广东省汕头市潮阳第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.
1．（2024高二下·潮阳期中）已知集合，，C=A∩B，则集合C的真子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】子集与真子集；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，所以集合，
因为集合C有2个元素，所以集合C的真子集个数为.
故答案为：B.
【分析】根据集合的交集运算求集合C，确定集合C中运算个数，求其真子集个数即可.
2．（2024高二下·潮阳期中） 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为复数满足，所以，则的虚部为1.
故答案为：B.
【分析】根据复数的乘除运算求出，再根据复数的概念判断即可.
3．（2024高二下·潮阳期中） 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）
A．是函数的最小值
B．是函数的极值
C．在区间上不单调
D．在处的切线的斜率大于0
【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由图可知：当时，，则函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
故是函数的最小值，也是极小值，
因为在区间上单调递增，所以在处的切线的斜率大于0.
故答案为：D.
【分析】利用导函数的图象判断函数的单调性以及最值、极值判断即可.
4．（2024高二下·潮阳期中） 已知按从小到大顺序排列的两组数据：
甲组：27，30，37，a，40，50；乙组：24，b，33，44，48，52．
若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则a+b=（ ）
A．60 B．65 C．70 D．75
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意，可得，解得，故
故答案为：C.
【分析】根据题干数据，分别求两组数据的第30百分位数和第50百分位数，列出方程组求解即可.
5．（2024高二下·潮阳期中） 已知，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：由，
.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式、余弦的二倍角公式，同角三角函数基本关系化简原式，代值求解即可.
6．（2024高二下·潮阳期中）某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰A必须安排在甲区域，则甲区域还有其它军舰的安排方案共有（ ）
A．50种 B．36种 C．24种 D．14种
【答案】B
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意，甲区域除军舰外至少还有一艘军舰，至多还有两艘军舰，
若甲区域除军舰外还有一艘军舰，则安排方案共有种；
若甲区域除军舰外还有两艘军舰，则安排方案共有种；
所以甲区域还有其它军舰的安排方案共有种.
故答案为：C.
【分析】按甲区域除军舰外还有一艘军舰、两艘军舰分情况讨论求解即可.
7．（2024高二下·潮阳期中） 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【解答】解：设关于平分线的对称点为，则三点共线，如图所示：
设，则，
又，所以为等边三角形，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理可得：，
即，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】设关于平分线的对称点为，根据题意可得三点共线，设，则，在中，分别求得，再利用余弦定理可得的齐次式求解即可得椭圆的离心率.
8．（2024高二下·潮阳期中） 设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，，，
令，，则，
令，则，
所以在上单调递增，，
所以，所以在上单调递增，所以，
则，即，即，
令，，则，
所以在上单调递减，则，
则，即，即，
所以，综上可知：.
故答案为：A.
【分析】根据对数函数的运算求得，令，，求导利用导数判断函数的单调性，即可判断、，再令，，利用导数判断函数的单调性，即可判断、，从而判断大小即可.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9．（2024高二下·潮阳期中） 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（ ）
A．
B．只有第4项的二项式系数最大
C．若展开式中各项系数之和为64，则
D．若，则展开式中常数项为15
【答案】A,B,D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：A、由的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则，
解得，故A正确；
B、由于，则二项式系数最大值为，即只有第4项的二项式系数最大，故B正确；
C、令得展开式中各项系数之和为，则或，故C错误；
D、若，则展开式的通项为，
则常数项为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据二项展开式的二项式系数之和、二项式系数的最值、各项系数之和、展开式的通项逐项判断即可.
10．（2024高二下·潮阳期中） 已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（ ）
A．直线与所成角的正切值为
B．三棱柱外接球的半径为
C．平面截正方体所得截面为等腰梯形
D．点到平面的距离为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；球内接多面体；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：A、因为，所以直线与所成角与直线与所成角相等，连接，
如图所示：
则，又因为，所以，故A正确；
B、三棱柱外接球与正方体外接球相同，
故外接球半径为，故B正确；
C、取中点，连接，过点作的平行线交于点，则，
所以平面截正方体所得截面为梯形，
由，所以，
所以，，所以，
所以梯形不是等腰梯形，故C错误；
D、设点到平面的距离为，则，而，
，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据等角定理可得直线与所成角与直线与所成角相等，计算出、即可判断A；由三棱柱外接球与正方体外接球相同，故计算正方体体对角线的一半即可判断B；借助平行线的性质可作出该截面，计算边长即可判断C；借助等体积法计算即可判断D.
11．（2024高二下·潮阳期中） 已知函数，其中，则（ ）．
A．不等式对恒成立
B．若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是
C．方程恰有3个实根
D．若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为
【答案】A,D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，，
当或时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
所以在处取得极小值，，在处取得极大值，，
而时，恒有成立，所以的最小值是，即，
对恒成立，故A正确；
B、若函数与直线有且只有两个交点，由A可得函数的大致图象如下：
由图可知，当或时，函数与直线有且只有两个交点，故B错误；
C、由，得，解得，令，和，
而，由图象可知，和分别有两解，
综上，方程共有4个根，故C错误；
D、直线过原点，且，，记，，
易判断，，不等式恰有1个负整数解，即曲线在的图象下方对应的x值恰有1个负整数，由图可得，即，故D正确．
故答案为：AD.
【分析】对函数求导，判断其单调性，求出其最小值，可判断A选项；作出曲线的图象，根据图象可判断B选项；令，解得，数形结合可判断C选项；由直线过原点，再结合图象分析即可判断D选项．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·潮阳期中） 若直线是曲线的一条切线，则实数的值为
【答案】-1
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设直线与曲线的切点为，
函数定义域为，求导得，
因为直线是曲线的一条切线，所以，解得，
所以，因为切点为在直线上，所以.
故答案为：-1.
【分析】先设直线与曲线的切点为，再根据导数的几何意义求解即可.
13．（2020·锦州模拟）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小一份的量为 .
【答案】
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设此等差数列为{an}，公差为d，则
（a3+a4+a5）× =a1+a2，即 ，解得a1= ，d= ，所以最小一份为a1 ，故答案为 。
【分析】根据已知条件将实际问题转化为等差数列的问题，再利用等差数列前n项和公式和等差数列通项公式，从而求出等差数列的首项和公差，进而求出最小一份的量就是等差数列的首项，从而求出最小一份的量。
14．（2024高二下·潮阳期中）在中，，点Q满足，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式；向量的模；平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】解：已知如图所示：
设中点为M，则，则，
，
又，
由余弦定理可得：，
有，
即，
即，当且仅当时等号成立，
则，
即.
故答案为：.
【分析】由题意，利用向量的线性运算、数量积与模长的关系、余弦定理及基本不等式求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出说明、证明过程或必要的演算步骤.
15．（2024高二下·潮阳期中） 在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，，．
（1）求角B的大小；
（2）若AD是∠BAC的内角平分线，当△ABC面积最大时，求AD的长．
【答案】（1）解：由，根据正弦定理可得，
由余弦定理得，又因为，所以．
（2）解：在中，由余弦定理得，
即，因为，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当a＝c＝4时，，
此时面积最大，当a＝c＝4时，，
又因为为的角平分线，所以，
所以在中，，
所以在中，由正弦定理得．
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理求解即可.
（2）由余弦定理与重要不等式可得面积最大时a、c的值，再在中利用正弦定理求AD的值即可.
16．（2024高二下·潮阳期中） 如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形．
（1）求证：平面BCD⊥平面ACE；
（2）若，，，求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值
【答案】（1）解：因为AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，所以BC⊥AC，
因为四边形OAED为矩形，OD⊥平面ABC，所以AE//OD，AE⊥平面ABC，
又因为平面ABC ，所以AE⊥BC
又因为，平面ACE，平面ACE，所以BC⊥平面ACE．
又因为平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACE.
（2）解：以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面ADE的法向量为，则，即，
令，得，所以，
设平面CDE的法向量为，则，即，
令，得，，所以，所以，
所以平面ADE和平面CDE夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意可得，平面，从而推出，即可证平面；
（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面和平面夹角的余弦值即可.
17．（2024高二下·潮阳期中）已知数列的首项，且满足.
（1）判断数列是否为等比数列；
（2）若，记数列的前项和为，求.
【答案】（1）解：若，解得，则数列不是等比数列；
若，即，因为，所以，
因为，所以，
所以，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）解：由（1）知，，所以，则，
则，
令，①
令②
所以，
①②相减得：
， 得.， 所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意，根据等比数列的定义进行判断即可；
（2）由（1）可得，利用错位相减法与分组求和法求解即可．
18．（2024高二下·潮阳期中） 已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为. E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且，是否存在m，n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：设，
由，
又点在上，所以，即，
由①②得：，
又E在双曲线C上，为双曲线C的右焦点，的最小值为，所以，
又，解得：，
所以双曲线C的标准方程为：.
（2）解：假设存在，由（1）知的渐近线方程为，
则由题意如图：
所以由，
设，则直线方程为，直线方程为，
由，得；由，得，
又，所以，
所以，，
同理可得，，
由四边形是平行四边形，知，
所以，，
即，所以，存在符合题意的椭圆，其方程为.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，由及可得，
得，再结合求解即可；
（2）设，则PM方程为，联立渐近线方程得到，进一步得到，同理得到，再利用计算即可.
19．（2024高二下·潮阳期中）已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）当时，求在上的最小值；
（3）若在上存在零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，函数的定义域为，，令，则，
变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则的极大值为：，没有极小值；
（2）解：当时，定义域为，，
令，定义域：，，
则在上是增函数，则，所以，
即在上是增函数，则.
（3）解：函数的定义域为，，
令，定义域：，，
（1）当时，，则在上是减函数，则，
当时，，则在上是减函数，，不合题意；
当时，，，则存在，使，即，
变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则，只需，即；
（2）当时，由（1）知在上是增函数，，不合题意；
（3）当时，在上是增函数，在上是增函数，
则在上是增函数，，不合题意，
综上所述，的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域以及导函数，利用导函数求函数的极值即可；
（2）求导，利用导数判断函数的单调性求最值即可；
（3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围.
1 / 1广东省汕头市潮阳第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.
1．（2024高二下·潮阳期中）已知集合，，C=A∩B，则集合C的真子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
2．（2024高二下·潮阳期中） 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·潮阳期中） 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）
A．是函数的最小值
B．是函数的极值
C．在区间上不单调
D．在处的切线的斜率大于0
4．（2024高二下·潮阳期中） 已知按从小到大顺序排列的两组数据：
甲组：27，30，37，a，40，50；乙组：24，b，33，44，48，52．
若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则a+b=（ ）
A．60 B．65 C．70 D．75
5．（2024高二下·潮阳期中） 已知，则=（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·潮阳期中）某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰A必须安排在甲区域，则甲区域还有其它军舰的安排方案共有（ ）
A．50种 B．36种 C．24种 D．14种
7．（2024高二下·潮阳期中） 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·潮阳期中） 设，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9．（2024高二下·潮阳期中） 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（ ）
A．
B．只有第4项的二项式系数最大
C．若展开式中各项系数之和为64，则
D．若，则展开式中常数项为15
10．（2024高二下·潮阳期中） 已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（ ）
A．直线与所成角的正切值为
B．三棱柱外接球的半径为
C．平面截正方体所得截面为等腰梯形
D．点到平面的距离为
11．（2024高二下·潮阳期中） 已知函数，其中，则（ ）．
A．不等式对恒成立
B．若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是
C．方程恰有3个实根
D．若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·潮阳期中） 若直线是曲线的一条切线，则实数的值为
13．（2020·锦州模拟）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小一份的量为 .
14．（2024高二下·潮阳期中）在中，，点Q满足，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出说明、证明过程或必要的演算步骤.
15．（2024高二下·潮阳期中） 在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，，．
（1）求角B的大小；
（2）若AD是∠BAC的内角平分线，当△ABC面积最大时，求AD的长．
16．（2024高二下·潮阳期中） 如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形．
（1）求证：平面BCD⊥平面ACE；
（2）若，，，求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值
17．（2024高二下·潮阳期中）已知数列的首项，且满足.
（1）判断数列是否为等比数列；
（2）若，记数列的前项和为，求.
18．（2024高二下·潮阳期中） 已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为. E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且，是否存在m，n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.
19．（2024高二下·潮阳期中）已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）当时，求在上的最小值；
（3）若在上存在零点，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】子集与真子集；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，所以集合，
因为集合C有2个元素，所以集合C的真子集个数为.
故答案为：B.
【分析】根据集合的交集运算求集合C，确定集合C中运算个数，求其真子集个数即可.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为复数满足，所以，则的虚部为1.
故答案为：B.
【分析】根据复数的乘除运算求出，再根据复数的概念判断即可.
3．【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由图可知：当时，，则函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
故是函数的最小值，也是极小值，
因为在区间上单调递增，所以在处的切线的斜率大于0.
故答案为：D.
【分析】利用导函数的图象判断函数的单调性以及最值、极值判断即可.
4．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意，可得，解得，故
故答案为：C.
【分析】根据题干数据，分别求两组数据的第30百分位数和第50百分位数，列出方程组求解即可.
5．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：由，
.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式、余弦的二倍角公式，同角三角函数基本关系化简原式，代值求解即可.
6．【答案】B
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意，甲区域除军舰外至少还有一艘军舰，至多还有两艘军舰，
若甲区域除军舰外还有一艘军舰，则安排方案共有种；
若甲区域除军舰外还有两艘军舰，则安排方案共有种；
所以甲区域还有其它军舰的安排方案共有种.
故答案为：C.
【分析】按甲区域除军舰外还有一艘军舰、两艘军舰分情况讨论求解即可.
7．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【解答】解：设关于平分线的对称点为，则三点共线，如图所示：
设，则，
又，所以为等边三角形，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理可得：，
即，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】设关于平分线的对称点为，根据题意可得三点共线，设，则，在中，分别求得，再利用余弦定理可得的齐次式求解即可得椭圆的离心率.
8．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，，，
令，，则，
令，则，
所以在上单调递增，，
所以，所以在上单调递增，所以，
则，即，即，
令，，则，
所以在上单调递减，则，
则，即，即，
所以，综上可知：.
故答案为：A.
【分析】根据对数函数的运算求得，令，，求导利用导数判断函数的单调性，即可判断、，再令，，利用导数判断函数的单调性，即可判断、，从而判断大小即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：A、由的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则，
解得，故A正确；
B、由于，则二项式系数最大值为，即只有第4项的二项式系数最大，故B正确；
C、令得展开式中各项系数之和为，则或，故C错误；
D、若，则展开式的通项为，
则常数项为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据二项展开式的二项式系数之和、二项式系数的最值、各项系数之和、展开式的通项逐项判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；球内接多面体；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：A、因为，所以直线与所成角与直线与所成角相等，连接，
如图所示：
则，又因为，所以，故A正确；
B、三棱柱外接球与正方体外接球相同，
故外接球半径为，故B正确；
C、取中点，连接，过点作的平行线交于点，则，
所以平面截正方体所得截面为梯形，
由，所以，
所以，，所以，
所以梯形不是等腰梯形，故C错误；
D、设点到平面的距离为，则，而，
，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据等角定理可得直线与所成角与直线与所成角相等，计算出、即可判断A；由三棱柱外接球与正方体外接球相同，故计算正方体体对角线的一半即可判断B；借助平行线的性质可作出该截面，计算边长即可判断C；借助等体积法计算即可判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，，
当或时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
所以在处取得极小值，，在处取得极大值，，
而时，恒有成立，所以的最小值是，即，
对恒成立，故A正确；
B、若函数与直线有且只有两个交点，由A可得函数的大致图象如下：
由图可知，当或时，函数与直线有且只有两个交点，故B错误；
C、由，得，解得，令，和，
而，由图象可知，和分别有两解，
综上，方程共有4个根，故C错误；
D、直线过原点，且，，记，，
易判断，，不等式恰有1个负整数解，即曲线在的图象下方对应的x值恰有1个负整数，由图可得，即，故D正确．
故答案为：AD.
【分析】对函数求导，判断其单调性，求出其最小值，可判断A选项；作出曲线的图象，根据图象可判断B选项；令，解得，数形结合可判断C选项；由直线过原点，再结合图象分析即可判断D选项．
12．【答案】-1
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设直线与曲线的切点为，
函数定义域为，求导得，
因为直线是曲线的一条切线，所以，解得，
所以，因为切点为在直线上，所以.
故答案为：-1.
【分析】先设直线与曲线的切点为，再根据导数的几何意义求解即可.
13．【答案】
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设此等差数列为{an}，公差为d，则
（a3+a4+a5）× =a1+a2，即 ，解得a1= ，d= ，所以最小一份为a1 ，故答案为 。
【分析】根据已知条件将实际问题转化为等差数列的问题，再利用等差数列前n项和公式和等差数列通项公式，从而求出等差数列的首项和公差，进而求出最小一份的量就是等差数列的首项，从而求出最小一份的量。
14．【答案】
【知识点】基本不等式；向量的模；平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】解：已知如图所示：
设中点为M，则，则，
，
又，
由余弦定理可得：，
有，
即，
即，当且仅当时等号成立，
则，
即.
故答案为：.
【分析】由题意，利用向量的线性运算、数量积与模长的关系、余弦定理及基本不等式求解即可.
15．【答案】（1）解：由，根据正弦定理可得，
由余弦定理得，又因为，所以．
（2）解：在中，由余弦定理得，
即，因为，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当a＝c＝4时，，
此时面积最大，当a＝c＝4时，，
又因为为的角平分线，所以，
所以在中，，
所以在中，由正弦定理得．
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理求解即可.
（2）由余弦定理与重要不等式可得面积最大时a、c的值，再在中利用正弦定理求AD的值即可.
16．【答案】（1）解：因为AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，所以BC⊥AC，
因为四边形OAED为矩形，OD⊥平面ABC，所以AE//OD，AE⊥平面ABC，
又因为平面ABC ，所以AE⊥BC
又因为，平面ACE，平面ACE，所以BC⊥平面ACE．
又因为平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACE.
（2）解：以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面ADE的法向量为，则，即，
令，得，所以，
设平面CDE的法向量为，则，即，
令，得，，所以，所以，
所以平面ADE和平面CDE夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意可得，平面，从而推出，即可证平面；
（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面和平面夹角的余弦值即可.
17．【答案】（1）解：若，解得，则数列不是等比数列；
若，即，因为，所以，
因为，所以，
所以，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）解：由（1）知，，所以，则，
则，
令，①
令②
所以，
①②相减得：
， 得.， 所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意，根据等比数列的定义进行判断即可；
（2）由（1）可得，利用错位相减法与分组求和法求解即可．
18．【答案】（1）解：设，
由，
又点在上，所以，即，
由①②得：，
又E在双曲线C上，为双曲线C的右焦点，的最小值为，所以，
又，解得：，
所以双曲线C的标准方程为：.
（2）解：假设存在，由（1）知的渐近线方程为，
则由题意如图：
所以由，
设，则直线方程为，直线方程为，
由，得；由，得，
又，所以，
所以，，
同理可得，，
由四边形是平行四边形，知，
所以，，
即，所以，存在符合题意的椭圆，其方程为.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，由及可得，
得，再结合求解即可；
（2）设，则PM方程为，联立渐近线方程得到，进一步得到，同理得到，再利用计算即可.
19．【答案】（1）解：当时，函数的定义域为，，令，则，
变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则的极大值为：，没有极小值；
（2）解：当时，定义域为，，
令，定义域：，，
则在上是增函数，则，所以，
即在上是增函数，则.
（3）解：函数的定义域为，，
令，定义域：，，
（1）当时，，则在上是减函数，则，
当时，，则在上是减函数，，不合题意；
当时，，，则存在，使，即，
变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则，只需，即；
（2）当时，由（1）知在上是增函数，，不合题意；
（3）当时，在上是增函数，在上是增函数，
则在上是增函数，，不合题意，
综上所述，的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域以及导函数，利用导函数求函数的极值即可；
（2）求导，利用导数判断函数的单调性求最值即可；
（3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围.
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