2+x+1,
由y≤0得-2x2+x+1≤0,即2x2-x-1≥0,即(2x+1)·(x-1)≥0,解得x≤-或x≥1.
故不等式的解集为∪[1,+∞).
(2)由y<0得ax2-(a+1)x+1<0,即(ax-1)(x-1)<0,
当a=1时,=1,(ax-1)(x-1)<0即(x-1)2<0,无解;
当01,由(ax-1)(x-1)<0,得1当a>1时,<1,由(ax-1)(x-1)<0,得综上所述,当a=1时,不等式的解集为 ;
当0当a>1时,不等式的解集为.
9.解析　易得A={x|1≤x≤2}.
由①当a=0时,B={x|x<3},满足A B.
②当a>0时,由<0,得>0,
故B=,满足A B.
③当a<0时,由<0,得<0,
故B=.
由A B,得3+<1,即-综上可得,a的取值范围是.
10.B　因为关于x的不等式x2+px+q>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),
所以方程x2+px+q=0的两根是-1和2,由根与系数的关系可得p=-1,q=-2,
所以>0即>0,即>0,解得-24.
所以原不等式的解集为(-2,1)∪(4,+∞),故选B.
11.ABD　由题意可知,1,3是方程ax2+bx+c=0的两个根,且a<0,则有
显然A正确;由1是方程ax2+bx+c=0的一个根知a+b+c=0,故B正确;
因为不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|10,故C错误;
不等式cx2-bx+a<0即为3ax2+4ax+a<0,又a<0,所以3x2+4x+1>0,其解集为,故D正确.故选ABD.
12.解析　(1)由不等式的解集为{x|x<-3或x>-2}可知k<0,且x=-3与x=-2是方程kx2-2x+6k=0的两根,
∴-3+(-2)=,解得k=-.
(2)由不等式的解集为解得k=-.
(3)依题意知解得k<-.
(4)依题意知解得k≥.
13.解析　(1)由不等式ax2+bx-a+2>0的解集是{x|-1由根与系数的关系得
(2)若a>0,则不等式ax2+2x-a+2>0可化为(x+1)>0,
当00,得x<或x>-1;
当a=1,即=-1时,解不等式(x+1)>0,得x≠-1;
当a>1,即>-1时,解不等式(x+1)>0,得x<-1或x>.
综上所述,当0当a=1时,不等式的解集为{x|x≠-1};
当a>1时,不等式的解集为.
14.答案　{7,8,9,10}
解析　由题意得,(10-0.62r)··r%≥65且10-0.62r>0,r∈N*,
整理,得496r2-8 325r+32 500≤0且0令496r2-8 325r+32 500=0,则Δ=(-8 325)2-4×496×32 500=4 825 625,
所以方程的两根分别为r1=≈6.177 7,r2=≈10.606 6.
故由496r2-8 325r+32 500≤0可得7≤r≤10,r∈N*,
所以正整数r的取值组成的集合为{7,8,9,10}.
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