2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--第二章　等式与不等式复习提升（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　因式分解不当致错
1.方程x2-4|x|+3=0的解集是(　　)
A.{-3,-1,1,3}　　　B.{1,3} C.{-3,-1}　　　D.
2.不等式7-6x-x2>0的解集为(　　)
A.[-7,1]　　　 B.(-7,1)
C.(-∞,-7]∪[1,+∞)　 D.(-∞,-7)∪(1,+∞)
易错点2　多次利用不等式的性质,导致所求代数式范围扩大
3.(2023湖南长沙雅礼中学月考)已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则9x-y的取值范围是(　　)
A.[-7,26]　　　B.[-1,20] C.[4,15]　　　D.[1,15]
易错点3　不能正确运用均值不等式解决问题
4.(2024浙江金华浦江建华中学检测)已知b>a>0,2a+b=ab,则的最小值为(　　)
A.
5.(多选题)(2024江苏无锡期末)若正实数x,y满足x+2y=1,则(　　)
A.xy的最大值为
B.的最小值为9
C.x2+4y2的最小值为1
D.
6.(2022辽宁沈阳郊联体期中)已知x,y均为正实数,且4x+5y=1,则的最小值是　　　　.
易错点4　忽略“一元二次不等式”中二次项系数的符号致错
7.(2023重庆外国语学校期中)已知不等式ax2+bx-a3<0的解集是{x|x>9或x<-1},则a+b的值为(　　)
A.-27　　　B.-21　　　C.27　　　D.21
8.若关于x的不等式mx2-mx-1≥0的解集是 ,则m的取值范围是(　　)
A.[-4,0]　　　B.(-4,0]
C.[0,4)　　　D.(-4,0)
9.(2024重庆七校期末)(a-3)x2+(a-3)x-1<0对一切x∈R恒成立,则a的取值范围是(　　)
A.{a|-1C.{a|a<-1或a>3}　　　D.{a|a<-1或a≥3}
10.(2022河北唐山十一中期中)若a<0,则关于x的不等式a(x+1)<0的解集为　　　.
易错点5　忽略分式不等式中分母不等于0而致错
11.已知集合A=x≤0,B={0,1,2,4,8},则A∩B=(　　)
A.{1,2,4,8}　　　
B.{0,1,2}
C.{1,2}　　　
D.{0,1,2,4}
12.不等式≤1的解集是(　　)
A.{x|-1B.{x|x≥1}
C.{x|x<-1或x>1}　　　
D.{x|x<-1或x≥1}
13.已知关于x的不等式≥0.
(1)若a=2,求不等式的解集;
(2)若a>-2,解此不等式.
思想方法练
一、转化与化归思想在解不等式中的应用
1.在R上定义运算:=ad-bc,若不等式≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为(　　)
A.-
2.(2024湖北六校期中)已知正实数x,y满足,且不等式x+≥m2-m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.
3.(2022河北石家庄二中期中)若关于x的不等式x2+mx+1≤0在04.(2022山西太原期中)已知a>0,b>0,且a+b+6=ab,则ab的取值范围是　　　　.
二、函数与方程思想在解不等式中的应用
5.(多选题)(2024广东珠海金砖四校期中)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-∞,1)∪(5,+∞),则(　　)
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集是
C.a+b+c>0
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为xx>-或x<-1
6.关于x的不等式x2-mx+m+2>0在x∈[-2,4]上恒成立,则m的取值范围为　　　　　　.
三、分类讨论思想在解不等式中的应用
7.解关于x的不等式:x2-2ax+2≤0.
8.(2024河南郑州期末)已知y=-x2+(a-1)x-a+2.
(1)若不等式y≤2恒成立,求a的取值范围;
(2)解不等式y>0.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.A 2.B 3.B 4.B 5.AD 7.D 8.B 9.B
11.B 12.D
1.A　①当x≥0时,原方程可变形为x2-4x+3=0,即(x-3)(x-1)=0,解得x=3或x=1;②当x<0时,原方程可变形为x2+4x+3=0,即(x+3)(x+1)=0,解得x=-3或x=-1.因此,方程的解集为{-3,-1,1,3}.故选A.
2.B　由7-6x-x2>0得x2+6x-7<0,即(x+7)(x-1)<0,解得-7易错分析　利用“十字相乘”分解因式时,要注意一次项系数的符号,避免“凑”的过程中出现错误.
3.B　设m=x-y,n=4x-y,则
则9x-y=9·m,
∵-4≤m≤-1,∴≤-m≤.
∵-1≤n≤5,∴-n≤,
∴-1≤m≤20,即-1≤9x-y≤20,故选B.
易错警示　利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次运用不等式相加,否则易扩大范围.
4.B　由2a+b=ab得a(2-b)+b=0,即(a-1)(b-2)=2,且b>2,a>1,
故≥2,
当且仅当,即a=时取等号.
故选B.
5.AD　对于A,因为x(2y)≤,当且仅当x=2y=时,等号成立,所以xy≤,故A正确;
对于B,因为≥4+2=8,当且仅当,即x=2y=时,等号成立,所以的最小值为8,故B错误;
对于C,因为x2+4y2≥,当且仅当x=2y=时,等号成立,所以x2+4y2的最小值为,故C错误;
对于D,因为x+2y≥,当且仅当x=2y=时,等号成立,所以()2≤2,故,所以,故D正确.
故选AD.
6.答案　4
解析　因为x,y均为正实数,且4x+5y=1,
所以≥2+2=4,
当且仅当且4x+5y=1,即x=时取等号,故的最小值是4.
易错警示　利用均值不等式求最值需满足“正”(即各项均为正数)“定”(即各项之和或各项之积为定值)“等”(即等号取得的条件要成立)三个条件,否则会导致错误.
7.D　∵不等式ax2+bx-a3<0的解集是{x|x>9或x<-1},∴9和-1是方程ax2+bx-a3=0的两个根,且a<0,由根与系数的关系得
解得(舍去)或
∴a+b=21.故选D.
易错警示　已知“一元二次不等式”的解集求参数时,注意由解集的形式确定二次项系数的符号,解含参数的“一元二次不等式”时,也要注意二次项系数的符号.
8.B　当m=0时,不等式为-1≥0,解集为 ,符合题意;当m≠0时,若不等式mx2-mx-1≥0的解集是 ,则解得-4综上,m的取值范围是(-4,0].
9.B　当a=3时,不等式为-1<0,恒成立,满足题意;
当a≠3时,则解得-1综上所述,a的取值范围是{a|-110.答案　
解析　因为a<0,所以原不等式等价于(x+1)·>0,方程(x+1)=0的两根分别为-1,-,显然->0>-1,所以原不等式的解集为xx>-或x<-1.
11.B　由≤0,得
解得-2≤x<4,所以集合A={x|-2≤x<4}.
又B={0,1,2,4,8},所以A∩B={0,1,2}.故选B.
12.D　不等式≤1即-1≤0,即≤0,
所以解得x≥1或x<-1,
所以原不等式的解集为{x|x<-1或x≥1}.故选D.
13.解析　(1)当a=2时,不等式可化为≥0,即解得-2≤x<1或x>2,
故不等式的解集为{x|-2≤x<1或x>2}.
(2)不等式可化为≥0,
当-21};
当a=1时,不等式的解集为{x|-2≤x<1或x>1};
当a>1时,不等式的解集为{x|-2≤x<1或x>a}.
易错警示　把含等号的分式不等式化为整式不等式后,切记不要忽略原分式的分母不等于零这一条件.
思想方法练
1.D　由题意知,不等式≥1等价于x2-x-(a2-a-2)≥1,∴x2-x+1≥a2-a对任意实数x恒成立.∵x2-x+1=,
∴a2-a≤,解得-≤a≤,
将恒成立问题转化为函数的最值问题,体现了转化与化归思想.
∴实数a的最大值为.
2.答案　[-2,3]
解析　因为x>0,y>0,,
所以x+=6,
当且仅当时等号成立,
因为不等式x+≥m2-m恒成立,所以m2-m≤6,解得-2≤m≤3.
将恒成立问题转化为函数的最值问题,体现了转化与化归思想.
3.答案　m≤-2
解析　当0分离参数,转化不等式.
若不等式在0则只需m≤,0进一步转化为求最值.
又04.答案　[36,+∞)
解析　∵a>0,b>0,∴ab=a+b+6≥2+6,当且仅当a=b时等号成立,∴ab≥4+12,
∴-12≥0,即(+2)≥0,
∴≥6,∴ab≥36.
利用均值不等式将原等式转化为关于的一元二次不等式,解不等式即可.
思想方法　转化与化归思想在本章中的应用主要体现在不等式恒(能)成立问题与最值问题之间的转化,一元二次不等式与二次方程、二次函数之间的转化.
5.BD　由题意可得1和5是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,
由不等式的解集得到相应方程的根,应用方程思想.
由根与系数的关系可得1+5=-,所以b=-6a,c=5a.
通过根与系数的关系求得参数之间的关系.
易知A错误;
对于B,不等式bx+c>0即-6ax+5a>0,即6x-5>0,解得x>,故不等式bx+c>0的解集是,故B正确;
对于C,a+b+c=a-6a+5a=0,故C错误;
对于D,不等式cx2-bx+a<0即a(5x2+6x+1)<0,即5x2+6x+1>0,即(5x+1)(x+1)>0,解得x>-或x<-1,故不等式cx2-bx+a<0的解集为,故D正确.故选BD.
思想方法　函数与方程思想在本章中的体现:
(1)利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况,讨论不等式的解集情况;
(2)利用函数解决代数中有关取值范围的问题,以及函数在实际中的应用;
(3)利用方程解决与不等式有关的问题.
6.答案　{m|2-2}
解析　设函数y=x2-mx+m+2,其图象的对称轴为直线x=,
设出不等式对应的函数,考虑函数图象的特点,应用函数与方程思想.
①当≤-2,即m≤-4时,(-2)2-m×(-2)+m+2>0,解得m>-2,又∵m≤-4,∴无解;
②当-2<<4,即-4③当≥4,即m≥8时,42-m×4+m+2>0,解得m<6,
又∵m≥8,∴无解.
综上所述,m的取值范围为{m|2-2}.
7.解析　对不等式对应的方程是否有根进行分类讨论.
对于方程x2-2ax+2=0,Δ=4a2-8.
①当Δ<0,即-时,原不等式对应的方程无实根,且二次函数y=x2-2ax+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为 .
②当Δ=0,即a=±时,原不等式对应的方程有两个相等的实数根.
当a=时,原不等式的解集为{};
当a=-时,原不等式的解集为{-}.
③当Δ>0,即a>或a<-时,原不等式对应的方程有两个不等的实数根,分别为x1=a-,所以原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}.
综上所述,当-时,原不等式的解集为 ;
当a=时,原不等式的解集为{};
当a=-时,原不等式的解集为{-};
当a>或a<-时,原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}.
8.解析　(1)不等式y≤2恒成立即x2-(a-1)x+a≥0恒成立,所以Δ=[-(a-1)]2-4a≤0,解得3-2≤a≤3+2.
故a的取值范围为[3-2].
(2)不等式y>0等价于x2-(a-1)x+a-2<0,
即[x-(a-2)](x-1)<0.
当a-2>1,即a>3时,解不等式得1当a-2=1,即a=3时,不等式为(x-1)2<0,故不等式的解集为 ;
当a-2<1,即a<3时,解不等式得a-2综上所述,当a<3时,不等式的解集为{x|a-2当a=3时,不等式的解集为 ;
当a>3时,不等式的解集为{x|121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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