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4 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形的内角和
多边形的内角和
1.定理:n边形的内角和等于 .
2.正n边形的一个内角为 .
(n-2)·180°
[例题](2022攀枝花)同学们在探索“多边形的内角和”时,利用了“三角形的内角和”.请你在不直接运用结论“n边形的内角和为(n-2)·180°”计算的条件下,利用“一个三角形的内角和等于180°”,结合图形说明:五边形ABCDE的内角和为540°.
解:如图所示,连接AD,AC,
则∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠E
=∠EAD+∠DAC+∠CAB+∠ABC+∠BCA+∠ACD+∠CDA+∠ADE+∠E
=(∠EAD+∠ADE+∠E)+(∠DAC+∠ACD+∠CDA)+(∠CAB+∠ABC+∠BCA)
=180°+180°+180°=180°×3
=540°.
∴五边形ABCDE的内角和为540°.
新知应用
1.已知一个多边形的内角和是1 260°,则这个多边形是( )
A.六边形 B.七边形
C.八边形 D.九边形
2.若两个多边形的边数之比为2∶3,两个多边形的内角和之和为1080°,求这两个多边形的边数.
D
解:设多边形较少的边数为2n,则
(2n-2)·180°+(3n-2)·180°=1 080°,解得n=2.∴2n=4,3n=6.
∴这两个多边形的边数分别为4,6.
1.(2023永州)下列多边形中,内角和等于360°的是( )
2.一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为720°,那么原多边形的边数为( )
A.5 B.5或6
C.6或7 D.5或6或7
B
D
3.如图所示,在五边形ABCDE中,∠A+∠E+∠D=330°,∠ABC和∠BCD的平分线交于点O,则∠BOC的度数为 .
4.如图所示,在正六边形ABCDEF中,AF与DE的延长线交于点M,则∠M的度数为 .
75°
60°
第2课时 多边形的外角和
多边形的外角和
1.定义:多边形内角的一边与另一边的 所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和.
2.定理:多边形的外角和都等于 .
反向延长线
360°
[例题] 如图所示,汽车沿“A→B→C→D→E→F”前进过程中,经过四次转弯后与原来方向相同,四次转弯的角度分别为∠1,∠2,∠3,∠4,求∠1+∠2+∠3+∠4的度数.
解:∵汽车沿“A→B→C→D→E→F”前进过程中,
经过四次转弯后与原来方向相同,
∴EF∥AB.
∴∠1=∠CFG.
∵四边形的外角和为360°,
∴∠CFG+∠2+∠3+∠4=360°.
即∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
新知应用
1.一个多边形的每个内角都相等,这个多边形的外角不可能是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.已知一个多边形的内角和与外角和的和为1 080°,且这个多边形的各个内角都相等.求这个多边形的每个外角度数.
C
解:设这个多边形是n边形.
根据题意,得(n-2)·180°+360°=1 080°,
解得n=6.
那么这个多边形的一个外角是360°÷6=60°,
即这个多边形的每个外角的度数是60°.
1.某塔的塔基是个正n边形(n是正整数).测得塔基所在的正n边形的一个外角为60°,则n的值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.如图所示,小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分),得到了一个新多边形.若新多边形的内角和是其外角和的2倍,则对应的图形是( )
B
B
3.(2023自贡)第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案,小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°,算出这个正多边形的边数是( )
A.9 B.10 C.11 D.12
D
4.如图所示,小明从点O出发,前进5 m后向右转15°,再前进5 m后又向右转15°,……,这样一直下去,直到他第一次回到出发点O为止,他所走的路径构成了一个多边形.
(1)小明一共走了多少米
(2)这个多边形的内角和是多少度
解:(1)∵所经过的路线正好构成一个外角是15°的正多边形,
∴360°÷15°=24,24×5=120(m).
答:小明一共走了120 m.
(2)(24-2)×180°=3 960°,
答:这个多边形的内角和是3 960°.
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第六章 平行四边形
2022年新课标要求
内容要求 学业要求
1.理解平行四边形的概念,了解四边形的不稳定性. 2.探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形. 3.理解两条平行线之间距离的概念,能度量两条平行线之间的距离. 4.探索并证明三角形中位线定理. 5.了解多边形的内角、外角;探索并掌握多边形内角和与外角和公式. 掌握平行四边形的概念,在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上,经历得到和验证数学结论的过程,感悟具有传递性的数学逻辑,形成几何直观和推理能力.
1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
平行四边形的概念及对称性
1.(1)两组对边分别 的四边形叫做平行四边形;
(2)平行四边形不相邻的两个顶点连成的 叫做它的对角线;
(3)四边形ABCD是平行四边形,记作 读作“平行四边形ABCD”.
2.平行四边形是 对称图形, 的交点就是它的对称中心.
平行
线段
ABCD
中心
两条对角线
[例1-1] 如图所示,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC,EF∥AB,写出图中所有的平行四边形.
解:图中的平行四边形有 BDEF, DECF, ADFE.
[例1-2] 如图所示,直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O,若四边形ABCD的面积为30 cm2,则四边形EDCF的面积为( )
A.15 cm2 B.20 cm2
C.25 cm2 D.30 cm2
A
新知应用
1.如图所示,在 ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,EF与GH交于点O,则图中的平行四边形共有 个.
2.如图所示,以 ABCD对角线的交点O为原点,平行于BC边的直线为x轴,过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系,若A点的坐标为
(-1,2),则点C的坐标为 .
9
(1,-2)
平行四边形边的性质
平行四边形的对边 .
[例2] 如图所示,E是 ABCD的边BC延长线上的一点,且CE=BC.
求证:△ABC≌△DCE.
相等
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.∴∠B=∠DCE.
在△ABC和△DCE中,
AB=DC,∠B=∠DCE,BC=CE,
∴△ABC≌△DCE(SAS).
新知应用
1.如图所示,在 ABCD中,CE平分∠BCD交AD于点E,若AE=2, ABCD的周长等于24,则线段AB的长为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
A
2.如图所示,在 ABCD中,AB=3,AD=5,∠BCD的平分线交BA的延长线于点E,则AE的长为( )
A.3 B.2.5
C.2 D.1.5
C
5
平行四边形角的性质
平行四边形的对角 .
[例3] 如图所示,在 ABCD中,∠A+∠C=220°,求∠A,∠C,∠B,∠D的
度数.
相等
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,∠B=∠D.
∵∠A+∠C=220°,∴∠A=∠C=110°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD.∴∠A+∠D=180°.∴∠B=∠D=70°.
新知应用
1.在 ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是( )
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1
C.2∶2∶1∶1 D.3∶2∶3∶2
2.如图所示,在 ABCD中,CE⊥AB于点E.若∠BCE=28°,则∠D的度数是
( )
A.28° B.38°
C.52° D.62°
D
D
A
B
3.已知 ABCD的周长为16,AB=5,则BC的长为 .
4.如图所示,在 ABCD中,CE⊥AB于点E,如果∠A=125°,那么∠BCE的度数为 .
3
35°
5.如图所示,在 ABCD中,E为BC边上的一点,连接AE.若AB=AE,求证: ∠DAE=∠D.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠B=∠D.∴∠DAE=∠AEB.
∵AB=AE,∴∠B=∠AEB.
∴∠DAE=∠D.
第2课时 平行四边形对角线的性质
平行四边形对角线的性质
平行四边形的对角线互相 .
[例1]如图所示, ABCD的对角线交于点O,过点O作直线交AB,CD的反向延长线于点E,F,求证:OE=OF.
平分
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,DF∥EB.
∴∠E=∠F.
又∵∠EOA=∠FOC,
∴△OAE≌△OCF(AAS).
∴OE=OF.
新知应用
1.如图所示,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,则图中全等三角形共有( )
A.7对 B.6对
C.5对 D.4对
A
2.如图所示, ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是OB,OD上的中点.连接AE,CF.求证:AE=CF.
利用平行四边形对角线的性质解决问题
1.平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形.平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形.
2.平行四边形的面积
(1)平行四边形的面积等于它的 的积;
(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积 .
底和这个底上的高
相等
[例2-1] 如图所示,在 ABCD中,对角线AC和BD交于点O.若AB=6,AC=8, BD=14.求△OCD的周长.
(2) ABCD的面积.
新知应用
1.(2023芜湖期中)如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AC=4, BD=6,则AB的长可能是( )
A.4 B.5
C.6 D.7
2.(2023南京期中)如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AB=3, AC+BD=12,则△AOB的周长为 .
A
9
3.如图所示,在 ABCD中,AB=10,AD=8,AC⊥BC.求
(1)AC的长;
(2)△ABO的面积.
B
2.(2023成都)如图所示,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.AC=BD B.OA=OC
C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
3.如图所示,在 ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若S△AOB=4,则 ABCD的面积为 .
B
16
4.如图所示, ABCD的对角线AC,BD交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F.
(1)求证:OE=OF;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,OA=OC.∴∠EAO=∠FCO.
在△AOE和△COF中,
∠EAO=∠FCO,OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴OE=OF.
(2)若∠FEB=90°,BE=6,BD=13,求EF的长.
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2 平行四边形的判定
第1课时 用边判定平行四边形
利用两组对边判定四边形是平行四边形
1.两组对边分别 的四边形是平行四边形(定义).
2.两组对边分别 的四边形是平行四边形.
平行
相等
[例1-1] 如图所示,已知AC=AE,BC=BE,BC∥AD,CD⊥CE.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AC=AE,BC=BE,
∴AB垂直平分CE.
∴AB⊥CE.
∵CD⊥CE,
∴AB∥CD.
∵BC∥AD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
[例1-2]如图所示,在四边形ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,若△ADE≌△CBF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵△ADE≌△CBF,
∴AD=BC,AE=CF.
∵E,F分别为边AB,CD的中点,
∴AB=2AE,CD=2CF.
∴AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
新知应用
如图所示,已知E,F,G,H分别是 ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且AE=CG,BF=DH.求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:在 ABCD中,∠A=∠C,AD=BC.
∵BF=DH,∴AH=CF.
∵AE=CG,∠A=∠C,AH=CF,
∴△AEH≌△CGF(SAS).
∴EH=FG.同理,得HG=EF,
∴四边形EFGH是平行四边形.
利用一组对边判定四边形是平行四边形
一组对边平行且 的四边形是平行四边形.
相等
[例2] (2023广安)如图所示,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形.
新知应用
如图所示,AD,BF相交于点O,点E,C在BF上,BE=FC,AC=DE,AB=DF.连接BD,AF.求证:四边形ABDF是平行四边形.
证明:∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=FE.
在△ABC和△DFE中,
AB=DF,AC=DE,BC=FE,
∴△ABC≌△DFE(SSS).
∴∠ABF=∠DFB.∴AB∥DF.
又∵AB=DF,
∴四边形ABDF为平行四边形.
1.如图所示,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,C为圆心, BC,AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB,AD,CD,则四边形ABCD是平行四边形.其依据是( )
A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B
2.(2023衡阳)如图所示,在四边形ABCD中,BC∥AD,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB=CD B.AB∥CD
C.∠A=∠C D.BC=AD
3.如图所示,在四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,F.若只添加一个条件(不另加辅助线),使得四边形AECF为平行四边形,添加的条件是 .
A
AE=CF或AF∥CE(答案不唯一)
4.如图所示,△ABC和△DEF的边BC,DF在同一直线上,且∠ABC=∠EFD, ∠BAC=∠FED,BD=CF,连接AF,BE.求证:四边形ABEF是平行四边形.
证明:∵BD=CF,∴BD+CD=CF+CD,
即BC=FD.
在△ABC与△EFD中,
∠BAC=∠FED,∠ABC=∠EFD,BC=FD,
∴△ABC≌△EFD(AAS).∴AB=EF.
∵∠ABC=∠EFD,∴AB∥EF.
∴四边形ABEF是平行四边形.
第2课时 用对角线判定平行四边形
用对角线判定平行四边形
1.定理:对角线 的四边形是平行四边形.
2.符号语言:在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,∵AO=CO,DO=BO,∴四边形ABCD是平行四边形.
互相平分
[例1] 如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F在AC 上,G,H在BD上,且AF=CE,BH=DG,求证:GF∥EH.
证明:在平行四边形ABCD中,OA=OC,
∵AF=CE,
∴AF-OA=CE-OC.
∴OF=OE.
同理,得OG=OH.
∴四边形EGFH是平行四边形.
∴GF∥EH.
新知应用
1.如图所示,已知AO=OC,BD=6 cm,当OB的长为 时,四边形ABCD是平行四边形.
3 cm
2.如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O交AD于点E,交 BC于点F,点G是OA的中点,点H是OC的中点.求证:四边形EGFH是平行四 边形.
平行四边形判定方法的选择
互相平分
相等
[例2] 求证:一组对边平行且一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.
解:已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,OA=OC.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO.
在△ABO与△CDO中,
∠BAO=∠DCO,OA=OC,∠AOB=∠COD,
∴△ABO≌△CDO(ASA).∴AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
新知应用
1.能够判定一个四边形是平行四边形的条件是( )
A.一组对角相等
B.两条对角线互相平分
C.两条对角线互相垂直
D.一对邻角的和为180°
2.已知四边形ABCD,∠A=∠C,对角线AC,BD交于点O.分别添加下列条件之一:①AB∥CD;②AB=CD;③OA=OC;④∠B=∠D,能使四边形ABCD成为平行四边形,则正确的选项有 (填写序号).
B
①④
1.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OC,若添加一个条件,使四边形ABCD是平行四边形,则添加的条件是( )
A.AC=BD B.OA=OB
C.OA=AD D.OB=OD
2.下面是八年级(1)班某学习小组讨论的问题:如图所示,在四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,下列条件:①BE=DF;②∠B=∠D;③∠BAE=∠DCF;④四边形ABCD是平行四边形.其中添加后使四边形AECF是平行四边形的是( )
A.④ B.①②
C.①④ D.①②③
D
C
3.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.求证:四边形ABFC为平行四边形.
证明:∵AB∥CD,∴∠BAE=∠CFE.
∵点E是BC的中点,∴BE=CE.
在△ABE和△FCE中,∠BAE=∠CFE,∠AEB=∠FEC,BE=CE,
∴△ABE≌△FCE(AAS).
∴AE=EF.
又∵BE=CE,
∴四边形ABFC是平行四边形.
4.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,延长AD至点E,使DE=AD,连接BD.
(1)求证:四边形BCED是平行四边形;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∵DE=AD,
∴DE=BC,DE∥BC.
∴四边形BCED是平行四边形.
(2)若DA=DB=2,AB=1,求点B到点E的距离.
第3课时 平行线之间的距离及平行四边形性质和判定的综合运用
平行线之间的距离
如果两条直线互相 ,则其中一条直线上 一点到另一条直线的距离 ,这个距离称为平行线之间的距离.
平行
任意
都相等
[例1] 如图所示,直线a∥b,直线a与直线b之间的距离是( )
A.线段PA的长度
B.线段PB的长度
C.线段PC的长度
D.线段CD的长度
A
新知应用
1.如图所示,已知AB∥CD,OA,OC分别平分∠BAC和∠ACD,OM⊥AC于点M,且OM=3,则AB,CD之间的距离为 .
6
2.如图所示,已知AD∥BC,AB∥EF,CD∥EG,∠A=∠D,且点E和点F,H,G分别在直线AD,BC上,EH平分∠FEG,线段EH的长是否是两条平行线AD,BC之间的距离 为什么
平行四边形性质和判定的综合应用
(2)若AB=4,AD=6,∠B=60°,求DE的长.
新知应用
1.如图所示,E是 ABCD的边AB上的点,Q是CE的中点,连接BQ并延长交CD于点F,连接AF与DE相交于点P,若S△APD=3 cm2,S△BQC=7 cm2,则阴影部分的面积为( )
A.24 cm2 B.17 cm2
C.13 cm2 D.10 cm2
B
2.如图所示,在四边形ABCD中,点M是边BC的中点,AM,BD互相平分并相交于点O.求证:AD=CM.
证明:如图所示,连接DM,
∵AM,BD互相平分并交于点O,
即AO=OM,BO=DO,
∴四边形ABMD为平行四边形.
∴AD=BM,AD∥BM.
又∵M为BC的中点,
∴BM=CM.∴AD=CM.
1.如图所示,直线l1∥l2,△ABC的面积为10,则△DBC的面积( )
A.大于10 B.小于10
C.等于10 D.不确定
2.如图所示,在 ABCD中,∠A=45°,BC=2,则AB与CD之间的距离为 .
3.如图所示,在 ABCD中,E为边BC延长线上一点,且CE=2BC,连接AE,DE.若△ADE的面积为1,则△ABE的面积为 .
C
3
(2)若AB=2,AD=3,∠A=60°,求CE的长.
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第六章 平行四边形
章末知识复习
D
2.(2023福州期中)如图所示,在 ABCD中,E,F为对角线BD上的点(DE证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
AB=CD,∠ABE=∠CDF,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS).∴∠AEB=∠CFD.
∵∠AED+∠AEB=180°,∠CFB+∠CFD=180°,
∴∠AED=∠CFB.
知识点二 平行四边形的判定
3.在 ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A.BE=DF B.AE=CF
C.AF∥CE D.∠BAE=∠DCF
4.如图所示,在四边形ABCD中,AD=12,DO=OB=5,AC=26,∠ADB=90°.求 证:四边形ABCD是平行四边形.
B
知识点三 三角形的中位线
5.如图所示,D,E,F分别是△ABC三边的中点,若∠A=60°,∠B=45°,则∠EDF的度数为( )
A.45° B.60°
C.75° D.80°
6.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=30°,D,E分别为AC,BC的中点,DE=2,过点B作BF∥AC,交DE的延长线于点F,则四边形ABFD的面积为 .
C
知识点四 多边形的内角和与外角和
8.一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为2∶1,则这个正多边形是( )
A.正五边形 B.正六边形
C.正七边形 D.正八边形
9.已知正多边形的一个外角等于40°,则这个正多边形的内角和的度数为 .
10.将两张三角形纸片如图所示摆放,量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°,则∠5的度数为 .
B
1 260°
40°
类型一 转化思想
(1)多边形内角问题转化为外角问题求解;
(2)多边形问题转化为三角形问题求解.
1.正多边形的每个内角都是156°,则它的边数是( )
A.10 B.13 C.15 D.19
2.通过画出多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,那么该多边形的内角和的度数是 .
C
540°
类型二 方程思想
(1)列方程求平行四边形的边长或角度;
(2)列方程求解多边形问题.
1.若一个多边形的内角和是540°,则该多边形的边数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.如图所示,平行四边形ABCD的周长是18 cm,对角线AC,BD相交于点O,若△AOD与△AOB的周长差是5 cm,则边AB的长是 cm.
B
2
3.在 ABCD中,∠A比∠B大30°,求这个平行四边形的各个内角的度数.
解:设∠B=x°,则∠A=x°+30°,
在 ABCD中,∵∠A+∠B=180°,
∴(x+30)+x=180,
解得x=75.
∴∠A=75°+30°=105°.
∴ ABCD的四个内角分别是105°,75°,105°,75°.
类型三 分类讨论思想
(1)求解平行四边形问题有时需要分类讨论;
(2)求解多边形问题有时需要分类讨论.
1.如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是 .
2.在 ABCD中,AD=BD,BE是AD边上的高,∠EBD=20°,则∠A的度数为
540°或360°或180°
55°或35°
1.(2022眉山)在△ABC中,AB=4,BC=6,AC=8,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,则△DEF的周长为( )
A.9 B.12 C.14 D.16
2.(2022南充)如图所示,在正五边形ABCDE中,以AB为边向内作正三角形ABF,则下列结论错误的是( )
A.AE=AF B.∠EAF=∠CBF
C.∠F=∠EAF D.∠C=∠E
A
C
3.(2022宜宾)如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AEDF的周长是( )
A.5 B.10 C.15 D.20
4.(2023凉山)如图所示, ABCO的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(3,0), (1,2).则顶点B的坐标是 .
B
(4,2)
5.(2023自贡)如图所示,在 ABCD中,点M,N分别在边AB,CD上,且AM=CN.求证:DM=BN.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∵AM=CN,∴AB-AM=CD-CN,
即BM=DN.
又∵BM∥DN,
∴四边形MBND是平行四边形.
∴DM=BN.
6.(2022内江)如图所示,在 ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF.求证:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形AECF是平行四边形.
证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.∴∠ABD=∠CDB.
在△ABE和△CDF中,AB=CD,∠ABE=∠CDF,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)由(1),知△ABE≌△CDF,∴AE=CF,∠AEB=∠CFD.
∴∠AEF=180°-∠AEB,∠CFE=180°-∠CFD.
∴∠AEF=∠CFE.∴AE∥CF.
∵AE=CF,AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.
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3 三角形的中位线
三角形中位线定理
1.定义:连接三角形两边中点的 叫做三角形的中位线.
2.定理:三角形的中位线 于第三边,且等于第三边的 .
线段
平行
一半
[例1] 如图所示,在Rt△ABC中,BC=5,AC=12,点D,E分别是直角边BC,AC的中点,求DE的长.
三角形中位线的两个作用
新知应用
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,若DE=2,则BC的长 为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
D
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,D,E,F分别是边AB,BC,AC的中点,连接DE,DF,EF,∠ADF的度数为53°.求:
(1)∠C的度数;
解:(1)∵D,F分别是边AB,AC的中点,
∴DF∥BC.
∵∠ADF=53°,
∴∠B=∠ADF=53°.
∵∠A=90°,
∴∠C=90°-∠B=90°-53°=37°.
(2)四边形ADEF的周长.
三角形中位线与平行四边形
[例2] 如图所示,点O是△ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.求证:四边形DEFG是平行四边形.
借助三角形中位线定理证明平行四边形,通常借助三角形中位线定理证明四边形的一组对边平行且相等.
新知应用
1.如图所示,在四边形ABDC中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,并且E,F,G,H四点不共线.当AC=6,BD=8时,四边形EFGH的周长是 .
14
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,E,F分别是BC,AC的中点,延长BA到点D,使AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O.试说明AF与DE互相平分.
1.如图所示,为测量池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个点O,从 点O不经过池塘可以直接到达点A和B,连接OA,OB,分别取OA,OB的中点C,D,连接CD后,量出CD的长为12 m,那么就可以算出A,B的距离是( )
A.36 m B.24 m C.12 m D.6 m
2.如图所示,在四边形ABCD中,点P是对角线BD的中点,点E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=23°,则∠PFE的度数为( )
A.23° B.25° C.30° D.46°
B
A
3.(2023泸州)如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB相交于点P,E是PD中点,若AD=4,CD=6,则EO的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=8,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接EF,则EF的长是 .
A
5
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,DE∥BC交AC于点E,连接BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.求证:FG=FH.
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