2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--第二章　等式与不等式拔高练

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2025人教B版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　一元二次不等式及其应用
1.(2023新课标Ⅰ,1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(　　)
A.{-2,-1,0,1}　　　B.{0,1,2} C.{-2}　　　D.{2}
2.(2019天津,3)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的(　　)
A.充分而不必要条件　　　
B.必要而不充分条件
C.充要条件　　　
D.既不充分也不必要条件
3.(2021上海,4)不等式<1的解集为　　　　.
考点2　均值不等式及其应用
4.(2021天津,13)若a>0,b>0,则+b的最小值为　　　　.
5.(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则的最小值为　　　　.
6.(2020江苏,12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.
考点3　等式与不等式的实际应用
7.(2019课标全国Ⅰ,4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是(　　)
A.165 cm　　　B.175 cm　　　
C.185 cm　　　D.190 cm
8.(2019北京,14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　.
三年模拟练
应用实践
1.(2023湖北黄冈期末)已知“ x∈R,不等式x2-4x-a-1<0”不成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,-5]　　　B.(-∞,-2]
C.(-5,+∞)　　　D.[-5,+∞)
2.(2023山西大学附中月考)已知不等式mx>n的解集是{x|x<2},则不等式(mx+n)(x-3)>0的解集是(　　)
A.{x|x<2或x>3}　　　B.{x|2C.{x|x<-2或x>3}　　　D.{x|-23.(2023四川成都第七中学期末)若关于x的不等式x2-(m+3)x+3m<0的解集中恰有3个整数,则实数m的取值范围为(　　)
A.(6,7]　　　B.[-1,0) C.[-1,0)∪(6,7]　　　D.[-1,7]
4.(多选题)(2022安徽亳州第一中学月考)已知集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,则下列说法正确的是(　　)
A.a2-b2≤4
B.a2+≥4
C.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0
D.若不等式x2+ax+b5.(多选题)(2024河北石家庄部分重点中学期末)已知a>0,b>0,a+b=ab,则(　　)
A.a+b≥4　　　B.ab≤4 C.a+4b≥9　　　D.
6.(2024山东枣庄薛城期末)已知a,b,c均为正实数,ab+ac=4,则的最小值是　　　　.
7.(2024上海奉贤期末)如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD垂直于斜边BC,且垂足为D,设BD,CD的长度分别为a和b(a≠b),E是BC的中点,点B绕点E顺时针旋转90°后到达点F,过D点作DH垂直于AE,且垂足为H.有以下三个命题:
①由图知AD②由图知AH③由图知FE以上三个命题是真命题的是　　　　.(写出所有正确命题的序号)
8.(2023重庆育才中学期中)已知a,b,c是正实数,且b+c=,则的最小值为　　　　.
9.(2023辽宁省实验中学月考)(1)已知集合A={x|-5x2+4x+1>0},B={x||2x+1|-5>0},求A∪B;
(2)已知p:实数x满足不等式≥0,q:实数x满足不等式x2-4mx-5m2<0,其中m∈R,m≠0.若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
10.(2024安徽A10联盟期末)中国“一带一路”倡议提出后,某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发生产一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为500万元,每生产1台,需另投入成本C(x)(万元),当年产量不足70台时,C(x)=x2+60x;当年产量不小于70台时,C(x)=121x+-2 180,若每台设备售价为120万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数解析式;
(2)当年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大
迁移创新
11.(2023江苏南通月考)我们学习了二元均值不等式:如果a>0,b>0,那么,当且仅当a=b时,等号成立.利用均值不等式及其变形可以证明其他不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值.
(1)对于三元均值不等式,请猜想:设a>0,b>0,c>0,则　　　　≤,当且仅当a=b=c时,等号成立(把横线补全即可,不需要证明);
(2)利用(1)中猜想的三元均值不等式证明:
当a>0,b>0,c>0时,(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc;
(3)利用(1)中猜想的三元均值不等式求最值:
设a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求(1-a)(1-b)·(1-c)的最大值.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.C 2.B 7.B
1.C　因为M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},所以M∩N={-2},故选C.
2.B　由x2-5x<0得0由|x-1|<1得0故“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件,故选B.
3.答案　{x|-7解析　<1 -1<0 <0 (x+7)(x-2)<0,解得-74.答案　2
解析　因为a>0,b>0,所以+b≥2+b≥2,
当且仅当即a=b=时等号成立,
故+b的最小值为2.
5.答案　4
解析　≥2=4,
当且仅当,即a+b=4时取等号.
又∵ab=1,∴时取等号,
∴的最小值为4.
6.答案　
解析　由5x2y2+y4=1知y≠0,∴x2=≥2,当且仅当,即y2=时取“=”.故x2+y2的最小值为.
7.B　设此人脖子下端至肚脐的长度为x cm,
则,解得x≈42.07,
又其腿长为105 cm,26+42.07+105=173.07(cm),
所以其身高可能是175 cm.
8.答案　①130　②15
解析　①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130(元).
②设一笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.
根据题意得(m-x)×80%≥m×70%,
所以x≤,而m≥120,
为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤,而=15,所以x≤15.所以x的最大值为15.
三年模拟练
1.A 2.D 3.C 4.ABD 5.ACD
1.A　若“ x∈R,不等式x2-4x-a-1<0”不成立,
则 x∈R,不等式x2-4x-a-1≥0恒成立,
∴Δ=16+4(a+1)≤0,解得a≤-5,∴a的取值范围为(-∞,-5].故选A.
2.D　∵不等式mx>n的解集是{x|x<2},
∴故n=2m<0,∴不等式(mx+n)(x-3)>0等价于(x+2)(x-3)<0,解得-23.C　不等式x2-(m+3)x+3m<0可化为(x-3)(x-m)<0.当m>3时,不等式的解集为(3,m),要使解集中恰有3个整数,则这3个整数只能是4,5,6,所以6综上可知,m的取值范围是[-1,0)∪(6,7],故选C.
4.ABD　由于集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,所以Δ=a2-4b=0,即a2=4b,
由于a>0,所以b>0.
对于A,a2-b2=4b-b2=-(b-2)2+4≤4,当且仅当b=2时等号成立,A正确.
对于B,a2+≥2=4,当且仅当4b=,即b=时等号成立,B正确.
对于C,若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2=-b<0,C错误.
对于D,不等式x2+ax+b则x1+x2=-a,x1x2=b-c,|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=a2-4(b-c)=4c=16,解得c=4,D正确.故选ABD.
5.ACD　因为a+b=ab≤,所以(a+b)2-4(a+b)≥0,又a>0,b>0,所以a+b≥4,即ab≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故A正确,B错误;
由a+b=ab,得=1,所以a+4b=(a+4b)·≥5+2=9,当且仅当,即a=3,b=时,等号成立,故C正确.
,易知0<<1,所以,当且仅当,即a=,b=3时,等号成立,故D正确.
故选ACD.
6.答案　4
解析　设a=x,b+c=y,则x>0,y>0,且xy=4,
故≥2=4,
当且仅当,即x=y=2时,等号成立.
所以的最小值是4.
7.答案　①②③
解析　易得△ABD∽△CAD,故,所以AD=,
易知AE=,所以由AD在△ADE中,易知DE=,所以DH=,
易得△AHD∽△ADE,故,所以AH=,
由AH易知FE=BE=,在Rt△DEF中,由勾股定理可得FD=,
由FE8.答案　4-2
解析　,易得≥2=2,当且仅当b=2c,b+c=,即b=时取等号,故原式=a≥2a+-2≥2-2,当且仅当a=时取等号.
9.解析　(1)易得集合A=,集合B={x|x>2或x<-3},故A∪B=xx>2或-(2)易得不等式≥0的解集为(-2,4].
不等式x2-4mx-5m2<0即(x-5m)(x+m)<0,
当m>0时,不等式的解集为(-m,5m),
当m<0时,不等式的解集为(5m,-m).
若p是q的充分不必要条件,
则当m>0时,(-2,4] (-m,5m),
则解得m≥2,
当m<0时,(-2,4] (5m,-m),
则解得m<-4.
综上,实数m的取值范围为(-∞,-4)∪[2,+∞).
10.解析　(1)由题可知,当0当x≥70,x∈N*时,y=120x--500=1 680-,
所以y=
(2)当0则当x=60时,y取得最大值1 300;
当x≥70,x∈N*时,y=1 680-,
因为当x>0时,x+≥2=180,当且仅当x=,即x=90时取等号,
所以y=1 680-≤1 680-180=1 500,
所以当x=90时,y取得最大值1 500.
因为1 300<1 500,所以当年产量为90台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大.
11.解析　(1)对照二元均值不等式,可以得到当a>0,b>0,c>0时,,当且仅当a=b=c时,等号成立.
(2)证明:由(1)可得当a>0,b>0,c>0时,,
∴=abc,
当且仅当a=b=c时,等号成立,
∴(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc.
(3)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴1-a=b+c>0,1-b=a+c>0,1-c=a+b>0,
∴(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)≤,当且仅当b+c=a+c=a+b,即a=b=c=时取等号,故(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为.
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