2024年江苏省连云港市中考数学试卷(含答案)

江苏省连云港市2024届中考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的相反数是( )
A. B.2 C. D.
2．2024年5月，全国最大的海上光伏项目获批落地连云港，批准用海面积约28000亩，总投资约90亿元.其中数据“28000”用科学记数法可以表示为( )
A. B. C. D.
3．下列运算结果等于的是( )
A. B. C. D.
4．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为( )
A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁
5．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物.将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点.则此重物移动路径的形状为( )
A.倾斜直线 B.抛物线 C.圆弧 D.水平直线
6．下列说法正确的是( )
A.10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B.从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C.小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
7．如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是( )
A. B. C. D.
8．已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为.小烨同学得出以下结论：①；②当时，y随x的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的.其中一定正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
二、填空题
9．如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作__________年.
10．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________.
11．如图，直线，直线，，则__________°.
12．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为__________.
13．杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为.则动力F关于动力臂l的函数表达式为__________.
14．如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________°.
15．如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF.再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG.若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，，则BC的长为__________.
16．如图，在中，，，.点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F.连接，取的中点E.在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________.
三、解答题
17．计算.
18．解不等式，并把解集在数轴上表示出来.
19．下面是某同学计算的解题过程：
解：①
②
③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程.
20．如图，与相交于点E，，.
（1）求证：；
（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上.（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
21．为了解七年级男生体能情况，某校随机抽取了七年级20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析：
【收集数据】
100948888527983648387
76899168779772839673
【整理数据】
该校规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀.（成绩用x表示）
等次 频数（人数） 频率
不合格 1 0.05
合格 a 0.20
良好 10 0.50
优秀 5 b
合计 20 1.00
【分析数据】
此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是c；
【解决问题】
（1）填空：__________，__________，__________；
（2）若该校七年级共有300名男生，估计体能测试能达到优秀的男生约有多少人？
（3）根据上述统计分析情况，写一条你的看法.
22．数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”.
（1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是__________；
（2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率.
23．我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品.折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
24．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为2.
（1）求k的值；
（2）利用图像直接写出时x的取值范围；
（3）如图2，将直线沿y轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积.
25．图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门O设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑.在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上.
（1）__________°，__________°；
（2）求点到道路的距离；
（3）若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，）
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）.
（1）若抛物线与x轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当时，过点、分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接、.求证：平分；
（3）当，时，过直线上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H.若的最大值为4，求b的值.
27．【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系.小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值.若，，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD.若，，求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，
所以的相反数是.
故选：D.
2．答案：B
解析：；
故选：B.
3．答案：C
解析：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：C.
4．答案：D
解析：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形.
故选D.
5．答案：C
解析：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A的运动轨迹是以O为圆心，为半径的一段圆弧，
故选：C.
6．答案：C
解析：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，不符合题意；
B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意；
C、“小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意；
D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意；
故选：C.
7．答案：A
解析：由图可得：阴影部分的周长为边长是的正方形的周长加上边长是的正方形的两条边长再减去，
阴影图形的周长是：，
故选：A.
8．答案：B
解析：根据题意可得：，
，
，
即，
，
，
的值可正也可负，
不能确定的正负；故①错误；
，
抛物线开口向下，且关于直线对称，
当时，y随x的增大而减小；故②正确；
，，
抛物线为，
，
，故③正确；
抛物线，
将向左平移1个单位得：，
抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误；
正确的有②③，
故选：B.
9．答案：
解析：公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作年；
故答案为：.
10．答案：
解析：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
.
故答案为：.
11．答案：30
解析：，
，
，
，
；
故答案为：30.
12．答案：
解析：若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
故答案为：.
13．答案：
解析：由题意可得，，
，即，
故答案为：.
14．答案：90
解析：是圆的直径，
所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为，
、、、所对的弧的和为半圆，
，
故答案为：90.
15．答案：
解析：设与交于点M，
矩形，
，，
翻折，
，，
设，则：，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：，经检验是原方程的解，
；
故答案为：.
16．答案：
解析：以C为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，
则：，
，
，
，
，
，
，
过点D作，则：，
，，
，，，
四边形为矩形，
，
，
E为P，F的中点，
，
令，，
则：，
点E在直线上运动，
当点P与C重合时，，此时，
当点P与A重合时，，此时，
点E所经过的路径长为；
故答案为：.
17．答案：
解析：原式.
18．答案：，图见解析
解析：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
解得.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
19．答案：从第②步开始出现错误，正确过程见解析
解析：从第②步开始出现错误.
正确的解题过程为：
原式.
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明：，
，.
在和中，，
；
（2）是的垂直平分线，
，，
由（1）的结论可知，，，
又，
则，
，
，
是的垂直平分线，
，，
，
四边形是菱形，
如图所示，菱形为所求.
21．答案：（1）4，0.25，83
（2）75人
（3）男生体能状况良好
解析：（1）；
；
把20个数据按从小到大的顺序排列为：52，64，68，72，73，76，77，79，83，83，83，87，88，88，89，91，94，96，97，100，
最中间的两个数据为83，83，
所以，，
故答案为：4，0.25，83；
（2）（人）
答：估计体能测试能达到优秀的男生约有75人；
（3）从样本的平均数、中位数和众数可以看出，男生整体体能状况良好.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是，
故答案为：.
（2）根据题意，画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的有2种，
小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率是.
23．答案：两次邮购的折扇分别是40把和160把
解析：若每次购买都是100把，则.
一次购买少于100把，另一次购买多于100把.
设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把.
由题意得：，
解得.
.
答：两次邮购的折扇分别是40把和160把.
24．答案：（1）
（2）或
（3）8
解析：（1）点A在的图像上，
当时，.
，
将点代入，得.
（2）由（1）知：，
联立，解得：或，
；
由图像可得：时x的取值范围为：或.
（3），
当时，，
，
将直线沿y轴向下平移4个单位，
，直线的解析式为：，设直线与x轴交于点H，
当时，，当时，，
，，
，
，
如图，过点C作，垂足为G，
.
又，，
.
连接，，
平移，
，，
四边形为平行四边形，
阴影部分面积等于的面积，即.
25．答案：（1），
（2）2.0千米
（3）
解析：（1）正八边形的一个外角的度数为：，
，；
故答案为：90，76；
（2）过点作，垂足为D.
在中，，，
.
在中，，
.
答：点到道路的距离为2.0千米.
（3）连接并延长交于点E，延长交于点G，过点作，垂足为F.
正八边形的外角均为，
在中，.
.
又，，
.
，，
，
，即，
，
.
答：小李离点B不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响.
26．答案：（1）
（2）见解析
（3）
解析：（1）分别将，代入，
得，
解得.
函数表达式为；
（2）连接，
，
.
当时，，即点，当时，，即点.
，，
，，，
在中，.
，
，
.
，
.
.
平分.
（3）设，则，.
当时，.
令，
解得，.
，
，
点G在H的上方（如图1）.
设，
故，
其对称轴为，且.
①当时，即.
由图2可知：
当时，t取得最大值.
解得或（舍去）.
②当时，得，
由图3可知：
当时，t取得最大值.
解得（舍去）.
综上所述，b的值为.
27．答案：（1）2
（2）
（3）
（4）
解析：（1）如图，
正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形，
设，，
，，
，，
大正方形面积是小正方形面积的2倍.
（2）如图，，
，，
，，
，
如图，
结合图形变换可得：；
（3）如图，将绕点P逆时针旋转，
D在以P为圆心，为半径的圆上运动，
A为圆外一个定点，
当与相切时，最大，
，
，
由（2）可得：，
，，
，
；
（4）如图，将沿对折，D的对应点为，将沿对折，E的对应点为，连接，
，，
再将沿方向平移，使A与重合，如图，得，
由（2）可得：，
当，，B三点共线时，最短，
，，
，，
；
的最小值为.