2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--第一章　集合与常用逻辑用语（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
第一章　集合与常用逻辑用语
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|-12},则A∪B=(　　)
A.(-1,3)　　　　B.(2,3) C.(-1,+∞)　　　　D.(2,+∞)
2.设命题p: n∈{n|n>1},n2>2n-1,则 p是(　　)
A. n {n|n>1},n2≤2n-1
B. n∈{n|n>1},n2≤2n-1
C. n∈{n|n≤1},n2>2n-1
D. n∈{n|n>1},n2≤2n-1
3.已知集合M={1,2,a,a2-3a-1},N={-1,3},若3∈M且N M,则实数a的值为(　　)
A.-1　　　　B.4　　　　 C.-1或-4　　　　D.-4或1
4.已知实数x,y,则“x>y”是“(x-y)(x+y)2>0”的(　　)
A.必要不充分条件　　　　B.充分不必要条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
5.已知非空集合M满足:对任意x∈M,总有x2 M且 M.若M {0,1,2,3,4,5},则满足条件的M的个数为(　　)
A.11　　　　B.12　　　　C.15　　　　D.16
6.高一年级某班30名同学参加体能测试,给出下列三个判断:
①有人通过了体能测试;
②同学甲没有通过体能测试;
③有人没有通过体能测试.
若这三个判断中只有一个是真的,则下列选项中正确的是(　　)
A.只有1名同学通过了体能测试
B.只有1名同学没有通过体能测试
C.30名同学都通过了体能测试
D.30名同学都没通过体能测试
7.已知条件p:a=b(ab≠0),条件q:a+,则p是q的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
8.对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M且x N},M N=(M-N)∪(N-M).设A=,B={x|x<0,x∈R},则A B=(　　)
A.
C.∪[0,+∞)　　　　D.∪(0,+∞)
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的有(　　)
A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B.命题“ x<1,x2<1”的否定是“存在x<1,使x2≥1”
C.若x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件
D.若a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
10.已知集合A={x|-3A.A∩(B∪C)　　　　B.A∪(B∩C)
C.A∩[ R(B∩C)]　　　　D.(A∩B)∪(A∩C)
11.将有理数集Q划分为两个非空子集M与N,且满足M∪N=Q,M∩N= ,M中的每一个元素都小于N中的元素,这种有理数的分割就是数学史上有名的戴德金分割.对于任一戴德金分割(M,N),下列选项中可能成立的是(　　)
A.M有一个最大元素,N有一个最小元素
B.M没有最大元素,N也没有最小元素
C.M没有最大元素,N有一个最小元素
D.M有一个最大元素,N没有最小元素
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.设集合U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若 UA={1,2},则实数m=　　　　.
13.设p:-m≤x≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为　　　　,若p是q的必要条件,则m的最小值为　　　　.
14.若 x∈{x|1≤x≤2}, t∈{t|1≤t≤2},使得x+2>t+m成立,则实数m的取值范围是　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知全集为R,集合A={x|x2<4},B={x|(x-m-1)(x-m-7)>0}.
(1)若m=-2,求集合A∪( RB);
(2)请在①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;②若x∈A,则x B;③A RB这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线上,并解答.
若　　　,求实数m的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
16.(15分)已知全集U为实数集,集合A={x|-1(1)若a=4,求图中阴影部分表示的集合M;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
17.(15分)已知全集U={x|0(1)求 UB;
(2)若a2+1∈ UB且a∈U,求实数a的值;
(3)设集合C=A∩( UB),若C的真子集共有3个,求实数m的值.
18.(17分)已知全集U=R,集合A={x∈R|x2-3x+b=0},B={x∈R|(x-2)(x2+3x-4)=0}.
(1)若b=4时,存在集合M使得A M B,求出所有满足条件的集合M;
(2)集合A,B能否满足( UB)∩A= 若能,求实数b的取值范围;若不能,请说明理由.
19.(17分)已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}.
(1)判断8,9,10是否属于A,并证明;
(2)已知集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:x∈A的一个充分不必要条件是x∈B;
(3)写出集合A中的所有偶数.
答案与解析
第一章　集合与常用逻辑用语
1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.C
7.A 8.C 9.ABD 10.ABD 11.BCD
1.C　在数轴上表示出A和B,如图所示:
由图可知,A∪B=(-1,+∞).
2.B　
3.B　因为3∈M,所以a=3或a2-3a-1=3.
若a=3,则a2-3a-1=-1,M={1,2,3,-1},不满足N M.
若a2-3a-1=3,则a=4或a=-1,
当a=4时,M={1,2,4,3},满足N M,
当a=-1时,M={1,2,-1,3},不满足N M.
综上,a的值为4.
4.A　由(x-y)(x+y)2>0可得x-y>0且x+y≠0,即x>y且x≠-y,故“x>y”是“(x-y)(x+y)2>0”的必要不充分条件.
5.A　由题意可得M是集合{2,3,4,5}的非空子集,且2,4不能同时为M中的元素,所以满足条件的M有24-1-4=11个,故选A.
6.C　若“同学甲没有通过体能测试”为真,则“有人没有通过体能测试”必为真,不符合题意,所以“同学甲没有通过体能测试”为假,即同学甲通过了体能测试,所以“有人通过了体能测试”为真,“有人没有通过体能测试”为假,所以30名同学都通过了体能测试.
故选C.
7.A　当a=b(ab≠0)时,必有a+,充分性成立;当a+时,有a=b(ab≠0)或a=(ab≠0),必要性不成立,所以p是q的充分不必要条件.故选A.
8.C　由题意得A-B={x|x≥0},B-A=,
所以A B={x|x≥0}∪∪[0,+∞),故选C.
9.ABD　因为a>1 0<<1,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件,故A正确;
命题“ x<1,x2<1”的否定为“存在x<1,使x2≥1”,故B正确;
当x≥2,y≥2时,x2+y2≥8>4,当x=1,y=3时,x2+y2=1+9=10>4,但不满足x≥2且y≥2,所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件,故C错误;
因为ab≠0 a≠0且b≠0,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件,故D正确.
故选ABD.
10.ABD　易得B∪C={x|x≤2},所以A∩(B∪C)={x|-3易得B∩C={x|-2因为B∩C={x|-2-1},
所以A∩[ R(B∩C)]={x|-3易得A∩B={x|-3所以(A∩B)∪(A∩C)={x|-311.BCD　假设M有一个最大元素m,N有一个最小元素n,则m若M={x∈Q|x<},N={x∈Q|x≥},则M没有最大元素,N也没有最小元素,故B可能成立;
若M={x∈Q|x<0},N={x∈Q|x≥0},则M没有最大元素,N有一个最小元素0,故C可能成立;
若M={x∈Q|x≤0},N={x∈Q|x>0},则M有一个最大元素0,N没有最小元素,故D可能成立.
故选BCD.
12.答案　-3
解析　∵U={0,1,2,3}, UA={1,2},∴A={0,3},即方程x2+mx=0的两个根为0和3,∴32+3m=0,故m=-3.
13.答案　1;4
解析　设A=[-m,m](m>0),B=[-1,4].
若p是q的充分条件,则A B,
所以解得0若p是q的必要条件,则B A,
所以解得m≥4,所以m的最小值为4.
14.答案　{m|m<2}
解析　由 x∈{x|1≤x≤2},x+2>t+m成立,得x+2的最小值大于t+m,因此3>t+m,则 t∈{t|1≤t≤2},使得t+m<3成立,故t的最小值小于3-m,即3-m>1,解得m<2.因此,实数m的取值范围是{m|m<2}.
15.解析　(1)A={x|x2<4}=(-2,2),(2分)
当m=-2时,B={x|(x+1)(x-5)>0}=(-∞,-1)∪(5,+∞),(4分)
∴ RB=[-1,5],∴A∪( RB)=(-2,5].(6分)
(2)A=(-2,2),B={x|(x-m-1)(x-m-7)>0}=(-∞,m+1)∪(m+7,+∞).(8分)
若选①,则A B,所以m+1≥2或m+7≤-2,(11分)
解得m≥1或m≤-9,所以实数m的取值范围为(-∞,-9]∪[1,+∞).(13分)
若选②,则A∩B= ,
所以m+1≤-2且m+7≥2,(11分)
解得-5≤m≤-3,所以实数m的取值范围为[-5,-3].(13分)
若选③,易得 RB=[m+1,m+7],则m+1≤-2且m+7≥2,(11分)
解得-5≤m≤-3,所以实数m的取值范围为[-5,-3].(13分)
16.解析　(1)当a=4时,B={x|5≤x≤11}.(2分)
因为全集U为实数集,集合A={x|-1所以 UA={x|x≤-1或x≥6}.(4分)
由题图可知阴影部分表示的集合是B∩( UA),(6分)
所以M=B∩( UA)={x|6≤x≤11}.(8分)
(2)因为A∪B=A,所以B A.(10分)
当B= 时,a+1>3a-1,解得a<1.(12分)
当B≠ 时,需满足解得1≤a<.(14分)
综上,实数a的取值范围为.(15分)
17.解析　(1)U={x|0因此 UB={2,3}.(4分)
(2)若a2+1∈ UB,则a2+1=2或a2+1=3,(6分)
解得a=±1或a=±,(8分)
又a∈U,∴a=1.(10分)
(3)∵A={1,2,m2}, UB={2,3},
∴当m2≠3时,C=A∩( UB)={2},此时集合C只有1个真子集,不符合题意,(12分)
当m2=3,即m=±时,C=A∩( UB)={2,3},此时集合C共有3个真子集,符合题意.(14分)
综上,m=±.(15分)
18.解析　(1)当b=4时,A={x∈R|x2-3x+4=0}= ,(2分)
易得B={-4,1,2},(4分)
若A M B,则M是B的一个非空真子集,(5分)
∴满足条件的集合M为{-4},{1},{2},{-4,1},{-4,2},{1,2}.(7分)
(2)由( UB)∩A= 得A B.(9分)
当A= 时,Δ=9-4b<0,解得b>,满足A B.(11分)
当A≠ 时,由(1)知B={-4,1,2},
若-4∈A,则b=-28,此时A={-4,7},不满足A B;
若1∈A,则b=2,此时A={1,2},满足A B;
若2∈A,则b=2,此时A={1,2},满足A B.(15分)
综上,集合A,B能满足( UB)∩A= ,满足条件的实数b的取值范围是.(17分)
19.解析　(1)8∈A,9∈A,10 A.(1分)
证明:∵8=32-1,9=52-42,∴8∈A,9∈A.(3分)
假设10=m2-n2,m,n∈Z,
则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10,且|m|+|n|>|m|-|n|>0,
∵10=1×10=2×5,∴显然均无整数解,∴10 A.(5分)
(2)证明:∵2k+1=(k+1)2-k2,k∈Z,
∴2k+1∈A,k∈Z,∴B A.(8分)
又∵8∈A但8 B,∴B A,
∴x∈A的一个充分不必要条件是x∈B.(10分)
(3)集合A={x|x=m2-n2=(m+n)(m-n),m,n∈Z},(11分)
①当m、n同奇或同偶时,m+n、m-n均为偶数,则(m+n)(m-n)为4的倍数;(13分)
②当m、n一奇一偶时,m+n、m-n均为奇数,则(m+n)(m-n)为奇数.(15分)
综上,集合A中的偶数为4k(k∈Z).(17分)
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