(共21张PPT)
2 分式的乘除法
分式的乘法
(1)分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的 ,把分母相乘的积作为积的 .
分子
分母
乘方
新知应用
A
C
分式的除法
分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式 .
相乘
新知应用
D
分式的乘除混合运算
新知应用
A
D
x3
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4 分式方程
第1课时 分式方程的概念
分式方程的概念
分母中含有 的方程叫做分式方程.
未知数
2
新知应用
C
A
列分式方程
[例2] 劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分,是中学必须开展的教育活动.某校积极响应,开设校园农场.七年级学生共收获农产品
1 800 kg,八年级学生共收获农产品1 440 kg,已知八年级学生比七年级学生人均多收获1 kg农产品,七年级学生人数是八年级学生人数的
1.5倍.若设八年级有x名学生,则可列分式方程为 .
新知应用
1.甲、乙两人都要走路3 km,甲的速度是乙的速度的1.2倍,甲比乙少用6 min,
设乙的速度是x km/h,则可列方程为 .
2.某商店一次性购进一种商品,12月份以一定售价销售,销售额为6 000元,1月份恰逢新年促销活动,商店决定在12月份售价的基础上打9折销售,最后1月份比12月份销售量增加了20件,销售额增加了1 200元.设该商店12月份这种商品
的售价是x元/件,则可列方程为 .
C
2.为落实某市中小学生“十个一”行动计划,学校举办以“强体质,炼意志”为主题的体育节.小亮报名参加3 000 m比赛项目,经过一段时间训练后,比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%,少用3 min跑完全程.设小亮训练前的平均速度为 x m/min,那么x满足的分式方程为
.
3.小强同学借了一本书,共280页,要在两周内读完.当他读了一半时,发现平均每天要多读21页才能在两周内读完.他读前一半时,平均每天读x
页,那么x满足的方程为 .
第2课时 分式方程的解法
解分式方程
(1)解分式方程的基本思路:去分母,将分式方程转化为 ;
(2)解分式方程的一般步骤:①去分母:方程两边同乘 ;②解整式方程;③检验:把求到的未知数的值代入最简公分母或原分式方程的各分母进行检验.
整式方程
最简公分母
解:(1)方程两边都乘(x-2),得
x-3+x-2=-3,
解这个方程,得x=1.
检验:当x=1时,x-2≠0,
∴x=1是原方程的根.
解:(2)方程两边都乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
整理,得2x-x+2=3.
解这个方程,得x=1.
检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0,
∴x=1是原方程的增根,原方程无解.
新知应用
D
C
解:(1)方程两边同乘以(x+1)(x-1),得
x(x+1)-2(x-1)=(x+1)(x-1).
解这个方程,得x=3.
检验:当x=3时,(x+1)(x-1)≠0.
∴x=3是原方程的解.
分式方程的增根与无解
1.在解分式方程时,如果求到的未知数的值使原分式方程的分母为
,则这个值称为原分式方程的增根.
2.产生增根的原因:在解分式方程时,如果在方程的两边同乘了一个使分母为 的整式,就产生了增根.解分式方程应注意检验.
零
零
(1)分式方程的增根是使分式的分母为零的未知数的值;
(2)分式方程无解,分为两种情况:一是分式方程的分母为零,二是去分母后所得的整式方程无解.
新知应用
C
D
D
x=3
5
m≥-5且m≠-3
解:(2)去分母,得
(2x-1)(x+1)-2=2(x-1)(x+1),
整理,得x-1=0,
解得x=1.
经检验,x=1是原方程的增根,
∴原方程无解.
第3课时 分式方程的应用
工程问题
[例1] 在某“旅游示范公路”建设的过程中,工程队计划在海边某路段修建一条长1 200 m 的步行道.由于采用新的施工方式,实际平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍,结果提前5天完成任务.求计划平均每天修建步行道的长度.
新知应用
1.某段道路改造工程,由甲,乙两个工程队合作30天可完成.若单独施 工,甲工程队所用天数是乙工程队所用天数的2倍.甲工程队单独完成此项工程需要 天.
2.某工程队准备修建一条长2 400 m的盲道,由于采用新的施工方式,实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%,结果提前2天完成这一任务,原计划每天修建盲道多少米
90
销售及其他问题
[例2] 随着人们“节能环保,绿色出行”意识的增强,越来越多的人喜欢骑自行车出行,给自行车商家带来商机.某自行车行经营的一种自行车2023年销售总额为 80 000元.2024年该种自行车的销售单价比2023年降低200元,销售数量是2023年的2倍,销售总额能达到128 000元,求2023年该种自行车的销售单价.
新知应用
1.某中学为了创建“最美校园图书屋”,新购买了一批图书,其中科普类图书平均每本的价格是文学类图书平均每本价格的1.2倍,已知学校用12 000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本,那么学校购买的文学类图书平均每本的价格是( )
A.20元 B.18元
C.15元 D.10元
A
2.(2023泸州)端午节是中国传统节日,人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际,某商场预测A粽子能够畅销.根据预测,每千克A粽子节前的进价比节后多2元,节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4 kg.根据以上信息,解答下列问题.
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400 kg,且总费用不超过
4 600元,并按照节前每千克20元,节后每千克16元全部售出,那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大 最大利润是多少
解:(2)设该商场节前购进m kg A粽子,总利润为w元.根据题意,得12m+10(400-m)≤4 600,解得m≤300,
w=(20-12)m+(16-10)(400-m)=2m+2 400.
∵2>0,∴w随着m增大而增大.
当m=300时,w取得最大值,最大利润为 2×300+2 400=3 000(元).
答:该商场节前购进300 kg A粽子获得利润最大,最大利润是3 000元.
B
B
3.甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作,两小时后,乙打字员协助此项工作,且乙打字员电脑输入文稿的速度是甲的1.5倍,结果提前6 h完成任务,则甲打字员原计划完成此项工作的时间是( )
A.17 h B.14 h C.12 h D.10 h
4.一艘轮船在两个码头之间航行,顺水航行81 km所需的时间与逆水航行69 km所需的时间相同.已知水流速度是2 km/h,则轮船在静水中航行的速度是( )
A.25 km/h B.24 km/h
C.23 km/h D.22 km/h
C
A
5.一商场先用3 200元购进一批防紫外线太阳伞,很快就销售一空.商场又用8 000元购进了第二批这种太阳伞,所购数量是第一批的2倍,但每把太阳伞贵了4元.则两次共购进这种太阳伞 把.
6.甲、乙两人都加工a个零件,甲每小时加工20个,如果乙比甲晚工作
1 h,且两人同时完成任务,那么乙每小时加工 个零件(用含a的代数式表示).
600
7.(2023岳阳)水碧万物生,岳阳龙虾好.小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”.已知翠翠家去年龙虾的总产量是 4 800 kg,今年龙虾的总产量是6 000 kg,且去年与今年的养殖面积相同,平均亩产量去年比今年少60 kg,求今年龙虾的平均亩产量.
8.(2022自贡)学校师生去距学校45 km的吴玉章故居开展研学活动,骑行爱好者张老师骑自行车先行2 h后,其余师生乘汽车出发,结果同时到达.已知汽车速度是自行车速度的3倍,求张老师骑车的速度.
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3 分式的加减法
第1课时 同分母分式的加减法
同分母分式的加减法
同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把 相加减.
分子
新知应用
B
C
分母互为相反数的分式的加减
新知应用
B
D
D
A
第2课时 异分母分式的加减法
通分
根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为 的分式,这一过程称为分式的通分.为了计算方便,异分母分式通分时,通常取最简单的公分母(简称 )作为它们的共同分母.
同分母
最简公分母
新知应用
C
异分母分式的加减法
异分母分式的加减法法则:异分母的分式相加减,先 ,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
通分
新知应用
B
C
A.① B.②
C.③ D.④
15x2y4z
第3课时 分式的混合运算
分式的加减混合运算
B
新知应用
分式的混合运算
新知应用
B
A
6.有两个熟练工人甲和乙,他们每小时分别制作零件a件和b件,现要赶制一批零件,若甲单独完成任务需要m h,如果甲、乙两人合作,那么比甲单独完成任务提前多长时间
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第五章 分式与分式方程
章末知识复习
知识点一 分式的概念及基本性质
A
B
C
知识点二 分式的运算
A
知识点三 分式方程
A
解:(1)方程两边同乘(x-1),得
x-2=2(x-1),
解得x=0.
检验:当x=0时,x-1≠0.
∴原分式方程的根是x=0.
解:(2)方程两边同乘(x+2)(x-1),得
2(x-1)+(x+2)(x-1)=x(x+2),
解得x=4.
检验:当x=4时,(x+2)(x-1)=18≠0.
∴原方程的根为x=4.
类型一 转化思想
(1)分式的除法运算转化为乘法运算;
(2)将分式方程转化为一元一次方程;
(3)将异分母分式加减转化为同分母分式加减.
解:方程两边同时乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-3=(x-1)(x+2),解得x=1.
经检验,x=1是原方程的增根.
∴原方程无解.
类型二 整体思想
整体思想在分式的化简求值中经常用到,如整体变形,整体代入等.
B
D
x-1
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分式的定义
分式有意义的条件
分式的概念
分式无意义的条件
分式值为零的条件
分式的约分
分式的基本性质
分式的通分
分式与
分式方程
分式的乘除
分式的加减
分式的运算
分式的混合运算
分式方程的定义
解分式方程的步骤
分式方程
列方程解应用题(共29张PPT)
第五章 分式与分式方程
2022年新课标要求
内容要求 学业要求
1.了解分式和最简分式的概 念,能利用分式的基本性质进行约分和通分.能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 2.能根据现实情境理解分式方程的意义,能针对具体问题列出分式方程,能解可化为一元一次方程的分式方程,能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性. 知道分式的分母不能为零,能利用分式的基本性质进行约分、通分,并化简分式.能对简单的分式进行加、减、乘、除运算并将运算的结果化为最简分式.
能根据具体问题中的数量关系列出分式方程,理解分式方程的意义;能根据等式的基本性质解可化为一元一次方程的分式方程,理解方程的增根产生的原因.能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理.建立模型观念.
1 认识分式
第1课时 分式的概念
分式的概念
整式
字母
4
B
判断分式应注意两点
(2)看分母:分母B中是否含有字母,其中π是常数,不是字母.
新知应用
C
C
分式有无意义的条件及分式的值
(1)分式有意义的条件是分式的 不为零;
(2)分式值为零的条件是分式的 为零,分式的分母不为零.
分母
分子
解:(1)由题意,得2x+6≠0,解得x≠-3.
即当x≠-3时,分式有意义.
(2)由题意,得|x|-3=0,且2x+6≠0,
解得x=3.则当x=3时,此分式的值为零.
新知应用
D
-1
2
B
B
A
D
B
-6
第2课时 分式的基本性质与约分
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值
.
[例1] 在括号内填上适当的整式,使下列等式成立:
不变
新知应用
C
A
约分
(1)把一个分式的分子和分母的 约去,这种变形称为分式的约分;
(2)分子和分母没有 ,这样的分式称为最简分式.化简分式时,通常要使结果成为 或者整式.
公因式
公因式
最简分式
新知应用
D
①
C
B
D
B
x+1
x+y
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