2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--第三章　函数（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
第三章　函数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)=+x0,则函数f(x)的定义域为(　　)
A.　　　　B.(-∞,0]
C.(-∞,0)∪　　　　D.(-∞,0)∪(0,4)
2.已知函数f(x)满足f,则f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=x2+2　　　　B.f(x)=x2
C.f(x)=x2+2(x≠0)　　　　D.f(x)=x2-2(x≠0)
3.若函数f(x)=ax2+(a-2b)x+a-1是定义在(-a,0)∪(0,2a-2)上的偶函数,则f =(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.
4.下图是函数y=f(x),x∈[-4,3]的图象,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在[-4,-1]上单调递减,在[-1,3]上单调递增
B.f(x)在(-1,3)上的最大值为3,最小值为-2
C.f(x)在[-4,1]上的最小值为-2,最大值为3
D.当直线y=t与函数y=f(x)的图象有三个交点时,-15.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(-5)+f(5)=(　　)
A.4　　　　B.0　　　　C.2m　　　　D.-m+4
6.若函数f(x)=则f(x)的值域为(　　)
A. C.
7.已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立.设a=f(-1),b=f(2),c=f(e)(其中e=2.718 28…),则a,b,c的大小关系为(　　)
A.c>a>b　　　　B.b>c>a　　　　C.b>a>c　　　　D.c>b>a
8.函数f(x)和g(x)的定义域均为R,且y=f(4-3x)为偶函数,y=g(2x+4)+1为奇函数, x∈R,均有f(x)+g(x)=x2+2,则f(6)g(6)=(　　)
A.335　　　　B.345　　　　C.356　　　　D.357
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列函数中,在区间(0,1)上是减函数的是(　　)
A.y=|x|　　　　B.y=3-x　　　　C.y=　　　　D.y=-x2+4
10.对任意两个实数a,b,定义min{a,b}=若f(x)=2-x2,g(x)=x2,则下列关于函数F(x)=min{f(x),g(x)}的说法正确的有(　　)
A.函数F(x)是偶函数
B.函数F(x)有2个单调区间
C.函数F(x)的最大值为1,无最小值
D.方程F(x)=0有三个不同的根
11.对于定义在区间D上的函数f(x),若满足 x1,x2∈D且x1A.f(1)=1 B.当0≤x≤时,f(x)=2x
C. x0∈,f(x0)<1 D. x∈,0≤f(f(x))≤1
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知函数f(x)=若f(a2-4)>f(3a),则实数a的取值范围是　　　　　　　.
13.已知函数y=f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且在(0,+∞)上单调递增, f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为　　　　　　　　.
14.已知函数f(x)=
(1)若a=0,则f(x)的最大值是　　　　;
(2)若f(x)存在最大值,则a的取值范围为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)=是R上的偶函数.
(1)求实数m的值;
(2)判断并用定义证明函数y=f(x)在(-∞,0)上的单调性.
16.(15分)自古以来,荆州就是一个以鱼产业闻名的地方,而荆州鱼糕更是该地区的八大名肴之一.相传荆州鱼糕起源于舜帝时代,由舜帝妃子女英创制.历经时代的演变,荆州鱼糕逐渐成为楚宫廷的头道菜肴.直到清朝,仍是一道宫廷菜.据说,乾隆皇帝曾品尝过荆州花糕后咏叹道:“食鱼不见鱼,可人百合糕.”当地某鱼糕生产企业由市场调研分析可知,当前鱼糕的产量供不应求,该企业每售出x千件鱼糕的销售额为W(x)千元,W(x)=且生产的总成本为(4x+4)千元.记该企业销售x千件鱼糕的利润为f(x)千元.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求f(x)的最大值.
17.(15分)已知f-1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)是定义在R上的奇函数,且x≤0时,g(x)=f(x)-x3-x2+2x,求函数g(x)的解析式;
(3)在(2)的条件下,解关于x的不等式g≤-g(x).
18.(17分)已知函数f(x)=ax2+mx+m-1(a≠0).
(1)若f(-1)=0,判断函数f(x)的零点个数;
(2)若对任意实数m,函数f(x)恒有两个零点,求实数a的取值范围;
(3)已知x1,x2∈R且x119.(17分)已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)设函数F(x)={[f(x)]2-2}+f(x)(a<0),求F(x)的最大值g(a);
(3)对于(2)中的g(a),若-m2+2nm+≤g(a)在n∈[-1,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
答案与解析
第三章　函数
1.C 2.A 3.B 4.C 5.A 6.D
7.B 8.B 9.BCD 10.ACD 11.ABD
1.C　要使函数有意义,需满足
解得x≤且x≠0,
所以函数的定义域为(-∞,0)∪.
2.A　由题意得f+2,∴f(x)=x2+2.
3.B　∵偶函数的定义域关于原点对称,
∴-a+2a-2=0,解得a=2.
∵f(-x)=f(x),∴a-2b=0,∴b=1.
∴f(x)=2x2+1,
∴f =f(1)=3.故选B.
4.C　由题图知,f(x)在[-4,-1]上单调递减,在[-1,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减,故A错误;
f(x)在区间(-1,3)上的最大值为f(1)=3,无最小值,故B错误;
f(x)在[-4,1]上的最小值为f(-1)=-2,最大值为f(1)=3,故C正确;
若直线y=t与函数y=f(x)的图象有三个交点,则-1≤t≤2,故D错误.
5.A　令g(x)=ax7-bx5+cx3,
易知g(x)为奇函数,f(x)=g(x)+2,
∴f(-5)=g(-5)+2=m,∴g(-5)=m-2,
∴g(5)=-g(-5)=-m+2,
∴f(5)=g(5)+2=4-m,
∴f(-5)+f(5)=4.
6.D　 当2当-1≤x≤2时,-x2+3x+10=-,所以f(x)∈.
综上,f(x)的值域为,
故选D.
7.B　由题意可得,函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,
因为函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(-1)=f(3),
因为1<2f(e)>f(3),即f(2)>f(e)>f(-1),所以b>c>a,故选B.
8.B　由函数y=f(4-3x)为偶函数,可得f(4-3x)=f(4+3x),所以f(4-x)=f(4+x),所以函数y=f(x)的图象关于直线x=4对称.
由y=g(2x+4)+1为奇函数,可得g(-2x+4)+1=-g(2x+4)-1,即g(-x+4)+1=-g(x+4)-1,
所以函数y=g(x)的图象关于(4,-1)对称.
由 x∈R,均有f(x)+g(x)=x2+2,得f(2)+g(2)=22+2=6.
因为y=f(x)的图象关于直线x=4对称,所以f(2)=f(6),
因为y=g(x)的图象关于(4,-1)对称,所以g(2)=-2-g(6),
所以f(6)-2-g(6)=6,所以f(6)-g(6)=8.①
又f(6)+g(6)=62+2=38,②
所以联立①②可得f(6)=23,g(6)=15,
所以f(6)g(6)=345.
9.BCD　y=|x|=易知其在区间(0,1)上为增函数,不符合题意;
易知y=3-x在区间(0,1)上为减函数,符合题意;
易知y=在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数,所以该函数在(0,1)上为减函数,符合题意;
y=-x2+4的图象开口向下,对称轴为直线x=0,所以该函数在区间(0,1)上为减函数,符合题意.
故选BCD.
10.ACD　依题意得F(x)=
画出F(x)的图象,如图中实线部分所示.
由图可知,F(x)为偶函数;F(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,1),单调递减区间为[-1,0],[1,+∞),
所以函数F(x)有4个单调区间;当x=±1时,F(x)取得最大值1,无最小值;
方程F(x)=0有三个不同的根,分别是-.
故选ACD.
11.ABD　对于A,因为 x∈[0,2],都有f(x)+f(2-x)=2,所以取x=1,得f(1)=1,故A正确;
对于B,当0≤x≤时,≤2-x≤2,
所以f(2-x)=2(2-x)-2=-2x+2,
又 x∈[0,2],都有f(x)+f(2-x)=2,即f(x)=2-f(2-x),
所以当0≤x≤时,f(x)=2-(-2x+2)=2x,故B正确;
对于C,由B中分析知f=1,
又f(x)为区间[0,2]上的“非减函数”,所以 x∈,f(x)≥1,故C错误;
对于D,由B中分析知f(0)=0,f=1,
又f(x)为区间[0,2]上的“非减函数”,
所以 x∈,f(x)∈[0,1],
令t=f(x),x∈,则t∈[0,1],
又f(0)=0,f(1)=1,f(x)为区间[0,2]上的“非减函数”,
所以f(t)∈[0,1],故D正确.
12.答案　(-∞,-1)∪(4,+∞)
解析　作出函数f(x)的图象如图所示,
由图可知,f(x)在R上单调递增,所以若f(a2-4)>f(3a),则a2-4>3a,解得a>4或a<-1.
13.答案　(-2,0)∪(0,2)
解析　∵f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,
∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,
又∵f(-2)=0,∴f(2)=0,
∴当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时,f(x)<0,
当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时,f(x)>0,
∴不等式xf(x)<0的解集为(-2,0)∪(0,2).
14.答案　1;(-∞,0]
解析　(1)若a=0,则f(x)=
当x≤1时,f(x)=-x2+1,所以f(x)∈(-∞,1],
又当x>1时, f(x)=0,
所以f(x)的最大值是1.
(2)当a=0时,由(1)知f(x)存在最大值,满足题意.
当a≠0时,若f(x)存在最大值,则f(x)=ax在(1,+∞)上单调递减,
所以a<0,
所以当x>1时,f(x)=ax当x≤1时,f(x)=-x2+ax+1=-+1,
则f(x)在上单调递增,在上单调递减,
所以f(x)≤f+1,
因为+1>a,所以f(x)存在最大值,满足题意.
故a的取值范围为(-∞,0].
15.解析　(1)因为函数f(x)=是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),(3分)
即对任意实数x恒成立,解得m=0.(6分)
(2)由(1)得f(x)=,此函数在(-∞,0)上单调递增.(7分)
证明:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1则f(x1)-f(x2)=,(9分)
因为x1,x2∈(-∞,0),且x1所以x2+x1<0,x2-x1>0,(1+)>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)=在(-∞,0)上单调递增.(13分)
16.解析　(1)f(x)=W(x)-(4x+4)=(2分)
即f(x)=(4分)
(2)当0所以当x=5时,函数f(x)取得最大值,为2×52+6×5-4=76;(8分)
当5因为112>76,
所以当x=11时,f(x)取得最大值112.(15分)
17.解析　(1)f,(2分)
令t=+1,则f(t)=t2-2t,t≠1,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).(4分)
(2)当x≤0时,g(x)=f(x)-x3-x2+2x=x2-2x-x3-x2+2x=-x3.(5分)
当x>0时,-x<0,则g(x)=-g(-x)=-x3.(7分)
所以函数g(x)的解析式为g(x)=-x3.(8分)
(3)不等式g≤-g(x)可化为g≤g,(10分)
易知g(x)=-x3是R上的减函数,
所以≥-x,(12分)
即x≥0,所以≤0,
解得x≤-或0所以原不等式的解集为.(15分)
18.解析　(1)∵f(-1)=0,∴a-m+m-1=0,∴a=1.
∴f(x)=x2+mx+m-1.(2分)
对于方程f(x)=0,Δ=m2-4(m-1)=(m-2)2,
当m=2时,Δ=0,函数f(x)有一个零点;(4分)
当m≠2时,Δ>0,函数f(x)有两个零点.(6分)
(2)∵函数f(x)恒有两个零点,
∴Δ1=m2-4a(m-1)>0对于m∈R恒成立,即m2-4am+4a>0恒成立,(8分)
∴Δ2=16a2-16a<0,解得0故实数a的取值范围为(0,1).(10分)
(3)证明:设g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],
则g(x1)=f(x1)-[f(x1)-f(x2)],
g(x2)=f(x2)-[f(x2)-f(x1)].(13分)
∵f(x1)≠f(x2),
∴g(x1)·g(x2)=-[f(x1)-f(x2)]2<0,(15分)
易知g(x)的图象在R上连续不断,
∴g(x)在区间(x1,x2)上有零点,
即g(x)=0在区间(x1,x2)上有实数根,
即方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]在区间(x1,x2)上有实数根.(17分)
19.解析　(1)由1+x≥0且1-x≥0,得-1≤x≤1,
则函数f(x)的定义域为[-1,1].(2分)
[f(x)]2=2+2,
∵∈[0,1],∴[f(x)]2∈[2,4],
易知f(x)>0,∴f(x)∈[,2],
即函数f(x)的值域为[,2].(4分)
(2)易得F(x)=.(5分)
令t=,
则t2-1,t∈[,2],
所以aat2+t-a.(6分)
令φ(t)=at2+t-a,t∈[,2],
因为a<0,所以函数y=at2+t-a的图象是开口向下的抛物线,且其对称轴为直线t=-.
①若-∈(0,],即a≤-,
则g(a)=φ(;
②若-∈(,2),即-,
则g(a)=φ;
③若-∈[2,+∞),即-≤a<0,
则g(a)=φ(2)=a+2.(8分)
综上,g(a)=(9分)
(3)由(2)易得g(a)min=.(10分)
要使-m2+2nm+≤g(a)在n∈[-1,1]上恒成立,
即使-m2+2nm+≤g(a)min在n∈[-1,1]上恒成立,
即使m2-2nm≥0在n∈[-1,1]上恒成立.(12分)
令h(n)=m2-2nm,n∈[-1,1],
若m=0,则h(n)=0≥0对任意n∈[-1,1]恒成立;(14分)
若m≠0,则
解得m≥2或m≤-2.(16分)
综上,实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞)∪{0}.(17分)
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