2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--2.2.4　均值不等式及其应用（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
2.2.4　均值不等式及其应用
基础过关练
题组一　对均值不等式的理解
1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0,其中能使≥2成立的条件个数为(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
2.(2023浙江诸暨中学月考)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的(　　)
A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　 D.既不充分也不必要条件
3.(2024湖北武汉期末)已知正数a,b满足a+2b=1,则(　　)
A.ab≥ C.04.下列不等式正确的是(　　)
A.x2+≥2　　　B.a2+b2≥4ab C.≥4
5.(2024上海实验学校期中)数学里有一种证明方法叫做无字证明,一般是指仅用图形而无须用文字解释就能不证自明的数学命题.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,O为斜边AB的中点,D为线段AB上异于端点的一个动点,设AD=a(a>0),BD=b(b>0),则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.
C.　　　D.a2+b2≥2
题组二　利用均值不等式比较大小
6.(2023江苏南京月考)已知a,b为互不相等的正实数,则下列四个数中最大的是(　　)
A.
7.已知a,b是互不相等的正实数,x=,则x,y的大小关系是　　　　.
8.(2023山东师范大学附属中学月考)某市一外贸公司第一年的产值增长率为a,第二年的产值增长率为b,这两年的平均产值增长率为x,则x与的大小关系是　　　　.
题组三　利用均值不等式求最值
9.(2024黑龙江哈尔滨期末)已知实数x>1,则2-x-的(　　)
A.最小值为1　 　B.最大值为1 C.最小值为-1　　　D.最大值为-1
10.(2024辽宁丹东期末)已知x>0,y>0,且4x+y=1,则的最小值为(　　)
A.5　　　B.4
11.(2024辽宁沈阳期末)若正实数a,b满足2a+b=6,则的最小值为(　　)
A.　　　C.2　　　D.4
12.(2023重庆西南大学附中月考)已知a>0,b>0,a+2b=1,则的最小值为(　　)
A.
13.(多选题)(2023河南安阳月考)已知正数x,y满足x+y=4,则下列说法不正确的是(　　)
A.的最小值是4
B.xy的最大值是4
C.x2+y2的最小值是8
D.x(y+1)的最大值是
14.(2024河北保定期中)已知x>1,y>0,且x+=2,则+y的最小值是　　　　.
题组四　利用均值不等式进行证明
15.已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>.
16.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)≥8;
(2)≥9.
题组五　利用均值不等式解决实际问题
17.(2023北京海淀月考)某社区要在办公楼外墙建一个面积为8 m2的矩形展示区,并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏(如图所示).要求上、下各空0.25 m,左、右各空0.25 m,相邻宣传栏之间也空0.25 m.设三个宣传栏的面积之和为S m2,则S的最大值为　　　.
18.(2024广东梅州三校月考)通过技术创新,某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2023年,该种玻璃售价为 25欧元/平方米,销售量为80万平方米.
(1)据市场调查,售价每提高1欧元/平方米,销售量将减少2万平方米,要使销售收入不低于2 000万欧元,则该种玻璃的售价最高为多少欧元/平方米
(2)为提高年销售量,增加市场份额,公司将在2024年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革:提高价格到m(m>25)欧元/平方米,其中投入(m2-600)万欧元作为技术创新费用,投入500万欧元作为固定宣传费用,投入2m万欧元作为浮动宣传费用,则该种玻璃的销售量n(单位:万平方米)至少达到多少时,才可能使2024年的销售收入不低于2023年销售收入与2024年投入之和 并求出此时的售价.
能力提升练
题组一　利用均值不等式求最值
1.(2023江苏扬州期中)已知x,y为正实数,则的最小值为(　　)
A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.8
2.(2023广东广州期末)已知0A.50　　　B.49　　　C.25　　　D.7
3.(2024辽宁大连期末)已知x,y为正实数,且x+y=1,则的最小值为(　　)
A.24　　　B.25　　　C.6+4-3
4.(多选题)(2024江苏盐城五校联盟期末)设a>0,b>0,已知M=,则下列说法正确的是(　　)
A.M有最小值　　　B.M没有最大值
C.N有最大值　　　D.N有最小值
5.(2023山东青岛二中期中)已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则(　　)
A.xy的最小值是1　　　
B.x+y的最小值是2
C.x+4y的最小值是3　　　
D.x+2y的最大值是4-3
6.(多选题)(2022湖北荆州月考)已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,当取最小值时,下列说法正确的是(　　)
A.a=2b
B.a+b+c的最小值为-
C.c=4b2
D.a+b-c的最大值为
7.(2024辽宁县级重点高中协作体期末)已知x>0,y>0,m>0,且(mx-y)=4,则m的最小值为　　　　.
8.(2024福建漳州期中)已知实数x,y满足x>2y>0,且x+y=1,则的最小值为　　　　.
9.(2023黑龙江大庆月考)已知关于x的不等式x2-2mx+m+2≤0(m∈R)的解集为M.
(1)当M为空集时,求实数m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求的最小值;
(3)当M不为空集,且M {x|1≤x≤4}时,求实数m的取值范围.
题组二　利用均值不等式进行证明
10.(2022广东深圳南山外国语学校月考)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ac≤;
(2)a2+b2+c2≥.
题组三　利用均值不等式解决实际问题
11.(2023吉林长春月考)如图,在半径为4的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD,其顶点A,B在直径上,顶点C,D在圆周上,则矩形ABCD面积的最大值为　　　　　　　　.
12.(2022福建福州外国语学校期中)如图,互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ,要求P在射线AM上,Q在射线AN上,且PQ过点C,其中AB=30 m,AD=20 m.记三角形花园APQ的面积为S m2.
(1)当DQ的长度是多少时,S取最小值 并求出S的最小值;
(2)要使S不小于1 600,则DQ的长度应在什么范围内
13.(2024广东广州九区期末)某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益,拟在下一年度开展促销活动,已知该款食品年销量x(吨)与年促销费用t(万元)之间满足函数关系式x=2-(k为常数),如果不开展促销活动,年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用,通过市场分析,若将每吨食品售价定为“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和,则当年生产的该款食品正好能销售完.
(1)求k的值;
(2)将下一年的利润y(万元)表示为促销费用t(万元)的函数;
(3)该食品企业下一年的促销费用投入多少万元时,该款食品的利润最大
(注:利润=销售收入-生产成本-促销费用,生产成本=固定费用+生产费用)
答案与分层梯度式解析
2.2.4　均值不等式及其应用
基础过关练
1.C 2.A 3.C 4.A 5.C 6.B 9.D 10.A
11.B 12.D 13.AD
1.C　当均为正数时,≥2,故只需a,b同号即可,则①③④均满足要求.故选C.
2.A　当a+b≤4时,∵a>0,b>0,∴2≤a+b≤4,∴ab≤4,充分性成立.当a>0,b>0,ab≤4时,令a=4,b=1,则a+b=5>4,因此必要性不成立.
综上所述,当a>0,b>0时,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故选A.
3.C　由题意得,a>0,b>0,则ab>0,所以 a+2b=1≥2,即04.A　A.易知x2≠0,∵x2>0,≥2,当且仅当x2=,即x2=时,等号成立,故A正确;
B.当a=1,b=1时,a2+b2<4ab,故B不正确;
C.当a>0,b>0时,,故C不正确;
D.当a<0时,a+≥4不成立,故D不正确.
5.C　由题意得AB=AD+BD=a+b,OC=OA=OB=(a+b),OD=|OB-BD|=(a+b)-b=,
当O与D不重合时,在Rt△OCD中,CD2=OD2+OC2=,当O与D重合,即a=b时,CD2=.
综上,CD=.
因为OC≤CD,所以(a+b)≤,当且仅当a=b时取等号,故选C.
6.B　解法一:因为a,b为互不相等的正实数,所以,故四个数中最大的是,故选B.
解法二:根据题意可令a=1,b=2,则,
所以四个数中最大的是,故选B.
7.答案　x解析　易得x2=.
∵a,b是互不相等的正实数,∴a+b>2,∴x2易知x>0,y>0,∴x8.答案　x≤
解析　由题意可得(1+x)2=(1+a)(1+b)≤,当且仅当a=b时,等号成立,所以1+x≤1+,即x≤.
9.D　2-x-≤1-2=1-2=-1,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.故2-x-的最大值为-1.故选D.
10.A　因为x>0,y>0,且4x+y=1,所以+1≥2+1=5,
当且仅当时,等号成立,故的最小值为5.故选A.
11.B　由2a+b=6,得=1,
因为a>0,b>0,所以,当且仅当,2a+b=6,即a=,b=3时取等号,
所以.故选B.
12.D　因为a>0,b>0,且a+2b=1,所以+3≥3+2,当且仅当时取等号,故选D.
13.AD　因为x>0,y>0,x+y=4,
所以=1,当且仅当,即x=y=2时等号成立,A中说法错误;
xy≤=4,当且仅当x=y=2时等号成立,B中说法正确;
x2+y2≥=8,当且仅当x=y=2时等号成立,C中说法正确;
x(y+1)≤,当且仅当x=y+1,即x=时等号成立,D中说法错误.
故选AD.
14.答案　9
解析　因为x+=2,所以x-1+=1,
则≥5+2=9,
当且仅当(x-1)y==2,即x=,y=6时,等号成立.所以+y的最小值是9.
15.证明　∵a>0,b>0,c>0,
∴a+b≥2(当且仅当a=b时等号成立),
b+c≥2(当且仅当b=c时等号成立),
c+a≥2(当且仅当a=c时等号成立),
∴2(a+b+c)≥2(),即a+b+c≥(当且仅当a=b=c时等号成立).
又∵a,b,c为不全相等的正实数,
∴a+b+c>.
16.证明　(1)∵a+b=1,
∴,
∵a>0,b>0,
∴≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立,
∴≥8.
(2)证法一:∵a+b=1,∴1+,
同理,1+,
又a>0,b>0,
∴≥5+4=9,当且仅当a=b=时等号成立,
∴≥9.
证法二:.
由(1)知,≥8,
故≥9,当且仅当a=b=时,等号成立.
17.答案　4.5
解析　设矩形展示区的长为x m,则宽为 m,
由题意得S=(x-0.25×4)≤8.5-2=4.5,当且仅当0.5x=,即x=4时,等号成立,所以S的最大值为4.5.
18.解析　(1)设该种玻璃的售价为x(x≥25)欧元/平方米,则其销售收入为[80-2(x-25)]x欧元,
令[80-2(x-25)]x≥2 000,即x2-65x+1 000≤0,解得25≤x≤40,
所以该种玻璃的售价最高为40欧元/平方米.
(2)由题意得mn≥25×80+500+2m+(m2-600),整理得mn≥1 500+2m+m2,
两边同除以m得n≥m+2,
又m+2≥2+2=102,当且仅当m,即m=30时取等号,所以n≥102.
故该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时,才可能使 2024年的销售收入不低于2023年销售收入与2024年投入之和,此时的售价为30欧元/平方米.
能力提升练
1.C 2.B 3.B 4.ABD 5.B 6.AD
1.C　令t=,则t>0,故-2≥2-2=6,当且仅当t+2=,即t=2时取等号,故选C.
2.B　∵00,∴≥25+2=49,当且仅当,即x=时取等号,∴的最小值为49,故选B.
3.B　因为x,y为正实数,且x+y=1,所以≥13+2=25,
当且仅当时,等号成立,所以的最小值为25.故选B.
4.ABD　因为a>0,b>0,所以M=≥2=2,当且仅当,即a=b时,等号成立,故A,B正确;
当a>0,b>0时,,即,所以N=,当且仅当a=b时,等号成立,故C错误,D正确.故选ABD.
5.B　因为x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,所以x+y=3-xy≥2,当且仅当x=y时取等号,解得00,所以00,所以等号取不到,故C错误;x+2y=-3≥2-3,当且仅当2(y+1)=,即y=-1时取等号,故D错误.故选B.
6.AD　由a2-ab+4b2-c=0可得c=a2-ab+4b2,
故-1≥2-1=3,当且仅当a=2b时等号成立,故A正确;
当a=2b时,c=a2-ab+4b2=4b2-2b2+4b2=6b2,故C错误;
当a=2b时,a+b+c=3b+6b2=6,当b=-时,a+b+c有最小值-,显然取不到,故B错误;
当a=2b时,a+b-c=3b-6b2=-6,当b=时,a+b-c有最大值,故D正确.故选AD.
7.答案　9
解析　由(mx-y)=4,得m-+1=4,即=m-3.
因为x>0,y>0,m>0,
所以m-3=≥2,
当且仅当,即y=x时,等号成立,
令t=>0,则t2-2t-3≥0,解得t≥3或t≤-1(舍去),即≥3,故m≥9,当且仅当y=3x时,等号成立,故m的最小值是9.
8.答案　
解析　因为x>2y>0,且x+y=1,
所以
=
=2+
≥,
当且仅当,且x+y=1,即x=时等号成立.
所以.
9.解析　(1)∵M为空集,∴Δ=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0,解得-1∴实数m的取值范围为{m|-1(2)由(1)知-1∴≥2=4,
当且仅当m+1=,即m=1时等号成立.
所以的最小值为4.
(3)由M不为空集,且M {x|1≤x≤4},
得解得2≤m≤.
故实数m的取值范围为.
10.证明　(1)因为a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”),b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取“=”),c2+a2≥2ca(当且仅当a=c时取“=”),
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca(当且仅当a=b=c时取“=”).
因为(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,
所以1≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca,
即ab+bc+ac≤.
(2)由(1)得2ab+2bc+2ac≤2(a2+b2+c2),
所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1≤a2+b2+c2+2(a2+b2+c2),即a2+b2+c2≥当且仅当a=b=c=时取“=”.
11.答案　16
解析　连接OC,设OB=x(0则BC=,AB=2OB=2x,
所以矩形ABCD的面积S=AB·BC=2x·≤x2+(16-x2)=16,当且仅当16-x2=x2,即x=2时等号成立,所以矩形ABCD面积的最大值为16.
12.解析　(1)设DQ=x m,则AQ=(x+20)m,
因为DC∥AB,所以△QDC∽△QAP,所以,即,即AP=,
则S=AP·AQ=×(x+20)
=15≥15=1 200,
当且仅当x=,即x=20时,等号成立.
所以当DQ的长度是20 m时,S取最小值,最小值为1 200.
(2)令S≥1 600,即15≥1 600,
则由x>0得3x2-200x+1 200≥0,所以x≥60或0即DQ的长度(单位:m)的取值范围是∪[60,+∞).
13.解析　(1)由题意可知,当t=0时,x=1,所以1=2-,解得k=2.
(2)由(1)知k=2,故x=2-,
则由题意可得该款食品的年生产成本为32x+3=万元,
故年销售收入为万元,
所以y=(t≥0).
(3)由(2)知y=-(t≥0),
因为-
≤-2=26.5,
当且仅当,即t=6时,等号成立.
所以该食品企业下一年的促销费用投入6万元时,该款食品的利润最大.
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