2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--3.1.3　函数的奇偶性（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
3.1.3　函数的奇偶性
基础过关练
题组一　函数的奇偶性
1.(2024辽宁大连期末)下列函数为偶函数的是(　　)
A.y=　　　B.y=x+1　　　C.y=x3　　　D.y=x2
2.(2024广东广州期末)下列函数是奇函数的是(　　)
A.f(x)=x2+1　　　B.f(x)=x3-1 C.f(x)=x3+　　　D.f(x)=x4+2x2
3.(2023浙江湖州期中)已知b,c∈R,则“b=0”是“函数f(x)=x2+bx+c为偶函数”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件　　　 D.既不充分也不必要条件
4.(多选题)下列结论不正确的是(　　)
A.f(x)=(x-1)是偶函数
B.f(x)=是奇函数
C.f(x)=是偶函数
D.f(x)=是非奇非偶函数
5.(2024广东珠海期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2,f(0)0.
(1)求f(-1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明.
题组二　奇函数、偶函数的图象特征
6.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)
A B C D
7.(2024河南郑州期末)函数y=的图象大致为(　　)
　　
8.(2024陕西西安期末)已知y=f(x-2)+1是定义在R上的奇函数,则(　　)
A.f(0)=0　　　B.f(2)=0 C.f(0)=-1　　　D.f(-2)=-1
9.已知偶函数y=f(x)的定义域为{x|x≠0,x∈R},且f(3)=0,其部分图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为　　　　.
10.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域都是[-3,3],且它们在[0,3]上的图象如图所示,则满足不等式<0的x的取值范围是　　　　　　　.
11.(2023江苏连云港期中)已知f(x)是R上的奇函数,当x<0时, f(x)=4x+x2,若f(x)在区间[-4,t]上的值域为[-4,4],则实数t的取值范围是　　　　　　　.
题组三　函数奇偶性的应用
12.(2023安徽十校联考期中)已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时, f(x)=x-,若f(2)+f(0)=1,则f(-1)=(　　)
A.1　　　B.-2　　　C.-1　　　D.2
13.已知函数f(x)=为奇函数,则f(a+b)=(　　)
A.-2　　　B.-1　　　C.1　　　D.2
14.(多选题)(2023山东淄博期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时, f(x)=-x2-2x,则(　　)
A.f(x)的最大值为1　　　
B.f(x)在区间(1,+∞)上单调递减
C.f(x)≥0的解集为[-2,2]　　　
D.当x>0时, f(x)=x2-2x
15.(2023陕西宝鸡期末)若函数f(x)=x4+bx3+ax2+2是定义在[1-3a,a]上的偶函数,则a+b=　　　　.
题组四　奇偶性与单调性的综合应用
16.(2024湖南长沙期末)定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则f(x)(　　)
A.在[0,1],[3,4]上单调递增
B.在[0,1]上单调递增,在[3,4]上单调递减
C.在[0,1]上单调递减,在[3,4]上单调递增
D.在[0,1],[3,4]上单调递减
17.(2024江西南昌期末)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,则不等式f(x+1)>f(2x)的解集为(　　)
A.
C.
18.(2024重庆北碚期末)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x-1)的图象关于(1,0)中心对称, f(x+2)是偶函数,且f(x)在[0,2]上是增函数,则(　　)
A.f(2)C.f(13)19.已知f(x)为奇函数,且当x<0时, f(x)=x2+3x+2.若x∈[1,3]时, f(x)的最大值为m,最小值为n,则m-n的值为　　　　.
20.(2023广东深圳期中)设函数f(x)=,且当x≠0时, f(x)+f=-1.
(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明;
(2)判断函数f(x)的单调性,并解关于x的不等式f(x)+f+1<0.
能力提升练
题组一　奇函数、偶函数的图象特征
1.(2024辽宁大连期末)函数f(x)=的图象大致为(　　)
题组二　函数奇偶性的应用
2.(2023安徽安庆一中期中)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+x,则f(1)+g(1)=(　　)
A.1　　　B.3　　　C.-3　　　D.-1
3.(2023广东云浮期末)已知f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数,且g(x)≠0,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)+g(x)为R上的奇函数
B.f(x)-g(x)为R上的奇函数
C.为R上的偶函数
D.|f(x)g(x)|为R上的偶函数
4.(多选题)(2024重庆八中期末)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且f(3)=,则下列说法正确的是(　　)
A.若对任意x,y∈R,总有f(xy)=yf(x)+xf(y),则f(x)是奇函数
B.若对任意x,y∈R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是偶函数
C.若对任意x,y∈R,总有f(xy)=yf(x)+xf(y),则f
D.若对任意x,y∈R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),则f
题组三　单调性与奇偶性的综合应用
5.(2024河南南阳期末)已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数, f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不等式(x+1)·f(x)≤0的解集为(　　)
A.{x|-1≤x<0}　　　B.{x|x>0}
C.{x|x<0或06.(多选题)(2023山东潍坊期中)已知函数f(x)=,则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于y轴对称
B.f(x)的单调递减区间为(2,+∞)
C.f(x)的值域为R
D.当x∈(-2,2)时, f(x)有最大值
7.(2023山东济宁兖州期中)已知函数f(x)=是定义域上的奇函数,且f(-1)=-2.
(1)求函数f(x)的解析式,判断函数f(x)在(0,1)上的单调性并证明;
(2)令h(x)=x2+-2tf(x)(t<0),若对任意x1,x2∈都有|h(x1)-h(x2)|≤,求实数t的取值范围.
答案与分层梯度式解析
3.1.3　函数的奇偶性
基础过关练
1.D 2.C 3.C 4.AD 6.B 7.C 8.D 12.A
13.C 14.ABC 16.B 17.D 18.C
1.D　对于A,y=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以该函数不是偶函数,故A不符合题意;
对于B,令f(x)=x+1,则f(1)=2, f(-1)=0, f(1)≠f(-1),所以该函数不是偶函数,故B不符合题意;
对于C,令f(x)=x3,则f(1)=1,f(-1)=-1, f(1)≠f(-1),所以该函数不是偶函数,故C不符合题意;
对于D,令f(x)=x2,其定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=(-x)2=x2=f(x),所以f(x)是偶函数,故D符合题意.
2.C　对于A,因为f(x)=x2+1的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=
(-x)2+1=x2+1=f(x),所以f(x)=x2+1为偶函数;
对于B,因为f(x)=x3-1的定义域为R,关于原点对称,但f(-x)=(-x)3-1=
-x3-1≠-f(x),所以f(x)=x3-1不是奇函数;
对于C,因为f(x)=x3+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且
f(-x)=(-x)3+=-f(x),所以f(x)=x3+为奇函数;
对于D,因为f(x)=x4+2x2的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=
(-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x),所以f(x)=x4+2x2为偶函数.
3.C　当b=0时, f(x)=x2+c,易知其定义域为R,关于原点对称, f(-x)=(-x)2+c=x2+c=f(x),故函数f(x)是偶函数,充分性成立;若函数f(x)=x2+bx+c为偶函数,则f(-x)=f(x),即(-x)2-bx+c=x2+bx+c,即2bx=0,所以b=0,必要性成立.故“b=0”是“函数f(x)=x2+bx+c为偶函数”的充要条件,故选C.
4.AD　对于A, f(x)的定义域为[-1,1),不关于原点对称,∴f(x)不是偶函数,∴该结论错误;
对于B, f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,设x>0,则-x<0, f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=-(-x2+x)=-f(x),同理可得x<0时,也有f(-x)=-f(x)成立,∴f(x)是奇函数,∴该结论正确;
对于C,易知f(x)的定义域为{x|x=±},关于原点对称,且f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数,∴该结论正确;
对于D,由得-1≤x<0或0∴f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,
∴f(x)=,
易得f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,∴该结论错误.
故选AD.
5.解析　(1)令x=y=0,得f(0)=[f(0)]2-2f(0)+2,则f(0)=1或f(0)=2.令x=y=1,得f(1)=[f(1)]2-2f(1)+2,则f(1)=1或f(1)=2.因为f(0)令x=y=-1,得f(1)=[f(-1)]2-2f(-1)+2,
即[f(-1)]2=2f(-1),
因为f(x)>0,所以f(-1)>0,所以f(-1)=2.
(2)f(x)为偶函数.
证明:令y=-1,得f(-x)=f(-1)f(x)-f(x)-f(-1)+2,即f(-x)=2f(x)-f(x)-2+2,即f(-x)=f(x),
又f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)为偶函数.
6.B　选项A中的图象既不关于原点对称,又不关于y轴对称,故其表示的函数不具有奇偶性;选项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.
7.C　令f(x)=,其定义域为R,
又f(-x)==-f(x),所以f(x)=为奇函数,其图象关于原点对称,故排除A,B.
当x=1时, f(1)==1,故排除D.故选C.
8.D　由题意知y=f(x-2)+1的图象关于(0,0)中心对称,将y=f(x-2)+1的图象向下平移1个单位,得y=f(x-2)的图象,其关于(0,-1)中心对称,再向左平移2个单位,得y=f(x)的图象,其关于(-2,-1)中心对称,所以f(-2)=-1.
9.答案　(-3,0)∪(0,3)
解析　利用偶函数的性质并结合已知条件,画出函数f(x)在其定义域上的大致图象,如图:
由图象可得不等式f(x)<0的解集为(-3,0)∪(0,3).
10.答案　(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3)
解析　由<0得
由
即-2由
即2故满足条件的x的取值范围是(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3).
11.答案　[2,2+2]
解析　当x>0时,-x<0,则f(-x)=-4x+x2,因为f(x)是R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=4x-x2,当x=0时,有f(0)=0,故f(x)的图象如图所示:
当-4≤x≤0时,-4≤f(x)≤0,当x>0时, f(x)=4x-x2=-(x-2)2+4, f(x)max=f(2)=4,令f(x)=4x-x2=-4,解得x=2+2(负值舍去).若函数f(x)在区间[-4,t]上的值域为[-4,4],则2≤t≤2+2.
12.A　因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,因为f(2)+f(0)=1,所以2-+0=1,故a=2,即当x>0时, f(x)=x-,所以f(-1)=-f(1)=-(1-2)=1,故选A.
13.C　当x>0时,-x<0,则f(-x)=-x2-bx,因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x2+bx,故ax2-2x=x2+bx,解得a=1,b=-2,经检验,当a=1,b=-2时, f(x)为奇函数,故f(a+b)=f(-1)=1.
14.ABC　当x>0时,-x<0,则f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2+2x,因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=-x2+2x,所以f(x)=D错误.
画出f(x)的图象如图所示:
由图可得, f(x)的最大值为1, f(x)在区间(1,+∞)上单调递减, f(x)≥0的解集为[-2,2],故A、B、C正确.故选ABC.
15.答案　
解析　∵f(x)是定义在[1-3a,a]上的偶函数,∴1-3a+a=0,解得a=,又f(-x)=f(x),∴x4-bx3+ax2+2=x4+bx3+ax2+2,即-bx3=bx3,解得b=0,所以a+b=.
方法总结
利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数:若奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],则根据定义域关于原点对称,得a+b=0,进而求解参数.
(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式求解.
16.B　因为f(x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以区间[0,1]与区间[1,2],区间[-2,-1]与区间[3,4]关于直线x=1对称,
由函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,可知函数f(x)在[0,1]上单调递增,
又函数f(x)是偶函数,所以函数f(x)在[-2,-1]上单调递增,所以函数f(x)在[3,4]上单调递减.
17.D　因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,
f(x+1)>f(2x)即f(|x+1|)>f(|2x|),则|x+1|>|2x|,故(x+1)2>(2x)2,解得-18.C　因为f(x-1)的图象关于(1,0)中心对称,所以f(x)的图象关于(0,0)中心对称,故f(x)是奇函数,即f(-x)=-f(x),因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),则f(x+4)=f(-x)=-f(x),
所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),
所以f(27)=f(3)=f(1), f(13)=f(5)=f(-1),
因为f(x)在[0,2]上是增函数且f(x)是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上是增函数,
所以f(-1)19.答案　
解析　当x>0时,-x<0,则f(-x)=x2-3x+2,又f(x)是奇函数,所以当x>0时, f(x)=-f(-x)=-x2+3x-2.
所以当x∈时,f(x)是增函数;当x∈时, f(x)是减函数.因此当x∈[1,3]时, f(x)max=f , f(x)min=f(3)=-2,所以m=,n=-2,从而m-n=.
20.解析　(1)f(x)是偶函数.证明如下:
f,
故f(x)+f=1-a=-1,所以a=2.
所以f(x)=.
易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)==f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)f(x)=,
易得f(x)在[0,+∞)上单调递减,
又因为f(x)是偶函数,
所以f(x)在(-∞,0]上单调递增.
由题意及f(x)+f+1<0,得f(x)所以|x|>|2x-1|,且x≠,解得所以原不等式的解集为.
能力提升练
1.A 2.D 3.D 4.ACD 5.C 6.AD
1.A　f(x)=的定义域为{x|x≠±1},关于原点对称,且f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D;易得f<0,故排除C.故选A.
2.D　由f(x)-g(x)=x3+x2+x,得f(-x)-g(-x)=-x3+x2-x,因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,所以f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x),则f(x)+g(x)=-x3+x2-x,令x=1,得f(1)+g(1)=-1+1-1=-1,故选D.
3.D　因为f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数,且g(x)≠0,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-[f(x)+g(x)],故f(x)+g(x)不是奇函数,A错误;同理可得, f(x)-g(x)不是奇函数,B错误;设F(x)=,则F(x)的定义域为R,关于原点对称,F(-x)==-F(x),所以F(x)为奇函数,C错误;设H(x)=|f(x)g(x)|,则H(x)的定义域为R,关于原点对称,H(-x)=|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|=H(x),所以H(x)为偶函数,D正确.故选D.
4.ACD　对于A,令x=y=0,得f(0)=0;令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0;令x=y=-1,得f(1)=-f(-1)-f(-1),所以f(-1)=0;令y=-1,得f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x).又f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)是奇函数,故A正确.
对于B,令x=y=0,得f(0)=0;令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x).又f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)是奇函数,故B错误.
对于C,由A中分析得f(-1)=0,令x=-,y=3,得f(-1)=3ff(3)=0,又f(3)=,所以f,故C正确.
对于D,由B中分析得f(0)=0,
令x=y=1,得f(2)=f(1)+f(1)=2f(1);
令x=2,y=1,得f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=,所以f(1)=;
令x=,得f;
令x=,得f(1)=f,所以f;
令x=,得f(0)=f=0,所以f,故D正确.
5.C　因为f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数, f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(-1)=0,
所以当-11时, f(x)>0.
对于不等式(x+1)f(x)≤0,
当x=-1时,不等式成立;
当x+1<0,即x<-1时,不等式等价于f(x)≥0,解得x<-1;
当x+1>0,即x>-1时,不等式等价于f(x)≤0,解得-1综上所述,不等式(x+1)f(x)≤0的解集为{x|x<0或06.AD　对于A,函数f(x)=的定义域为{x|x≠±2},关于原点对称,且f(-x)==f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确;对于B,当x∈(-∞,-2)∪(-2,0)时,f(x)=, f(x)在(-∞,-2),(-2,0)上单调递增,当x∈[0,2)∪(2,+∞)时, f(x)=, f(x)在[0,2),(2,+∞)上单调递减,所以f(x)的单调递减区间为[0,2)和(2,+∞),故B错误;对于C,易得f(x)≠0,故C错误;对于D,当x∈(-2,0)时, f(x)=-为增函数, f(x)7.解析　(1)∵f(-1)=-2,且f(x)是奇函数,
∴f(1)=2,∴
经检验a=1,b=0满足题意,
∴f(x)=.
函数f(x)在(0,1)上是减函数.证明如下:
任取x1,x2∈(0,1),且x1则f(x1)-f(x2)=x1+
=(x1-x2).
∵0∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,1)上是减函数.
(2)由题意知h(x)=x2+,令z=x+,x∈,则原函数可化为y=z2-2tz-2,
易知函数z=x+上单调递减,在[1,2]上单调递增,∴z∈,
函数y=z2-2tz-2的图象的对称轴方程为z=t,∵t<0,
∴函数y=z2-2tz-2在上单调递增,
当z=2时,ymin=-4t+2;当z=时,ymax=-5t+.
故h(x)min=-4t+2,h(x)max=-5t+,
∵对任意x1,x2∈都有|h(x1)-h(x2)|≤,
∴h(x)max-h(x)min≤,即-5t+-(-4t+2)≤,
解得t≥-.
又t<0,∴t的取值范围是.
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