人教版八年级数学上册 第十三章《轴对称》单元测试卷（含解析）

第十三章《轴对称》单元测试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，射线与射线平行，点F为射线上的一定点，作直线，点P是射线上的一个动点（不包括端点C），将沿折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点（网格线的交点）上，要找一个格点C，连接AC，BC，使ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，若，，则的面积为（ ）

A．15 B．20 C．30 D．80
5．如图，，C为OB上的定点，M，N分别为射线OA、OB上的动点．当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．将长为2、宽为a（a大于1且小于2）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为（　　）
A．1.8或1.5 B．1.5或1.2 C．1.5 D．1.2
7．如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）
A．180° B．200° C．210° D．240°
8．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图，中，，，．则为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作直线交于点，交于点，过点作于，有下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．平面上的两条相交直线是轴对称图形，它有 条对称轴．
12．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则 ．

13．如图，长方形纸片中，，，且，将长方形纸片沿直线翻折，使点C落在边上，记作点N，再将沿直线向左翻折，使点D落在射线上，记作点P，若点N，P，A三点中有一点是另外两点的中点，则的值为 ．

14．如图，在中，．P是边上一点，，连接，以为边在的右上方作等边三角形．若，则点Q到边的距离为

15．如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为 ．

16．在中，，平分，过A作的垂线交直线于点M，若，则的度数为 ．
17．如图，边长为a的等边中，BF是AC上的中线且，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边，连接EF，则周长的最小值是 ，此时 ．

18．如图，在中，，、为边上两点，为边上的一点，连接，，，，．则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，的延长线交于点．
（1）如果，求的度数；
（2）如果已知∠，则__________（用含的式子表示）
（3）探究与的数量关系，并说明理由．
20．（8分）如图，在和中，，，，与交于点（不与点，重合），点，在异侧，，的平分线相交于点．
（1）当时，求的长；
（2）求证：；
（3）当时，求的取值范围．
21．（10分）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）连接交于点G，若，求证：；
（3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长．
22．（10分）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．
（1）求证：∠ACB＝∠ACD；
（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．
①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；
②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．
23．（10分）如图①，在中，，，直线过点，且，点是直线上一点，不与点重合
（1）若点是图①中线段上一点，且，请判断线段与的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，在（1）的条件下，连接，过点作交线段于点，求证：；
（3）如图③，在图①的基础上，改变点的位置后，连接，过点作交线段的延长线于点，请判断线段与的数量关系，并说明理由
24．（12分）已知，为等边三角形，点D在边上．
【基本图形】如图1，以为一边作等边三角形，连接．请直接写出之间的关系．
【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角．求证：．
【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
答案
一、单选题
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】∵ 不是轴对称图形，
∴A不符合题意；
∵ 不是轴对称图形，
∴B不符合题意；
∵ 是轴对称图形，
∴C符合题意；
∵ 不是轴对称图形，
∴D不符合题意；
故选C．
2．B
【分析】由平行线的性质得，由，当点E在上时，点E到点A的距离最大，然后可求出的度数．
解：∵，，
∴，
∵，
∴当点E在上时，点E到点A的距离最大，如图，

由折叠可知，，
∴，
故选B．
3．B
【分析】画出△ABC为轴对称图形时C点位置，解答即可．
解：C点落在网格中的4个格点使△ABC为轴对称图形，
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质．
4．A
【分析】过点P作于点E，根据平行线的性质证，再根据角平分线的性质得出，再根据三角形面积公式计算即可．
解：过点P作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，和分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．

5．B
【分析】作点C关于OA的对称点E，作EN⊥OC交OA于点M，此时CM+MN=EM+MN=EN最短，进而根据∠AOB=35°，和直角三角形两个锐角互余即可求解．
解：如图：
作点C关于OA的对称点E，过点E作EN⊥OC于点N，交OA于点M，
∴ME=MC，
∴CM+MN=EM+MN=EN，
根据垂线段最短，
EN最短，
∵∠AOB=35°，
∠ENO=CFM=90°，
∴∠OMN=55°，∠OCF=55°，
∴∠EMF=∠OMN=55°，
∴∠E=∠MCE=35°，
∴∠OCM=∠OCF -∠MCE=20°．
故选：B．
6．B
【分析】经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为a，另一边长为2﹣a；若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝2a﹣2；根据第2次剩下的长方形分两种情况讨论，若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，由此可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、2﹣a，由1＜a＜2，得a＞2﹣a；第2次操作，剪下的正方形边长为2﹣a，所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，
①当2a﹣2＜2﹣a，即a＜时，
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a﹣2，剩下的长方形的两边分别为2a﹣2、（2﹣a）﹣（2a﹣2）＝4﹣3a，则2a﹣2＝4﹣3a，解得a＝1.2；
②2a﹣2＞2﹣a，即a＞时
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2﹣a，剩下的长方形的两边分别为2﹣a、（2a﹣2）﹣（2﹣a）＝3a﹣4，则2﹣a＝3a﹣4，解得a＝1.5．
故选：B．
7．A
【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，则可根据“”判断，所以，然后利用得到．
解：过点作于，如图，
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：A．
8．D
【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．
解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示：
在中，，
∴，
∵
＝，
∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，
此时，，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为12，
故选：D．
9．B
【分析】可过C作于E，因为，则可得，可过C作于E，依据题意可得，进而得到，得到，再利用等腰三角形的判定可得，即可求得．
【详解】如图，可过C作于E，可过C作于E．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，且
∴，
∴，且
∴，且，
∴，
∴，
∴
∴
故选：B．
10．C
【分析】根据三角形的内角和与角平分线的性质可得，可判断①和②；过点作于点，过点作于点，连接，根据角平分线的性质可知，可判断③；将的面积转化成的面积与的面积之和，可判断④．
解：在中，，
∵，
∴，
∵和的平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴结论①不正确，结论②正确；
过点作于点，过点作于点，连接，
∵平分，OC平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴结论③正确，
∵，，
∴，
设，，
∴，
∴结论④正确，
∴正确的结论有：②③④，
故选：C．

二、填空题
11．2
【分析】根据轴对称的性质即可解答.
【详解】平面内两条相交的两直线是轴对称图形，两对对顶角的角平分线所在的直线是这个图形的两条对称轴.
故答案为2.
12．
【分析】延长，作，，，设，，进而根据三角形的外角的性质得出，证明，即可求解．
【详解】延长，作，，，

设，
平分，
，，
平分，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：．
13．3或
【分析】分两种情况讨论，利用折叠的性质和矩形的性质可求解．
解：∵将长方形纸片沿直线翻折，
∴，
将沿直线向左起折，当点D落在线段上时，如图，

∴，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∴；
当点D落在线段的延长线上时，如图，

∴，
∵点A是的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3或．
14．
【分析】如图，过作于，则，，则，由等边三角形，可得，，，证明，根据，求解即可．
解：如图，过作于，则，

∵，
∴，
∴，
∵等边三角形，
∴，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】连接，过点E作，交的延长线于N，由，可得；由D为中点，，则可得；证明，再证明即可求得结果．
解：连接，过点E作，交的延长线于N，如图，
∵，，
∴；
∵D为中点，，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．

故答案为：．
16．或
【分析】分两种情况讨论：当点M在延长线上时，当点M在延长线上时，分别画出图形，作出辅助线，求出结果即可．
解：当点M在延长线上时，延长，在的延长线上截取，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
即；
当点M在延长线上时，延长，在的延长线上截取，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得：，
即；
故答案为：或．
17． /90度
【分析】通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小
解：∵，均为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴点E在射线上运动（）
作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小，

∵
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴周长的最小值是，
故答案为：，
18．22
【分析】如图，在右侧作，交延长线于点K,过点D作,交于G，交于L，过L分别作、、的高，分别相交于H、I、J；由根据平行线和角的数量关系得到,，从而得到，将转到，利用角的关系和角平分线的性质可再证明，然后利用线段的关系计算从而得出结果．
【详解】如图，在右侧作，交延长线于点K,过点D作,交于G，交于L，过L分别作、、的高，分别相交于H、I、J；
,
，
是的平分线；
又
在与中，
；
又角平分线、交于L，
，，
在与中，
，
在与中，
，，
．
故答案为22．
三、解答题
19．（1）解：，
，
由折叠知，
，
；
（2），
，
由折叠的性质可得：，
；
（3），
，
，
，
．
20．（1）∵，
∴为直角三角形，，
∵，
∴；
∴；
（2）在和中，
∵
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵
∴
设，则，
∵，
∴，
∵分别平分，
∴，，
∴
=
=，
∵，
∴.
21．（1）证明： 是的角平分线，
.
，
.
.
为边上的高，
.
.
平分.
（2）过点F作于点M，于点N，
平分，且，，
.
，
，
平分，
，
在和 CBF中，
，
，
，
，
，

（3），
，，
，
为边上的高，
，
，
.
在和中，
.
，
，
，
，
.
22．（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
BC＝CD，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠ACB=∠ACD；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠BAC=∠CAD，
∵CA=CE，
∴∠CAE=∠CED，
∵∠EBA=90°，
∴∠BEA=∠BAC=∠CAE=30°，
∵PD⊥AE，MP⊥PD，
∴AE∥MP，
∴∠PMC=∠MAE=30°，
∵ME∥AB，
∴∠MEB=90°，
∴∠MEA=120°，
∵∠MAE=30°，
∴∠EMA=30°，
∵CP⊥MP，CE⊥ME，
∴∠MCP=∠MCE=60°，
∴△NEC≌△NPC (SAS)，
∴EN=PN，
∴ N是EP的中点，NC⊥PE，
∴AM垂直平分PE；
②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O，
∵AM垂直平分PE，
∴ME=MP，
∵∠EMP=60°，
∴∠MPE=60°，
∴∠EPD=30°，
∴∠=30°，
∴∠ MP=30°，
∵∠MEP=60°，
∴O点与E点重合．
23．（1）解：．
证明：在中，，，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，，
，
是 ADE的外角，
，
，
，
在和中，
；
（3）如图：过点作交线段的延长线于点，
∴∠ADF=900，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．

24．
解：基本图形：
∵是等边三角形，等边三角形 ADE，
∴，
∴，
在与 CAE中
，
∴，
∴
∴，即；
迁移运用：
证明：过点作，交于点，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∴；
类比探究：
解：，理由如下：
过点作，交于点，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∵，
∴．