2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--3.3　函数的应用（一） 3.4　数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
3.3　函数的应用(一)
3.4　数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点
基础过关练
题组一　一次函数模型
1.(多选题)(2024山东泰安期中)某工厂生产的产品分正品和次品,每个正品的质量为10 g,每个次品的质量为9 g,正品、次品分别装袋,每袋装50个产品.现有10袋产品,其中有且只有一袋次品,为找出哪一袋是次品,质检员设计了如下方法:将10袋产品从1~10编号,从第i袋中取出i个产品(i=1,2,…,10)(如:从第1袋中取出1个产品),并将取出的所有产品一起用秤称出其质量为w g.设次品袋的编号为n,则下列选项正确的是(　　)
A.w是n的函数 B.n=2时,w=551
C.w的最小值为540 D.w=549时,第1袋为次品袋
2.为了发展电信事业,方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分钟)与通话费用y(元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x之间的函数解析式;
(2)请帮助用户判断在一个月内使用哪种卡便宜.
题组二　二次函数模型
3.(2024辽宁大连期末)从甲地到乙地的距离为240 km,经过多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(0≤v≤120)的关系式为Q=0.000 026v3-0.004 16v2+0.291 475v,假设汽车匀速行驶,则从甲地到乙地这辆车的总耗油量最少时,其速度为(　　)
A.60 km/h　　　B.80 km/h
C.100 km/h　　　D.110 km/h
4.某餐厅经营盒饭生意,每天的房租、员工工资等固定成本为200元,每盒盒饭的成本为15元,销售单价与日销售量的关系如下表:
销售单价/元 16 17 18 19 20 21 22
日销售量/盒 480 440 400 360 320 280 240
根据以上数据,当这个餐厅日销售利润(利润=总收入-总成本)最大时,每盒盒饭定价为　　　　元.
5.如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米,为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上(包括端点).设MP=x米,PN=y米.
(1)写出y关于x的函数关系式,并求出x的取值范围;
(2)求矩形BNPM面积的最大值.
题组三　分段函数模型
6.(多选题)(2022山东烟台期中)某打车平台欲对收费标准进行调整,现有甲、乙两种方案供乘客选择,其支付费用y(单位:元)与打车里程x(单位:km)的函数关系如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.当打车里程为8 km时,乘客选择甲方案更省钱
B.当打车里程为10 km时,乘客选择甲、乙方案均可
C.当打车里程大于3 km时,甲方案每千米增加的费用比乙方案多
D.甲方案中打车里程在3 km内(含3 km)费用为5元,里程大于3 km时,每增加1 km费用增加0.7元
7.(2024湖北武汉期末)地铁作为城市交通的重要组成部分,以其准时、高效的优点广受青睐.武汉新修建了一条地铁线路,经调研测算,每辆列车的载客量h(单位:人)与发车时间间隔t(单位:分钟,且3≤t≤30)有关:当发车时间间隔达到或超过15分钟时,列车均为满载状态,载客量为1 600人;当发车时间间隔不超过15分钟时,地铁载客量h与成正比.假设每辆列车的日均车票收入y=(单位:万元).
(1)求y关于t的函数表达式;
(2)当发车时间间隔为何值时,每辆列车的日均车票收入最大 并求出该最大值.
题组四　均值不等式与函数模型的综合应用
8.(2023湖南岳阳月考)在扶贫工作中,为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫,市政府继续为其提供30万元无息贷款,用于购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需投入4万元的生产资料费,已知一年内生产该产品x万件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=企业在经营过程中每月还要支付职工工资3万元.
(1)写出该企业的年利润W(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万件时,企业获得的年利润最大 并求出最大年利润;
(3)企业只依靠生产并销售该产品最早几年后能偿还所有贷款
9.某企业准备投产一款产品,在前期的市场调研中发现:
①需花费180万元用于引进一条生产流水线;
②每台生产成本Q(x)(万元)和产量x(台)之间近似满足Q(x)=5+,x∈N*;(注:每台生产成本Q(x)不包括引进生产流水线的费用)
③每台产品的市场售价为10万元;
④每年最高产量为100台.
(1)若要保证投产这款产品后,一年内实现盈利,则至少需要生产多少台这款产品 (假设生产的产品能全部售出)
(2)由于某些原因,这款产品第一年只能售出60台,而如果生产出来的产品没有在当年销售出去,造成积压,那么积压的产品每台将亏损1万元,试判断该企业能否在投产第一年实现盈利.若可以实现盈利,则求出利润最大时的产量;若不能实现盈利,则说明理由.
能力提升练
题组一　一次函数与二次函数模型
1.(多选题)(2024江苏苏州期中)图①是某大型游乐场的游客人数x(万)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的成本)的函数图象,销售初期该游乐场为亏损状态,为了扭亏为盈,游乐场采取了两种措施,图②和图③中的实线为采取了两种措施后的图象,则下列说法正确的是(　　)
　　
A.图①中点A的实际意义为该游乐场的投入成本为1万元
B.图①中点B的实际意义为当游客人数为1.5万时,该游乐场的收支恰好平衡
C.图②中游乐场实行的措施是降低门票的售价
D.图③中游乐场实行的措施是减少投入的成本
2.(2023北京人大附中期中)如图所示,有一直角墙角,两边的长度足够长,在点P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(03.(多选题)(2023海南海口月考)某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月二氧化碳的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是(　　)
A.该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低
B.该单位每月最低可获利20 000元
C.该单位每月不获利,也不亏损
D.每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损
4.食品安全问题越来越受到人们的重视,农药、化肥的滥用对人们的健康造成了危害.为了让消费者吃到放心的蔬菜,某农村合作社搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每年投入200万元种植蔬菜,且每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验发现,种西红柿的年收入P(万元)、种黄瓜的年收入Q(万元)与投入资金a(万元)分别满足关系式:P=80+4a+120.设甲大棚的投入资金为x万元,每年两个大棚的总收入为f(x)万元.
(1)求f(50)的值;
(2)如何安排甲、乙两个大棚的投入资金,才能使总收入最大
题组二　分段函数模型
5.(2024江苏南京期中)已知某学校宿舍与办公室相距a m,某同学有重要材料要交给老师,从宿舍出发,先匀速跑步3 min来到办公室,停留2 min,然后匀速步行10 min返回宿舍.在这个过程中,这位同学行进的速度v(单位:m/min)和行走的路程s(单位:m)都是时间t的函数,则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的(　　)
　　
　　
A.①②　　　B.③④　　　C.①④　　　D.②③
6.(2024山东烟台期中)某地民用燃气执行“阶梯气价”,按照用气量收费,具体计费方法如表所示.若某户居民去年缴纳的燃气费为868元,则该户居民去年的用气量为(　　)
每户每年用气量 单价
不超过200 m3的部分 3.2元/m3
超过200 m3但不超过300 m3的部分 3.8元/m3
超过300 m3的部分 4.8元/m3
A.180 m3　　　B.220 m3　　　C.260 m3　　　D.320 m3
7.(2024河北邯郸期末)在这个重要的乘用车型升级时期,某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300 Wh/kg的关键技术,在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460千米.该公司通过市场分析得出,每生产x千块动力电池,将收入f(x)万元,且f(x)=该公司每年最多生产1万块此种动力电池,预计2024年全年成本总投入为2.5x万元,全年利润为F(x)万元.由市场调研知,该种动力电池供不应求.(利润=收入-成本总投入)
(1)求函数F(x)的解析式;
(2)当2024年此种动力电池的产量为多少块时,该企业获得的利润最大 最大利润是多少
8.(2024广东深圳期末)已知某产品在过去的32天内的日销售量Q(x)(单位:万件)与第x天之间的函数关系为①Q(x)=a(x-8)2+b;②Q(x)=+m这两种函数模型中的一个,且部分数据如下表:
x 2 4 10 20
Q(x) 12 11 10.4 10.2
(1)请确定Q(x)的解析式,并说明理由;
(2)若第x天的每件产品的销售价格均为P(x)(单位:元),且P(x)=60-|x-20|,求该产品在过去32天内的第x天的销售额f(x)(单位:万元)的解析式及f(x)的最小值.
题组三　均值不等式与函数模型的综合应用
9.(2023江西吉安永丰中学期末)某公司一年购买某种货物900吨,现分次购买,若每次购买x吨,运费为9万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是(　　)
A.10　　　B.15　　　C.30　　　D.45
10.(2023山东潍坊期中)某市区为了改善市民生活环境,拟在一闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域ABCD作为市民休闲锻炼的场地(如图所示),按规划要求:在矩形内的四周安排2 m宽的绿化,绿化造价为200元/m2,中间区域地面硬化,以方便后期放置各类健身器材,硬化造价为100元/m2,设矩形ABCD的长为x m.
(1)将总造价y(元)表示为x的函数;
(2)如果当地政府财政拨款3万元,不考虑其他因素,仅根据总造价情况,判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地.(≈1.414)
答案与分层梯度式解析
3.3　函数的应用(一)
3.4　数学建模活动:决定苹果的
最佳出售时间点
基础过关练
1.ACD 3.B 6.ABC
1.ACD　由题意得,w=10×(55-n)+9n=550-n,n=1,2,…,10,故w是n的函数,故A正确;
当n=2时,w=550-2=548,故B错误;
因为w=550-n单调递减,所以wmin=550-10=540,故C正确;
令w=550-n=549,得n=1,故D正确.故选ACD.
2.解析　(1)由题中图象可设y1=k1x+30(k1≠0),y2=k2x(k2≠0),把点B(30,35),C(30,15)分别代入y1=k1x+30,y2=k2x,得k1=x+30(x≥0),y2=x(x≥0).
(2)由(1)得,y1-y2=x,当y1>y2,即30-x>0时,x<90;当y1=y2,即30-x=0时,x=90;当y190.
综上可知,当通话时间小于90分钟时,使用“便民卡”便宜;当通话时间等于90分钟时,使用两种卡收费一样多;当通话时间大于90分钟时,使用“如意卡”便宜.
3.B　设该汽车的总耗油量为f(v)L,则f(v)=Q·=(0.000 026v3-0.004 16v2+0.291 475v)·=240(0.000 026v2-0.004 16v+0.291 475),0≤v≤120,
易知y=0.000 026x2-0.004 16x+0.291 475是二次函数,其图象开口向上,对称轴方程为x=80,
故速度为80 km/h时,总耗油量最少.
4.答案　21.5
解析　由题表信息可知,销售单价为16元时,日销售量为480盒,销售单价每增加1元,日销售量减少40盒,设销售单价为x元,则日销售量为480-40(x-16)=(1 120-40x)盒,
设这个餐厅的日销售利润为y元,
则y=(x-15)(1 120-40x)-200=-40x2+1 720x-17 000,
所以当x=21.5时,y取得最大值,最大值为1 490,
故当这个餐厅日销售利润最大时,每盒盒饭定价为21.5元.
5.解析　(1)如图所示,延长NP,交AF于点Q,则PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米,易得4≤x≤8.
当4所以y=-x+10,
当x=4时,y=8,也满足上式,
所以y=-x+10,x∈[4,8].
(2)设矩形BNPM的面积为S平方米,
则S=xy=x(x-10)2+50,x∈[4,8],
根据二次函数的性质可知当x∈[4,8]时,S=-(x-10)2+50单调递增,
所以当x=8时,S取得最大值,最大值为48.
故矩形BNPM面积的最大值为48平方米.
6.ABC　对于A,当3对于B,由题图可知,当打车里程为10 km时,甲、乙方案的费用均为12元,故乘客选择甲、乙方案均可,故B正确;
对于C,当打车里程大于3 km时,甲方案每千米增加的费用为=1(元),乙方案每千米增加的费用为(元),故甲方案每千米增加的费用比乙方案多,故C正确;
对于D,由题图可知,甲方案中打车里程在3 km内(含3 km)费用为5元,里程大于3 km时,每增加1 km费用增加1元,故D错误.故选ABC.
7.解析　(1)当15≤t≤30时,h=1 600,则y=;
当3≤t<15时,设h=k,k>0,
由题意得当t=15时,h=k=1 600,
解得k=50,则h=50,
故y=.
综上所述,y=
(2)当15≤t≤30时,y=,则当t=15时,ymax=;
当3≤t<15时,y=12-,则当t=10时,ymax=.
因为,所以当发车时间间隔为10分钟时,每辆列车的日均车票收入最大,且最大值为万元.
8.解析　(1)当0当x>5时,W=132-+96.
所以W=
(2)由(1)知当0所以当x=5时,企业获得的年利润最大,为14万元;
当x>5时,W=-4x-+96≤-2+96=24,
当且仅当x=9时,等号成立,此时企业获得的年利润最大,为24万元.
综上可知,当年产量为9万件时,企业获得的年利润最大,最大年利润为24万元.
(3)设企业n年后偿还所有贷款,
则有24n-30-90≥0,解得n≥5,
所以企业最早5年后偿还所有贷款.
9.解析　(1)由题意可知销售该产品所获利润(单位:万元)为[10-Q(x)]·x-180,0则由
解得63≤x≤100,且x∈N*.
∴至少需要生产63台这款产品,才能实现盈利.
(2)由(1)可知,当0当60∴可以实现盈利,且利润最大时的产量为89台.
能力提升练
1.ABD 2.C 3.AD 5.A 6.C 9.D
1.ABD　题图①中点A的实际意义为该游乐场的投入成本为1万元,点B的实际意义为当游客人数为1.5万时,该游乐场的收支恰好平衡,故A,B正确;
题图②中游乐场实行的措施是提高门票的售价,故C错误;
题图③中游乐场实行的措施是减少投入的成本,故D正确.故选ABD.
2.C　设BC=x m,花圃的面积为y m2,则y=x(16-x)=-(x-8)2+64,且a≤x≤12.当03.AD　由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本(单位:元)为-200,400≤x≤600,易知-200≥2-200=200,当且仅当,即x=400时等号成立,故该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元,故A正确;设该单位每月获利S元,则S=100x-y=100x-x2+300x-80 000=-(x-300)2-35 000,因为x∈[400,600],所以S∈[-80 000,-40 000],故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损,故D正确,B、C错误.故选AD.
4.解析　(1)若甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,故f(50)=80+4××150+120=277.5.
(2)f(x)=80+4+250,
由题意得即20≤x≤180.
令t=,则x=t2,t∈[2],
故y=-)2+282,
当t=8,即x=128时, f(x)max=282.
所以当甲大棚的投入资金为128万元,乙大棚的投入资金为72万元时,总收入最大.
5.A　由题意得v=
由速度函数及路程函数的解析式可知,其图象分别为①②.
6.C　设该户居民去年的用气量为x m3,缴纳的燃气费为y元,
当0≤x≤200时,y=3.2x,令3.2x=868,解得x=271.25,舍去;
当200当x>300时,y=3.2×200+3.8×(300-200)+4.8×(x-300)=4.8x-420,令4.8x-420=868,解得x=,舍去.
综上所述,x=260.
7.解析　(1)由题意得F(x)=f(x)-2.5x,
∵f(x)=
∴当0当5故F(x)=
(2)当0易知F(x)在上单调递减,在上单调递增,∴F(x)max=F(5)=132.5;
当5当且仅当(x-1),即x=7时等号成立,
∴F(x)max=207.5.
∵132.5<207.5,∴F(x)的最大值为207.5.
故当2024年此种动力电池的产量为7 000块时,该企业获得的利润最大,最大利润是207.5万元.
8.解析　(1)由题表可知,随着x的增大, Q(x)逐渐减少.
若Q(x)=a(x-8)2+b,则当1≤x≤32时,Q(x)不单调递减,不符合题意.
若Q(x)=+m,则当k>0时Q(x)单调递减,满足题意,将点(2,12),(4,11)代入,可得故Q(x)=+10,
易知(10,10.4),(20,10.2)均满足Q(x)=+10,
∴Q(x)=+10(1≤x≤32,x∈N*).
(2)由题意得P(x)=60-|x-20|=
故f(x)=P(x)·Q(x)
=
即f(x)=
当1≤x≤20,x∈N*时, f(x)=10x++404≥2+404=484,
当且仅当10x=,即x=4时,等号成立;
当20综上可知, f(x)的最小值为484万元.
9.D　设一年的总运费与总存储费用之和为y万元,则y=4x+≥2=360,
当且仅当4x=,即x=45时等号成立,
∴当x=45时一年的总运费与总存储费用之和最小,故选D.
10.解析　(1)由题意得矩形ABCD的宽为 m,
则中间区域的长为(x-4)m,宽为m,
所以x∈(4,50),
故y=(x-4)×100+200-(x-4)-4×200,
整理可得y=18 400+400,x∈(4,50).
(2)因为x+≥2,
当且仅当x=,即x=10时取等号,
所以当x=10时,总造价最低,为18 400+8 000≈29 712元,因为2.971 2<3,
所以仅根据总造价情况,能够修建起该市民休闲锻炼的场地.
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