2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--3.1.1第1课时　函数的概念（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
第三章　函数
3.1　函数的概念与性质
3.1.1　函数及其表示方法
第1课时　函数的概念
基础过关练
题组一　函数的概念
1.(2024上海奉贤期末)以下图形中,不是函数图象的是(　　)
　　
　　
2.(2023北京第十五中学期中)下图中表示定义域、值域均为[0,1]的函数图象的是(　　)
A　　　B　　　C　　　D
3.(2024广东佛山期末)给定数集A=R,B=(0,+∞),x,y满足方程x2-y=0,下列对应关系f为函数的是(　　)
A.f:A→B,y=f(x)　　　B.f:B→A,y=f(x)
C.f:A→B,x=f(y)　　　D.f:B→A,x=f(y)
题组二　函数的定义域
4.(2024重庆期末)函数f(x)=的定义域为(　　)
A.[-1,4]　　　B.[-1,0)∪(0,4]
C.[-4,1]　　　D.[-4,0)∪(0,1]
5.(2023福建福州八县(市)一中教学联合体期中)已知函数f(x)的定义域为[-1,1],则y=的定义域为　　　　　.
6.(2024安徽蚌埠期末)函数y=f(x+2)的定义域为[0,2],则函数y=f(2x)的定义域为(　　)
A.[-4,0]　　　B.[-1,0]　　　C.[1,2]　　　D.[4,8]
7.(2022辽宁鞍山期末)记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=(a<1)的定义域为B.
(1)求A;
(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
题组三　函数相同(同一个函数)
8.(2024北京东城期末)下列函数中,与y=x-1是同一个函数的是(　　)
A.y=
C.y=-1
9.(多选题)(2023重庆育才中学期中)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A.f(x)=x2+4x+4和g(m)=(m+2)2
B.f(x)=和g(x)=
C.f(x)=和g(x)=x
D.f(x)=和g(x)=x2-1
题组四　函数的值(对f(x), f(a)的理解)
10.(2022福建厦门科技中学期中)若函数f(x)=3x-1,则f(f(1))的值为(　　)
A.2　　　B.4　　　C.5　　　D.14
11.(2024浙江温州期末)已知函数f(x)=,则f(f(16))=　　　　.
12.已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+ f(b),如果f(2)=p, f(3)=q,那么f(72)=　　　　.
13.已知函数f(x)=x2-x,若f()=2,则a的值是　　　　.
14.(2024广东揭阳期末)已知函数f(x)=.
(1)当x=2时,求f(x)的值;
(2)若f(a)=2a,求实数a的值.
题组五　函数的值域
15.(2023河南南阳六校月考)下列函数中,定义域是值域的真子集的是(　　)
A.y=2x+1　　　B.y=-x2-2x+5
C.y=-1
16.(2024广东珠海期末)函数y=的值域为　　　　.
17.(2023浙江温州月考)已知函数f(x)=,且f(2)=5, f(-1)=-1,则函数y=f(x),x∈[2,3]的值域是　　　　.
18.(2023海南海口期中)如果两个函数的对应关系相同,值域相同,但定义域不同,则称这两个函数为一组海中函数,请写出一组海中函数:f(x)=　 　　　　　　　　,g(x)=　　　　　　　　　.
19.求下列函数的值域.
(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};
(2)y=(x-1)2+1;
(3)y=;
(4)y=x-.
能力提升练
题组一　函数的概念
1.(多选题)(2022江苏苏州张家港期中)下列说法正确的是(　　)
A.f(x)=x2,g(t)=t2是同一个函数
B.f(x)=x-1, g(x)=-1是同一个函数
C.存在无数组函数f(x),g(x):定义域相同,值域相同,但对应关系不同
D.存在无数组函数f(x),g(x):值域相同,对应关系相同,但定义域不同
2.(多选题)下列对应关系f,能构成从集合M到集合N的函数的是(　　)
A.M=,N={-6,-3,1}, f=-6, f(1)=-3, f=1
B.M=N={x|x≥-1}, f(x)=2x+1
C.M=N={1,2,3}, f(x)=2x+1
D.M=Z,N={-1,1}, f(x)=
3.(多选题)(2024安徽六安期末)南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值,对于中国乃至世界是一个重大贡献,后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”,简称“祖率”.已知圆周率π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…,如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n),则下列说法正确的是(　　)
A.y=f(n),n∈N*是一个函数
B.当n=5时, f(n)=3.141 59
C.f(4)=f(8)
D.f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
题组二　函数的定义域和值域
4.(2023湖北荆州月考)若函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a+1)x+2的定义域和值域都是R,则a的值为(　　)
A.3或-1　　　B.3　　　C.-1　　　D.不确定
5.(2024山西大同期末)已知函数y=f(x)的定义域是[-8,1],则函数g(x)=的定义域是(　　)
A.(-∞,-2)∪(-2,3]　　　B.[-8,-2)∪(-2,1]
C.∪(-2,0]　　　D.
6.(2023吉林长春月考)已知函数y=x2-2x+2的值域是[1,2],则其定义域不可能是(　　)
A.[0,1]　　　B.[1,2]　　　C.　　　D.[-1,1]
7.若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是(　　)
A.[0,8)　　　B.(8,+∞)
C.(0,8)　　　D.(-∞,0)∪(8,+∞)
8.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.若函数f(x)的定义域为[-2,2],则函数f(2x-1)的定义域为
B.函数y=2x+
C.函数f(x)=x2-2x+4在[-2,0]上的值域为[4,12]
D.函数y=的值域为(-∞,2)∪(2,+∞)
9.(2024河南开封期末)已知函数f(x)=x-的值域为[0,+∞),则f(x)的定义域可以是　　　　.
10.(2023黑龙江齐齐哈尔第一中学期中)函数f(x)=2x+的值域为　　　　　　.
11.(2023天津和平月考)函数f(x)=的值域为　　　　.
12.(1)求函数f(x)=的值域;
(2)已知函数y=的定义域是R,求实数m的取值范围.
题组三　函数的值
13.设x,y∈R,双元函数f(x,y)满足:①f(x,x)=x;②f(kx,ky)=kf(x,y);③f(x1+x2,y1+y2)=f(x1,y1)+f(x2,y2);④f(x,y)=f,则f(1,3)的值为(　　)
A.1　　　B.2　　　C.
14.(2024内蒙古通辽期末)已知函数f(x)=(x≠0).
(1)分别计算f(2)+f, f(3)+f的值;
(2)你发现了什么规律 证明你发现的规律并利用规律计算f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)+f+…+f的值.
答案与分层梯度式解析
第三章　函数
3.1　函数的概念与性质
3.1.1　函数及其表示方法
第1课时　函数的概念
基础过关练
1.A 2.C 3.B 4.B 6.C 8.A 9.AD 10.C
15.C
1.A　根据函数的定义可知,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,A选项中存在一个自变量对应两个函数值,所以A不是函数图象.
2.C　对于A,函数的值域不是[0,1],故A不符合题意;对于B,函数的定义域不是[0,1],故B不符合题意;对于C,函数的定义域、值域均为[0,1],故C符合题意;
对于D,不满足函数的定义,不是函数的图象,故D不符合题意.
故选C.
3.B　对于A,当x=0时,y=x2=0,而0 B,故A不满足要求;
对于B, x∈(0,+∞),存在唯一确定的y∈R,使得y=x2,故B满足要求;
对于C,y∈R,x∈(0,+∞),当y=-1时,没有x与之对应,故C不满足要求;
对于D,y∈(0,+∞),x∈R,当y=1时,x2=1,解得x=±1,不满足唯一确定的x与其对应,故D不满足要求.
4.B　由题意得
解得-1≤x≤4,且x≠0,所以函数f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,4].
5.答案　[-2,-1)
解析　由题意得解得-2≤x<-1.
∴y=的定义域为[-2,-1).
6.C　因为函数y=f(x+2)的定义域为[0,2],所以x∈[0,2],则x+2∈[2,4],即函数y=f(x)的定义域为[2,4],令2≤2x≤4,解得1≤x≤2,所以函数y=f(2x)的定义域为[1,2].
7.解析　(1)由2-≥0,得≥0,解得x<-1或x≥1,∴A=(-∞,-1)∪[1,+∞).
(2)由(x-a-1)(2a-x)≥0,得(x-a-1)(x-2a)≤0,
∵a<1,∴a+1>2a,∴B=[2a,a+1].
由已知可得B A,∴2a≥1或a+1<-1,即a≥或a<-2,又a<1,∴≤a<1或a<-2,
故实数a的取值范围是(-∞,-2)∪.
8.A　函数y=x-1的定义域为R,
对于A,函数y=-1=x-1(x∈R),它与函数y=x-1的定义域和对应关系都相同,故它们是同一个函数,故A正确;
对于B,函数y==|x-1|(x∈R),它与函数y=x-1的对应关系不相同,故它们不是同一个函数,故B错误;
对于C,函数y=的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),两个函数定义域不同,故它们不是同一个函数,故C错误;
对于D,函数y=-1=|x|-1(x∈R),它与函数y=x-1的对应关系不相同,故它们不是同一个函数,故D错误.
9.AD　对于A, f(x)=x2+4x+4=(x+2)2和g(m)=(m+2)2的定义域都是R,对应关系相同,是同一个函数,故A正确;对于B, f(x)=的定义域为[3,+∞),g(x)=的定义域为(-∞,-3]∪[3,+∞),不是同一个函数,故B错误;对于C, f(x)=和g(x)=x的对应关系不同,不是同一个函数,故C错误;对于D, f(x)==x2-1和g(x)=x2-1的定义域都是R,对应关系相同,是同一个函数,故D正确.故选AD.
10.C　因为f(x)=3x-1,所以f(1)=2,所以f(f(1))=f(2)=5,故选C.
11.答案　2
解析　因为f(x)=,所以f(16)==4,所以f(f(16))=f(4)==2.
12.答案　3p+2q
解析　f(72)=f(36×2)=f(36)+ f(2)=f(6×6)+f(2)=2f(6)+ f(2)=2f(2×3)+f(2)=3f(2)+2f(3),∵f(2)=p, f(3)=q,∴f(72)=3p+2q.
13.答案　4
解析　f(=2,即(+1)=0,解得=2(负值舍去),即a=4.
易错警示　f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下,它是一个变量.
14.解析　(1)∵函数f(x)=,
∴当x=2时, f(2)==4.
(2)函数f(x)=的定义域为{x|x≠1},
因为f(a)=2a,所以f(a)==2a,
即a+2=2a(a-1),解得a=-或a=2.
15.C　对于A,y=2x+1的定义域和值域都是R,故A不符合题意;
对于B,y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6的定义域为R,值域为(-∞,6],值域是定义域的真子集,故B不符合题意;
对于C,y=的定义域为[1,+∞),值域为[0,+∞),[1,+∞) [0,+∞),故C符合题意;
对于D,y=-1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),故D不符合题意.
故选C.
16.答案　[0,4]
解析　由y=可得x(8-x)≥0,解得0≤x≤8,又x(8-x)≤=16,当且仅当x=8-x,即x=4时取等号,所以≤4,故函数y=的值域为[0,4].
17.答案　[3,5]
解析　由题意得f(2)==5, f(-1)==-1,所以a=3,b=-1,所以f(x)=.当2≤x≤3时,1≤x-1≤2,2≤≤4,所以3≤f(x)≤5.
18.答案　x2,x∈[0,1];x2,x∈[-1,1](答案不唯一)
19.解析　(1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3},f(-1)=[(-1)-1]2+1=5, f(0)=2,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,所以函数的值域为{1,2,5}.
(2)函数的定义域为R,因为(x-1)2+1≥1,所以函数的值域为{y|y≥1}.
(3)函数的定义域是{x|x≠1},y=,所以函数的值域为{y|y≠5}.
(4)函数的定义域是{x|x≥-1}.
设t=,则x=t2-1(t≥0),
于是y=t2-1-t=.
因为t≥0,所以y≥-,
所以原函数的值域是.
能力提升练
1.ACD 2.ABD 3.ACD 4.B 5.C 6.D 7.A 8.ABC
13.B
1.ACD　对于A,两个函数的定义域均为R,对应关系也相同,故是同一个函数,A正确;
对于B, f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠0},定义域不同,故不是同一个函数,B错误;
对于C,例如函数f(x)=|ax|,a≠0,g(x)=x2,两个函数的定义域都是R,值域都是[0,+∞),但是对应关系不同,所以C正确;
对于D,例如f(x)=|x|(x≥0),g(x)=|x|(x≤a,a>0),两个函数的值域都是[0,+∞),对应关系也相同,但是定义域不同,故D正确.故选ACD.
2.ABD　由函数的定义知,A正确;B中,任取x∈M,都有x≥-1,从而2x+1≥-1,因此集合M中的每一个元素在集合N中都有唯一的元素与之对应,故B正确;C中,取x=3∈M,则f(x)=2×3+1=7 N,故C不正确;D中,M=Z,N={-1,1},当x为奇数时, f(x)=-1,当x为偶数时, f(x)=1,满足函数的定义,故D正确.故选ABD.
3.ACD　对于A, n∈N*,均存在唯一的f(n)与之对应,符合函数的定义,所以y=f(n),n∈N*是一个函数,故A正确;对于B,C,易知f(4)=5, f(5)=9, f(8)=5,故B错误,C正确;对于D,由定义可知f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故D正确.故选ACD.
4.B　若a2-2a-3≠0,则f(x)是二次函数,当其定义域是R时,值域不可能是R,不符合题意.若a2-2a-3=0,则a=-1或a=3,当a=-1时, f(x)=2,是常数函数,定义域是R,值域是{2},不符合题意;当a=3时, f(x)=4x+2,其图象是一条直线,定义域和值域都是R,符合题意.故选B.
5.C　由题意得-8≤2x+1≤1,解得-≤x≤0,由x+2≠0,得x≠-2,故g(x)的定义域是∪(-2,0].
6.D　作出函数y=x2-2x+2的图象,如图,当y=1时,x=1,当y=2时,x=0或x=2.若函数的值域为[1,2],其定义域不可能为[-1,1],故选D.
7.A　∵函数f(x)的定义域为R,
∴不等式mx2-mx+2>0的解集为R.
当m=0时,不等式为2>0,恒成立,满足题意;
当m≠0时,则有解得0综上,实数m的取值范围是[0,8).故选A.
8.ABC　对于A,因为函数f(x)的定义域为[-2,2],所以对于函数f(2x-1),有-2≤2x-1≤2,解得-≤x≤,所以函数f(2x-1)的定义域为,A选项正确;
对于B,令t=,则t≥0,x=1-t2,故y=2(1-t2)+t=-2,所以函数y=2x+,B选项正确;
对于C,当x∈[-2,0]时, f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3∈[4,12],所以函数f(x)=x2-2x+4在[-2,0]上的值域为[4,12],C选项正确;
对于D,y=-1≠-1,所以函数y=的值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),D选项错误.
9.答案　[-1,0)∪[1,+∞)(答案不唯一)
解析　令x-≥0,解得-1≤x<0或x≥1,
则f(x)的定义域可以是[-1,0)∪[1,+∞).
10.答案　(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析　易知f(x)的定义域为{x|x≠0}.
当x>0时,f(x)=2x+≥2,当且仅当2x=,即x=时取等号;
当x<0时, f(x)=2x+≤-2,当且仅当-2x=-,即x=-时取等号.
∴f(x)=2x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
11.答案　
解析　f(x)=,因为x2-x+1=,所以0<≤-<0,所以≤2-<2,所以函数f(x)=.
12.解析　(1)f(x)=,
∵1+x2≥1,∴0<≤1,∴0<≤3,∴-1<-1+≤2,故函数f(x)=的值域为(-1,2].
(2)①当m=0时,y=,其定义域是R,满足题意.
②当m≠0时,由定义域为R可知,mx2-6mx+m+8≥0对一切实数x均成立,
所以解得0综上,实数m的取值范围是[0,1].
13.B　当x=1,y=3时,由②④可知, f(1,3)=ff(7,5),
由③可知f(7,5)=f(3+4,1+4)=f(3,1)+f(4,4),
由①可知f(4,4)=4,故f(7,5)=f(3,1)+4=ff(1,3),故f(7,5)=f(1,3)=3f(1,3),所以f(1,3)=2,故选B.
14.解析　(1)f(2)+f=1,
f(3)+f=1.
(2)规律: f(x)+f=1.
证明如下:由f(x)=,可得f(x)+f=1.
故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)+f+…+f+…++
2 023=.
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