2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--3.2第1课时　函数的零点（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
3.2　函数与方程、不等式之间的关系
第1课时　函数的零点
基础过关练
题组一　函数的零点
1.下列图象对应的函数中没有零点的是(　　)
2.已知x=-1是函数f(x)=+b(a≠0)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是(　　)
A.-1,1　　　B.0,-1　　　C.1,0　　　D.2,1
3.(2024江苏南通期末)若函数f(x)=ax2+4x-1在(-1,1)上恰有一个零点,则实数a的值可以为　　　　(写出一个即可).
4.函数f(x)=的零点个数是　　　　.
5.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=x2+x+2;
(3)f(x)=.
题组二　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
6.(2023重庆巴蜀中学期中)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则不等式<0的解集是(　　)
A.　　　B.{x|-3C.
7.(2024浙江温州期中)若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-3A.(3,0)和(-2,0)　　　B.(-3,0)和(2,0)
C.2和-3　　　D.-2和3
8.关于x的不等式x2-mx+1>0的解集为R,则实数m的取值范围是(　　)
A.{m|02}
C.{m|-2≤m≤2}　　　D.{m|-29.(2023上海师范大学附属中学期末)设a∈R,则“a≥0”是“关于x的不等式ax2+5x+a≥0有解”的(　　)
A.充分不必要条件　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　
D.既不充分也不必要条件
10.(2024广东清远期中)已知函数f(x)=ax2+bx+c的两个零点分别为-2,3,且f>0,则下列说法正确的序号为　　　　.
①a>0;②不等式ax+c>0的解集为{x|x<6};③a+b+c>0;④不等式cx2-bx+a<0的解集为.
题组三　函数零点的存在性及其应用
11.(2024江西景德镇期末)函数f(x)=x3+x-2的零点所在的区间是(　　)
A.(0,1)　　　B.(1,2)　　　C.(2,3)　　　D.(3,4)
12.(2024江苏宿迁期中)已知二次函数y=x2-6x+m的两个零点都在区间[2,+∞)内,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,9)　　　B.(8,9)
C.[8,9)　　　D.(8,+∞)
13.(多选题)(2023江苏扬州期中)已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,若f(a)f(b)<0,则在区间[a,b]上(　　)
A.方程f(x)=0没有实数根
B.若函数f(x)单调,则f(x)=0必有唯一的实数根
C.方程f(x)=0至多有一个实数根
D.若函数f(x)不单调,则f(x)=0至少有一个实数根
14.(2023辽宁鞍山期中)函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上的零点(　　)
A.至多有一个　　　B.有1个或2个
C.有且仅有一个　　　D.一个也没有
15.(2023浙江宁波九校期末)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有2个零点,则实数k的取值范围是(　　)
A.(0,+∞)　　　B.(0,+∞)∪{-1}
C.[0,+∞)　　　D.(-1,+∞)
16.(2023北京二中月考)若函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是　　　　　　　　　　　.
17.(2024广东佛山期中)已知函数f(x)=
(1)若a=0,作出函数f(x)的图象并求f(x)的单调递减区间;
(2)讨论关于x的方程f(x)=0的解的个数.
18.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两个实数根,其中一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(1,2)内,求m的取值范围;
(2)若方程有两个不相等的实数根,且均在区间(0,1)内,求m的取值范围.
能力提升练
题组一　函数的零点
1.(2023吉林长春期中)已知“不小于x的最小的整数”所确定的函数通常记为f(x)=,例如:<1.2>=2,则方程=的正实数根有(　　)
A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.无数个
2.(2024重庆渝北期中)定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象分别如图①,图②所示.给出下列四个命题,其中正确的命题是(　　)
　
A.方程f(g(x))=0有且仅有三个解
B.方程g(f(x))=0有且仅有三个解
C.方程f(f(x))=0有且仅有九个解
D.方程g(g(x))=0有且仅有九个解
题组二　函数零点的存在性及其应用
3.(2024山东日照期中)已知函数f(x)的图象在区间[1,3]上连续不断,则“f(1)+f(2)+f(3)=0”是“f(x)在[1,3]上存在零点”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.(2024福建南平期中)已知f(x)的定义域为R,且f(x+1)是奇函数,当x>1时, f(x)=函数g(x)=k(x-1),k>0,则方程f(x)=g(x)的所有根之和为(　　)
A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6
5.(多选题)(2023江苏南京六校联合体期中)已知函数f(x)是偶函数,且当x≥0时, f(x)=关于x的方程f(x)-m=0的根,下列说法正确的有(　　)
A.当m=0时,方程有4个不等实根
B.当0C.当m=1时,方程有4个不等实根
D.当m>1时,方程有6个不等实根
6.(2023四川泸州泸县四中开学考试)已知关于x的函数f(x)=bx2-2bx+|x-1|+b2+b-4有唯一零点x=a,则a+b=(　　)
A.-1　　　B.3　　　C.-1或3　　　D.4
7.(2024山东淄博实验中学期中)写出一个同时具有下列性质①②③的函数:f(x)=　　　　.
①定义域为R,值域为[-1,+∞);②f(x)在定义域内是偶函数;③f(x)有3个零点.
8.已知函数f(x)=x2-x+-2(x>0).
(1)用定义证明f(x)在(0,1)上单调递减;
(2)证明f(x)存在两个零点a,b,且a+b>2.
答案与分层梯度式解析
3.2　函数与方程、不等式之间的关系
第1课时　函数的零点
基础过关练
1.A 2.C 6.D 7.D 8.D 9.A 11.B 12.C
13.BD 14.C 15.A
1.A　选项B,C,D中的图象均与x轴有交点,故其对应的函数均有零点;选项A中的图象与x轴没有交点,故其对应的函数没有零点.故选A.
2.C　因为x=-1是函数f(x)=+b(a≠0)的一个零点,所以-a+b=0,所以a=b,所以g(x)=ax2-bx=ax2-ax=ax(x-1)(a≠0),令g(x)=0,得x=0或x=1.故选C.
3.答案　0(答案不唯一)
解析　当a=0时,f(x)=4x-1,令4x-1=0,得x=.
因为∈(-1,1),所以a=0符合题意.
4.答案　2
解析　当x≤0时,令x2-2=0,解得x=-(正值舍去),所以f(x)在(-∞,0]上有且仅有一个零点.
当x>0时,令2x-6-=0,得=0,即2x2-6x-1=0,解得x=(负值舍去),
所以f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点.
综上所述,函数f(x)的零点个数为2.
5.解析　(1)f(x)=-8x2+7x+1=-(8x+1)(x-1),
令f(x)=0,解得x=-或x=1,
所以函数f(x)存在零点,零点为-和1.
(2)令x2+x+2=0,因为Δ=12-4×1×2=-7<0,
所以方程无实数根,所以f(x)=x2+x+2不存在零点.
(3)f(x)=,
令=0,解得x=-6,所以函数f(x)存在零点,零点为-6.
6.D　由题中二次函数的图象可得,a>0,且1和2是方程ax2+bx+c=0的两个根,所以<0等价于<0,解得-7.D　解析　因为不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-3由根与系数的关系得
故函数y=ax2+x-c=-x2+x+6=-(x+2)(x-3),
其图象与x轴的交点坐标为(3,0)和(-2,0),
所以函数y=ax2+x-c的零点为-2和3.
8.D　∵不等式x2-mx+1>0的解集为R,
∴函数y=x2-mx+1的图象恒在x轴上方,
∴方程x2-mx+1=0无实数解,∴Δ<0,即(-m)2-4<0,解得-2故选D.
9.A　对于不等式ax2+5x+a≥0,①当a=0时,不等式为5x≥0,∴x≥0,不等式有解;②当a>0时,ax2+5x+a≥0一定有解;③当a<0时,若ax2+5x+a≥0有解,则Δ=25-4a2≥0,∴-≤a<0.综上,当且仅当a≥-时,不等式ax2+5x+a≥0有解.
∵[0,+∞) ,∴“a≥0”是“关于x的不等式ax2+5x+a≥0有解”的充分不必要条件,故选A.
10.答案　②③④
解析　由题意得,-2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,
所以
对于①,由f>0及二次函数的性质,可得a<0,故①错误;
对于②,不等式ax+c>0可化为x-6<0,解得x<6,故②正确;
对于③,a+b+c=a-a-6a=-6a>0,故③正确;
对于④,不等式cx2-bx+a<0可化为6x2-x-1<0,解得-,故④正确.
11.B　易知f(x)为R上的增函数,因为f(0)=-2<0, f(1)=-<0, f(2)=>0, f(3)=10>0, f(4)=>0,所以f(1)·f(2)<0,根据函数零点存在定理可得, f(x)的零点在区间(1,2)上.
12.C　设f(x)=x2-6x+m,
因为二次函数y=x2-6x+m的两个零点都在区间[2,+∞)内,
所以解得8≤m<9.
故实数m的取值范围是[8,9).
13.BD　由函数零点存在定理,知函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点,所以若函数f(x)不单调,则f(x)=0至少有一个实数根;若函数f(x)单调,则函数f(x)有唯一的零点,即f(x)=0必有唯一的实数根,故选BD.
14.C　若a=0,则f(x)=bx+c,是一次函数,由f(1)>0, f(2)<0,得f(1)f(2)<0,则f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.
若a≠0,则f(x)=ax2+bx+c是二次函数,由f(1)>0,f(2)<0,得f(1)f(2)<0,
则f(x)在(1,2)上必有零点.
若f(x)在(1,2)上有两个零点,
则必有f(1)f(2)>0,与已知矛盾,
故f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.
综上所述,f(x)在(1,2)上的零点有且仅有一个.
15.A　作出y=f(x)的大致图象,如图所示:
若g(x)=f(x)-k有2个零点,则f(x)=k有两个不相等的实数根,即直线y=k与函数y=f(x)的图象有两个交点,由图可知,k>0.故选A.
16.答案　a>或a<-1
解析　当a=0时,f(x)=1,f(x)在(-1,1)上不存在零点,不满足题意,故a≠0,易知f(x)在(-1,1)上单调,且其图象连续不断,若f(x)在(-1,1)上存在一个零点,则f(-1)·f(1)<0,即(-3a+1-2a)(3a+1-2a)<0,解得a<-1或a>.
17.解析　(1)当a=0时, f(x)=则f(x)的图象如图所示,
由图象可知, f(x)的单调递减区间为(-1,1).
(2)当x=0时, f(x)=0,∴x=0是方程f(x)=0的一个解;
由f(x)=0(x≠0)得a=
令g(x)=则方程f(x)=0(x≠0)的解的个数即为g(x)的图象与直线y=a的交点个数,
作出g(x)的图象如图所示,
由图可知,当a∈(-∞,0]∪{1}时,g(x)的图象与直线y=a有两个交点;
当a∈(0,1)时,g(x)的图象与直线y=a有四个交点;
当a∈(1,+∞)时,g(x)的图象与直线y=a无交点.
综上所述,当a∈(-∞,0]∪{1}时,方程f(x)=0有三个解;当a∈(0,1)时,方程f(x)=0有五个解;当a∈(1,+∞)时,方程f(x)=0有且仅有一个解.
18.解析　令f(x)=x2+2mx+2m+1.
(1)依题意画出函数f(x)的大致图象,如图所示,
由图象得解得-,
故m的取值范围是.
(2)根据题意画出函数f(x)的大致图象,如图所示,
由图象得
解得-,
故m的取值范围是.
能力提升练
1.B 2.A 3.A 4.C 5.BC 6.B
1.B　在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=与y=的图象,如图所示.
两函数图象在(0,+∞)上仅有两个交点,故方程=的正实数根有2个,故选B.
2.A　由题图①可得f(x)有三个零点,设为x1,x2,x3,且x1由题图②可得g(x)有且仅有一个零点,设为x4,则x4∈(0,a).
对于A, f(g(x))=0即g(x)=x1,x2或x3,由题图②可知g(x)∈[-a,a],且g(x)单调递减,g(x)=x1,g(x)=x2,g(x)=x3分别有一解,∴方程f(g(x))=0有且仅有三个解,A正确.对于B,g(f(x))=0即f(x)=x4,由题图①知, f(x)=x4有且仅有两个解,B不正确.
对于C, f(f(x))=0即f(x)=x1,x2或x3,由题图①知, f(x)=x1和f(x)=x2分别有三个解, f(x)=x3仅有一个解,所以共有七个解,故C不正确.
对于D,g(g(x))=0即g(x)=x4,由题图②知,g(x)=x4仅有一个解,故D不正确.
3.A　若f(1), f(2), f(3)三个值中存在0,则f(x)在[1,3]上显然存在零点,
若f(1), f(2), f(3)三个值均不为0,不妨设f(1)≥f(2)≥f(3),因为f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)>0, f(3)<0,则f(1)f(3)<0,根据函数零点存在定理可知f(x)在[1,3]上存在零点,所以充分性成立;
当f(x)在[1,3]上存在零点时,不一定能得到f(1)+f(2)+f(3)=0,例如f(x)=(x-2)2,此时f(x)的零点为2,但f(1)+f(2)+f(3)=2≠0,所以必要性不成立.
综上可得,“f(1)+f(2)+f(3)=0”是“f(x)在[1,3]上存在零点”的充分不必要条件.
4.C　因为f(x+1)是奇函数,所以f(x+1)的图象关于原点对称,
则f(x)的图象关于(1,0)对称,且f(1)=0.
因为函数g(x)=k(x-1),k>0,
所以g(x)的图象关于(1,0)对称.
方程f(x)=g(x)的所有根之和即为两个函数图象交点的横坐标之和,
画出f(x)和g(x)的大致图象,如图所示:
由图可知, f(x)和g(x)的图象有5个交点,其中一个交点的横坐标为1,另外四个,两两关于点(1,0)对称,所以5个交点的横坐标之和为2×2+1=5.
5.BC　当0≤x≤4时,f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4∈[0,4],当x>4时,f(x)=∈(0,1),结合函数f(x)为偶函数,作出函数f(x)的大致图象如图所示,
由图可知,当m=0时,y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点,即方程f(x)-m=0有3个不等实根,A错误;当04时,y=f(x)的图象和直线y=m没有交点,即方程f(x)-m=0没有实根,D错误.故选BC.
6.B　f(x)=bx2-2bx+|x-1|+b2+b-4=b(x-1)2+|x-1|+b2-4,
令t=x-1,则g(t)=bt2+|t|+b2-4,
易得g(t)是偶函数,若g(t)只有一个零点,则该零点为0,即g(0)=0,解得b=±2.
当b=-2时,易得g(t)有3个零点,不符合题意,舍去;
当b=2时,易得g(t)有且仅有1个零点,符合题意,则a-1=0,即a=1,故a+b=3.
7.答案　x2-2|x|(答案不唯一)
解析　根据题意,取函数f(x)=x2-2|x|.
函数f(x)=x2-2|x|=(|x|-1)2-1的定义域为R,值域为[-1,+∞),符合①;
因为f(-x)=x2-2|x|=f(x),定义域关于原点对称,所以函数f(x)为偶函数,符合②;
令f(x)=x2-2|x|=0,解得x=0或x=±2,所以f(x)有3个零点,符合③.
8.证明　(1) x1,x2∈(0,1),且x1则f(x1)-f(x2)=
=
=(x1+x2)(x1-x2)+(x2-x1)+
=(x2-x1),
因为x1,x2∈(0,1),且x1所以x1+x2∈(0,2),x2-x1>0,x1x2∈(0,1),>1,
所以1+-(x2+x1)>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,1)上单调递减.
(2)由(1)可知f(x)在(0,1)上单调递减.
x3,x4∈(1,+∞),且x3则f(x3)-f(x4)=(x4-x3)1+-(x3+x4),
易得x4-x3>0,x3x4∈(1,+∞),∈(0,1),x3+x4∈(2,+∞),故1+-(x3+x4)<0,
所以f(x3)-f(x4)<0,所以f(x3)所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.
∵f,f(x)在(0,+∞)上的图象连续不断,
∴根据函数零点存在定理可得函数f(x)在上各有一个零点,即f(x)存在两个零点a,b,
不妨设a2.
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