2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--第二章　等式与不等式（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
第二章　等式与不等式
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知实数a,b,c满足cac”的(　　)
A.必要不充分条件　　　　B.充分不必要条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
2.若集合M={x|0A.{x|0C.{x|03.已知a,b,c是△ABC的三条边的长,且满足a2+bc=b2+ac,则△ABC一定是　　(　　)
A.等腰三角形　　　　B.等边三角形
C.直角三角形　　　　D.等腰直角三角形
4.若不等式组的解集是{x|x>1},则m的取值范围是(　　)
A.m≥1　　　　B.m≤1
C.m≥0　　　　D.m≤0
5.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是(　　)
A.M>N　　　　B.M≥N　　　　C.M6.已知x>1,则4x+的最小值是(　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.12　　　　D.20
7.当10恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.
C.
8.已知关于x的不等式组仅有一个整数解,则k的取值范围为(　　)
A.-5C.-5二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知x,y,z为实数,则下列结论中正确的是(　　)
A.若xz2>yz2,则x>y
B.若x>y,则xz2>yz2
C.若x>y>0,z<0,则
D.若z>y>x,则
10.下列命题为真命题的是(　　)
A.若一个直角三角形的斜边长为2,则它周长的最大值为2+2
B.若一个直角三角形的斜边长为2,则它面积的最大值为1
C.若ax2+bx+c>0的解集是{x|10的解集是{x|-2D.若ax2+bx+c>0的解集是{x|10的解集是
11.根据不等式的有关知识,下列日常生活中的说法正确的是(　　)
A.自来水管的横截面制成圆形而不是正方形的原因是:圆的面积大于与它周长相等的正方形的面积
B.已知b克盐水中含有a克盐(b>a>0),再加入n(n>0)克盐,全部溶解后盐水变咸了
C.某工厂第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,则这两年的平均增长率为
D.设矩形ABCD(AB>CD)的周长为24 cm,把△ABC沿AC向△ADC折叠,AB折过去后交DC于点P,则△ADP的最大面积为(108-72)cm2
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若关于x的不等式(x+1)(x-3)13.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为 L,其中k为常数.当汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,欲使每小时的油耗不超过9 L,则x的取值范围为　　　　.
14.在实数集R中定义一种运算“*”:
(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;
(2)对任意a∈R,a*0=a;
(3)对任意a,b,c∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-5c.
则函数y=x*(x>0)的最小值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知y=4x+(x>0).
(1)求1-y的最大值,并求当1-y取得最大值时x的值;
(2)若方程y=a(a>0)的两根为x1,x2(x1≠x2),求的取值范围.
16.(15分)已知不等式ax2+(a-b)x+1-a<0的解集为.
(1)求实数a,b的值;
(2)若m>0,n>0,且am+bn=1,求的最小值.
17.(15分)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q,反过来,如果x1+x2=-p,x1x2=q,那么以x1,x2为两根的一元二次方程是x2+px+q=0.请根据以上结论,解决下列问题:
(1)已知关于x的方程x2+mx+n=0(n≠0),求一个一元二次方程,使它的两根分别是已知方程两根的倒数;
(2)已知a,b满足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,求的值;
(3)已知a,b,c均为实数,且a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.
18.(17分)已知a,b均为正实数,且.
(1)求a2+b2的最小值;
(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.
19.(17分)某企业为积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x(单位:吨)最少为70吨,最多为100吨,日加工处理总成本y(单位:元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=x2+40x+3 200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.
(1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低 此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态
(2)为了使该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方案共有两种:
①每日进行定额财政补贴,金额为2 300元;
②根据日加工处理量进行财政补贴,金额为30x元.
如果你是企业的决策者,为了获得最大利润,你会选择哪种补贴方案 为什么
答案与解析
第二章　等式与不等式
1.B 2.D 3.A 4.D 5.A 6.B
7.B 8.B 9.AC 10.ABC 11.ABD
1.B　∵cc,∴ab>ac,充分性成立.
∵cac,则a>0,推不出ac<0,必要性不成立.
∴“ac<0”是“ab>ac”的充分不必要条件,故选B.
2.D　由≤2,得-2≤0,即≤0,解得-2≤x<1,所以N={x|-2≤x<1},所以M∩N={x|03.A　a2+bc=b2+ac,即(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,即(a-b)(a+b-c)=0.
∵a+b-c>0,∴a-b=0,即a=b,
∴△ABC一定是等腰三角形,无法判断其是不是等边三角形或等腰直角三角形.
故选A.
4.D　由
因为不等式组的解集是{x|x>1},
所以1+m≤1,解得m≤0.
5.A　M-N=2a2-4a+7-(a2-5a+6)=a2+a+1=>0,∴M>N.
故选A.
6.B　由x>1,可得x-1>0,
则4x++4≥2+4=8,
当且仅当4(x-1)=,即x=时,等号成立,
所以4x+的最小值是8.故选B.
7.B　因为当10恒成立,
所以3m<2x+在x∈(1,2)上恒成立,而2x+≥2,当且仅当2x=,
即x=时,等号成立,
所以3m<4,即m<.
8.B　解不等式x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.
解方程2x2+(2k+7)x+7k=0,得x1=-,x2=-k.
①当-k<-,即k>时,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集为,此时不等式组的解集为,∵不等式组的解集中仅有一个整数,∴-5≤-k<-4,解得4②当-k>-,即k<时,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集为,要使不等式组的解集中仅有一个整数解,则-3<-k≤5,即-5≤k<3;
③当-k=-,即k=时,不等式组的解集为 ,不满足题意.
综上所述,k的取值范围为[-5,3)∪(4,5],
故选B.
9.AC　易知z2≥0,若xz2>yz2,则z2>0,故x>y,故A正确;
当z2=0时,xz2=yz2=0,故B错误;
若x>y>0,则由不等式的性质得,又z<0,所以,故C正确;
当z=5,y=3,x=2时,,满足z>y>x,但不满足,故D错误.
10.ABC　对于A,B,设直角三角形的两直角边长分别为a,b,则a2+b2=4,
由于(a+b)2≤2(a2+b2)=8,所以a+b≤2,当且仅当a=b=时,等号成立,所以此直角三角形周长的最大值为2+2,故A正确;
因为ab≤=2,当且仅当a=b=时,等号成立,所以此直角三角形的面积S=ab≤1,故B正确.
对于C,D,若ax2+bx+c>0的解集是{x|1不等式ax2-bx+c>0,即ax2+3ax+2a>0,即x2+3x+2<0,解得-20的解集为{x|-2不等式cx2-bx+a>0,即2ax2+3ax+a>0,即2x2+3x+1<0,解得-10的解集是,故D错误.
故选ABC.
11.ABD　对于A,设圆的周长为l,l>0,则S圆=π,S正方形=,因为,l2>0,所以,即S圆>S正方形,故A正确.
对于B,原盐水的浓度为,加入n克盐后,盐水的浓度为.
,
因为b>a>0,n>0,所以b-a>0,b+n>0,
所以>0,即,故B正确.
对于C,设这两年的平均增长率为x,则A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,可得x=-1.
因为x+1=+1,即x≤,
当且仅当1+a=1+b,即a=b时,等号成立,
所以这两年的平均增长率不大于,故C错误.
对于D,设AB=x cm,则AD=(12-x)cm,
因为AB>AD>0,所以6设PC=a cm,则DP=(x-a)cm,AP=a cm,
因为△ADP为直角三角形,
所以(12-x)2+(x-a)2=a2,
所以a=x+-12,所以DP=cm,
所以S△ADP=AD·DP=(12-x)·cm2,
因为108--6x≤108-2,当且仅当=6x,即x=6时取等号,
所以△ADP的最大面积为(108-72)cm2,故D正确.
12.答案　2
解析　∵关于x的不等式(x+1)(x-3)∴x=0是方程(x+1)(x-3)=m的解,
∴m=-3,∴原不等式为(x+1)(x-3)<-3,即x2-2x<0,解得0∴n=2.
13.答案　[60,100]
解析　因为汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,所以=11.5,解得k=100,故汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶时,每小时的油耗为L.
令x+-20≤9,
解得45≤x≤100,
因为60≤x≤120,所以60≤x≤100,
所以欲使每小时的油耗不超过9 L,则x的取值范围为[60,100].
14.答案　3
解析　对任意a,b,c∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-5c,
令c=0,则(a*b)*0=0*(ab)+(a*0)+(b*0),
又a*b=b*a,
所以(a*b)*0=(ab)*0+(a*0)+(b*0),
又a*0=a,所以a*b=ab+a+b,
所以y=x*.
因为x>0,所以1+x+≥3当且仅当x=,即x=1时,等号成立,所以y=x*(x>0)的最小值为3.
15.解析　(1)因为x>0,所以y=4x+≥2=4,(2分)
当且仅当4x=,即x=时,等号成立,(3分)
所以y的最小值为4,(4分)
所以1-y的最大值为1-4=-3,此时x=.(6分)
(2)由y=4x+=a,得4x2-ax+1=0,
则Δ=a2-16>0,又a>0,所以a>4.(9分)
由一元二次方程根与系数的关系,得x1x2=,(11分)
所以=a>4,
故的取值范围为(4,+∞).(13分)
16.解析　(1)因为ax2+(a-b)x+1-a<0的解集为,
所以-和1为方程ax2+(a-b)x+1-a=0的两个实根,且a>0,(3分)
则由根与系数的关系,得(7分)
(2)由(1)及题意可知,am+bn=2m+3n=1.(8分)
因为m>0,n>0,
所以+8≥2+8,(11分)
当且仅当且2m+3n=1,即m=时取等号,(13分)
所以的最小值为4+8.(15分)
17.解析　(1)设方程x2+mx+n=0(n≠0)的两个根分别是x1,x2,
则x1+x2=-m,x1x2=n,(1分)
所以,(3分)
所以所求一元二次方程是x2+=0,即nx2+mx+1=0.(5分)
(2)分两种情况讨论:
①当a≠b时,∵a,b满足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,
∴a,b是x2-15x-5=0的两个根,
∴a+b=15,ab=-5,
∴=-47.(7分)
②当a=b时,=2.(9分)
综上,的值为-47或2.(10分)
(3)∵a+b+c=0,abc=16,
∴a+b=-c,ab=,
∴a,b是方程x2+cx+=0的两个根,(12分)
∴Δ=c2-4·≥0,即c2-≥0.
∵c是正数,
∴c3-43=(c-4)(c2+4c+16)≥0,
又c2+4c+16=(c+2)2+12>0,
∴c≥4,∴正数c的最小值是4.(15分)
18.解析　(1)由题意得≥2,即ab≥,当且仅当a=b=时,等号成立.(3分)
所以a2+b2≥2ab≥2×=1,当且仅当a=b=时,等号同时成立,(6分)
所以a2+b2的最小值为1.(8分)
(2)因为,所以a+b=2ab,(10分)
因为(a-b)2≥4(ab)3,
所以(a+b)2-4ab≥4(ab)3,
即(2ab)2-4ab≥4(ab)3,(13分)
因为a,b均为正实数,
所以(ab)2-2ab+1≤0,即(ab-1)2≤0,(15分)
所以ab=1.(17分)
19.解析　(1)由题意可知,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本(单位:元)为+40,x∈[70,100].(2分)
因为+40≥2+40=2×40+40=120,当且仅当,即x=80时,等号成立,(4分)
所以该企业日加工处理量为80吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低.(5分)
因为100<120,所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态.(7分)
(2)若该企业采用补贴方案①,设该企业每日获利y1元,由题可得y1=100x-+2 300=-(x-60)2+900.(9分)
因为x∈[70,100],所以当x=70时,企业获利最大,最大利润为850元.(11分)
若该企业采用补贴方案②,设该企业每日获利y2元,由题可得y2=130x-x2+90x-3 200=-(x-90)2+850.(13分)
因为x∈[70,100],所以当x=90时,企业获利最大,最大利润为850元.(15分)
答案示例1:因为两种方案所获最大利润相同,所以选择两种方案均可.(17分)
答案示例2:因为两种方案所获最大利润相同,但补贴方案①只需要企业日加工处理量为70吨即可获得最大利润,所以选择补贴方案①.(17分)
答案示例3:因为两种方案所获最大利润相同,但补贴方案②能够为社会做出更大贡献,所以选择补贴方案②.(17分)
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