人教版八年级数学上册 第13章 《轴对称》单元测试 （含解析）

第13章 《轴对称》单元测试
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．书法是我国传统文化的重要组成部分，被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐．下列是用小篆书写的“魅力宁德”四个字，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是线段的垂直平分线，垂足为点，，是上两点．下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．将长方形纸片沿AC折叠后点B落在点E处，则线段BE与AC的关系是（　　）
A． B． C．且 D．且平分
4．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）与点B（0，1）关于某条直线成轴对称，这条直线是（　　）
A．轴 B．轴
C．直线（直线上各点横坐标均为1） D．直线（直线上各点纵坐标均为1）
5．一副三角板和如图摆放，，，若，，则下列结论错误的是（ ）
A．平分 B．平分 C． D．
6．如图，在中，点O是内一点，连接、，垂直平分，若，，则点A、O之间的距离为（ ）

A．4 B．8 C．2 D．6
7．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，中，，是边上的高，是延长线上一点，平分，若，，，则下列等式一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
9．如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，和是两个等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，，，下列三个结论：①；②；③点在线段的中垂线上；④；⑤；⑥．其中正确的结论的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若点与点关于x轴对称，则 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，是由经过平移和关于坐标轴对称等变换得到的，其中点P与是变换前后图形上的一对对应点．若点P的坐标为，则点的坐标为 （用含a、b的代数式表示）．

13．如图，在一张纸片上将翻折得到三角形，并以为边作等腰，其中，且E，A，C三点共线，，则的度数是 ．

14．如图，，，，，若，，且长为奇数，则的长为 ．
15．如图，是等腰三角形，，且B，C，D三点共线．连接，分别交于点M，N，连接，则＝ ．
16．如图，A是直线外的一点，于点H，，P是上一动点，是等边三角形，连接，则线段的最小值是 ．

17．如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角，等题直角做了一个探究活动：将的直角顶点M放在的斜边的中点处，设，猜想此时重叠部分四边形的面积为 ．
18．如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知如图所示，
（1）画出中边上的高线，在内部作射线使得，交边于点，请你依题意补全图形；
（2）判断与之间的关系，并说明理由．
20．（8分）如图，，．求证：直线是线段的垂直平分线．

21．（10分）如图，为等腰直角三角形，，点D在上，点E在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．（10分）如图，，，垂足分别为D、C，，且．连接．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
23．（10分）如图，在中，， ，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于．
（1）当时， ， ；点从向的运动过程中，逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当等于多少时，，请说明理由．
（3）在点的运动过程中，与的长度可能相等吗？若可以，请直接写出的度数，请说明理由．
24．（12分）解答题
（1）问题发现
如图1，把一块三角板（，）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，发现与始终相等的角是 ，与线段相等的线段是 ；
（2）拓展探究
如图2，在中，点在边上，并且，．求证：．
（3）能力提升
如图3，在等边中，，分别为、边上的点，，连接，以为边在内作等边，连接，当时，请直接写出的长度．

答案
一、单选题
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；由此问题可求解．
【详解】解：C选项是轴对称图形，A、B、D选项都不是轴对称图形；
故选：C．
2．A
【分析】根据垂直平分线的性质分析选项即可．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，故D选项结论正确，不符合题意；
在和中，
∴，
∴，故B选项结论正确，不符合题意；
同理可知：，
∴，故C选项结论正确，不符合题意；
利用排除法可知选项A结论不正确，符合题意．
故选：A
3．D
【分析】由翻折得到AE=AB，CE=CB，再根据线段的垂直平分线的判定即可得到答案．
【详解】解：∵ACE是由ABC翻折得到，
∴AE=AB,CE=CB
∴AC⊥BE且AC平分BE，
故选D．
4．C
【分析】利用成轴对称的两个点的坐标的特征，即可解题．
【详解】根据A点和B点的纵坐标相等，即可知它们的对称轴为．
故选：C．
5．B
【分析】根据三角形板各角的特点，平行线的判定和性质即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，则，
∴平分，故选项正确；
∵，，如图所示，设与交于点，
∴，由选项正确可得，
∴在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴平分错误，故选项错误；
由上述证明可得，，
∴，故选项正确；
根据上述证明可得，，
∵，且，
∴，
∴，
∴，故选项正确；
故选：．
6．A
【分析】连接，由垂直平分线的性质可得，由等角对等边可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
7．B
【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，即，
当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若时，为等腰三角形，
故选：B．
8．B
【分析】过点C作于点F，易证（AAS），得到，，，进而得到，因此．由于得到，又，得到，因此，所以．由得，变形得到．
【详解】如图，过点C作于点F

是高，
平分
在和中
（）
，，
∵在中，，又
，
，即
故选：B
9．D
【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称的性质可知△是等腰三角形，所以，推出，所以，即得出答案．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，
连接，，，其中交于，交于，
此时的周长最小值等于的长，
由轴对称性质可知：，，，，
，
，
，
即，
故选：D．
10．C
【分析】利用等边三角形和等腰直角三角形的性质得到PA＝PB＝PD＝PC，∠APB＝∠DPC＝∠PAB＝∠PDC＝60°，∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，则根据“SAS”可证明△APC≌△BPD，则可对①进行判断；根据线段垂直平分线的判定可对③进行判断；计算出∠BPC＝150°，再利用PB＝PC和三角形内角和可计算出∠PBC＝15°，则可对④进行判断；由于∠ABC＝75°，∠BAD＝105°加上BD＝CA，则可判断△ABD与△BCA不全等，从而可对②进行判断；求出∠ABC＋∠BAD＝75°＋105°＝180°，根据平行线的判定方法可对⑤进行判断；延长CP交AB于H，计算出∠CHB＝90°，则可对⑥进行判断．
【详解】解：∵△ABP和△CDP是两个等边三角形，△APD是以AD为斜边的等腰直角三角形，
∴PA＝PB＝PD＝PC，∠APB＝∠DPC＝∠PAB＝∠PDC＝60°，∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，
∴∠APC＝∠BPD＝150°，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD（SAS），所以①正确；
∵PB＝PC，
∴点P在线段BC的中垂线上，所以③正确；
∵∠BPA＝∠CPD＝60°，∠APD＝90°，
∴∠BPC＝150°，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝15°，所以④正确；
∵∠ABC＝60°＋15°＝75°，∠BAD＝∠PAB＋∠PAD＝60°＋45°＝105°，BD＝AC，
∴∠ABC≠∠BAD，
∴△ABD与△BCA不全等，所以②错误；
∵∠ABC＋∠BAD＝75°＋105°＝180°，
∴AD∥BC，所以⑤正确；
延长CP交AB于H，如图，
∵∠PCB＝15°，∠ABC＝75°，
∴∠ABC＋∠PCB＝90°，
∴∠CHB＝90°，
∴PC⊥AB，所以⑥正确．
正确的有5个，
故选：C．
二、填空题
11．2
【分析】根据若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，
解得，
∴．
故答案为：2．
12．
【分析】根据点B和的位置判断出平移方式和对称变换方式，继而求解．
【详解】解：由图中可以看出，点只有向右平移2个单位才能和点的纵坐标相等，翻折可得到两点关于轴对称，此时两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．那么点也是如此转换得到．
点的坐标为，向右平移2个单位后变为这点关于轴的对称点是．
故答案为：．
13．
【分析】根据折叠得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形外角的性质得出，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可．
【详解】解：根据折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．3
【分析】由已知条件得，进而得出，，再根据得到为等边三角形，进而得到，最后根据三角形的三边关系即可求出．
【详解】解：在和中
，
，，
，，
，
为等边三角形，
，
，，
，即，
,
长为奇数，
，
故答案为3．
15．60
【分析】根据已知证明都是等边三角形，得到，即可证明，推出，进一步证明，可得，求出，证明是等边三角形，可得结果．
【详解】解：∵都是等腰三角形，且，
∴都是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：60．
16．2
【分析】以为边作等边，连接，证明，得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，过点E作于点B，当点P在点B时，最小，即最小，根据含角的直角三角形的性质求出．
【详解】解：以为边作等边，连接，如图所示：

∴，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴过点E作于点B，当点P在点B时，最小，即最小，
∵，，
∴．
故答案为：2．
17．
18．8
【分析】连接，根据和都是边长为4的等边三角形，证明，可得，所以，进而可得当点P与点C重合时，的值最小，正好等于的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵和都是边长为4的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点P与点C重合时，点A与点关于对称，的值最小，正好等于的长，
∴的最小值为，
故答案为：8．
三、解答题
19．（1）解：如图：

先作交于点，作的垂直平分线与交于点，即为所求．
（2）解：，理由如下：
∵，即，
∴，
∵，且，
∴．
20．证明：，
点在线段的垂直平分线上．
，
点在线段的垂直平分线上．
直线是线段的垂直平分线．
21．（1）解：∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
在△ADE与中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
23．（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
点从向的运动过程中，逐渐增大，
逐渐变小，
故答案为：；；小；
（2）解：当时，，理由如下：
，
，
又，，
，
，
当时，
，
，
在和中，
，
，
即当时，，；
（3）解：在点的运动过程中，与的长度可能相等，理由如下：
，
，
，
，
，，
，
，
．
24．（1）解：，
，，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：，；
（2），，
，
在和中，
，
；
（3）如图，过点作交于点，

、是等边三角形，
，，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．