2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--3.2第2课时 二分法（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--3.2第2课时 二分法（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 346.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-19 21:22:15 | ||
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文档简介
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2025人教B版高中数学必修第一册
第2课时 二分法
基础过关练
题组一 二分法的概念及适用条件
1.下面关于二分法的叙述正确的是( )
A.用二分法可求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任意一位
C.二分法无规律可循
D.只有求函数零点时才用二分法
2.(2024江西景德镇检测)下列图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点近似值的是( )
3.(2023湖南岳阳一中月考)若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0, f(a)f >0,则( )
A.f(x)在上有零点
B.f(x)在上有零点
C.f(x)在上无零点
D.f(x)在上无零点
4.用二分法研究f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0, f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈ ,则第二次计算 ,横线上应填的内容分别是( )
A.(0,0.5), f(0.25)
B.(0,1), f(0.25)
C.(0.5,1), f(0.75)
D.(0,0.5), f(0.125)
题组二 用二分法求函数零点的近似值
5.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是( )
A.|a-b|<0.2
B.|a-b|≤0.002
C.|a-b|≥0.002
D.|a-b|=0.002
6.(2024湖南株洲期末)已知函数f(x)=x3-3x-1,现用二分法求函数f(x)在(1,3)内的零点的近似值,则使用两次二分法后,零点所在区间为( )
A.
7.已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个长度较小的区间内.
能力提升练
题组 二分法的应用
1.(多选题)下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是( )
A.y=
C.y=x2+4x+8 D.y=|x|
2.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在(0,4),(0,2),(1,2),内,则与f(0)符号不同的是( )
A. f(4) B. f(2)
C. f(1) D. f
3.(2024上海徐汇期末)函数y=-x2+1的零点x0∈(1,2),对区间(1,2)利用一次“二分法”,可确定x0所在的区间为 .
4.(2024江苏镇江期末)若用二分法计算函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点的近似值,零点附近的函数值的参考数据如下:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈ -0.260 f(1.437 5)≈ 0.162 f(1.406 25)≈ -0.054
则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)可以是 .
5.已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)-g(x)=-x-3,f(x)的图象是一条连续不断的曲线,根据所给数表,判断f(x)的一个零点所在的区间为(n,n+1)(n∈N),则n= .
x -1 0 1 2 3
g(x) 0.37 1 2.72 7.39 20.39
6.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,应用二分法,最多称几次就可以发现这枚假币
7.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,且满足a+b+c=0, f(0)>0, f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程 f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.
答案与分层梯度式解析
第2课时 二分法
基础过关练
1.B 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B
1.B 只有函数的图象在零点附近是连续不断的且在该零点左右函数值异号,才可以用二分法求函数零点的近似值,故A错;二分法有规律可循,可以通过计算机来进行,故C错;求方程的近似解也可以用二分法,故D错.故选B.
2.C
3.B 由f(a)f(b)<0, f(a)f>0可知f·f(b)<0,根据函数零点存在定理可知f(x)在上有零点.故选B.
4.A f(x)=x2+3x-1的图象在(0,0.5)上连续并且f(0)<0,f(0.5)>0,故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5).根据二分法思想可知第二次应计算f(0.25).故选A.
5.B 根据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于或等于精确度的2倍时,便可结束计算,故选B.
6.B 由已知得, f(1)=13-3×1-1=-3<0, f(3)=33-3×3-1=17>0.由二分法可知,第一次计算f(2),由f(2)=23-3×2-1=1>0,得零点所在区间为(1,2);第二次计算f,由f<0,得零点所在的区间为.故选B.
7.解析 (1)证明:易知f(x)的图象是一条连续不断的曲线.
∵f(0)=1>0,f(2)=-<0,∴f(0)f(2)<0,
∴由函数零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)取区间[0,2]的中点1,则f(1)=>0,
∵f(1)f(2)<0,∴方程f(x)=0的实数解在区间(1,2)内,
取区间(1,2)的中点,则f<0,
∵f(1)f<0,∴方程f(x)=0的实数解在区间内,
取区间,则f>0,
∵f<0,∴方程f(x)=0的实数解在区间内.
故f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在区间内.
能力提升练
1.CD 选项A,B对应的函数图象分别如图①,图②,易知可用二分法求零点的近似值.
对于选项C,y=(x+4)2≥0,故不能用二分法求零点的近似值.对于选项D,y=|x|≥0,故不能用二分法求零点的近似值.故选CD.
2.ABD 由二分法的步骤可知:
①零点在(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0, f(4)<0,取中点2;
②零点在(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0, f(2)<0,取中点1;
③零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0, f(2)<0,取中点;
④零点在内,则有f(1)·f<0,则f(1)>0, f<0,取中点;
⑤零点在内,则有f·f<0,则f>0, f<0.
所以与f(0)符号不同的是f(4), f(2),f,故选ABD.
3.答案
解析 设f(x)=-x2+1,则f(1)=3-1+1=3>0, f(2)=<0,
取区间(1,2)的中点,因为f>0,所以可确定x0所在的区间为.
4.答案 1.406 25
解析 因为f(1)<0, f(1.5)>0,所以f(1)f(1.5)<0,所以函数在(1,1.5)内有零点,因为1.5-1=0.5>0.05×2,所以不满足精确度为0.05;
因为f(1.25)<0,所以f(1.25)f(1.5)<0,所以函数在(1.25,1.5)内有零点,因为1.5-1.25=0.25>0.05×2,所以不满足精确度为0.05;
因为f(1.375)<0,所以f(1.375)f(1.5)<0,所以函数在(1.375,1.5)内有零点,因为1.5-1.375=0.125>0.05×2,所以不满足精确度为0.05;
因为f(1.437 5)>0,所以f(1.375)f(1.437 5)<0,所以函数在(1.375,1.437 5)内有零点,因为1.437 5-1.375=0.062 5<0.05×2,满足精确度为0.05,所以方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)为=1.406 25.
5.答案 1
解析 由题表可知,f(1)=g(1)-1-3=2.72-4=-1.28,f(2)=g(2)-2-3=7.39-5=2.39,所以f(1)f(2)<0.所以f(x)的一个零点所在的区间为(1,2),因此n=1.
6.解析 将26枚金币平均分成两份,放在天平上,则假币一定在质量小的那13枚金币里面.从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,放在天平上,若天平平衡,则拿出的那一枚一定是假币;若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面.将这6枚金币平均分成两份,放在天平上,则假币一定在质量小的那3枚金币里面.从这3枚金币中任意拿出2枚放在天平上,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币;若不平衡,则质量小的那一枚是假币.
综上,最多称4次就可以发现这枚假币.
方法总结 二分法的思想在实际生活中应用广泛.二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查等,还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.二分法的应用主要是为了降低成本,提高效率.
7.证明 ∵f(1)>0,∴3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.
∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,
则-b-c>c,即a>c.
∵f(0)>0,∴c>0,∴a>0.
取区间[0,1]的中点,
则fa<0.
∵f(0)>0, f(1)>0,
∴函数f(x)在区间内各有一个零点.
又f(x)为二次函数,最多有两个零点,
∴方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.
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第2课时 二分法
基础过关练
题组一 二分法的概念及适用条件
1.下面关于二分法的叙述正确的是( )
A.用二分法可求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任意一位
C.二分法无规律可循
D.只有求函数零点时才用二分法
2.(2024江西景德镇检测)下列图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点近似值的是( )
3.(2023湖南岳阳一中月考)若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0, f(a)f >0,则( )
A.f(x)在上有零点
B.f(x)在上有零点
C.f(x)在上无零点
D.f(x)在上无零点
4.用二分法研究f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0, f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈ ,则第二次计算 ,横线上应填的内容分别是( )
A.(0,0.5), f(0.25)
B.(0,1), f(0.25)
C.(0.5,1), f(0.75)
D.(0,0.5), f(0.125)
题组二 用二分法求函数零点的近似值
5.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是( )
A.|a-b|<0.2
B.|a-b|≤0.002
C.|a-b|≥0.002
D.|a-b|=0.002
6.(2024湖南株洲期末)已知函数f(x)=x3-3x-1,现用二分法求函数f(x)在(1,3)内的零点的近似值,则使用两次二分法后,零点所在区间为( )
A.
7.已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个长度较小的区间内.
能力提升练
题组 二分法的应用
1.(多选题)下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是( )
A.y=
C.y=x2+4x+8 D.y=|x|
2.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在(0,4),(0,2),(1,2),内,则与f(0)符号不同的是( )
A. f(4) B. f(2)
C. f(1) D. f
3.(2024上海徐汇期末)函数y=-x2+1的零点x0∈(1,2),对区间(1,2)利用一次“二分法”,可确定x0所在的区间为 .
4.(2024江苏镇江期末)若用二分法计算函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点的近似值,零点附近的函数值的参考数据如下:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈ -0.260 f(1.437 5)≈ 0.162 f(1.406 25)≈ -0.054
则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)可以是 .
5.已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)-g(x)=-x-3,f(x)的图象是一条连续不断的曲线,根据所给数表,判断f(x)的一个零点所在的区间为(n,n+1)(n∈N),则n= .
x -1 0 1 2 3
g(x) 0.37 1 2.72 7.39 20.39
6.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,应用二分法,最多称几次就可以发现这枚假币
7.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,且满足a+b+c=0, f(0)>0, f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程 f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.
答案与分层梯度式解析
第2课时 二分法
基础过关练
1.B 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B
1.B 只有函数的图象在零点附近是连续不断的且在该零点左右函数值异号,才可以用二分法求函数零点的近似值,故A错;二分法有规律可循,可以通过计算机来进行,故C错;求方程的近似解也可以用二分法,故D错.故选B.
2.C
3.B 由f(a)f(b)<0, f(a)f>0可知f·f(b)<0,根据函数零点存在定理可知f(x)在上有零点.故选B.
4.A f(x)=x2+3x-1的图象在(0,0.5)上连续并且f(0)<0,f(0.5)>0,故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5).根据二分法思想可知第二次应计算f(0.25).故选A.
5.B 根据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于或等于精确度的2倍时,便可结束计算,故选B.
6.B 由已知得, f(1)=13-3×1-1=-3<0, f(3)=33-3×3-1=17>0.由二分法可知,第一次计算f(2),由f(2)=23-3×2-1=1>0,得零点所在区间为(1,2);第二次计算f,由f<0,得零点所在的区间为.故选B.
7.解析 (1)证明:易知f(x)的图象是一条连续不断的曲线.
∵f(0)=1>0,f(2)=-<0,∴f(0)f(2)<0,
∴由函数零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)取区间[0,2]的中点1,则f(1)=>0,
∵f(1)f(2)<0,∴方程f(x)=0的实数解在区间(1,2)内,
取区间(1,2)的中点,则f<0,
∵f(1)f<0,∴方程f(x)=0的实数解在区间内,
取区间,则f>0,
∵f<0,∴方程f(x)=0的实数解在区间内.
故f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在区间内.
能力提升练
1.CD 选项A,B对应的函数图象分别如图①,图②,易知可用二分法求零点的近似值.
对于选项C,y=(x+4)2≥0,故不能用二分法求零点的近似值.对于选项D,y=|x|≥0,故不能用二分法求零点的近似值.故选CD.
2.ABD 由二分法的步骤可知:
①零点在(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0, f(4)<0,取中点2;
②零点在(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0, f(2)<0,取中点1;
③零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0, f(2)<0,取中点;
④零点在内,则有f(1)·f<0,则f(1)>0, f<0,取中点;
⑤零点在内,则有f·f<0,则f>0, f<0.
所以与f(0)符号不同的是f(4), f(2),f,故选ABD.
3.答案
解析 设f(x)=-x2+1,则f(1)=3-1+1=3>0, f(2)=<0,
取区间(1,2)的中点,因为f>0,所以可确定x0所在的区间为.
4.答案 1.406 25
解析 因为f(1)<0, f(1.5)>0,所以f(1)f(1.5)<0,所以函数在(1,1.5)内有零点,因为1.5-1=0.5>0.05×2,所以不满足精确度为0.05;
因为f(1.25)<0,所以f(1.25)f(1.5)<0,所以函数在(1.25,1.5)内有零点,因为1.5-1.25=0.25>0.05×2,所以不满足精确度为0.05;
因为f(1.375)<0,所以f(1.375)f(1.5)<0,所以函数在(1.375,1.5)内有零点,因为1.5-1.375=0.125>0.05×2,所以不满足精确度为0.05;
因为f(1.437 5)>0,所以f(1.375)f(1.437 5)<0,所以函数在(1.375,1.437 5)内有零点,因为1.437 5-1.375=0.062 5<0.05×2,满足精确度为0.05,所以方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)为=1.406 25.
5.答案 1
解析 由题表可知,f(1)=g(1)-1-3=2.72-4=-1.28,f(2)=g(2)-2-3=7.39-5=2.39,所以f(1)f(2)<0.所以f(x)的一个零点所在的区间为(1,2),因此n=1.
6.解析 将26枚金币平均分成两份,放在天平上,则假币一定在质量小的那13枚金币里面.从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,放在天平上,若天平平衡,则拿出的那一枚一定是假币;若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面.将这6枚金币平均分成两份,放在天平上,则假币一定在质量小的那3枚金币里面.从这3枚金币中任意拿出2枚放在天平上,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币;若不平衡,则质量小的那一枚是假币.
综上,最多称4次就可以发现这枚假币.
方法总结 二分法的思想在实际生活中应用广泛.二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查等,还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.二分法的应用主要是为了降低成本,提高效率.
7.证明 ∵f(1)>0,∴3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.
∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,
则-b-c>c,即a>c.
∵f(0)>0,∴c>0,∴a>0.
取区间[0,1]的中点,
则fa<0.
∵f(0)>0, f(1)>0,
∴函数f(x)在区间内各有一个零点.
又f(x)为二次函数,最多有两个零点,
∴方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.
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