2025人教B版高中数学必修第一册同步练习题--第一章　集合与常用逻辑用语拔高练（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　集合的基本运算
1.(2023北京,1)已知集合M={x|x+2≥0},N={x|x-1<0},则M∩N=(　　)
A.{x|-2≤x<1}　　　B.{x|-2C.{x|x≥-2}　　　D.{x|x<1}
2.(2023全国甲文,1)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则N∪ UM=(　　)
A.{2,3,5}　　　B.{1,3,4} C.{1,2,4,5}　　　D.{2,3,4,5}
3.(2022新高考Ⅰ,1)若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N=(　　)
A.{x|0≤x<2}　　　B.
C.{x|3≤x<16}　　　D.
4.(2023全国甲理,1)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则 U(M∪N)=(　　)
A.{x|x=3k,k∈Z}　　　
B.{x|x=3k-1,k∈Z}
C.{x|x=3k-2,k∈Z}　　　
D.
考点2　集合基本运算的应用
5.(2023新课标Ⅱ,2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a=(　　)
A.2　　　B.1　　　C.　　　D.-1
6.(2023全国乙理,2)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1A. U(M∪N)　　　B.N∪ UM
C. U(M∩N)　　　D.M∪ UN
考点3　充分条件与必要条件的判定
7.(2023天津,2)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
8.(2022天津,2)“x为整数”是“2x+1为整数”的(　　)
A.充分不必要条件　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　
D.既不充分也不必要条件
9.(2020天津,2)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的(　　)
A.充分不必要条件　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　
D.既不充分也不必要条件
三年模拟练
应用实践
1.(2024江西宜春中学期末)已知命题p: x∈[1,2],都有x2∈[1,4],则 p为(　　)
A. x [1,2],都有x2 [1,4]
B. x [1,2],使得x2 [1,4]
C. x∈[1,2],都有x2∈(-∞,1)∪(4,+∞)
D. x∈[1,2],使得x2∈(-∞,1)∪(4,+∞)
2.(多选题)(2023河北保定期中)设集合M={x|x=(a+1)2+2,a∈Z},P={y|y=b2-4b+6,b∈N*},则下列关系正确的是(　　)
A.P M　　　B.1 P　　　
C.M=P　　　D.M∩P=
3.(2024上海中学期中)已知集合A={-1,1,2},B={y|y=x2,x∈A},则满足(A∩B) S (A∪B)的集合S共有(　　)
A.3个　　　B.4个　　　C.7个　　　D.8个
4.(2023广东梅州月考)集合A={x|-1A.[-2,0)　　　B.(0,2]　　　C.(-2,2)　　　D.[-2,2]
5.(多选题)(2023福建福州期中)下列结论中正确的是(　　)
A.“x2>4”是“x<-2”的必要不充分条件
B.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件
D.“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件
6.(多选题)(2024重庆八中月考)若非空数集M满足任意x,y∈M,都有x+y∈M,x-y∈M,则称M为“优集”.已知A,B是优集,则下列命题中正确的是(　　)
A.A∩B是优集
B.A∪B是优集
C.若A∪B是优集,则A B或B A
D.若A∪B是优集,则A∩B是优集
7.(2023北京师大附中期中)已知集合U={1,2,…,n},n∈N*.设集合A同时满足下列三个条件:①A U;②若x∈A,则2x A;③若x∈ UA,则2x UA.
(1)当n=4时,满足条件的集合A可以是　　　　;(写出一个即可)
(2)当n=7时,满足条件的集合A的个数为　　　　.
8.(2024江苏南京师范大学苏州实验学校学情调研)已知集合A={x|a-1≤x≤2a+1},B={x|-2≤x≤4}.在①A∪B=B;②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;③A∩B= 这三个条件中任选一个,补充到下面的横线处,并求解下列问题.
(1)当a=3时,求 R(A∩B);
(2)若　　　　,求实数a的取值范围.
迁移创新
9.(2022湖北巴东一中教学质量检测)某学校三好学生的评定标准如下:
(i)各学科成绩等级均不低于等级B,且达到A及以上等级的学科比例不低于85%;
(ii)无违反学校规定行为,且老师和同学对其品德投票评定为优秀的比例不低于85%;
(iii)体育学科综合成绩不低于85分.
设学生达到A及以上等级的学科比例为x%,学生的品德评定为优秀的比例为y%,学生的体育学科综合成绩为z(x,y,z∈[0,100]).用(x,y,z)表示学生的评定数据.已知参评候选人各学科成绩均不低于B,且无违反学校规定行为.
(1)下列条件中,是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有　　　　;
①(85,80,100),②(85,85,100),③x+y+z≥255,④x+y+z≥285.
(2)写出过往学期某同学被评定为三好学生的一个必要条件:　　　　.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.A 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.A
9.A
1.A　由题意知M={x|x≥-2},N={x|x<1},
则M∩N={x|-2≤x<1}.
2.A　因为U={1,2,3,4,5},M={1,4},
所以 UM={2,3,5},又因为N={2,5},
所以N∪ UM={2,3,5}.故选A.
3.D　由题意可知,M={x|0≤x<16},N=,故M∩N=.故选D.
4.A　由已知得M∪N={x|x=3k+1或x=3k+2,k∈Z},∴ U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z},故选A.
5.B　∵A B,∴0∈B,∴a-2=0或2a-2=0.
当a-2=0,即a=2时,A={0,-2},B={1,0,2},不满足A B,舍去;当2a-2=0,即a=1时,A={0,-1},B={-1,0,1},满足A B.综上,a=1,故选B.
6.A　由题意得M∪N={x|x<2},M∩N={x|-1-1},M∪ UN={x|x<1或x≥2},故选A.
7.B　因为a2=b2 a=b或a=-b,a2+b2=2ab (a-b)2=0 a=b,所以a2+b2=2ab a2=b2,但是a2=b2 /a2+b2=2ab,所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件,故选B.
8.A　充分性:当x为整数时,2x+1为整数,故充分性成立;
必要性:当2x+1为整数时,不妨令2x+1=4,则x=,不是整数,故必要性不成立.故选A.
9.A　由a2>a得a(a-1)>0,∴a>1或a<0.
据此可知“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件,故选A.
三年模拟练
1.D 2.BC 3.D 4.C 5.ACD 6.ACD
1.D　
2.BC　因为a∈Z,所以a+1∈Z,且(a+1)2+2≥2.因为b∈N*,所以b-2∈{-1,0,1,2,…},b2-4b+6=(b-2)2+2≥2.则M={2,12+2,22+2,32+2,…},P={2,12+2,22+2,32+2,…},所以1 P,M=P,故选BC.
3.D　因为集合A={-1,1,2},B={y|y=x2,x∈A},
所以B={1,4},所以A∩B={1},A∪B={-1,1,2,4},
又(A∩B) S (A∪B),
所以S可以为{1},{-1,1},{1,2},{1,4},{-1,1,2},{-1,1,4},{1,2,4},{-1,1,2,4},共8个.故选D.
4.C　A={x|-15.ACD　对于A,x2>4 x>2或x<-2,故“x2>4”是“x<-2”的必要不充分条件,故A正确;对于B,在△ABC中,AB2+AC2=BC2 △ABC为直角三角形,充分性成立,反之,不一定成立(直角不确定),故在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件,故B错误;对于C,若a2+b2≠0,则a,b不全为0(充分性成立),反之亦然(必要性成立),故C正确;对于D,“x为无理数”不能推出“x2为无理数”,如x=为无理数,而x2=2为有理数,故充分性不成立,反之成立,故“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件,故D正确.故选ACD.
6.ACD　对于A,任取x∈A∩B,y∈A∩B,即x,y∈A且x,y∈B,因为集合A,B是优集,所以x+y∈A,x+y∈B,x-y∈A,x-y∈B,所以x+y∈A∩B,x-y∈A∩B,所以A∩B是优集,故A正确;
对于B,取A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=3m,m∈Z},满足A,B为优集,则A∪B={x|x=2k或x=3k,k∈Z},令x=3,y=2,则x+y=5 A∪B,故B错误;
对于C,任取x∈A,y∈B,可得x,y∈A∪B,因为A∪B是优集,所以x+y∈A∪B,x-y∈A∪B,若x+y∈B,则x=(x+y)-y∈B,此时A B,若x+y∈A,则y=(x+y)-x∈A,此时B A,故C正确;
对于D,若A∪B是优集,则A B或B A,当A B时,A∩B=A,为优集,当B A时,A∩B=B,为优集,所以A∩B是优集,故D正确.故选ACD.
7.答案　(1){1,4}(答案不唯一)　(2)16
解析　(1)当n=4时,集合U={1,2,3,4}.当1∈A时,2 A,即2∈ UA,则4 UA,即4∈A,元素3与集合A的关系不确定,故A={1,4}或A={1,3,4}.当2∈A时,4 A,1 A,元素3与集合A的关系不确定,故A={2}或A={2,3}.答案不唯一.
(2)当n=7时,集合U={1,2,3,4,5,6,7},由题意易得1,4必须同属于A,此时2属于A的补集;或1,4必须同属于A的补集,此时2属于A.3属于A时,6属于A的补集;3属于A的补集时,6属于A.元素5,7没有限制,故满足条件的集合A可以为{1,4,6},{1,4,6,5},{1,4,6,7},{1,4,6,5,7},{1,4,3},{1,4,3,5},{1,4,3,7},{1,4,3,5,7},{2,3},{2,3,5},{2,3,7},{2,3,5,7},{2,6},{2,6,5},{2,6,7},{2,6,5,7},共有16个.
8.解析　(1)当a=3时,A={x|2≤x≤7},又B={x|-2≤x≤4},所以A∩B={x|2≤x≤4},则 R(A∩B)={x|x<2或x>4}.
(2)选①:因为A∪B=B,所以A B,
当A= 时,a-1>2a+1,解得a<-2,满足A B;
当A≠ 时,a≥-2,由A B得解得-1≤a≤.
综上所述,实数a的取值范围为(-∞,-2)∪.
选②:因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A B,
当A= 时,a-1>2a+1,解得a<-2,满足A B;
当A≠ 时,a≥-2,由A B得且等号不能同时成立,解得-1≤a≤.
综上所述,实数a的取值范围为(-∞,-2)∪.
选③:因为A∩B= ,所以分A= 和A≠ 两种情况,
当A= 时,a-1>2a+1,解得a<-2,满足A∩B= ;
当A≠ 时,a≥-2,由A∩B= 得2a+1<-2或a-1>4,解得a<-或a>5,又a≥-2,所以-2≤a<-或a>5.
综上所述,实数a的取值范围为∪(5,+∞).
9.答案　(1)②④　(2)x+y+z≥255(答案不唯一)
解析　(1)对于①,由数据可知,学生的品德评定为优秀的比例是80%,低于85%,不能被评为三好学生,充分性不成立;
对于②,由数据可知,学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准,充分性成立,反之,学生被评为三好学生,其评定数据不一定是(85,85,100),必要性不成立,故②符合题意;
对于③,由x≥85,y≥85,z≥85,得x+y+z≥255,故x+y+z≥255是学生可评为三好学生的必要条件,故③不符合题意;
对于④,易知x+y+z≥285是学生可评为三好学生的充分不必要条件,故④符合题意.
(2)由(1)可知,x+y+z≥255是“学生可评为三好学生”的必要条件,故该同学被评定为三好学生的必要条件可以是“x+y+z≥255”.答案不唯一.
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