四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2024高二下·龙马潭期中）已知数列的前n项和为，则（ ）
A．81 B．162 C．243 D．486
2．（2024高二下·龙马潭期中）已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·龙马潭期中）若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·龙马潭期中）直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．（2024高二下·龙马潭期中）在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（ ）
A．3 B．9 C． D．
6．（2024高二下·龙马潭期中）甲 乙 丙 丁 戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·长沙开学考）设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·广东模拟）已知，，，则（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2024高二下·龙马潭期中）下列说法中正确的有（ ）
A．
B．函数的单调增区间为
C．一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是
D．，则
10．（2024高二下·龙马潭期中）已知，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·龙马潭期中）已知等差数列{}的前n项和 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当取得最大值时 D．当取得最大值时
12．（2023高三下·韶关开学考）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A．四边形面积的最大值为2 B．四边形周长的最大值为
C．为定值 D．四边形面积的最小值为32
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
13．（2024高二下·龙马潭期中）已知椭圆C：的离心率为，则椭圆的短轴长为 .
14．（2024高二下·龙马潭期中）设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂的产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件，则取到的次品的概率为 ．
15．（2024高二下·龙马潭期中）如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为 .
16．（2023高三上·湛江开学考）双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点，满足，的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（2024高二下·龙马潭期中）已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．
（1）判断点P是否在圆上，并证明你的结论；
（2）若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．
18．（2024高二下·龙马潭期中）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点
（1）证明：平面；
（2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.
19．（2024高二下·龙马潭期中）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为．
（1）若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望；
（2）若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．
20．（2022·新高考Ⅰ卷）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 ，的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明：
21．（2024高二下·龙马潭期中）如图，已知双曲线的右焦点，点分别在C的两条渐近线上，轴，（O为坐标原点）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过C上一点的直线与直线AF相交于点M，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值．
22．（2022·全国乙卷）已知函数 ．
（1）当 时，求 的最大值；
（2）若 恰有一个零点，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合与之间的关系分析求解.
2．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为 直线的倾斜角为，直线，
可知直线的倾斜角为，所以 直线的斜率为.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知直线的倾斜角为，即可得斜率.
3．【答案】B
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】解：因为：，则，
若曲线C表示圆，则，解得或，
所以 实数的取值范围为 .
故答案为：B.
【分析】将方程化为标准式，结合方程列式求解即可.
4．【答案】C
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由题意可知： 圆 的圆心为，半径，
则圆心在直线，
所以所求的弦长即为直径2.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得圆心和半径，可得圆心在直线，即可得结果.
5．【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为，是方程两根，则，
若， 则，可得，
所以，且满足，符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据题意利用韦达定理可得，结合等比数列性质分析求解.
6．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知：5个人去3个地方，共有种情况，
若5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为或
当5人被分为时，情况数为；
当5人被分为时，情况数为；
所以共有.
当5人被分为时，且甲去，
甲若为1，则，甲若为3，则
共计种，
当5人被分为时，且甲去，
甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，
可知 每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区共有种，
所以甲不在小区的概率为.
故答案为：B.
【分析】先求所有的可能性，再利用间接法求每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的可能性，结合古典概型分析求解.
7．【答案】D
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：根据题意， 因为，
所以，又由， 且，
所以，
故选： D.
【分析】根据题意， 根据 得， 由条件概率（指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率 ）可知 ， 即可判断.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为， ，
考虑构造函数，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
因为，所以，即，
所以，
所以，即，
又，
所以，故，
故答案为：B.
【分析】由，，构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
9．【答案】C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A：，故A错误；
对于B：因为函数定义域为，故B错误；
对于C：因为，则，
可知该质点在的瞬时速度为 ，故C正确；
对于D：若，则，故D正确；
故答案为：CD.
【分析】对于AD：根据导数的运算分析判断；对于B：根据函数定义域分析判断；对于C：根据导数值分析判断.
10．【答案】A,D
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：对于A：因为，可知，故A错误；
因为，
对于B：令，可得；
令，可得；
两式相减可得，故B错误；
对于C：令，可得，故C错误；
对于D：对两边同时求导可得
，
令，可得 ，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】对于A：可知，结合二项式展开式的通项分析求解；对于BC：利用赋值法分析求解；对于D：对等式两边同时求导，赋值即可得结果.
11．【答案】A,B,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：对于A：设等差数列公差为，
则，
可得，解得，故A正确；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，
所以当时，最大，故C正确，D错；
故答案为：ABC.
【分析】对于A：根据等差数列的求和公式可得，即可判断；对于B：根据等差数列通项公式分析判断；对于C：求，结合二次函数分析求解.
12．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】依题意，，解得，即抛物线：，焦点，准线方程为：，直线，与坐标轴不垂直，
因为，，则四边形为矩形，有，
当且仅当时取等号，，即四边形面积的最大值为2，A符合题意；
因为，则，
当且仅当时取等号，因此四边形周长的最大值为，B符合题意；
设直线方程为：，，由消去y得：，则，
，同理，
因此，C不符合题意；
四边形面积，
当且仅当时取等号，所以四边形面积的最小值为32，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，四边形为矩形，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B；设出直线方程为：，与抛物线方程联立，求出弦长，同理，即可计算推理判断C，D作答.
13．【答案】2
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知：，则，
可得，所以 椭圆的短轴长为.
故答案为：2.
【分析】根据椭圆方程结合离心率求，即可得结果.
14．【答案】0.035
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设 任取一件 产品，该产品为 甲、乙、丙 生产的产品 分别为事件、、，
从中任取一件，则取到的次品 为事件B，
可知，
，
由全概率公式可得，
所以取到的次品的概率为.
故答案为：0.035.
【分析】设相应事件，利用全概率公式分析求解.
15．【答案】
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：连接交于点，
因为平面，平面，则，
又因为四边形为菱形，则，
且，平面，可知平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，，
由题意可知：平面的一个法向量为，
因为平面，则，设，
则，
可知，当且仅当时，等号成立，
设点，其中，则，
由已知可得，
因为，解得，即点，
则，即，
因为平面，、平面，可知，，
所以.
故答案为：.
【分析】建系，根据平面分析可设，进而可得，根据异面直线夹角可得，可得，进而可得结果.
16．【答案】
【知识点】双曲线的定义；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】解：设三角形 内切圆半径为，与，y轴切点分别为，，，N，，
由三角形内切圆性质知，
又 ，圆与轴相切
根据圆的切线性质知，
由双曲线定义知，，
得，，即，化简得，，解得.
故答案为： .
【分析】根据三角形内切圆性质知，双曲线定义知，进而求得，，再利用勾股定理求解.
17．【答案】（1）解： 点P不在圆上．
证明如下：
∵，
∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上
（2）解： 由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，
综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得，即可判断结果；
(2) 由题意可知：圆心C到直线l的距离，分类讨论直线l的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分析求解.
18．【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
为中点，则，又，得，
由，，得，
所以四边形为平行四边形，，
又平面，平面，所以平面
（2），易知，又，得.
由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有.
如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则有，，
，
设平面的一个法向量为，则，
令，有，得，
，
设点到平面的距离为，.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】 (1) 取中点，连接，分析可知，结合线面平行的判定定理分析证明；
(2) 建系标点，求平面的法向量，结合点到面距离的向量表示分析求解.
19．【答案】（1）解：
，，
，
所以X的分布为
X 0 10 20 30
P
所以
（2）解： 记“该同学仅答对1道题”为事件M.
这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】 (1) 由题意可知：，进而求相应的概率，即可得分布列和期望；
(2) 根据题意结合独立重复性实验的概率公式分析求解.
20．【答案】（1）因为 是公差为 的等差数列，而 ，
所以 ①
时， ②
①-②有： .
所以 ，
以上式子相乘，得
经检验， 时， ，符合.
所以 .
（2）由（1）知
所以
所以 = =
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ．
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得 ，由利用Sn与an的关系，得 ，再利用累积法，可得an；
（2）由（1）得 ，利用裂项相消求和求得 ，再解不等式即可.
21．【答案】（1）解： 由题意知，直线OB方程为，直线OA的方程为，
因为，所以直线BF的方程为，与直线OB方程联立，
解得，把代入直线OA的方程得，所以
又因为ABOB，所以，解得，
故双曲线C的方程为
（2）解： 由（1）知，则直线的方程为，
即
因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点 ，
直线与直线的交点为 ，因为，
则
因为是C上一点，则，代入上式得
，所求定值为
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据题意可知：直线OB方程为，直线OA的方程为，求交点坐标斜率，根据垂直关系列式求解即可；
(2) 根据题意求得 ， ，利用两点间距离公式结合双曲线方程分析证明.
22．【答案】（1）解：当 时，
x （0，1） 1 （1，+∞）
f’（x） + 0 -
f（x） ↗ ↘
∴ 的最大值=f（1）=-1-ln1=-1
（2）解： 定义域为（0，+∞）
根据（1）得：a=0时，f（x）max=-1＜0，∴f（x）无零点
当a＜0时， x＞0，ax-1＜0，又x2＞0
x （0，1） 1 （1，+∞）
f’（x） + 0 -
f（x） ↗ ↘
∴ x＞0，f（x）≤f（1）=a-1＜0，∴f（x）无零点
当a＞0时，
①当0＜a＜1时， ＞1
x （0，1） 1 （1， ） （ ，+∞）
f’（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ ↘ ↗
∴ x∈（0， ]，f（x）≤f（1）=a-1＜0，
又 f（x）=+∞，∴f（x）恰有一个零点
②当a=1时， ，
∴f（x）在（0，+∞）上递增，
由f（1）=a-1=0可得，f（x）恰有一个零点
③当a＞1时， ∈（0，1]
x （0， ） （ ，1） 1 （1，+∞）
f’（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ ↘ ↗
∴ x∈[ ，+∞），f（x）≥f（1）=a-1＞0，
又 f（x）=-∞，∴f（x）恰有一个零点
综上所得a取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【分析】（1）将 代入，再对函数求导利用导数判断函数的单调性，从而求其最大值；
（2）求导得 ，分a=0、a＜0及a＞0三种情况讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
1 / 1四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2024高二下·龙马潭期中）已知数列的前n项和为，则（ ）
A．81 B．162 C．243 D．486
【答案】B
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合与之间的关系分析求解.
2．（2024高二下·龙马潭期中）已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为 直线的倾斜角为，直线，
可知直线的倾斜角为，所以 直线的斜率为.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知直线的倾斜角为，即可得斜率.
3．（2024高二下·龙马潭期中）若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】解：因为：，则，
若曲线C表示圆，则，解得或，
所以 实数的取值范围为 .
故答案为：B.
【分析】将方程化为标准式，结合方程列式求解即可.
4．（2024高二下·龙马潭期中）直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由题意可知： 圆 的圆心为，半径，
则圆心在直线，
所以所求的弦长即为直径2.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得圆心和半径，可得圆心在直线，即可得结果.
5．（2024高二下·龙马潭期中）在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（ ）
A．3 B．9 C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为，是方程两根，则，
若， 则，可得，
所以，且满足，符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据题意利用韦达定理可得，结合等比数列性质分析求解.
6．（2024高二下·龙马潭期中）甲 乙 丙 丁 戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知：5个人去3个地方，共有种情况，
若5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为或
当5人被分为时，情况数为；
当5人被分为时，情况数为；
所以共有.
当5人被分为时，且甲去，
甲若为1，则，甲若为3，则
共计种，
当5人被分为时，且甲去，
甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，
可知 每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区共有种，
所以甲不在小区的概率为.
故答案为：B.
【分析】先求所有的可能性，再利用间接法求每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的可能性，结合古典概型分析求解.
7．（2024高二下·长沙开学考）设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：根据题意， 因为，
所以，又由， 且，
所以，
故选： D.
【分析】根据题意， 根据 得， 由条件概率（指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率 ）可知 ， 即可判断.
8．（2023·广东模拟）已知，，，则（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为， ，
考虑构造函数，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
因为，所以，即，
所以，
所以，即，
又，
所以，故，
故答案为：B.
【分析】由，，构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2024高二下·龙马潭期中）下列说法中正确的有（ ）
A．
B．函数的单调增区间为
C．一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是
D．，则
【答案】C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A：，故A错误；
对于B：因为函数定义域为，故B错误；
对于C：因为，则，
可知该质点在的瞬时速度为 ，故C正确；
对于D：若，则，故D正确；
故答案为：CD.
【分析】对于AD：根据导数的运算分析判断；对于B：根据函数定义域分析判断；对于C：根据导数值分析判断.
10．（2024高二下·龙马潭期中）已知，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：对于A：因为，可知，故A错误；
因为，
对于B：令，可得；
令，可得；
两式相减可得，故B错误；
对于C：令，可得，故C错误；
对于D：对两边同时求导可得
，
令，可得 ，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】对于A：可知，结合二项式展开式的通项分析求解；对于BC：利用赋值法分析求解；对于D：对等式两边同时求导，赋值即可得结果.
11．（2024高二下·龙马潭期中）已知等差数列{}的前n项和 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当取得最大值时 D．当取得最大值时
【答案】A,B,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：对于A：设等差数列公差为，
则，
可得，解得，故A正确；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，
所以当时，最大，故C正确，D错；
故答案为：ABC.
【分析】对于A：根据等差数列的求和公式可得，即可判断；对于B：根据等差数列通项公式分析判断；对于C：求，结合二次函数分析求解.
12．（2023高三下·韶关开学考）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A．四边形面积的最大值为2 B．四边形周长的最大值为
C．为定值 D．四边形面积的最小值为32
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】依题意，，解得，即抛物线：，焦点，准线方程为：，直线，与坐标轴不垂直，
因为，，则四边形为矩形，有，
当且仅当时取等号，，即四边形面积的最大值为2，A符合题意；
因为，则，
当且仅当时取等号，因此四边形周长的最大值为，B符合题意；
设直线方程为：，，由消去y得：，则，
，同理，
因此，C不符合题意；
四边形面积，
当且仅当时取等号，所以四边形面积的最小值为32，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，四边形为矩形，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B；设出直线方程为：，与抛物线方程联立，求出弦长，同理，即可计算推理判断C，D作答.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
13．（2024高二下·龙马潭期中）已知椭圆C：的离心率为，则椭圆的短轴长为 .
【答案】2
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知：，则，
可得，所以 椭圆的短轴长为.
故答案为：2.
【分析】根据椭圆方程结合离心率求，即可得结果.
14．（2024高二下·龙马潭期中）设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂的产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件，则取到的次品的概率为 ．
【答案】0.035
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设 任取一件 产品，该产品为 甲、乙、丙 生产的产品 分别为事件、、，
从中任取一件，则取到的次品 为事件B，
可知，
，
由全概率公式可得，
所以取到的次品的概率为.
故答案为：0.035.
【分析】设相应事件，利用全概率公式分析求解.
15．（2024高二下·龙马潭期中）如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：连接交于点，
因为平面，平面，则，
又因为四边形为菱形，则，
且，平面，可知平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，，
由题意可知：平面的一个法向量为，
因为平面，则，设，
则，
可知，当且仅当时，等号成立，
设点，其中，则，
由已知可得，
因为，解得，即点，
则，即，
因为平面，、平面，可知，，
所以.
故答案为：.
【分析】建系，根据平面分析可设，进而可得，根据异面直线夹角可得，可得，进而可得结果.
16．（2023高三上·湛江开学考）双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点，满足，的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】解：设三角形 内切圆半径为，与，y轴切点分别为，，，N，，
由三角形内切圆性质知，
又 ，圆与轴相切
根据圆的切线性质知，
由双曲线定义知，，
得，，即，化简得，，解得.
故答案为： .
【分析】根据三角形内切圆性质知，双曲线定义知，进而求得，，再利用勾股定理求解.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（2024高二下·龙马潭期中）已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．
（1）判断点P是否在圆上，并证明你的结论；
（2）若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．
【答案】（1）解： 点P不在圆上．
证明如下：
∵，
∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上
（2）解： 由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，
综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得，即可判断结果；
(2) 由题意可知：圆心C到直线l的距离，分类讨论直线l的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分析求解.
18．（2024高二下·龙马潭期中）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点
（1）证明：平面；
（2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
为中点，则，又，得，
由，，得，
所以四边形为平行四边形，，
又平面，平面，所以平面
（2），易知，又，得.
由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有.
如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则有，，
，
设平面的一个法向量为，则，
令，有，得，
，
设点到平面的距离为，.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】 (1) 取中点，连接，分析可知，结合线面平行的判定定理分析证明；
(2) 建系标点，求平面的法向量，结合点到面距离的向量表示分析求解.
19．（2024高二下·龙马潭期中）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为．
（1）若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望；
（2）若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．
【答案】（1）解：
，，
，
所以X的分布为
X 0 10 20 30
P
所以
（2）解： 记“该同学仅答对1道题”为事件M.
这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】 (1) 由题意可知：，进而求相应的概率，即可得分布列和期望；
(2) 根据题意结合独立重复性实验的概率公式分析求解.
20．（2022·新高考Ⅰ卷）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 ，的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明：
【答案】（1）因为 是公差为 的等差数列，而 ，
所以 ①
时， ②
①-②有： .
所以 ，
以上式子相乘，得
经检验， 时， ，符合.
所以 .
（2）由（1）知
所以
所以 = =
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ．
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得 ，由利用Sn与an的关系，得 ，再利用累积法，可得an；
（2）由（1）得 ，利用裂项相消求和求得 ，再解不等式即可.
21．（2024高二下·龙马潭期中）如图，已知双曲线的右焦点，点分别在C的两条渐近线上，轴，（O为坐标原点）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过C上一点的直线与直线AF相交于点M，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值．
【答案】（1）解： 由题意知，直线OB方程为，直线OA的方程为，
因为，所以直线BF的方程为，与直线OB方程联立，
解得，把代入直线OA的方程得，所以
又因为ABOB，所以，解得，
故双曲线C的方程为
（2）解： 由（1）知，则直线的方程为，
即
因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点 ，
直线与直线的交点为 ，因为，
则
因为是C上一点，则，代入上式得
，所求定值为
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据题意可知：直线OB方程为，直线OA的方程为，求交点坐标斜率，根据垂直关系列式求解即可；
(2) 根据题意求得 ， ，利用两点间距离公式结合双曲线方程分析证明.
22．（2022·全国乙卷）已知函数 ．
（1）当 时，求 的最大值；
（2）若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当 时，
x （0，1） 1 （1，+∞）
f’（x） + 0 -
f（x） ↗ ↘
∴ 的最大值=f（1）=-1-ln1=-1
（2）解： 定义域为（0，+∞）
根据（1）得：a=0时，f（x）max=-1＜0，∴f（x）无零点
当a＜0时， x＞0，ax-1＜0，又x2＞0
x （0，1） 1 （1，+∞）
f’（x） + 0 -
f（x） ↗ ↘
∴ x＞0，f（x）≤f（1）=a-1＜0，∴f（x）无零点
当a＞0时，
①当0＜a＜1时， ＞1
x （0，1） 1 （1， ） （ ，+∞）
f’（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ ↘ ↗
∴ x∈（0， ]，f（x）≤f（1）=a-1＜0，
又 f（x）=+∞，∴f（x）恰有一个零点
②当a=1时， ，
∴f（x）在（0，+∞）上递增，
由f（1）=a-1=0可得，f（x）恰有一个零点
③当a＞1时， ∈（0，1]
x （0， ） （ ，1） 1 （1，+∞）
f’（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ ↘ ↗
∴ x∈[ ，+∞），f（x）≥f（1）=a-1＞0，
又 f（x）=-∞，∴f（x）恰有一个零点
综上所得a取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【分析】（1）将 代入，再对函数求导利用导数判断函数的单调性，从而求其最大值；
（2）求导得 ，分a=0、a＜0及a＞0三种情况讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
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