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2 提公因式法
第1课时 公因式为单项式的因式分解
公因式
多项式各项都含有的 ,叫做这个多项式各项的公因式.
[例1] 多项式3x2y2-12x2y4-6x3y3的公因式是( )
A.3xy B.x2y2
C.3x2y2 D.3x3y2
相同因式
C
新知应用
D
xy
提单项式公因式因式分解
(1)如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式 的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法;
(2)当多项式第一项的系数是负数时,通常先提出“-”号,使括号内第一项的系数成为 数.在提出“-”号时,多项式的各项都要 .
乘积
正
变号
[例2] 把下列各式因式分解:
(1)12a2b-24ab2+6ab;
(2)-a3-a2+a;
解:(1)12a2b-24ab2+6ab
=6ab(2a-4b+1).
(2)-a3-a2+a
=-a(a2+a-1).
(3)9abc-6a2b2+12abc2;
(4)-24x3+12x2-28x.
解:(3)9abc-6a2b2+12abc2
=3ab(3c-2ab+4c2).
(4)-24x3+12x2-28x
=-4x(6x2-3x+7).
提公因式法的“三步骤”
一找:找出各项的公因式,把公因式放在括号外.
二定:确定各项的另外的因式,即用多项式除以公因式的商.
三积:写成积的形式.
新知应用
1.(2023成都)因式分解:m2-3m= .
2.把下列各式因式分解:
(1)-3x3+6x4;
(2)4a3b2-10ab3c;
m(m-3)
解:(1)-3x3+6x4
=-3x3(1-2x).
(2)4a3b2-10ab3c
=2ab2(2a2-5bc).
(3)12x2y-18xy2-24x3y3;
(4)-7ab-14a2bx+49ab2y.
解:(3)12x2y-18xy2-24x3y3
=6xy(2x-3y-4x2y2).
(4)-7ab-14a2bx+49ab2y
=-7ab(1+2ax-7by).
提单项式公因式因式分解的应用
[例3-1] 利用因式分解简便计算:
(1)1.982+1.98×0.02;(2)12×6.58+53×6.58-165×6.58.
解:(1)1.982+1.98×0.02
=1.98×(1.98+0.02)
=1.98×2=3.96.
(2)12×6.58+53×6.58-165×6.58
=(12+53-165)×6.58
=-100×6.58=-658.
新知应用
1.利用简便方法计算:
(1)3.2×202.4+4.7×202.4+2.1×202.4;
解:(1)3.2×202.4+4.7×202.4+2.1×202.4
=202.4×(3.2+4.7+2.1)
=202.4×10
=2 024.
1.用提公因式法因式分解2x2y2+8x2y4时,应提取的公因式是( )
A.2x2y4 B.8x4y2
C.8x2y4 D.2x2y2
2.若多项式-6mn+18mnx+24mny的一个因式是-6mn,则另一个因式是( )
A.-1-3x-4y B.1-3x-4y
C.-1-3x+4y D.1+3x-4y
D
B
3.把下列各式因式分解:
(1)-8a2b-4ab+12b2;
(2)12x3y3-8x2y3+4x2y2;
(3)-4x3y2+28x2y-2xy.
解:(1)-8a2b-4ab+12b2=-4b(2a2+a-3b).
(2)12x3y3-8x2y3+4x2y2
=4x2y2(3xy-2y+1).
(3)-4x3y2+28x2y-2xy
=-2xy(2x2y-14x+1).
4.利用因式分解简便计算:
(1)157×99+44×99-99;
解:(1)157×99+44×99-99
=99×(157+44-1)
=99×200
=19 800.
(2)(-5.25)×(-4.3)-4.3×(-19.75)-4.3×5.
解:(2)(-5.25)×(-4.3)-4.3×(-19.75)-4.3×5
=-4.3×(-5.25-19.75+5)
=-4.3×(-20)
=86.
第2课时 公因式为多项式的因式分解
提多项式公因式因式分解
[例1] 把下列各式因式分解:
(1)a(x-3)+2b(x-3);
(2)y(x+1)+y2(x+1)2.
解:(1)a(x-3)+2b(x-3)
=(x-3)(a+2b).
(2)y(x+1)+y2(x+1)2=y(x+1)[1+y(x+1)]
=y(x+1)(xy+y+1).
新知应用
1.多项式-xy2(x+y)3+x(x+y)2各项的公因式是 .
2.把下列各式因式分解:
(1)2(a+2)+3b(a+2);
(2)2m(m-n)2-8m2(n-m).
-x(x+y)2
解:(1)2(a+2)+3b(a+2)
=(a+2)(2+3b).
(2)2m(m-n)2-8m2(n-m)=2m(m-n)2+8m2(m-n)
=2m(m-n)[(m-n)+4m]=2m(m-n)(5m-n).
提多项式公因式因式分解的应用
[例2] 先因式分解,再计算求值:
x(x+y)(x-y)-x(y-x)2,其中x=2,y=-2.
解:x(x+y)(x-y)-x(y-x)2
=x(x-y)[(x+y)-(x-y)]
=2xy(x-y),
当x=2,y=-2时,原式=-32.
新知应用
1.已知x+y=6,x-y=4,则2y(x-y)-2x(y-x)的值是( )
A.48 B.-48
C.24 D.-24
A
1.把下列各式因式分解:
(1)y(2a-b)+x(b-2a);
(2)(2a+1)2-(2a+1)(-1+2a).
解:(1)y(2a-b)+x(b-2a)
=y(2a-b)-x(2a-b)
=(2a-b)(y-x).
(2)(2a+1)2-(2a+1)(-1+2a)
=(2a+1)[2a+1-(-1+2a)]
=2(2a+1).
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第四章 因式分解
2022年新课标要求
内容要求 学业要求
能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数). 能用提公因式法、公式法(对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式)进行因式分解(指数为正整数).
1 因式分解
因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的 的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.
[例1] 下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是( )
A.6x2y=2x·3xy
B.x2+4x+1=x(x+4)+1
C.(a+3)(a-3)=a2-9
D.x3-2xy=x(x2-2y)
积
D
新知应用
下列变形:①(x+1)(x-1)=x2-1;②9a2-12a+4=(3a-2)2;③3abc3=3c·
abc2;④3a2-6a=3a(a-2).其中是因式分解的是 (填序号).
②④
因式分解的简单应用
[例2-1] 若多项式x2+ax+b因式分解为(x+1)(x-2),求a,b的值.
解:由题意,得x2+ax+b=(x+1)(x-2),
而(x+1)(x-2)=x2-x-2,
∴x2+ax+b=x2-x-2.
比较两边系数,得a=-1,b=-2.
[例2-2] 利用因式分解证明817-279-913必能被45整除.
证明:817-279-913
=(34)7-(33)9-(32)13
=328-327-326
=326×(32-3-1)
=326×5
=324×45.
故817-279-913必能被45整除.
新知应用
1.若(x+5)(x-3)是二次三项式x2-kx-15的因式分解,则k的值是( )
A.8 B.-8
C.2 D.-2
2.利用因式分解计算:11×102+11×98的结果是 .
D
2 200
1.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为( )
A.x(a-b)=ax-bx
B.x2-3x+1=x(x-3)+1
C.x2-4=(x+2)(x-2)
D.(x+1)2=x2+2x+1
C
2.如图所示的图形是由一个正方形和两个小长方形组成的一个大长方形,根据图形,写出一个关于因式分解的等式 .
3.若多项式x2+ax+b因式分解的结果为(x+1)(x+2),则a+b的值为 .
2ab+a2=a(a+2b)
5
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第四章 因式分解
章末知识复习
知识点一 因式分解的有关概念
1.下列各式由左边到右边的变形中,属于因式分解的是( )
A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4
C.10x2-5x=5x(2x-1) D.(x+1)2=x2+2x+1
2.多项式12ab2c+8a3b的公因式是( )
A.4a2 B.4abc
C.2a2 D.4ab
3.多项式x2+mx+6因式分解得(x-2)(x+n),则m的值为 .
C
D
-5
知识点二 因式分解的方法
C
5.将下列各式因式分解:
(1)x3-x; (2)2x2+12xy+18y2;
解:(1)x3-x
=x(x2-1)
=x(x+1)(x-1).
(2)2x2+12xy+18y2
=2(x2+6xy+9y2)
=2(x+3y)2.
(3)9a2(x-y)+4b2(y-x);
(4)(m+n)2-4m(m+n)+4m2.
解:(3)9a2(x-y)+4b2(y-x)
=9a2(x-y)-4b2(x-y)
=(x-y)(9a2-4b2)
=(x-y)(3a+2b)(3a-2b).
(4)(m+n)2-4m(m+n)+4m2
=(m+n-2m)2
=(n-m)2.
知识点三 因式分解的应用
6.若a,b,c是△ABC的三边,满足a2-2ab+b2=0且b=c,则△ABC的形状是
( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
7.用因式分解的方法计算7.52×1.6-2.52×1.6的结果是 .
B
80
类型一 整体思想
(1)将一个多项式看作整体提公因式因式分解;
(2)将一个多项式看作整体,运用公式法因式分解;
(3)整体代入求值.
1.若a-b=2,ab=-3,则代数式a3b-2a2b2+ab3的值为 .
-12
2.把下列各式因式分解:
(1)a2(a-b)+b2(b-a);
(2)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81.
解:(1)a2(a-b)+b2(b-a)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a2-b2)(a-b)
=(a-b)2(a+b).
(2)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81
=(x2+6x+9)2
=(x+3)4.
类型二 转化思想
(1)因式分解与整式的乘法运算相互转化;
(2)借助因式分解,将和的形式转化为积的形式,进而解决问题;
(3)几何图形转化为整式的运算.
1.若x2+px+q可以因式分解成(x-7)(x+2),则p= ,q= .
2.观察填空:各块图形之和为a2+3ab+2b2,因式分解为 .
-5
-14
(a+2b)(a+b)
解:7y(x-3y)2-2(3y-x)3
=7y(x-3y)2+2(x-3y)3
=(x-3y)2[7y+2(x-3y)]
=(x-3y)2(2x+y),
当2x+y=6,x-3y=1时,
原式=12×6=6.
1.(2023遂宁期中)下列从左边到右边的变形,是因式分解且正确的是
( )
A.(x+1)(x-1)=x2-1
B.x2-2x+1=x(x-2)+1
C.x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
D.x2-x-6=(x+2)(x-3)
2.(2023宜宾期中)把多项式-6x2-9x因式分解,结果正确的是( )
A.-3(2x2+3x) B.-3(2x2-3x)
C.-3x(2x-3) D.-3x(2x+3)
D
D
3.(2023绵阳期末)若4x2+axy+25y2是一个完全平方式,则a的值为( )
A.20 B.-20
C.±20 D.±10
4.(2023宜宾)分解因式:x3-6x2+9x= .
5.(2023内江期末)若x2-2xy+2y2+6y+9=0,则x+y的值为 .
C
x(x-3)2
-6
6.(2023攀枝花期中)把下列式子因式分解:
(1)3x3-12xy2; (2)x3-4x2+4x.
解:(1)3x3-12xy2
=3x(x2-4y2)
=3x(x+2y)(x-2y).
(2)x3-4x2+4x=x(x2-4x+4)=x(x-2)2.
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3 公式法
第1课时 用平方差公式因式分解
用平方差公式因式分解
把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来,就得到a2-b2=(a+b)(a-b),利用公式 可以把a2-b2因式分解.
[例1-1] 把下列各式因式分解:
(1)4a2-9b2;
a2-b2=(a+b)(a-b)
解:(1)4a2-9b2
=(2a)2-(3b)2
=(2a+3b)(2a-3b).
(2)25(m+n)2-m2;
(3)a4-1.
解:(2)25(m+n)2-m2
=[5(m+n)]2-m2
=[5(m+n)+m][5(m+n)-m]
=(6m+5n)(4m+5n).
(3)a4-1
=(a2+1)(a2-1)
=(a2+1)(a+1)(a-1).
[例1-2] 利用因式分解计算2 0232-2 0242.
解:2 0232-2 0242
=(2 023+2 024)(2 023-2 024)
=-4 047.
运用平方差公式必须具备的三个条件
(1)所给的多项式有两项;
(2)两项符号相反;
(3)这两项分别可以化为一个数(或整式)的平方形式.
新知应用
1.下列各式中,能用平方差公式因式分解的是( )
A.-x2+9y2 B.x2+9y2
C.x2-9y2+1 D.-x2-9y2
A
解:(1)9m2-25n2=(3m+5n)(3m-5n).
(3)(2a-3b)2-16b2
=(2a-3b+4b)(2a-3b-4b)
=(2a+b)(2a-7b).
提公因式法与平方差公式因式分解的综合应用
[例2-1] 把下列各式因式分解:
(1)a3-9a;
(2)3m(2x-y)2-3mn2;
解:(1)a3-9a=a(a2-9)
=a(a+3)(a-3).
(2)3m(2x-y)2-3mn2
=3m[(2x-y)2-n2]
=3m(2x-y+n)(2x-y-n).
(3)(a-b)b2-4(a-b).
解:(3)(a-b)b2-4(a-b)
=(a-b)(b2-4)
=(a-b)(b+2)(b-2).
[例2-2] 利用因式分解计算:5×782-222×5.
解:5×782-222×5
=5×(782-222)
=5×(78+22)(78-22)
=5×100×56
=28 000.
(1)因式分解时,首先观察是否有公因式可提,有公因式先提公因式,然后观察提公因式后的因式是否还能利用公式继续分解.
(2)因式分解的最终结果必须使每个因式都不能分解为止.
新知应用
1.(2022凉山)因式分解:ab2-a= .
2.把下列各式因式分解:
(1)-3xy3+12xy;(2)25(m-n)a2+(n-m)b2.
a(b+1)(b-1)
解:(1)-3xy3+12xy
=-3xy(y2-4)
=-3xy(y+2)(y-2).
(2)25(m-n)a2+(n-m)b2
=(m-n)(25a2-b2)
=(m-n)(5a-b)(5a+b).
1.下列多项式中,能用平方差公式因式分解的是( )
A.a2+(-b)2 B.5m2-20mn
C.-x2-y2 D.-x2+25
2.因式分解a2b-b3结果正确的是( )
A.b(a2-b2) B.b(a-b)2
C.(ab+b)(a-b) D.b(a+b)(a-b)
3.若16-xn=(2+x)(2-x)(4+x2),则n的值为 .
4.若m-n=2,m+n=5,则m2-n2= .
D
D
4
10
5.把下列各式因式分解:
(1)x2(a-b)2-y2(b-a)2;
(2)(a-b)(3a+b)2+(a+3b)2(b-a).
解:(1)x2(a-b)2-y2(b-a)2
=(a-b)2(x2-y2)=(a-b)2(x-y)(x+y).
(2)(a-b)(3a+b)2+(a+3b)2(b-a)
=(a-b)[(3a+b)2-(a+3b)2]
=(a-b)[9a2+b2+6ab-(a2+9b2+6ab)]
=(a-b)(8a2-8b2)
=8(a-b)(a2-b2)
=8(a-b)2(a+b).
6.利用因式分解简便计算:
(1)25×1012-992×25;
解:(1)25×1012-992×25
=25×(1012-992)
=25×(101+99)×(101-99)
=25×200×2
=10 000.
第2课时 用完全平方公式因式分解
运用完全平方公式因式分解
把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2反过来,就得到a2+2ab+ b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.利用 .
就可把形如a2±2ab+b2形式的多项式因式分解.
[例1] 把下列各式因式分解:
(1)4x2-4xy+y2;
a2+2ab+b2=(a+b)2或a2-2ab+b2
=(a-b)2
解:(1)4x2-4xy+y2=(2x-y)2.
(3)(x+1)2+6(x+1)+9
=(x+1+3)2
=(x+4)2.
运用完全平方公式因式分解所必须具备的三个条件
(1)所给的多项式为三项;
(2)其中有两项符号相同,并且这两项可化为两数(或整式)的平方;
(3)另一项为这两个数(或整式)的乘积(或其乘积相反数)的2倍.
新知应用
1.把多项式x2+6x+9因式分解,结果正确的是( )
A.(x+3)2
B.(x-9)2
C.(x+3)(x-3)
D.(x+9)(x-9)
A
2.把下列各式因式分解:
(1)x2+14x+49;
(2)81-18a+a2;
(3)m2-8mn+16n2;
(4)-x2-y2+2xy.
解:(1)x2+14x+49=(x+7)2.
(2)81-18a+a2=(9-a)2.
(3)m2-8mn+16n2=(m-4n)2.
(4)-x2-y2+2xy=-(x-y)2.
完全平方式
形如 的式子称为完全平方式.
[例2] 下列多项式中,哪些是完全平方式 请把是完全平方式的多项式因式分解.
(1)a2-4a+4;(2)1+4a2;(3)4b2+4b-1;(4)a2+ab+b2;(5)a2+25-10a.
a2±2ab+b2
解:(1),(5)是完全平方式.(2),(3),(4)不是完全平方式.
(1)a2-4a+4=(a-2)2,
(5)a2+25-10a=(a-5)2.
新知应用
1.已知x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解,则k的值为( )
A.-6 B.3
C.6 D.±6
2.若y2+10y+m是一个完全平方式,则m的值为 .
D
25
提公因式法与公式法因式分解的综合应用
公式法:根据因式分解与整式乘法的关系,我们可以利用 把某些多项式因式分解,这种因式分解的方法叫做公式法.
[例3] 把下列各式因式分解:
(1)ab2+2ab+a;(2)6xy2-9x2y-y3;(3)-4y2-16y-16.
乘法公式
解:(1)ab2+2ab+a=a(b2+2b+1)=a(b+1)2.
(2)6xy2-9x2y-y3=-y(9x2-6xy+y2)=-y(3x-y)2.
(3)-4y2-16y-16=-4(y2+4y+4)=-4(y+2)2.
应用公式法分解因式的“三步骤”
一提:有公因式要先提公因式;
二套:提公因式后套用公式;
三写:分解成积的形式.
新知应用
1.下列因式分解不正确的是( )
A.2a2-8a+8=2(a-2)2
B.ax2+2axy+ay2=a(x+y)2
C.a2b-2ab+b=b(a-1)2
D.2x3-8x2y+8xy2=2x(x-4y)2
D
2.因式分解:
(1)2x2+4x+2;
(2)x3-2x2+x;
(3)ab3-4ab2+4ab;
(4)-2x2y+12xy-18y.
解:(1)2x2+4x+2=2(x+1)2.
(2)x3-2x2+x=x(x-1)2.
(3)ab3-4ab2+4ab=ab(b-2)2.
(4)-2x2y+12xy-18y=-2y(x-3)2.
1.下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是( )
D
2.若9x2+2mx+4是完全平方式,则m的值为( )
A.6 B.±3
C.±6 D.12
3.已知正方形的面积是(x2-8x+16) cm2(x<4 cm),则正方形的边长是
cm.
4.若2a-3b=6,ab=7,则代数式4a3b-12a2b2+9ab3的值为 .
C
(4-x)
252
5.把下列各式因式分解:
(1)-2x3y+4x2y2-2xy3;
(2)(a-3)2-6(a-3)+9;
解:(1)-2x3y+4x2y2-2xy3
=-2xy(x2-2xy+y2)
=-2xy(x-y)2.
(2)(a-3)2-6(a-3)+9
=(a-3-3)2
=(a-6)2.
(3)(x2+y2)2-4x2y2.
解:(3)(x2+y2)2-4x2y2
=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)
=(x+y)2(x-y)2.
6.利用因式分解简便计算:
(1)2002-400×199+1992;
(2)40×31.52-80×31.5×18.5+40×18.52.
解:(1)2002-400×199+1992
=2002-2×200×199+1992
=(200-199)2=1.
(2)40×31.52-80×31.5×18.5+40×18.52
=40×(31.52-2×31.5×18.5+18.52)
=40×(31.5-18.5)2
=40×169
=6 760.
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