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第三章 图形的平移与旋转
2022年新课标要求
内容要求 学业要求
1.图形的旋转 (1)通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转;探索旋转的基本性质:一个图形和旋转得到的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等;(2)了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它们的基本性质:成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称中心,且被对称中心平分;(3)探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质;(4)认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形. 理解平移、旋转这两类基本的图形运动,知道这两类运动的基本特征,会用图形的运动认识、理解和表达现实世界中相应的现象.在这样的过程中,发展几何直观.会用坐标表达图形的变化、简单图形的性质,感悟通过几何建立直观,通过代数得到数学表达式的过程.
2.图形的平移 (1)通过具体实例认识平移,探索它的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一直线上)且相等;(2)认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用;(3)运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计. 在这样的过程中,感悟数形结合的思想,会用数形结合的方法分析和解决问题.在具体实际情境中,学会从几何的角度发现问题和提出问题,经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程,培养应用意识和创新意识,提升几何直观、空间观念、抽象能力、推理能力等.
3.图形与坐标 (1)对给定的正方形,会选择合适的平面直角坐标系,写出它的顶点坐标,体会可以用坐标表达简单图形;(2)在平面直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标,知道对应顶点坐标之间的关系;(3)在平面直角坐标系中,探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来图形具有平移关系,体会图形顶点坐标的变化.
1 图形的平移
第1课时 平移的定义和性质
平移的概念和性质
1.平移的定义
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为 .平移不改变图形的 和大小.
2.平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段 (或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且 ,对应角 .
平移
形状
平行
相等
相等
[例1-1]下列现象:①荡秋千;②坐电梯;③拧瓶盖;④物品在传送带上移动.其中属于平移的是( )
A.①② B.①③
C.②③ D.②④
[例1-2](2023南充)如图所示,将△ABC沿BC向右平移得到△DEF,若BC=5,BE=2,则CF的长是( )
A.2 B.2.5 C.3 D.5
D
A
新知应用
1.下列现象:①行驶中汽车车轮的运动;②打气筒打气时,活塞的运
动;③钟摆的摆动;④汽车雨刷的运动.其中不属于平移的是( )
A.①② B.②③ C.①③④ D.②
2.如图所示,△ABC的周长为8 cm,D为边AC上一点,将△ABC沿着射线BD的方向平移3 cm到△EFG的位置,则五边形ABCGE的周长为 cm.
C
14
3.如图所示,将△ABC沿射线AB的方向平移到△DEF的位置,点A,B,C的对应点分别为点D,E,F,若∠ABC=70°,则∠CFE的度数为 .
110°
利用平移的性质作图
[例2]如图所示,平移△ABC,使点A移动到点A′,画出平移后的△A′B′C′.
解:平移后的△A′B′C′如图所示.
新知应用
1.如图所示,下面的图案通过左边的图案平移后得到的是( )
2.(2023江阴期中)下列图形,不能通过其中一个四边形平移得到的是( )
D
D
3.如图所示,△ABC经过怎样的平移得到△DEF( )
A.把△ABC向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度
B.把△ABC向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度
C.把△ABC向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度
D.把△ABC向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度
A
1.下列生活中的现象,属于平移变换的是( )
A.冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡
B.拉开抽屉
C.时钟上分针的运动
D.随风飘动的树叶在空中的运动
2.下列每组图形中,左边的图形平移后可以得到右边图形的是( )
B
D
3.如图所示,将△ABC平移到△A′B′C′的位置(点B′在AC边上),若∠B=55°,∠C=100°,则∠AB′A′的度数为 .
4.如图所示,将周长为8的△ABC沿BC边向右平移2个单位长度,得到△DEF,则四边形ABFD的周长为 .
25°
12
第2课时 图形的平移与坐标变化
点的平移规律
在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或向左)平移a(a>0)个单位长度后,得到对应点的坐标为 (或 );将点(x,y)向上(或向下)平移b(b>0)个单位长度后,得到对应点的坐标为
(或 ).
[例1]在平面直角坐标系中,将点M(1,2)向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到点N,则点N的坐标是( )
A.(-2,3) B.(4,3)
C.(-2,1) D.(4,1)
(x+a,y)
(x-a,y)
(x,y+b)
(x,y-b)
A
新知应用
1.在平面直角坐标系中,把点P(2,3)向上平移1个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点P′,则点P′的坐标是( )
A.(3,1) B.(0,4)
C.(4,4) D.(1,1)
2.在平面直角坐标系中,将点P(m+2,2m+1)向右平移1个单位长度后,正好落在y轴上,则m的值为 .
B
-3
图形的平移与坐标变化
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形,可以看成是由原来的图形经过 次平移得到的.
一
[例2]如图所示,△A′B′C′是由△ABC平移得到的,已知△ABC内任意一点P(x0,y0)经平移后的对应点为点P′(x0+5,y0-2).
(1)已知点A,B,C的坐标分别为(-1,2),(-4,5),(-3,0),求点A′,
B′,C′的坐标;
解:(1)∵△ABC内任意一点P(x0,y0)经
平移后的对应点为点P′(x0+5,y0-2),
∴△A′B′C′是由△ABC向右平移5个单位长度,
再向下平移2个单位长度得到的.
∴点A(-1,2)的对应点A′的坐标为
(-1+5,2-2)=(4,0);点B(-4,5)的对应点B′的坐标为(-4+5,5-2)=
(1,3);点C(-3,0)的对应点C′的坐标为(-3+5,0-2)=(2,-2).∴点A′的坐标为(4,0),点B′的坐标为(1,3),点C′的坐标为(2,-2).
(2)如果将△A′B′C′看成是由△ABC经过一次平移得到的,请指出这一平移的平移方向和平移距离.
新知应用
1.如图所示,在平面直角坐标系中,将“笑脸”图案向右平移 4个单位长度,再向下平移2个单位长度,则在“笑脸”图案中的点P的对应点的坐标是( )
A.(-1,2) B.(-9,2)
C.(-1,6) D.(-9,6)
2.在平面直角坐标系中,将△ABC平移得到△DEF,且点A(-2,3)平移后与点D(1,2)重合,则△ABC内部一点M(3,-1)平移后的坐标为 .
A
(6,-2)
3.如图所示,已知△ABC向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到 △A′B′C′.
(1)在图中画出△A′B′C′,并写出点A′的坐标;
解:(1)如图所示,△A′B′C′即为所求,点A′的坐标为(0,4).
(2)如果将△A′B′C′看成由△ABC经过一次平移得到的,请指出这一平移的方向和平移的距离.
1.在平面直角坐标系中,点P(2,1)向左平移3个单位长度得到的点在
( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2023成都月考)如图所示,点A,B的坐标分别为(-2,1),(0,-1).若将线段AB平移至A1B1,点A1,B1的坐标分别为(a,3),(3,b),则a+b的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
B
3.如图所示,第一象限内有两点P(m-3,n),Q(m,n-2),将线段PQ平移使点P,Q分别落在两条坐标轴上,则点P平移后的对应点的坐标是
.
(0,2)或(-3,0)
4.△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,-3),B(3,2),C(2,-1),如果将这个三角形三个顶点的横坐标都加3,同时纵坐标都减1,分别得到点A1,B1,C1,依次用线段连接A1,B1,C1所得△A1B1C1.
(1)分别写出点A1,B1,C1的坐标;
(2)△A1B1C1与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系
解:(1)点A1,B1,C1的坐标分别为(1,-4),(6,1),(5,-2).
(2)△A1B1C1的大小、形状与△ABC的大小、形状完全相同,仅是位置不同,△A1B1C1是将△ABC沿x轴方向向右平移3个单位长度,再沿y轴方向向下平移 1个单位长度得到的.
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3 中心对称
成中心对称与中心对称图形
1.成中心对称:如果把一个图形绕着某一点旋转 °,它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做它们的对称中心.
2.中心对称图形:把一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形 ,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心.
180
重合
[例1-1] 下列四组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称的是
( )
A.①④ B.②③
C.②③④ D.①②③④
[例1-2] 下列图形属于中心对称图形的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
C
新知应用
1.(2023自贡)下列交通标志图案中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
B
2.下列选项中的两个图形成中心对称的是( )
A
成中心对称的两个图形的性质
成中心对称的两个图形中,对应点所连线段经过对称 ,且被对称中心 .
中心
平分
[例2] 如图所示,△ABO与△CDO关于O点中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE.求证:FD=BE.
证明:∵△ABO与△CDO关于O点中心对称,∴OB=OD,OA=OC.
∵AF=CE,∴OF=OE.
在△DOF和△BOE中,
OD=OB,∠DOF=∠BOE,OF=OE,
∴△DOF≌△BOE(SAS).
∴FD=BE.
新知应用
1.如图所示,已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称,则下列判断不正确的是( )
A.∠ABC=∠A′B′C′
B.∠BOC=∠B′A′C′
C.AB=A′B′
D.OA=OA′
B
2.如图所示,△ABC和△DEC关于点C成中心对称,若AC=1,AB=2,∠BAC= 90°,则AE的长是 .
关于原点成中心对称
[例3-1] 在平面直角坐标系xOy中,点A(2,-3)绕着点O旋转180°后得到点B(-2,n),则n的值为( )
A.3 B.-3 C.2 D.-2
[例3-2] 如图所示,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-6, 0),C(-1,0).画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1,写出点A1的坐标.
A
解:△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1如图所示,点A1的坐标为(2,-3).
新知应用
1.若点A(a,1)与B(-4,b)关于原点成中心对称,则ab的值为 .
2.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.A,B,C三点在格点上.作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1,并写出点C1的坐标.
解:△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示,点C1的坐标为(-3,-2).
1.下列图形是中心对称图形的是( )
2.在平面直角坐标系中,点P(-2,3)关于原点旋转180°后得到的对应点P′的坐标为 .
A
(2,-3)
3.在平面直角坐标系中,点P(1,1),N(2,0),△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上,△MNP与△M1N1P1关于某一点中心对称,则对称中心的坐标为
.
(2,1)
4.如图所示,在2×2的正方形网格纸中,有一个以格点为顶点的△ABC,请你找出网格纸中所有与△ABC成中心对称且也以格点为顶点的三角形共有 个(不包括△ABC本身).
2
5.如图所示,已知四边形ABCD和点O,画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A′B′C′D′.
解:如图所示.四边形A′B′C′D′即为所求.
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第三章 图形的平移与旋转
章末知识复习
知识点一 图形的平移
1.在平面直角坐标系中,将点A(-2,3)向右平移4个单位长度,得到的对应点A′的坐标为( )
A.(2,7) B.(-6,3)
C.(2,3) D.(-2,-1)
2.如图所示,AB=4 cm,BC=5 cm,AC=2 cm,将△ABC沿BC方向平移a cm(0< a<5),得到△DEF,连接AD,则阴影部分的周长为 .
C
11 cm
3.如图所示,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点A(5,2),B(5,5),C(1,1)均在格点上.将△ABC向左平移5个单位长度得到△A1B1C1,
画出△A1B1C1并写出点A1的坐标.
解:如图所示,△A1B1C1即为所求,点A1的坐标为(0,2).
知识点二 图形的旋转
4.如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在正方形网格线的格点上,将△ABC绕点P按逆时针方向旋转90°,得到△A′B′C′,则点P的坐标为( )
A.(0,0) B.(0,1)
C.(-1,1) D.(1,1)
C
5.已知点O是△ABC内一点,连接OA,OB,将△BAO绕点B顺时针旋转如图所示,若△ABC是等边三角形,OA=5,OB=12,△BAO旋转后得到
△BCD,连接OC,OD,已知OC=13.求:
(1)OD的长;
解:(1)∵将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD,∴△BAO≌△BCD.
∴∠ABO=∠CBD,BO=BD.
∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.
∵∠ABO=∠CBD,∴∠ABO+∠OBC=∠CBD+∠OBC.∴∠OBD=∠ABC=60°.
∵BO=BD,∴△BOD是等边三角形.∴OD=OB=12.
(2)∠AOB的大小.
解:(2)由旋转,知△BAO≌△BCD,
∴∠AOB=∠CDB,AO=CD=5.
∵△BOD是等边三角形,∴∠BDO=60°.
∵OD=12,CD=5,OC=13,即132=52+122.
∴OC2=CD2+OD2.
∴△ODC是直角三角形,∠ODC=90°.
∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60°+90°=150°.
∴∠AOB=∠BDC=150°.
知识点三 中心对称和中心对称图形
6.下列标志中,可以看作是中心对称图形的是( )
7.在平面直角坐标系中,点P(-3,2)关于原点O中心对称的点P′的坐标为 .
D
(3,-2)
知识点四 简单的图案设计
8.在下列四种图形变换中,图中的图案包含的变换是( )
A.旋转和轴对称 B.轴对称和平移
C.平移和旋转 D.平移、旋转和轴对称
A
9.如图所示,△A′B′C′是由△ABC经过轴对称得到的,△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到 下列结论:①2次平移;②1次平移和1次轴对称;③2次旋转;④3次轴对称得到的.其中正确的是
( )
A.①④ B.②③
C.②④ D.③④
C
类型一 分类讨论思想
(1)图形平移的方向不确定时,应根据可能存在的情况分类讨论;
(2)图形旋转的方向不确定时,应根据可能存在的情况分类讨论.
1.如图所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,1),将线段AB平移,使其一个端点到C(3,2),则平移后另一端点的坐标为 .
(1,3)或(5,1)
2.在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠B=50°,点D在边BC上,BD=2CD(如图所示).把△ABC绕着点D逆时针旋转α角(0°<α<180°)后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,那么α的度数为 .
80°或120°
类型二 数形结合思想
借助平移或旋转并结合图形求解相关问题.
1.如图所示,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到
Rt△A′B′C,连接AA′,若∠1=25°,则∠BAA′的度数是( )
A.55° B.60°
C.65° D.70°
C
2.如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A,B的坐标分别是
(0,2),(2,-1).平移△ABC得到△A′B′C′,若点A的对应点A′的坐标为(-1,0),则点B的对应点B′的坐标是 .
(1,-3)
1.(2023成都期末)中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录,下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”,其中是中心对称图形的是( )
D
2.(2023锦江期中)如图所示,在△AOB中,∠B=25°,将△AOB绕点O顺时针旋转60°,得到△A′OB′,边A′B′与边OB交于点C(A′不在OB上),则∠A′CO的度数为( )
A.105° B.95°
C.85° D.75°
3.(2023金牛期末)在平面直角坐标系中,将点A(-3,-5)先向上平移6个单位长度,再向左平移2个单位长度得到点B,则点B的坐标为 .
C
(-5,1)
4.(2023达州月考)如图所示,在等边三角形ABC中,AB=6,D是BC上一点,且BC=3BD,△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则CE的长度为 .
2
5.(2023雅安月考)如图所示,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1), B(4,2),C(3,4).
(1)画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2,并写出点A2,B2,C2的坐标;
(3)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后的△A3B3C3,并写出点A3,B3,C3的坐标.
解:(1)如图所示,△A1B1C1为所作.
(2)如图所示,△A2B2C2为所作,点A2,B2,C2的坐标分别为(-1,-1),(-4,
-2),(-3,-4).
(3)如图所示,△A3B3C3为所作,点A3,B3,C3的坐标分别为(1,-1),(2,-4), (4,-3).
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2 图形的旋转
第1课时 旋转的定义和性质
旋转的定义和性质
1.旋转的定义
在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个 ,这样的图形运动称为旋转,这个 称为旋转中心,转动的 称为旋转角.旋转不改变图形的 和 .
2.旋转的性质
一个图形和它经过旋转所得的图形中,对应点到旋转中心的距离 ,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于 ;对应线段 ,对应角 .
角度
定点
角
形状
大小
相等
旋转角
相等
相等
[例1-1] 下列现象:①地下水位逐年下降,②传送带的移动,③方向盘的转动,④水龙头的转动.其中属于旋转的有( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
[例1-2] 如图所示,将△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上,则∠EDB的大小为( )
A.30° B.40°
C.50° D.60°
C
D
新知应用
1.下列运动形式属于旋转的是( )
A.在空中上升的氢气球 B.飞驰的火车
C.时钟上钟摆的摆动 D.运动员掷出的标枪
2.如图所示,△ABC为等边三角形,D为BC边上的一点,△ABD经过旋转到达△ACP的位置,旋转中心是 ,旋转角度是 °,△ADP是
三角形.
C
点A
60
等边
1.下列图案中,不能由其中一个图形通过旋转而构成的是( )
2.(2023西安月考)如图所示,一个小孩坐在秋千上,若秋千绕点O旋转了80°,小孩的位置也从点A运动到了点B,则∠OAB的度数为( )
A.70° B.60°
C.50° D.40°
C
C
3.(2024南充)如图所示,将直角三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转到 △AB′C′,点B′恰好落在CA的延长线上,∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC′的度数为( )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
4.(2023成都月考)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′,使点B′在AC的延长线上,则B′C的长为 .
B
1
第2课时 旋转作图
利用旋转作图
确定一个图形旋转后的位置,需要条件为
(1)旋转中心;(2)旋转方向;(3)旋转角.
[例题] 如图所示,在△ABC中,∠C=90°.
(1)将△ABC绕点B逆时针旋转90°,画出旋转后的△A′BC′;
解:(1)如图所示,△BA′C′为所作.
(2)若BC=3,AC=4,点A旋转后的对应点为点A′,求A′A的长.
新知应用
1.(2022西安)把如图所示的图形绕点A逆时针旋转90°后得到的图形是( )
D
2.如图所示,△ABC绕点O旋转,顶点A的对应点为A′,请画出旋转后的
图形.
解:如图所示,△A′B′C′即为旋转后的图形.
1.将图中方格纸中的图形绕点O顺时针旋转90°得到的图形是( )
A
2.如图所示,△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上,其中A点的坐标是(-1,0),现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°,则旋转后点C的坐标是
.
(-2,3)
3.画出△ABC绕着点C顺时针旋转60°以后的△A′B′C′.A,B,C的对应点分别是A′,B′,C′.说出图形中的旋转角,并判断 △BB′C 的形状.
解:如图所示,△A′B′C′即为所求.如图所示,连接BB′,图中的旋转角是∠BCB′,∠ACA′.
∵△ABC绕着点C顺时针旋转60°以后得△A′B′C′,∴∠BCB′=60°,BC=B′C.
∴△BCB′是等边三角形.
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