2023~2024学年新疆和田地区策勒县和田地区策勒县第一中学高一上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年新疆和田地区策勒县和田地区策勒县第一中学高一上学期
期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、集合 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、已知复数 ，则 在复平面内对应第（ ）象限
A.一
B.二
C.三
D.四
3、已知直线 方程为 ，直线 方程为 ，则两直线交点坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知 ， ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知 、 、 均为单位向量， ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ）
A.
B.1
C.
D.
8、阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 ( 且 )的
点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 、 间的距离为 ，动点 与 、 距离之比为 ，
当 、 、 不共线时， 面积的最大值是（ ）.
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知直线m方程为 ，则下列说法中正确的是（ ）
A.直线m斜率为
B.直线m横截距为1
C.直线m纵截距为
D.点 不在直线m上
10、已知圆C方程为 ，则下列说法中正确的是（ ）
A.圆C的圆心坐标为
B.圆C的半径为3
C.圆C与直线 相切
D.点 在圆外
11、给出下列命题，其中不正确的为（ ）
A.若 ，则必有 与 重合， 与 重合， 与 为同一线段
B.若 ，则 ， 是钝角
C.若 ，则 与 一定共线
D.非零向量 满足 与 ， 与 ， 与 都是共面向量，则 必共面
过点 ， ，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知点 ，点 ，且过 、 两点直线斜率 ，则 .
14、过点 ，且倾斜角为45°的直线的点斜式方程为
15、已知椭圆方程为 ，点P为椭圆上一点，且点P到椭圆其中一个焦点 距离为3，则
16、动点 与定点 的连线的斜率之积为 ，则点 的轨迹方程是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知 ， ，求
(1) ；
(2)
18、（本小题12分）
已知直线 与直线 相交于点 ，则
(1)求过点 且平行于直线 的直线
(2)求过点 且垂直于直线 的直线
19、（本小题12分）
已知焦点在 轴上，且 ， ，则：
(1)求椭圆标准方程；
(2)求椭圆离心率.
20、（本小题12分）
已知双曲线焦点在x轴上，且焦距为6， ，则
(1)求双曲线标准方程；
(2)判断点 在 不在双曲线上，并说明理由.
21、（本小题12分）
已知圆 方程为 ，直线 方程为 ，则
(1)求圆 圆心坐标及半径 ；
(2)判断直线 与圆 位置关系 ，若相交，求弦长.
22、（本小题12分）
已知三棱柱 ，底面三角形 为正三角形，侧棱 底面 ， ， 为
的中点， 为 中点.
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求平面 和平面 所成的 锐二面角的余弦值.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
由交集的运算，即可得到结果.
【详解】
因为集合 ，则 .
故选：B
2、
【答 案】
A
【分析】
利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】
复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，该点位于第一象限.
故选：A.
3、
【答 案】
A
【分析】
联立两直线方程，可得出两直线的交点坐标.
【详解】
联立 ，解得 ，因此，两直线的交点坐标为 .
故选：A.
4、
【答 案】
C
【分析】
根据空间向量坐标运算法则计算.
【详解】
.
故选：C
5、
【答 案】
D
【分析】
由已知可得 ，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数 的值.
【详解】
因为 ， ， ，
则 ，解得 .
故选：D.
6、
【答 案】
C
【分析】
利用空间向量数量积的定义与运算性质可求得 的值.
【详解】
因为 、 、 均为单位向量， ， ，
由空间向量数量积的定义可得 ， ，
所以， ，
因此， .
故选：C.
7、
【答 案】
A
【分析】
∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），
AB ＝（1，0，0）， ＝（﹣1，2，﹣2），
∴点A到直线BC的距离为：
AB BC
d＝ AB AB BC AB
AB BC
＝1× ＝ ．
因此正确答案为：A
8、
【答 案】
D
【分析】
如下图所示，以经过 、 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建系，如图：
则 ， 、 ， ，设 ， ，
∵ ，∴ ，
两边平方并整理得： ，
所以圆的半径为 ，
∴ 面积的最大值是 .
因此正确答案为：D．
二、多选题
9、
【答 案】
A;C
【分析】
A选项，变形为 ，得到斜率；B选项，令 求出横截距；C选项，令 求出纵截距；D选项，
代入 检验即可.
【详解】
A选项， 变形为 ，故直线m斜率为 ，A正确；
B选项， 中令 得， ，故直线m横截距为-1，B错误；
C选项， 中令 得， ，故直线m纵截距为 ，C正确；
D选项，当 时， ，故点 在直线m上，D错误.
故选：AC
10、
【答案 】
B;C;D
【分析】
由圆的标准方程可判断A，B；由圆心到直线的距离与半径比较可判断C；将点 代入圆的方程可判断D.
【详解】
已知圆C方 程为 ，
故圆C的圆心坐标为 ，半径为3，
故A错误；B正确；
圆C 到直线 的距离为 ，故C正确；
点 代入圆C方程为 ，故点 在圆外，故D正确.
故选：BCD.
11、
【答 案】
A;B;D
【分析】
A选项，考虑平行四边形 中，满足 ，不满足 与 重合， 与 重合， 与 为同一线段，
故A错，
B选项，当两个非零向量 的夹角为 时，满足 ，但它们的夹角不是钝角，故B错，
C选项，当 时， ，则 与 一定共线，故C对，
D选项，考虑三棱柱 ， ，满足 与 ， 与 ， 与 都是共
面向量，但 ， ， 不共面，故D错，
故选ABD.
12、
【答 案】
A;C
【分析】
设所求直线方程为 ( 、 不同时为 )，
显然，当 或 时，所得直线方程不满足题意，故 、 均不为 ，
当 时， ，当 时， ，
通过题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则 ，
令 ，则 ，整理，得 ，
解得 ，或 ，则 ，或 ，
故所求直线方程为 或 ，
因此正确答案为：AC.
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
利用斜率公式可得出关于实数 的等式，解之即可.
【详解】
已知点 ，点 ，由斜率公式可得 ，解得 .
故答案为： .
14、
【答 案】
【分析】
由直线的点斜式方程求解即可.
【详解】
因为 ，
所以过点 ， 且倾斜角为45°的直线的点斜式方程为:
.
故答案为：
15、
【答案 】
【分析】
由椭圆的定义求解即可.
【详解】
由椭圆的方程 可得： ，
由椭圆的定义知： ，因为点P到椭圆其中一个焦点 距离为3，
故 .
故答案为：
16、
【答 案】
（ ）
【分析】
根据题意可知：点 的轨迹是以 为直径的圆（ 除外），进而可得结果.
【详解】
由题意可知 ： ，则点 的轨迹是以 为直径的圆（ 除外），
即以 的中点 为圆心，半径为1的圆，
所以点 的轨迹方程是 .
故答案为： .
四、解答题
17、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）由空间向量的模长公式求解即可；
（2）由空间向量的坐标运算求解即可.
【详解】
（1）因为 ，所以 .
2 （ ）因为 ， ，
所以 ，所以 .
18、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）先求出 点坐标，利用两直线平行得到所求直线斜率后，即可求出结果；
（2）利用两直线垂直得到所求直线的斜率后，即可求出结果.
【详解】
（1）由 解得 ，即 ，
因为直线 的斜率为 ，
所以过点 且平行于直线 的直线 的斜率为 ，
所以直线 为： ，化简得 .
（2）因为直线 的斜率为 ，
所以点 且垂直于直线 的直线 的斜率为
所以直线 为： ，化简得 .
19、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）根据题中信息直接写出椭圆的标准方程；
（2）求出 的值，即可得出该椭圆的离心率.
【详解】
（1）解：因为椭圆焦点在 轴上，且 ， ，故该椭圆的标准方程为 .
（2）解：由已知可得 ，故该椭圆的离心率为 .
20、
【答案 】
(1)
(2)点 在双曲线上
【分析】
（1）求得 ，由此求得双曲线的标准方程.
（2）根据点的坐标满足方程，由此得点在 双曲线上.
【详解】
1 （ ）因为双曲线的焦距为6，所以 ，又 ，所以 ，
又双曲线的焦点在 轴上，所以双曲线的标准方程为 ；
（2）因为 ，所以点 的坐标满足双曲线的方程 ，
所以点 在双曲线 上.
21、
【答案 】
(1)圆心坐标为 ，半径为
(2)相交，且弦长为
【分析】
（1）将圆 的方程化为标准方程，可得出圆 的圆心坐标与半径长；
（2）计算出圆心到直线 的距离，结合直线与圆的位置关系可得出结 论，再利用勾股定理可求得弦长.
【详解】
（1）圆 的标准方程为 ，则圆 的圆心坐标为 ，半径为 .
（2）圆心到直线 的距离为 ，
所以，直线 与圆 相交，弦长为 .
22、
【答案 】
（1）证明见解析；（2） .
【分析】
：
方 法一（1）取 的中点为 ，连接 ，通过证明四边形 为平行四边形，得出 ，则证出
直线 平面 ； （2）延长 交 延长线于点 ，连接 ，则 为平面 和平面 所
成的锐二面角的平面角，在 中求解即可.方法二（1）以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴
建立空间直角坐标系，设平面 的法向量为 ，可以利用 来证明；（2）利用 的一个法向量与
平面 一个法向量求出二面角 的大小.
【详解】
法一（1） 取 的中点为 ，连接 ， 则 ， ，且 ，
则四边形 为平行四边形，则 ，即 平面 ．
（2）延长 交 延长线于点 ，连接 ,则 即为平面 与平面 的交线，
且 ，则 为平面 和平面 所成的锐二面角的平面角．
在 中， ．
法二 取 中点为S，连接 ，以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ，
（1）则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即
令 ，则 ，即 ，所以 ，故直线 平面 ．
（2）设平面 的法向量 ，则 ．