湖南省长沙市浏阳第一中学2024届高三下学期6月适应性考试数学试卷（含解析）

浏阳市第一中学2024届高三下学期6月适应性考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合，集合，若，则( )
A. B.0 C.1 D.2
2．已知复数，则( )
A. B. C. D.
3．已知平面向量，，，若，，则为( )
A.5 B. C.2 D.
4．2024年春节期间，有《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《第二十条》、《·逆转时空》、《红毯先生》等五部电影上映，小李准备和另3名同学一行去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小李看《热辣滚烫》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为( )
A. B. C. D.
5．已知函数的一个零点是，且在上单调，则( )
A. B. C. D.
6．物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中,以n开头的数出现的概率为.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若,则k的值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，且满足，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．若函数恰好有四个零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列命题正确的是( )
A.已知，若，则
B.若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数
C.数据，，，，的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数
D.数据12，23，35，47，61的75百分位数为47
10．若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是( )
A.点在圆内
B.直线的方程为
C.圆上的点到直线距离的最大值为
D.圆上存在两点P，Q，使得
11．如图，在平行四边形中，，，，E，F分别为，的中点，沿将折起到的位置（不在平面上），在折起过程中，下列说法不正确的是( )
A.若M是的中点，则平面
B.存在某位置，使
C.当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为
D.直线和平面所成的角的最大值为
三、填空题
12．在中，，，，则______.
13．在棱长为的正方体中，以为球心、2为半径的球与正方体的面相交，则交线长为______.
四、双空题
14．一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数和大于，则算过关.游戏者可以随意挑战某一关.若直接挑战第三关，则通关的概率为______，若直接挑战第四关，则不能通关的概率为______
五、解答题
15．如图，三棱柱，侧面底面，且，.
（1）证明：平面；
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值.
16．已知函数，是的导函数，且.
（1）若曲线在处的切线为，求k，b的值；
（2）在（1）的条件下，证明：.
17．已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足.
①求数列的前n项和；
②若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
18．双曲线上一点到左、右焦点距离之差为6.
（1）求C的方程；
（2）已知，，过点的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，直线与交于点P，试问点P到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19．设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式.
（1）若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值；
（2）对于正整数时，是否有成立？
（3）已知函数在区间上有3个不同的零点，分别记为，，，证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：集合，集合，若，则.
2．答案：D
解析：因为，所以，所以.
3．答案：A
解析：由于，，所以，解得，，所以，所以.
4．答案：C
解析：依题意每位同学均有5种选择，则四位同学一共有种方案，
若小李看《热辣滚烫》，且4人中恰有两人看同一部电影，
有①两人看《热辣滚烫》，则有种方案，②一人看《热辣滚烫》，则有种方案，
即满足小李看《热辣滚烫》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案，
所求概率.
5．答案：B
解析：因为，
，且时，
可得，且，
若在上单调，则，解得，
又因为的一个零点是，则，，解得，，
所以，.
故选：B.
6．答案：C
解析：,
而,故.
故选：C.
7．答案：D
解析：在中，由正弦定理得，则....①，....②，由①②可得，
点P在双曲线的右支上，∴，整理可得：，且，
，且.解得.
8．答案：C
解析：因为，所以不是的零点，
当时，令，得，令，
由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
且当x趋近时，趋近2，如图所示：
所以当时，与的图象有且仅有四个交点，
此时函数恰好有四个零点.
9．答案：ABD
解析：对于A：已知，若，
则，A正确；
对于B：若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则变量与变量之间满足线性函数关系，则决定系数，B正确；
对于C：不妨设，，，，，，
则，解得，此时，
故找到一组数，，4，，，数据中有大于5的数，C错误；
对于D：，故这组数据的75百分位数为47，D正确.
10．答案：BC
解析：因为，所以点在圆外，故A错误；
对于B，圆与圆交于A，B两点，因为圆和圆相交，将两圆相减可得：，即公共弦所在直线的方程为，故B正确；
对于C，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线距离的最大值为，故C正确；
直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，D错误.
11．答案：ABD
解析：取中点Q，连接、，若A正确，则平面，且为三角形中位线，则，又面，则面，，，平面，平面平面，面平面，面平面，，由题意为三角形中位线，，矛盾，假设不成立，故A错误；
以A为坐标原点，为y轴正半轴，在平面中作与垂直方向为x轴正半轴，z轴垂直平面，建立空间坐标系.
，，，，
，，，即，又，，
若B正确，则有，，，平面，平面，平面，则必定成立.
则根据题意，可得，，，，，，则，即不成立，矛盾，故B不成立；
当二面角为直二面角时，即平面平面.
根据上面可知，，
又，，，平面，平面，
平面，，故四面体为所有面都是直角三角形的四面体，
根据外接球性质可知，球心必为中点K，即为外接球半径.
，，由勾股定理可知，则，外接球面积为，故C正确.
当平面平面时，直线和平面所成的角的最大，记此时角为.
由图可知，在中，，，，
由余弦定理可解得.
此时.此时，故D错.
12．答案：答案为：2
解析：，，，
则，解得.
13．答案：答案为：
解析：因为在正方体中，平面，
所以平面与球的截面是以A为圆心的圆，且半径为，
所以球面与底面的交线是以A为圆心，为半径的弧，
该交线的长度为.
14．答案：答案：；
解析：若挑战第3关，则掷3次骰子，总的可能数为种，
不能过关的基本事件为方程，其中的正整数解的总数，
共有种，不能过关的概率为.故通关的概率为.
若挑战第4关，则投掷4次骰子，总的可能数为种，
不能通关的基本事件为方程，其中的正整数解的总数，
当，共有种，
当时，种，
当时，种，
当时，种，
当时，种.
当时，种.
当时，种.
当时，
种，
所以不能过关的概率为.
15．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：取的中点M，连结、.
因为，，所以，.
由于，平面，且，因此平面.
因为平面，所以.
又因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面.因为，所以平面.
（2）因为，且，所以.
以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
所以，，.
设平面的法向量为则，
令，则，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设平面与平面夹角为，则，
16．答案：（1），；
（2）证明见解析
解析：（1）由题意得，则.
因为，所以.则在点处的切线斜率为.
又因为，所以在点处的切线方程为，即得，.
（2）证明：设函数，，则.
设，则，所以，当时，，单调递增.又因为，所以，时，，单调递增；
当时，，单调递减.又当时，，
单调递减，综上，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
即，所以，当时，.
17．答案：（1）；
（2）①；；②
解析：（1）因为①，
当时，，当时，②，
得，即；因为符合，所以，
（2）①由（1）知，所以，，
所以，两式相减得，
，所以；
②由①得，
设，则数列是递增数列.
当n为偶数时，恒成立，所以；
当n为奇数时，恒成立，所以即.
综上，的取值范围是.
18．答案：（1）；
（2）点P到直线的距离为定值，定值为
解析：（1）因为双曲线C上一点到左、右焦点的距离之差为6，
所以，解得，，则C的方程为；
（2）当直线l垂直于x轴时，可得直线l的方程为，
因为过点的直线l垂与C交于M，N（异于A，B）两点，解得，
不妨令，，易得直线的方程为，
直线的方程为，联立，解得，
则点P到直线的距离；
当直线l的斜率存在时，不妨设直线l的方程为，，，
联立，消去x并整理得，此时满足，
由韦达定理得，，
所以直线的方程为，直线的方程为，联立，消去y并整理得，解得，
所以点P在定直线上，因为直线与直线之间的距离为，
综上得，点P到直线的距离为定值，定值为.
19．答案：（1），，；
（2）有，证明见解析；
（3）证明见解析
解析：（1）根据题中条件可得：
，
所以，即，
对照系数可得：，，；
（2）成立，理由如下：
要证成立.
只需证明和差化积式：.
首先有如下两个式子：
，
，
两式左右分别相加得：，
将替换为x，所以，即.
所以对于正整数时，有成立；
（3）证明：函数在区间上有3个不同的零点，，，
即方程在区间上有3个不同的实根，
令，，由（1）知，且，
解得或或，即或或，
所以，，，
则，
而，
所以.