2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--3.1.1第2课时　函数的表示方法（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
第2课时　函数的表示方法
基础过关练
题组一　函数的表示方法
1.观察下表:
x -3 -2 -1 1 2 3
f(x) 5 1 -1 -3 3 5
g(x) 1 4 2 3 -2 -4
则f (f(-1)-g(3))=(　　)
A.-4　　　B.-3　　　C.3　　　D.5
2.已知函数y=f(x)的对应关系如下表所示,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,则f(g(2))的值为(　　)
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A.3　　　B.0　　　C.1　　　D.2
3.(2024广东梅州期末)兔子和乌龟赛跑,刚开始,兔子在前面飞快地跑着,乌龟拼命地爬着,不一会儿,兔子就落了乌龟好长一段距离.兔子认为比赛太轻松了,就决定先睡一会儿,而乌龟呢,它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候,兔子才醒来,于是它赶紧去追,但结果还是乌龟赢了.下面“路程s—时间t”的图象中,与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是(　　)
　　
　　
题组二　分段函数
4.(2024海南海口期末)函数f(x)=x+的大致图象是(　　)
　　
　　
5.(2024陕西渭南期末)已知函数f(x)=
则f(f(-6))=(　　)
A.6　　　B.4　　　C.2　　　D.0
6.(2024广东广州期末)已知函数f(x)=若f(a)=5,则实数a的值为(　　)
A.-2或2　　　B.2或　　　C.-2或　　　D.2
7.(2023山东济宁期末)已知函数f(x)=则不等式x+(x+2)f(x+1)≤4的解集为(　　)
A.(-∞,1]　　　B.(-1,1)　　　C.(-1,1]　　　D.[-1,1]
8.(2024云南大理期末)已知f(x)=2x+3,g(x)=则函数y=f(x)·g(x)的值域为(　　)
A.(-∞,3)　　　B.(-∞,3] C.(3,+∞)　　　D.[3,+∞)
9.(2024云南昭通期末)已知函数f(x)=x2,g(x)=-x+2,x∈R.
(1)在给定坐标系里画出函数f(x),g(x)的图象;
(2) x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)},请分别用图象法和解析法表示函数m(x).
题组三　函数解析式的求法
10.已知f(x)是一次函数,且f(x-1)=3x-5,则f(x)的解析式为(　　)
A. f(x)=3x+2　　B. f(x)=3x-2
C. f(x)=2x+3　　D. f(x)=2x-3
11.(2024江西南昌期末)若函数f(x),g(x)满足f(x)-2f,且f(x)+g(x)=2x+6,则f(2)+g(-1)=(　　)
A.6　　　B.7　　　C.8　　　D.9
12.(2024广东珠海期末)已知f(,则函数f(x)=　　　　.
13.已知函数F(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且F=16,F(1)=8,则F(x)的解析式为　　　　　　　　.
14.(2023辽宁沈阳东北育才学校月考)已知f+1,则f(x)的值域为　　　　.
15.已知f(x)是二次函数,且满足f(2x+1)+f(2x-1)=16x2-4x+6,则f(x)=　　　　　　　　.
16.已知f(2x-1)=,则f(x)=　　　　　　　　.
17.(2023江西抚州临川一中期末)在①f(2x-3)=4x2-6x;②f(x)+2f(-x)=3x2-3x;③对任意实数x,y,均有f(x+y)=2f(y)+x2+2xy-y2+3x-3y这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并解答.
已知函数f(x)满足　　　　,求f(x)的解析式.
能力提升练
题组一　函数的表示方法
1.(2023福建龙岩上杭一中月考)若函数y=f(x)的值域是[-1,3],则函数g(x)=3-2f(x+1)的值域为(　　)
A.[-3,5]　　　B.[-1,7]　　　C.[-5,3]　　　D.[2,6]
2.(2023吉林长春德惠实验中学月考)函数f(x)=的图象如图所示,则f(x)≤m-2n的解集为(　　)
A.(-∞,-2) B.
C. D.(-1,1)
3.(2023安徽安庆一中期中)设函数f(x)满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(2 023)=(　　)
A.0　　　B.1　　　C.2 023　　　D.2 024
4.(2024上海奉贤期末)某车辆装配车间每2 h装配完成一辆车,按照计划,该车间今天生产8 h,从开始生产的时刻起经过的时间x(单位:h)与装配完成的车辆数y(单位:辆)之间的函数表达式正确的是([x]表示不大于x的最大整数)(　　)
A.y=,x∈[0,8]　　　B.y=,x∈[0,8]
C.y=x,x∈[0,8]　　　D.y=2[x],x∈[0,8]
5.(2024云南昆明期末)已知函数f(x)可用列表法表示如下,则f的值是　　　　.
x x≤1 1f(x) 1 2 3
题组二　函数解析式的求法
6.(多选题)(2022辽宁葫芦岛协作校月考)已知函数f(-3,则(　　)
A.f(1)=7
B.f(x)=2x2+5x
C.f(x)的最小值为-
D.f(x)的图象与x轴只有1个交点
7.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c∈R)满足f(x+1)-f(x)=4x+1,且f(0)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>6x+m恒成立,求实数m的取值范围.
题组三　分段函数
8.(2023北京海淀期末)已知f(x)=则不等式f(f(x))≤3的解集为(　　)
A.(-∞,-3]　　　B.[-3,+∞)
C.(-∞,,+∞)
9.(2024云南昆明期末)如图,△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线x=t(010.(2024广东汕尾期末)某市家庭用水的使用量x(m3)和水费f(x)(元)满足关系f(x)=已知某家庭2023年前四个月的水费如下表:
月份 用水量(m3) 水费(元)
一月 3.5 4
二月 4 4
三月 15 18
四月 20 25
若五月份该家庭使用了25 m3的水,则五月份的水费为(　　)
A.32元　　　B.33元　　　C.34元　　　D.35元
11.(多选题)(2023山东潍坊期中)波恩哈德·黎曼是德国著名的数学家,他提出了著名的黎曼函数,该函数的定义域为[0,1],解析式为R(x)=下列关于黎曼函数的说法正确的是(　　)
A.R(x)无最小值　　　B.R(x)的最大值为
C.R(x)=R(1-x)　　　 D.R(ab)≥R(a)R(b)
12.(2023江苏常州期中)已知函数f(x)=若t=0,则f(x)的值域是　　　　　;若f(x)的值域是,则实数t的取值范围是　　　　　.
13.已知f(x)=
(1)求f(0), f(f(-1))的值;
(2)若f(x)=2,求x的值;
(3)试画出函数y=f(x)的图象.
14.某市出租车的收费标准是3千米以内(含3千米),收起步价8元;3千米至8千米(含8千米),超出3千米的部分按1.5元/千米收取;8千米以上,超出8千米的部分按2元/千米收取.
(1)计算某乘客搭乘出租车行驶7千米应付的车费;
(2)试写出车费y(元)与打车里程x(千米)之间的函数解析式并画出函数图象;
(3)小陈周末外出,行程为10千米,他设计了两种方案.
方案一:分两段乘车,乘一辆车行驶5千米后下车换乘另一辆车再行驶5千米至目的地;
方案二:只乘一辆车至目的地.
试问:哪种方案更省钱 请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第2课时　函数的表示方法
基础过关练
1.D 2.D 3.B 4.C 5.C 6.D 7.A 8.A
10.B 11.C
1.D　由题中表格得f(-1)=-1,g(3)=-4, f(3)=5,
∴ f(f(-1)-g(3))=f(-1-(-4))=f(3)=5,
故选D.
2.D　由题图可知g(2)=1,由题表可知f(1)=2,
故f(g(2))=2.
故选D.
3.B　因为兔子睡了一会儿,所以它的路程有一段不发生变化.一开始,兔子快,乌龟慢,故排除选项C,D,最后乌龟赢了,即乌龟先到达终点,选项B符合.
4.C　f(x)=x+结合图形可知C符合题意.
5.C　因为f(x)=
所以f(f(-6))=f(f(-4))=f(f(-2))=f(f(0))=f(f(2))=f(22-3×2+4)=f(2)=22-3×2+4=2.
6.D　当a≥0时, f(a)=a2+1=5,解得a=2(负值舍去);当a<0时, f(a)=2a=5,解得a=,舍去.故实数a的值为2.
7.A　当x+1≤0,即x≤-1时,不等式可化为-2≤4,恒成立;当x+1>0,即x>-1时,不等式可化为2x+2≤4,解得x≤1,所以-1综上所述,不等式x+(x+2)f(x+1)≤4的解集为(-∞,1],故选A.
方法总结　分段函数问题的常见解法:
(1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要检验.
(3)在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
8.A　由题意得,y=f(x)·g(x)=其图象如图所示:
由图象知,函数y=f(x)·g(x)的值域为(-∞,3).
9.解析　(1)函数f(x),g(x)在给定坐标系中的图象如图所示.
(2)图象法:m(x)的图象如图所示.
解析法:函数m(x)=
10.B　由题意可设f(x)=kx+b(k≠0),则f(x-1)=k(x-1)+b=kx-k+b,
∵f(x-1)=3x-5,∴
因此, f(x)的解析式为f(x)=3x-2,故选B.
11.C　因为f(x)-2f①,所以f-4x②,联立①②,可得f(x)=,所以f(2)==-1,
因为f(x)+g(x)=2x+6,所以f(-1)+g(-1)=-2+6=4,则g(-1)=4+1=5,所以f(2)+g(-1)=8.
12.答案　x2-1(x∈[1,+∞))
解析　f(+1)2-1,所以f(x)=x2-1(x∈[1,+∞)).
13.答案　F(x)=3x+
解析　设f(x)=kx(k≠0),g(x)=(m≠0),则F(x)=kx+(k≠0,m≠0).由F=16,F(1)=8,得所以F(x)=3x+.
14.答案　(1,+∞)
解析　因为f+1,即f+2,且1+≠1,所以f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1(x≠1),所以f(x)的值域为(1,+∞).
15.答案　2x2-x+1
解析　设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(2x+1)+f(2x-1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c+a(2x-1)2+b(2x-1)+c
=8ax2+4bx+2a+2c=16x2-4x+6,所以所以f(x)=2x2-x+1.
16.答案　(x≥0)
解析　易得函数f(2x-1)的定义域为,
令t=2x-1,则x=,t≥0,故f(t)=(t≥0),所以f(x)=(x≥0).
17.解析　选①,令t=2x-3,则x=.
因为f(2x-3)=4x2-6x,
所以f(t)=4×=t2+6t+9-3t-9=t2+3t,即f(x)=x2+3x.
选②,因为f(x)+2f(-x)=3x2-3x,(i)
所以f(-x)+2f(x)=3(-x)2-3(-x)=3x2+3x.(ii)
由(i)(ii)可得f(x)=x2+3x.
选③,令x=y=0,则f(0)=2f(0),即f(0)=0.
令y=0,则f(x)=2f(0)+x2+3x=x2+3x,所以f(x)=x2+3x.
能力提升练
1.A 2.D 3.D 4.A 6.AD 8.C 9.A 10.A
11.BCD
1.A　∵y=f(x)的值域是[-1,3],∴y=f(x+1)的值域是[-1,3],即-1≤f(x+1)≤3,则-2≤2f(x+1)≤6,-6≤-2f(x+1)≤2,-3≤3-2f(x+1)≤5,故g(x)的值域是[-3,5],故选A.
2.D　由题图可知,函数的定义域为{x|x≠±1},则|x|-m≠0的解集为{x|x≠±1},故m=1,又f(0)==-1,所以n=1,则不等式f(x)≤m-2n即为f(x)≤-1,由题图可知, f(x)≤-1的解集为(-1,1),故选D.
3.D　因为f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2, f(0)=1,
所以当x=0时, f(1)=f(0)f(y)-f(y)+2=2,当y=0时, f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2=2,即f(x)=x+1,故f(2 023)=2 024,故选D.
4.A　因为车间每2 h装配完成一辆车,所以当x∈[0,2)时,y=0,x∈[2,4)时,y=1,x∈[4,6)时,y=2,x∈[6,8)时,y=3,x=8时,y=4,故A正确.
5.答案　1
解析　由题表得, f=2,所以f=1.
6.AD　令t=-1,则t≥-1,=t+1,x=(t+1)2,
所以f(t)=2(t+1)2+(t+1)-3=2t2+5t,t∈[-1,+∞),即f(x)=2x2+5x,x∈[-1,+∞),故B错误;f(1)=2×12+5×1=7,A正确;
作出函数f(x)=2x2+5x,x∈[-1,+∞)的图象,
由图可知, f(x)min=f(-1)=-3, f(x)的图象与x轴只有1个交点,故C错误,D正确.
7.解析　(1)由f(0)=3得c=3,∴f(x)=ax2+bx+3.
又∵f(x+1)-f(x)=4x+1,∴a(x+1)2+b(x+1)+3-(ax2+bx+3)=4x+1,即2ax+a+b=4x+1,
∴∴f(x)=2x2-x+3.
(2)f(x)>6x+m在[-1,1]上恒成立,等价于2x2-x+3>6x+m,即2x2-7x+3>m在[-1,1]上恒成立,
令g(x)=2x2-7x+3,x∈[-1,1],
则g(x)min=g(1)=-2,则m<-2.
故实数m的取值范围是(-∞,-2).
8.C　令t=f(x),则原不等式为f(t)≤3.当t≥0时,f(t)=-t2, f(t)<3恒成立;当t<0时, f(t)=t2+2t,由f(t)≤3,得-3≤t≤1,∴-3≤t<0.综上所述,满足f(t)≤3的t的取值范围是t≥-3.故原不等式的解集即为f(x)≥-3的解集,当x≥0时,由f(x)=-x2≥-3,得-≤x≤,∴0≤x≤;当x<0时,由f(x)=x2+2x≥-3,得x2+2x+3≥0,即(x+1)2+2≥0,恒成立.综上所述,原不等式的解集为(-∞,].
9.A　当0当1综上所述, f(t)=
故A中的图象满足题意.
10.A　已知f(x)=
结合题表可得m=4,
则f(15)=4+n(15-a)=18, f(20)=4+n(20-a)=25,所以n=,a=5.
所以f(x)=
所以f(25)=4+×(25-5)=32.
11.BCD　由题意可得,R(x)的值域为0,,…,故R(x)的最小值为0,最大值为,故A错误,B正确.易知当x=0或x=1或x是(0,1)上的无理数时,R(x)=R(1-x),当x=p,q是正整数,且是既约真分数时,R(x)=R,故R(x)=R(1-x),故C正确.设A=xx=,p,q为正整数,且是既约真分数,B={x|x=0或x=1或x是(0,1)上的无理数},则①当a∈A,b∈A时,R(ab)≥R(a)R(b);②当a∈B,b∈B时,R(ab)≥R(a)R(b);③当时,R(ab)≥R(a)R(b).综上可知,D正确.故选BCD.
12.答案　
解析　若t=0,则f(x)=
当x<0时, f(x)=∈(1,+∞);当0≤x≤2时, f(x)=x2-x+1=,根据二次函数的性质可知f(x)∈.综上, f(x)的值域是.
若f(x)的值域是,则解得t∈.
13.解析　(1)f(0)=2×0+1=1.
∵f(-1)=-2+3=1,∴f(f(-1))=f(1)=2+1=3.
(2)若x<0,则2x+3=2,可得x=-;
若x≥0,则2x2+1=2,可得x=或x=-(舍去).
综上所述,x的值为-.
(3)函数y=f(x)的图象如图所示.
14.解析　(1)由题意知,乘客搭乘出租车行驶7千米应付的车费为8+(7-3)×1.5=14(元).
(2)y=函数图象如下:
(3)方案二更省钱.理由如下:
方案一的费用为(1.5×5+3.5)×2=22(元).
方案二的费用为2×10-0.5=19.5(元).
∵19.5<22,∴方案二更省钱.
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