2024天津市中考数学模拟3（含答案）
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2024年天津市初中学业水平考试数学模拟3
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页。试卷满分120分。考试时间100分钟。
答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效。考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回。
祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。
2．本卷共12题，共36分。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算﹣6﹣12÷3的结果等于（ ）
A．6 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣10
2．估计﹣2的值（ ）
A．在2到3之间 B．在3到4之间
C．在4到5之间 D．在5到6之间
3．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．2022年4月16日神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
5．2024年全国普通高校毕业生规模预计达到1179万人，将1179万用科学记数法表示为（ ）
A．1.179×107 B．1.179×108 C．1.179×103 D．1179×104
6．计算cos30°﹣的值（ ）
A．0 B． C．1 D．
7．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
9．若反比例函数的图象经过点（3，﹣5），则它的图象一定还经过点（ ）
A．（3，5） B．（﹣1，16） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣15，1）
10．如图，已知在纸上有一点O．按下列尺规作图的步骤进行：
①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为AB；
②分别以点O，B为圆心，大于OB长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交半圆O于点C；
③连接OC，以点C为圆心，以OC长为半径作弧，交半圆O于点E，连接AE，CE．
下列结论不正确的是（ ）
A．四边形AOCE是菱形
B．四边形AOCE的面积为r2
C．∠EAB＝60°
D．E是的中点
11．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝114°，则∠α的大小是（ ）
A．68° B．20° C．24° D．22°
12．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设AD的长度为x米，矩形菜园ABCD面积为S平方米．下列说法错误的是（ ）
A．S与x的关系式为
B．当a＝20，S＝450时，x＝10
C．当a＝60，x＝50时，S＝1250
D．不论a为何值，S的最大值均为1250
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）。
2．本卷共13题，共84分。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．一个不透明的袋子里装有4个红球和6个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为 ．
14．计算：（5x3）2＝ ．
15．计算（4+）（4﹣）的结果等于 ．
16．若将直线y＝2x+1的图象先向左平移3个单位，再向下平移4个单位所得直线解析式是 ．
17．如图，在正方形ABCD中，AC＝，E，F分别是边AD，CD上的点，且AE＝DF．AF，DE交于点O，P为AB的中点，则
1)∠AOB=___________°
2）OP=______________
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，且顶点A，B，C都是格点，点N在圆上且不在网格线上，连接AN．
（Ⅰ）线段AC的长等于 ；
（Ⅱ）在圆上找点M，满足弦AM＝AN，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明它的位置是如何找到的（不要求证明） _____________________________________
____________________________________________________________________________________
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（本小题8分）
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得______；
（Ⅱ）解不等式②，得______；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为______．
20．（本小题8分）
某初中学校为了解学生睡眠情况，随机调查了部分学生一天的睡眠时间．根据统计结果，绘制出如下统计图①和图②．
第20题
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为______，图①中的值为______；
（Ⅱ）求统计的这组学生一天睡眠时间数据的平均数，众数和中位数．
（III）求这组学生一天睡眠时间不超过7小时的人数。
21．（本小题10分）
已知：AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）如图1，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，若CD=2，AE=3，求⊙O的半径
22．（本小题10分）
五轮塔位于长沙市岳麓山区，是北伐阵亡将士纪念塔．如图，小涵的身高CD为1.68米．他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG=45°．小颖的身高EF为1.48米，她站在距离塔底中心B点m米远的F处．测得塔顶的仰角∠AEH=55°（点D、B、F在同一水平线上，参考数据sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4）．
（1）求小涵与塔底中心的距离BD（用含m的式子表示）．
（2）若小涵与小颖相距16.6米，求五轮塔的高度AB（精确到0.1米）．
23．（本小题10分）
假定甲、乙、丙三地依次在一条直线上，甲乙两地间的距离为280km,乙丙两地之间的距离为140km.一艘游轮从甲地出发前往丙地，途中经过乙地停留时，一艘货轮也沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h,游轮从甲地到达丙地共用了23小时．若将游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离甲地的路程s（km）关于t（h）的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（Ⅰ）写出游轮从甲地到乙地所用的时长__________；游轮在乙地停留的时长_______
（Ⅱ）直接写出游轮在行驶的过程中s关于t的函数解析式；
（Ⅲ）若货轮比游轮早36分钟到达丙地，则货轮出发后几小时追上游轮？
24．（本小题10分）
将一个矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点B（6，0），点D（﹣3，，AD与y轴相交于点M，点Q在边AD上（点Q不与点A，D重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点Q，并与x轴相交于点P，且∠QPB＝60°，点A，B的对应点分别为点A′，B′．
（Ⅰ）如图①，当点B′落在线段OM上时，求∠OB′P的大小和点B′的坐标；
（Ⅱ）设BP＝t，纸片折叠后与矩形OCDM的重叠部分的面积为S．
①如图②，若折叠后与矩形OCDM的重叠部分是四边形时，B′P与边OM相交于点E，试用含有t的式子表示B′E的长，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
25．（本小题10分）
如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4）．
（1）直接写出该抛物线的解析式；
（2）如图1，在第三象限内抛物线上找点E，使∠OCE＝∠OAD，求点E的坐标；
（3）如图2，过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标．
2024年天津市初中学业水平考试数学模拟3
答案：1-5：D．B．C．B．A．6-10：A．A．D．D．B．11-12：C．D．
13． ．14． 25x6 ．15． 13 ．16． y＝2x+3 ．
17．如图，在正方形ABCD中，AC＝，E，F分别是边AD，CD上的点，且AE＝DF．AF，DE交于点O，P为AB的中点，则1）∠AOB=90°2）OP＝ ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠EAB＝90°，AC＝AB，
∴AB＝AC＝×＝1，在△ADF和△BAE中，，
∴△ADF≌△BAE（SAS），∴∠DAF＝∠ABE，∵∠DAF+∠BAO＝90°，
∴∠ABE+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∵P为AB的中点，∴OP＝AB＝；故答案为：．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，且顶点A，B，C都是格点，点N在圆上且不在网格线上，连接AN．
（Ⅰ）线段AC的长等于 5 ；
（Ⅱ）在圆上找点M，满足弦AM＝AN，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明它的位置是如何找到的（不要求证明） 取格点P，连接BP与圆相交于点Q，连接BN与AC相交于点D，连接QD并延长与圆相交于点M，点M即为所求 ．
【解答】解：（Ⅰ）由图知，，
故答案为：5．
（Ⅱ）所作点M如图所示：
取格点P，连接BP与圆相交于点Q，连接BN与AC相交于点D，连接QD并延长与圆相交于点M，点M即为所求．
故答案为：取格点P，连接BP与圆相交于点Q，连接BN与AC相交于点D，连接QD并延长与圆相交于点M，点M即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（本小题8分）
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得______；
（Ⅱ）解不等式②，得______；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为______．
20．（本小题8分）
某初中学校为了解学生睡眠情况，随机调查了部分学生一天的睡眠时间．根据统计结果，绘制出如下统计图①和图②．
第20题
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为__40____，图①中的值为___20___；
（Ⅱ）求统计的这组学生一天睡眠时间数据的平均数，众数和中位数．
平均数：7.9h; 众数：9h; 中位数：8h；
21．（本小题10分）
已知：AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）如图1，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，若CD=2，AE=3，求⊙O的半径
（1）证明：连接OC，如图1，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，∴AC平分∠DAB；
（2）解：连接BE交OC于F点，如图2，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEF=90°，∵∠DEF=∠D=∠FCD=90°，
∴四边形CDEF为矩形，∴EF=CD=2，∠CFE=90°，∴OF⊥BE，
∴BF=EF=2，在Rt△ABE中，AB=
√ AE2+BE2
=
√ 32+42
=5，
∴⊙O的半径为2.5
22．（本小题10分）
五轮塔位于长沙市岳麓山区，是北伐阵亡将士纪念塔．如图，小涵的身高CD为1.68米．他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG=45°．小颖的身高EF为1.48米，她站在距离塔底中心B点m米远的F处．测得塔顶的仰角∠AEH=55°（点D、B、F在同一水平线上，参考数据sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4）．
（1）求小涵与塔底中心的距离BD（用含m的式子表示）．
（2）若小涵与小颖相距16.6米，求五轮塔的高度AB（精确到0.1米）．
23．（本小题10分）
假定甲、乙、丙三地依次在一条直线上，甲乙两地间的距离为280km,乙丙两地之间的距离为140km.一艘游轮从甲地出发前往丙地，途中经过乙地停留时，一艘货轮也沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h,游轮从甲地到达丙地共用了23小时．若将游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离甲地的路程s（km）关于t（h）的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（Ⅰ）写出游轮从甲地到乙地所用的时长__________；游轮在乙地停留的时长_______
（Ⅱ）直接写出游轮在行驶的过程中s关于t的函数解析式；
（Ⅲ）若货轮比游轮早36分钟到达丙地，则货轮出发后几小时追上游轮？
解：（1）游轮从甲地到乙地所用的时间为：280÷20=14（小时），
游轮从乙地到丙地所用的时间为：140÷20=7（小时），
∵游轮从甲地到丙地共用了23小时，
∴游轮在乙地停留的时间为：23-14-7=2（小时），
故答案为：14，2；
（2）由（1）得：A点坐标为：（14，280），
∵游轮到乙地后停留2小时，
∴B的坐标为：（16，280），C的坐标为：（23，420），
设OA段的解析式为：s=kt（k≠0），
∴280=14k,
解得：k=20，
∴s=20t（0≤t≤14），
AB段的解析式为：s=280（14≤t≤16），
设BC段的解析式为s=k1t+b（k1≠0），
∴
16k1+b＝28023k1+b＝420
，
解得：
k1＝20b＝ 40
，
∴BC段的解析式为s=20t-40（16＜t≤23）；
（3）由题意得，游轮出发14小时后，货轮再出发，且比游轮早36分钟到达丙地，
36分钟=0.6小时，
∴货轮行驶的时间为：23-14-0.6=8.4（小时），
∴货轮的速度为：420÷8.4=50（km/h），
设货轮出发后x小时追上游轮，则游轮行驶的时间为：14+x-2=（12+x）小时，
∴20（12+x）=50x,
解得：x=8，
答：货轮出发8小时追上游轮．
24．（本小题10分）
将一个矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点B（6，0），点D（﹣3，，AD与y轴相交于点M，点Q在边AD上（点Q不与点A，D重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点Q，并与x轴相交于点P，且∠QPB＝60°，点A，B的对应点分别为点A′，B′．
（Ⅰ）如图①，当点B′落在线段OM上时，求∠OB′P的大小和点B′的坐标；
（Ⅱ）设BP＝t，纸片折叠后与矩形OCDM的重叠部分的面积为S．
①如图②，若折叠后与矩形OCDM的重叠部分是四边形时，B′P与边OM相交于点E，试用含有t的式子表示B′E的长，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【解答】解：（1）由折叠的性质可得：
∠BPQ＝∠QPB＝60°，PB'＝PB，
∠OPB'＝180°﹣∠B'PQ﹣∠QPB＝60°
∠OB'P＝90°﹣∠OPB'＝30°，
在Rt△OPB'中，PB＝2OP，OB'＝OP，
∵OB＝OP+PB＝OP+PB'＝3OP＝6，
∴OP＝2，0B'＝OP＝2，
∴点B'的坐标为：B'（0，2）；
（2）①∵BP＝t，
∴OP＝OB﹣BP＝6一t，
由折叠的性质可得：∠B'PQ＝∠QPB＝60°，
PB'＝PB＝t，
∠OPB'＝180°﹣∠B'PQ﹣∠QPB＝60°
∠OBP＝90°﹣∠OPB'＝30°，在Rt△OPE中，
PE＝2OP＝2（6﹣t）＝12﹣2t，
OE＝OP﹣（6﹣t）＝6﹣t，
BE＝PB'﹣PE＝t﹣（12﹣2t）＝3t﹣12
t的取值范围是：5＜t＜6；
②当t＝时，S＝＝，
当6≤t≤9时，
S＝3×﹣（t﹣6）×（t﹣6）﹣（9﹣t）×（9﹣t）
＝﹣（t﹣）2+
当t＝时，S为最大值，
故答案为：．
25．（本小题10分）
如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4）．
（1）直接写出该抛物线的解析式；
（2）如图1，在第三象限内抛物线上找点E，使∠OCE＝∠OAD，求点E的坐标；
（3）如图2，过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），将A，D两点坐标代入得：
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）在第三象限内抛物线上找点E，使∠OCE＝∠OAD，如图1，过点E作EF⊥y轴于F，过点D作DG⊥x轴于G，则∠EFC＝∠DGA＝90°，
∵A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），
∴AG＝﹣1﹣（﹣3）＝2，DG＝4，
把x＝0代入y＝x2+2x﹣3得，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
设点E（m，m2+2m﹣3），则EF＝﹣m，OF＝﹣（m2+2m﹣3），
∴CF＝OC﹣OF＝3+（m2+2m﹣3）＝m2+2m，
∵∠OCE＝∠OAD，
∴tan∠OCE＝tan∠OAD，
∴，
即，
整理得，2m2+5m＝0，
解得或m2＝0（不合，舍去），
∴；
（3）过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．如图2，设P（﹣1，t），
设直线FG的解析式为：y＝kx+b，
∴t＝﹣k+b，即b＝k+t，
∴直线FG的解析式为：y＝kx+k+t，
设F（x1，y1），G（x2，y2），
由，得x2+2x﹣3＝kx+k+t，即：x2+（2﹣k）x﹣3﹣k﹣t＝0，
∴x1+x2＝k﹣2，x1x2＝﹣3﹣k﹣t，
∴
＝
∵线段FG的中点是M，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当4t+15＝0时，即时，是定值，
∴．
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2024年天津市初中学业水平考试数学模拟3
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页。试卷满分120分。考试时间100分钟。
答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效。考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回。
祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。
2．本卷共12题，共36分。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算﹣6﹣12÷3的结果等于（ ）
A．6 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣10
2．估计﹣2的值（ ）
A．在2到3之间 B．在3到4之间
C．在4到5之间 D．在5到6之间
3．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．2022年4月16日神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
5．2024年全国普通高校毕业生规模预计达到1179万人，将1179万用科学记数法表示为（ ）
A．1.179×107 B．1.179×108 C．1.179×103 D．1179×104
6．计算cos30°﹣的值（ ）
A．0 B． C．1 D．
7．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
9．若反比例函数的图象经过点（3，﹣5），则它的图象一定还经过点（ ）
A．（3，5） B．（﹣1，16） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣15，1）
10．如图，已知在纸上有一点O．按下列尺规作图的步骤进行：
①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为AB；
②分别以点O，B为圆心，大于OB长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交半圆O于点C；
③连接OC，以点C为圆心，以OC长为半径作弧，交半圆O于点E，连接AE，CE．
下列结论不正确的是（ ）
A．四边形AOCE是菱形
B．四边形AOCE的面积为r2
C．∠EAB＝60°
D．E是的中点
11．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝114°，则∠α的大小是（ ）
A．68° B．20° C．24° D．22°
12．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设AD的长度为x米，矩形菜园ABCD面积为S平方米．下列说法错误的是（ ）
A．S与x的关系式为
B．当a＝20，S＝450时，x＝10
C．当a＝60，x＝50时，S＝1250
D．不论a为何值，S的最大值均为1250
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）。
2．本卷共13题，共84分。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．一个不透明的袋子里装有4个红球和6个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为 ．
14．计算：（5x3）2＝ ．
15．计算（4+）（4﹣）的结果等于 ．
16．若将直线y＝2x+1的图象先向左平移3个单位，再向下平移4个单位所得直线解析式是 ．
17．如图，在正方形ABCD中，AC＝，E，F分别是边AD，CD上的点，且AE＝DF．AF，DE交于点O，P为AB的中点，则
1)∠AOB=___________°
2）OP=______________
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，且顶点A，B，C都是格点，点N在圆上且不在网格线上，连接AN．
（Ⅰ）线段AC的长等于 ；
（Ⅱ）在圆上找点M，满足弦AM＝AN，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明它的位置是如何找到的（不要求证明） _____________________________________
____________________________________________________________________________________
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（本小题8分）
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得______；
（Ⅱ）解不等式②，得______；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为______．
20．（本小题8分）
某初中学校为了解学生睡眠情况，随机调查了部分学生一天的睡眠时间．根据统计结果，绘制出如下统计图①和图②．
第20题
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为______，图①中的值为______；
（Ⅱ）求统计的这组学生一天睡眠时间数据的平均数，众数和中位数．
（III）求这组学生一天睡眠时间不超过7小时的人数。
21．（本小题10分）
已知：AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）如图1，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，若CD=2，AE=3，求⊙O的半径
22．（本小题10分）
五轮塔位于长沙市岳麓山区，是北伐阵亡将士纪念塔．如图，小涵的身高CD为1.68米．他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG=45°．小颖的身高EF为1.48米，她站在距离塔底中心B点m米远的F处．测得塔顶的仰角∠AEH=55°（点D、B、F在同一水平线上，参考数据sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4）．
（1）求小涵与塔底中心的距离BD（用含m的式子表示）．
（2）若小涵与小颖相距16.6米，求五轮塔的高度AB（精确到0.1米）．
23．（本小题10分）
假定甲、乙、丙三地依次在一条直线上，甲乙两地间的距离为280km,乙丙两地之间的距离为140km.一艘游轮从甲地出发前往丙地，途中经过乙地停留时，一艘货轮也沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h,游轮从甲地到达丙地共用了23小时．若将游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离甲地的路程s（km）关于t（h）的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（Ⅰ）写出游轮从甲地到乙地所用的时长__________；游轮在乙地停留的时长_______
（Ⅱ）直接写出游轮在行驶的过程中s关于t的函数解析式；
（Ⅲ）若货轮比游轮早36分钟到达丙地，则货轮出发后几小时追上游轮？
24．（本小题10分）
将一个矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点B（6，0），点D（﹣3，，AD与y轴相交于点M，点Q在边AD上（点Q不与点A，D重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点Q，并与x轴相交于点P，且∠QPB＝60°，点A，B的对应点分别为点A′，B′．
（Ⅰ）如图①，当点B′落在线段OM上时，求∠OB′P的大小和点B′的坐标；
（Ⅱ）设BP＝t，纸片折叠后与矩形OCDM的重叠部分的面积为S．
①如图②，若折叠后与矩形OCDM的重叠部分是四边形时，B′P与边OM相交于点E，试用含有t的式子表示B′E的长，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
25．（本小题10分）
如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4）．
（1）直接写出该抛物线的解析式；
（2）如图1，在第三象限内抛物线上找点E，使∠OCE＝∠OAD，求点E的坐标；
（3）如图2，过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标．
2024年天津市初中学业水平考试数学模拟3
答案：1-5：D．B．C．B．A．6-10：A．A．D．D．B．11-12：C．D．
13． ．14． 25x6 ．15． 13 ．16． y＝2x+3 ．
17．如图，在正方形ABCD中，AC＝，E，F分别是边AD，CD上的点，且AE＝DF．AF，DE交于点O，P为AB的中点，则1）∠AOB=90°2）OP＝ ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠EAB＝90°，AC＝AB，
∴AB＝AC＝×＝1，在△ADF和△BAE中，，
∴△ADF≌△BAE（SAS），∴∠DAF＝∠ABE，∵∠DAF+∠BAO＝90°，
∴∠ABE+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∵P为AB的中点，∴OP＝AB＝；故答案为：．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，且顶点A，B，C都是格点，点N在圆上且不在网格线上，连接AN．
（Ⅰ）线段AC的长等于 5 ；
（Ⅱ）在圆上找点M，满足弦AM＝AN，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明它的位置是如何找到的（不要求证明） 取格点P，连接BP与圆相交于点Q，连接BN与AC相交于点D，连接QD并延长与圆相交于点M，点M即为所求 ．
【解答】解：（Ⅰ）由图知，，
故答案为：5．
（Ⅱ）所作点M如图所示：
取格点P，连接BP与圆相交于点Q，连接BN与AC相交于点D，连接QD并延长与圆相交于点M，点M即为所求．
故答案为：取格点P，连接BP与圆相交于点Q，连接BN与AC相交于点D，连接QD并延长与圆相交于点M，点M即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（本小题8分）
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得______；
（Ⅱ）解不等式②，得______；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为______．
20．（本小题8分）
某初中学校为了解学生睡眠情况，随机调查了部分学生一天的睡眠时间．根据统计结果，绘制出如下统计图①和图②．
第20题
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为__40____，图①中的值为___20___；
（Ⅱ）求统计的这组学生一天睡眠时间数据的平均数，众数和中位数．
平均数：7.9h; 众数：9h; 中位数：8h；
21．（本小题10分）
已知：AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）如图1，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，若CD=2，AE=3，求⊙O的半径
（1）证明：连接OC，如图1，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，∴AC平分∠DAB；
（2）解：连接BE交OC于F点，如图2，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEF=90°，∵∠DEF=∠D=∠FCD=90°，
∴四边形CDEF为矩形，∴EF=CD=2，∠CFE=90°，∴OF⊥BE，
∴BF=EF=2，在Rt△ABE中，AB=
√ AE2+BE2
=
√ 32+42
=5，
∴⊙O的半径为2.5
22．（本小题10分）
五轮塔位于长沙市岳麓山区，是北伐阵亡将士纪念塔．如图，小涵的身高CD为1.68米．他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG=45°．小颖的身高EF为1.48米，她站在距离塔底中心B点m米远的F处．测得塔顶的仰角∠AEH=55°（点D、B、F在同一水平线上，参考数据sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4）．
（1）求小涵与塔底中心的距离BD（用含m的式子表示）．
（2）若小涵与小颖相距16.6米，求五轮塔的高度AB（精确到0.1米）．
23．（本小题10分）
假定甲、乙、丙三地依次在一条直线上，甲乙两地间的距离为280km,乙丙两地之间的距离为140km.一艘游轮从甲地出发前往丙地，途中经过乙地停留时，一艘货轮也沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h,游轮从甲地到达丙地共用了23小时．若将游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离甲地的路程s（km）关于t（h）的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（Ⅰ）写出游轮从甲地到乙地所用的时长__________；游轮在乙地停留的时长_______
（Ⅱ）直接写出游轮在行驶的过程中s关于t的函数解析式；
（Ⅲ）若货轮比游轮早36分钟到达丙地，则货轮出发后几小时追上游轮？
解：（1）游轮从甲地到乙地所用的时间为：280÷20=14（小时），
游轮从乙地到丙地所用的时间为：140÷20=7（小时），
∵游轮从甲地到丙地共用了23小时，
∴游轮在乙地停留的时间为：23-14-7=2（小时），
故答案为：14，2；
（2）由（1）得：A点坐标为：（14，280），
∵游轮到乙地后停留2小时，
∴B的坐标为：（16，280），C的坐标为：（23，420），
设OA段的解析式为：s=kt（k≠0），
∴280=14k,
解得：k=20，
∴s=20t（0≤t≤14），
AB段的解析式为：s=280（14≤t≤16），
设BC段的解析式为s=k1t+b（k1≠0），
∴
16k1+b＝28023k1+b＝420
，
解得：
k1＝20b＝ 40
，
∴BC段的解析式为s=20t-40（16＜t≤23）；
（3）由题意得，游轮出发14小时后，货轮再出发，且比游轮早36分钟到达丙地，
36分钟=0.6小时，
∴货轮行驶的时间为：23-14-0.6=8.4（小时），
∴货轮的速度为：420÷8.4=50（km/h），
设货轮出发后x小时追上游轮，则游轮行驶的时间为：14+x-2=（12+x）小时，
∴20（12+x）=50x,
解得：x=8，
答：货轮出发8小时追上游轮．
24．（本小题10分）
将一个矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点B（6，0），点D（﹣3，，AD与y轴相交于点M，点Q在边AD上（点Q不与点A，D重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点Q，并与x轴相交于点P，且∠QPB＝60°，点A，B的对应点分别为点A′，B′．
（Ⅰ）如图①，当点B′落在线段OM上时，求∠OB′P的大小和点B′的坐标；
（Ⅱ）设BP＝t，纸片折叠后与矩形OCDM的重叠部分的面积为S．
①如图②，若折叠后与矩形OCDM的重叠部分是四边形时，B′P与边OM相交于点E，试用含有t的式子表示B′E的长，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【解答】解：（1）由折叠的性质可得：
∠BPQ＝∠QPB＝60°，PB'＝PB，
∠OPB'＝180°﹣∠B'PQ﹣∠QPB＝60°
∠OB'P＝90°﹣∠OPB'＝30°，
在Rt△OPB'中，PB＝2OP，OB'＝OP，
∵OB＝OP+PB＝OP+PB'＝3OP＝6，
∴OP＝2，0B'＝OP＝2，
∴点B'的坐标为：B'（0，2）；
（2）①∵BP＝t，
∴OP＝OB﹣BP＝6一t，
由折叠的性质可得：∠B'PQ＝∠QPB＝60°，
PB'＝PB＝t，
∠OPB'＝180°﹣∠B'PQ﹣∠QPB＝60°
∠OBP＝90°﹣∠OPB'＝30°，在Rt△OPE中，
PE＝2OP＝2（6﹣t）＝12﹣2t，
OE＝OP﹣（6﹣t）＝6﹣t，
BE＝PB'﹣PE＝t﹣（12﹣2t）＝3t﹣12
t的取值范围是：5＜t＜6；
②当t＝时，S＝＝，
当6≤t≤9时，
S＝3×﹣（t﹣6）×（t﹣6）﹣（9﹣t）×（9﹣t）
＝﹣（t﹣）2+
当t＝时，S为最大值，
故答案为：．
25．（本小题10分）
如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4）．
（1）直接写出该抛物线的解析式；
（2）如图1，在第三象限内抛物线上找点E，使∠OCE＝∠OAD，求点E的坐标；
（3）如图2，过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），将A，D两点坐标代入得：
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）在第三象限内抛物线上找点E，使∠OCE＝∠OAD，如图1，过点E作EF⊥y轴于F，过点D作DG⊥x轴于G，则∠EFC＝∠DGA＝90°，
∵A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），
∴AG＝﹣1﹣（﹣3）＝2，DG＝4，
把x＝0代入y＝x2+2x﹣3得，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
设点E（m，m2+2m﹣3），则EF＝﹣m，OF＝﹣（m2+2m﹣3），
∴CF＝OC﹣OF＝3+（m2+2m﹣3）＝m2+2m，
∵∠OCE＝∠OAD，
∴tan∠OCE＝tan∠OAD，
∴，
即，
整理得，2m2+5m＝0，
解得或m2＝0（不合，舍去），
∴；
（3）过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．如图2，设P（﹣1，t），
设直线FG的解析式为：y＝kx+b，
∴t＝﹣k+b，即b＝k+t，
∴直线FG的解析式为：y＝kx+k+t，
设F（x1，y1），G（x2，y2），
由，得x2+2x﹣3＝kx+k+t，即：x2+（2﹣k）x﹣3﹣k﹣t＝0，
∴x1+x2＝k﹣2，x1x2＝﹣3﹣k﹣t，
∴
＝
∵线段FG的中点是M，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当4t+15＝0时，即时，是定值，
∴．
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