沪科版九年级数学上册试题 第22章《相似形》章节测试卷（含答案）

第22章《相似形》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知，则直线一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三家限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
2．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在中，点在的延长线上，分别交、于点、，则图中相似三角形共有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
4．如图，在中，点在边上，连接，交于点．则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，正方形的边长是10，在正方形外有E、F两点，满足，，则EF的长是（ ）

A． B． C．14 D．
6．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
7．如图，是由等腰直角经过位似变换得到的，位似中心在轴的正半轴，已知，点坐标为，位似比为，则两个三角形的位似中心点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点D，E恰好重合于点M．记面积为，面积为，且，则的值为（ ）

A． B． C． D．
9．如图△ACB，∠ACB=90°，点O是AB的中点，CD平分∠BCO交AB于点D，作AE⊥CD分别交CO、BC于点G，E． 记△AGO的面积为S1，△AEB的面积为S2，当＝时，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点将沿折叠，点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论：①垂直平分；②平分；③；④．其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC，AD于点F、E，AF＝2，AC＝6，则AB的长为 ．
12．黄金分割具有严格的比例性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感．如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为.若MN＝－1，则AB＝ ．
13．如图，正方形的边长为4，点E在线段上，以为边构造正方形，使G在的延长线上，连接，取中点H，连接．当E为中点时，的面积为 ，当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ．

14．如图，在中，，，，为的中点，为线段上的动点，将沿过点的射线折叠得到，若下方的与的边垂直，则的长度可能是 ．

15．在中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一点，，，则 ．
16．已知菱形的边长为6，，对角线，相交于点O，以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，…，，则点的坐标为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）求值：
(1)已知，求的值；
(2)已知，若，求的值．
18．（6分）如图，在的网格中，线段的端点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请用无刻度的直尺画出符合要求的图形，并保留画图痕迹（不要求写画法）．

(1)在图1中画出一个以为边的，使顶点在格点上．
(2)在图2中的线段上找出一点，使．
19．（8分）如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且．
求证：
(1)；
(2)．
20．（8分）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)在图中画出沿x轴翻折后的；
(2)以点为位似中心，作出按放大后的位似图形；
(3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）若CE＝5，，BD＝6．求AD的长．
22．（8分）【证明体验】
（1）如图1，为的角平分线，，点在线段上，，求证：平分；
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，为上一点，连接交于点．若，
求证：；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，对角线平分，，点在上，，若，，，求的长．

23．（8分）如图1，是等腰直角三角形，，先将边沿过点B的直线l对折得到，连接，然后以为边在左侧作，其中，，与交于点F，连接，．

(1)求证：；
(2)如图2，当点D在的斜边上时，请直接写出用表示的关系式；
(3)如图3，当点D在的内部时，若点F为的中点，且的面积为10，求的面积．
答案解析
一、选择题
1．B
【分析】对关系式化简为，分类讨论求出的值即可找出经过的象限．
【详解】 ，
，
当时，，
则，
此时直线为，过二、三、四象限．
当时，，
此时直线为，过一、二、三象限．
综上所述，过二、三象限．
故选B．
2．D
【分析】根据相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；逐一判断即可．
【详解】解∵，
∴，
若，，
∴，故A不符合题意；
若，，
∴，故B不符合题意；
若，，
∴，故C不符合题意；
∵，，
∴无法判断与相似，故D符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】本题根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解．
【详解】解：在 ABCD中，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△FDE，△ABG∽△FCG；
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△GBE，△FDA∽△FCG，
∴△ABG∽△FDA，△ABD∽△BCD
∴图中相似三角形有6对．
故答案为6．
4．A
【分析】根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例的性质进行解答即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，，故B错误，不符合题意；
，故A正确，符合题意；
如果，则有，
和不平行，
，故C错误，不符合题意；
如果，则有，
和不平行，
，故D错误，不符合题意；
故选：A．
5．B
【分析】如图，过点F作,交的延长线于点H，过点E作，交的延长线于点I，过点E作,垂足为G ,则四边形是矩形；运用勾股定理逆定理，求证，；求证从而求得 同理可证求得．， 中，运用勾股定理求解．
【详解】解：如图，过点F作,交的延长线于点H，过点E作，交的延长线于点I，过点E作,垂足为G ,则四边形是矩形，
∴．
∵,
∴.
∴．
同理，．
∵，
∴．
∴
∴
∴
∴
同理，可证
∴．
∴．
∴．
∴中，．
故选：B

6．C
【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可．
【详解】解：，由折叠可得：，，
∵矩形，
∴，
∴，
设的长为x，则，
∵矩形，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，即，
解得：（负值不符合题意，舍去）
∴，
故选：C．
7．A
【分析】先确定G点的坐标，再结合D点坐标和位似比为1：2，求出A点的坐标；然后再求出直线AG的解析式，直线AG与x的交点坐标，即为这两个三角形的位似中心的坐标．.
【详解】解：∵△ADC与△EOG都是等腰直角三角形
∴OE=OG=1
∴G点的坐标分别为（0，-1）
∵D点坐标为D（2，0），位似比为1：2，
∴A点的坐标为（2，2）
∴直线AG的解析式为y=x-1
∴直线AG与x的交点坐标为（，0）
∴位似中心P点的坐标是．
故答案为A．
8．D
【分析】过点作于，过点作于点，则，根据相似三角形的性质得出，设，则，根据折叠的性质及矩形的性质推出，，，，则，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点作于，过点作于点，

，
，
，
，
，
设，则，
由折叠可知，，，，，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，，
，
，
，
，
，，
，
故选：D．
9．D
【分析】连接BG，过点O作OT∥AE交BC于点T，首先证明，再利用平行线分线段成比例求解即可．
【详解】解：如图所示，连接BG，过点O作OT∥AE交BC于点T，
∵点O是AB的中点，
∴AO=OB，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵OT∥AE，AO=BO，
∴ET=TB，
∴OT=AE，
∴，
∵AE⊥CD，CD平分∠BCO，
∴∠DCG=∠DCE，
∴∠CGE+∠DCG=90°，∠CEG+∠DCB=90°，
∴∠CGE=∠CEG，
∴CG=CE，
∵∠CGE=∠COT，∠CEG=∠CTD，
∴∠COT=∠CTD，
∴CO=CT，
∴OG=ET，
∵GE∥OT，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10．D
【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF；易求得∠BFE＝∠BFN，则可得BF⊥EN；证明∠EFM＝∠EBF即可证明；易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可证明．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，
由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF＝MF，
∴DF＝CF，在△DEF与△CFN中，
∴△DFE≌△CFN，
∴EF＝FN，
∵∠BFM＝90° ∠EBF，∠BFC＝90° ∠CBF，
∴∠BFM＝∠BFC，
∴BF平分∠MFC；故②正确；
∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，
∴∠BFE＝∠BFN，
∵∠BFE＋∠BFN＝180°，
∴∠BFE＝90°，
即BF⊥EN，
∴BF垂直平分EN，故①正确；
∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，
∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，
∴∠EFM＝∠EBF，
∵∠DFE＝∠EFM，
∴∠DFE＝∠FBE，
∴；故③正确；
∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，
∴BE＝3EM，
∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF；
故④正确．
综上所述：①②③④都正确，
故答案选：D．
二．填空题
11．
【分析】根据题意，由矩形的性质综合判断得出∠ACB＝∠ABF，∠BAF＝∠BAC，从而证明△BFA∽△CBA，再利用相似三角形的性质列出方程，进而求解即可
【详解】解：∵BE⊥AC，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∵矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAF＝90°，
∴∠ACB＝∠ABF，
∵∠BAF＝∠BAC，
∴△BFA∽△CBA，
∴，
∴AB2＝AC AF＝6×2＝12，
∴．
故答案为．
12．＋1
【详解】根据题意可知△DMN与△AME都是“黄金三角形”，AB=AE，DM=EM，
∴，，
∵MN=，
∴DM=2，
∴AE=，
∴AB=，
故答案为.
13． 2
【分析】当E为中点时，过点H作于点N，先证是的中位线，求出其长度，再根据三角形面积公式计算即可；连接，与交于点O，延长到点M，使，连接，根据正方形的性质先证点D、O、M、B在一条直线上，再证是的中位线，并推出当时，最小，根据正方形的性质得出，故点M与点O重合，求出对角线的长，即可得出的长，于是得出的长，再根据正方形的性质证，即可得出的最小值．
【详解】解：当E为中点时，过点H作于点N，如图1，

∵正方形的边长为4，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵点H是的中点，即，
∴，
∴点N是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴；
如图2，连接，与交于点O，延长到点M，使，连接，

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴点D、O、M、B在一条直线上，
∵点E是的中点，点H是的中点，
∴是的中位线，
∴，
当最小时，最小，
即当时，最小，
∵，
∴M点与O点重合时，最小，
∵正方形的边长为4，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点H是的中点，
∴，
∴点H在的垂直平分线上，
∵四边形是正方形，
∴点H也在的垂直平分线上，
∴，
∴，
即的最小值为；
故答案为：2，．
14．2或或
【分析】由直角三角形的性质和勾股定理可得，，，分三种情况：当时，设垂足为；当时，作交于；当时，分别进行计算即可得到答案．
【详解】解：在中，，，
，
，
是的中点，
，
如图1，当时，设垂足为，
，
由折叠可知，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
如图2，当时，
，
则，
由折叠可知：，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，，
作交于，则，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，即，
解得：，
，
在中，，，
；
如图3，当时，
，
由折叠的性质可得：，，，
，
，
，
，，
，
，
，
综上所述：的长为2或或，
故答案为：2或或．
15．
【分析】如图，先利用三角形的面积关系可得 ，，再结合比例的基本性质证明，可得，同理可得：， 可得， 从而可得结论．
【详解】解：如图，设AD，BE，CF相交于点，
， ，
，
，
同理可得： ，
，
，，
，
．
故答案为：
16．An(3n，0)
【分析】先根据菱形的性质求出A1的坐标，根据勾股定理求出OB1的长，再由锐角三角函数的定义求出OA2的长，故可得出A2的坐标，同理可得出A3的坐标，找出规律即可得出结论．
【详解】解：∵ 菱形的边长为6，，
∴OA1=A1B1·sin 30°=6×=3，OB1=A1B1·cos 30°=6×=，
∴A1(3，0)，
∵ 菱形菱形，
∴OA2= ，
∴A2(9，0)，
同理可得A3(27，0)，
∴An(3n，0)，
故答案为：An(3n，0)．
三．解答题
17．（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（1）解：如下图，取格点C，连接和，

由题意可知：，
为；
（2）如下图，取格点E，F，连接交于点D，

由题意可知：，
，
，
点D即为所求．
19．（1）证明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）
证明：∵，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴．
20．（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作；
（3）解：点的坐标为，
∵沿x轴翻折后的，
∴，
∵按放大后的位似图形，
∴与的相似比为，
∴与的相似比为，
∴与的周长的比为，与的面积的比为．
故答案为：；；
21．（1）证明：，
，
为边上的高，
，
，
，
是的平分线，
，
．
（2）解：如图，作于．
∵∠BFD+∠ABE=90°，∠CEB+∠CBE=90°，∠ABE=∠CBE，
∴∠BFD=∠CEB，
∵∠BFD=∠CFE，
，
为等腰三角形，
，
，
∴点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
根据，即，
，
，
，
，
．
22．（1）证明：∵为的角平分线
∴
∵，
∴
∴
∴
∴平分
（2）证明：∵
∴
∵
∴
∴，
由（1）可知：
∴
∴
（3）解：如图，在上取一点，使得，连接

∵平分
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵,
∴
∴
∵
∴
解得：
∴
23．（1）证明：∵边沿过点B的直线l对折得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，

设直线l交于点H，交于K，取的中点G，连接，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴．