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第一章 三角形的证明
2022年新课标要求
内容要求 学业要求
1.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 2.探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合;探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°.探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上,经历得到和验证数学结论的过程,感悟具有传递性的数学逻辑,形成几何直观和推理能力;经历尺规作图的过程,增强动手能力,能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形,理解尺规作图的基本原理和方法,发展空间观念和空间想象力.
3.探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 5.探索并证明线段垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 6.探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之,角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 7.能利用尺规作图:已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形. 8.了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立. 9.通过实例体会反证法的含义.
1 等腰三角形
第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
全等三角形的判定和性质
(1)两角分别 且其中一组等角的对边 的两个三角形全等,简称AAS;
(2)全等三角形的对应边相等、对应角相等;
(3)三角形全等的判定方法有:SSS,SAS,ASA和AAS.
相等
相等
[例1]如图所示,已知点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,∠A=∠D,
AC∥DF.求证:BE=CF.
证明:∵AC∥DF,
∴∠ACB=∠F.
在△ABC和△DEF中,
∵∠A=∠D,∠ACB=∠F,AB=DE,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
∴BC=EF.
∴BC-CE=EF-CE,
即BE=CF.
新知应用
D
1.如图所示,△EFG≌△NMH,∠E=60°,∠F=40°,EF=4,EH=1,则下列结论正确的是( )
A.∠M=60°
B.∠MHN=50°
C.MH=4
D.GN=1
2.如图所示,在△ABC中,点E是BC边上的点,BM∥CN,BM=CN.求证:E是线段BC的中点.
证明:∵BM∥CN,
∴∠M=∠CNE.
在△BME和△CNE中,
∵∠BEM=∠CEN,∠M=∠CNE,BM=CN,
∴△BME≌△CNE(AAS).
∴BE=CE.
∴E是线段BC的中点.
等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两底角 ,简述为 ;
(2)等腰三角形顶角的 、底边上的 及底边上的
互相重合.
[例2-1]如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,点D在AC上,BD=BC,则∠ABD的度数为 .
相等
等边对等角
平分线
中线
高线
30°
[例2-2](教材P4习题T3变式)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点.
(1)若∠B=20°,则∠DAC的大小为 ;
(2)若AB=13,AD=5,则BC的长为 .
70°
24
新知应用
1.已知等腰三角形的两内角分别是40°和70°,则等腰三角形的底角的度数是( )
A.40° B.70°
C.70°或40° D.55°
2.(2023达州渠县月考)如图所示,△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是底边BC上的高,下面结论不一定成立的是( )
A.BD=CD B.BD=AD
C.AD平分∠BAC D.∠B=∠C
B
B
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,E是线段AC上一点,且AE=AD,∠BAD=50°,则∠CDE的度数为 .
25°
D
1.若等腰三角形的顶角为50°,则它的底角度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.65°
2.(2023成都简阳期中)若等腰三角形的一边为4,另一边为9,则这个三角形的周长为( )
A.17 B.22 C.13 D.17或22
B
3.(2023眉山)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为( )
A.70° B.100° C.110° D.140°
4.(2023长清期末)如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D.若S△ABC=12,则图中阴影部分的面积为 .
C
6
第2课时 等腰三角形中有关线段的性质和等边三角形的性质
等腰三角形中的相等线段
(1)等腰三角形两底角的平分线 ;
(2)等腰三角形两腰上的中线 ;
(3)等腰三角形两腰上的高 .
相等
相等
相等
[例1]如图所示,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点.求证:
CD=BE.
新知应用
A
1.(易错题)下列说法:①等腰三角形的两条高线长相等;②等腰三角形的两条角平分线长相等;③等腰三角形两条中线长相等;④等腰三角形两腰上的高相等.正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.求证:等腰三角形两腰上的高相等.
已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D.求证:
CE=BD.
证明:∵AB=AC,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,
∴∠AEC=∠ADB=90°.
∵∠AEC=∠ADB,∠A=∠A,AC=AB,
∴△ACE≌△ABD(AAS).
∴CE=BD.
等边三角形的性质
(1)等边三角形三边 ;
(2)等边三角形的三个内角都 ,并且每个角都等于 .
[例2-1]如图所示,△ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,CA的延长线上,且CD=AE.求证:∠D=∠E.
相等
相等
60°
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠ABC=∠BCA=60°.即∠ABD=∠BCE.
∵CD=AE,∴BC+CD=AC+AE,即BD=CE.
在△ABD和△BCE中,
∵AB=BC,∠ABD=∠BCE,BD=CE,∴△ABD≌△BCE(SAS).
∴∠D=∠E.
[例2-2]如图所示,已知△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC到点E,使CE=CD.
(1)若AB=10,求BE的长;
(2)求∠E的度数.
解:(2)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°.
∵CE=CD,∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠CDE+∠E,
∴∠E+∠CDE=2∠E=60°.
∴∠E=30°.
新知应用
1.(2023达州渠县三汇中学月考)如图所示,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则∠EDC的度数为( )
A.30° B.20° C.25° D.15°
2.如图所示,△ABC与△DEF均为等边三角形,其边长分别为a,b,则△AEF的周长为 .
D
a+b
3.(2022自贡)如图所示,△ABC是等边三角形,D,E在直线BC上,DB=EC.求证:∠D=∠E.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°.
∴∠ABD=∠ACE.
在△ADB和△AEC中,
∵AB=AC,∠ABD=∠ACE,DB=EC,
∴△ADB≌△AEC(SAS).
∴∠D=∠E.
1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F.下列结论不一定成立的是( )
A.∠BAD=∠CAD
B.∠EBC=∠CAD
C.∠BAC=∠AFE
D.∠AFE=∠C
C
2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD=20°,则∠ACE的度数是( )
A.35° B.40° C.55° D.70°
A
3.如图所示,直线l1∥l2,△ABC是等边三角形,∠1=50°,则∠2的大小为( )
A.60° B.80°
C.70° D.100°
4.若等腰三角形两腰上的高线所在的直线相交所得的锐角为50°,则等腰三角形的顶角的度数为 .
C
50°或130°
5.如图所示,△ABC是等边三角形,点M是线段BC上的任意一点,点N是线段CA上任意一点,且BM=CN,BN与AM交于点Q.
(1)求证:△BAN≌△ACM;
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=CA,∠BAN=∠ACM=60°.
∵BM=CN,∴BC-BM=CA-CN.
∴CM=AN.
在△BAN和△ACM中,
∵AB=CA,∠BAN=∠ACM,AN=CM,
∴△BAN≌△ACM(SAS).
(2)求∠BQM的大小.
(2)解:∵△BAN≌△ACM,
∴∠CAM=∠ABN.
∴∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
等腰三角形的判定
有两个角 的三角形是等腰三角形.简述为 .
[例1]如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC边上的点,BD=CE,
∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于点F.求证:△ABC是等腰三角形.
相等
等角对等边
证明:在△BDF与△CEF中,
∵∠BFD=∠CFE,∠ABE=∠ACD,BD=CE,
∴△BDF≌△CEF(AAS).∴BF=CF.∴∠FBC=∠FCB.
∴∠ABE+∠FBC=∠ACD+∠FCB,即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.
判定等腰三角形常见方法
新知应用
D
1.△ABC的三边分别是a,b,c,则下列条件不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.∠A∶∠B∶∠C=2∶2∶3
B.a∶b∶c=2∶2∶3
C.∠B=50°,∠C=80°
D.2∠A=∠B+∠C
2.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D.下列条件:①BD=CD,②∠B=
∠DAC,③∠B=∠C,其中能使△ABC是等腰三角形的是 .(填序号)
①③
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D是BA延长线上一点,DE⊥BC于点E,交AC于点F.求证:△ADF是等腰三角形.
证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,∴∠DEB=∠DEC=90°.
∴∠B+∠D=90°,∠C+∠EFC=90°.
∴∠D=∠EFC.
∵∠EFC=∠AFD,∴∠D=∠AFD.
∴AD=AF.
∴△ADF是等腰三角形.
反证法
在证明命题时,先假设命题的结论 ,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相 的结果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
[例2]已知:△ABC是等腰三角形,AB=AC.
求证:∠B,∠C是锐角.
不成立
矛盾
证明:假设∠B,∠C不是锐角.
∵AB=AC,∴∠B=∠C≥90°.∴∠B+∠C≥180°.
∴∠A+∠B+∠C>180°.
这与三角形内角和定理矛盾,
因此“∠B,∠C不是锐角”的假设不成立.
∴∠B,∠C是锐角.
利用反证法证明的“三步法”
新知应用
1.(2023成都简阳期中)用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时,应先假设( )
A.有一个内角小于90°
B.每一个内角都大于90°
C.有一个内角小于或等于90°
D.每一个内角都小于90°
2.用反证法证明“在△ABC中,∠A,∠B所对的边分别是a,b,若∠A<∠B,则aA.a>b B.a=b C.a≤b D.a≥b
D
D
1.用反证法证明:在△ABC中,∠A,∠B,∠C中不能有两个角是钝角时,假设∠A,∠B,∠C中有两个角是钝角,令∠A>90°,∠B>90°,则所得结论与下列四个选项相矛盾的是( )
A.已知
B.三角形内角和等于180°
C.钝角三角形的定义
D.以上结论都不对
B
2.如图所示,一艘船从A处出发向正北航行50 n mile到达B处,分别从A,B望灯塔C,测得∠NAC=42°,∠NBC=84°,则B处到灯塔C的距离是
.
50 n mile
3.如图所示,在△ABC中,∠BAC的外角平分线与BC的延长线交于点E.求证:AB≠AC.
证明:假设AB=AC.
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∴∠DAC=∠B+∠ACB=2∠ACB,
∵AE平分∠DAC,∴∠DAC=2∠DAE=2∠CAE.
∴∠ACB=∠CAE.∴AE∥BC.
这与∠BAC的外角平分线与BC的延长线交于点E相矛盾.
因此“AB=AC”的假设不成立.∴AB≠AC.
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,F是CA的延长线上一点,过点F作FG⊥BC于点G并交AB于点E,求证:
(1)AD∥FG;
(2)△AEF为等腰三角形.
证明:(1)∵AB=AC,D是BC的中点∴AD⊥BC.
∵FG⊥BC,∴AD∥FG.
(2)∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠BAD=∠CAD.
∵AD∥FG,∴∠F=∠CAD,∠AEF=∠BAD.
∴∠F=∠AEF.
∴AF=AE,∴△AEF是等腰三角形.
第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形
等边三角形的判定
(1)三边 的三角形是等边三角形;
(2)三个角都 的三角形是等边三角形;
(3)有一个角等于 的 三角形是等边三角形.
相等
相等
60°
等腰
[例1-1](2023达州通川区月考)如图所示,E是等边三角形ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.不等边三角形 D.无法确定
B
[例1-2]如图所示,在△ABC中,D是AB边上一点,DF⊥BC于点F,延长FD,CA交于点E.若∠E=30°,AD=AE.求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵AD=AE,∴∠ADE=∠E=30°.
∴∠CAB=∠E+∠ADE=30°+30°=60°.
∵DF⊥BC,∴∠EFC=90°.
∴∠C=90°-∠E=60°.
∴∠B=180°-∠C-∠CAB=180°-60°-60°=60°.
∴∠C=∠B=∠CAB.
∴△ABC是等边三角形.
新知应用
B
2.如图所示,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AB,AE⊥AC.求证:△ADE是等边三角形.
证明:∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵AD⊥AB,AE⊥AC,
∴∠BAD=∠CAE=90°.
∴∠ADB=∠AEC=60°.
∴∠ADE=∠AED=∠EAD=60°.
∴△ADE是等边三角形.
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的 .
[例2]如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC的中点,若AD=3 cm,求AB的长.
一半
在一般情况下,遇到30°的角,可以通过构造直角三角形来解决相关线段长度的问题.
新知应用
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8,∠A=30°,则BC的长为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
C
1.如图所示,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,过点B作BD⊥BC,若AD=1,CD的长为( )
A.1 B.2.5 C.2 D.3
C
2.(2023汾阳期末)如图所示,A,B是池塘两侧端点,在池塘的一侧选取一点O,测得OA的长为6 m,OB的长为6 m,∠O=60°,则A,B两点之间的距离是( )
A.4 m B.6 m C.8 m D.10 m
3.如图所示,一棵大树在离地面2 m处折断,树的另一部分倒地后与地面成30°角,那么这棵树折断之前的高度是 m.
B
6
4.如图所示,在△ABC中,∠B=60°,过点C作CD∥AB,若∠ACD=60°.求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵CD∥AB,
∴∠A=∠ACD=60°.
∵∠B=60°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°.
∴∠A=∠B=∠ACB.
∴△ABC是等边三角形.
5.(2023达州第八中学月考)如图所示,为了测出某塔CD的高度,在塔前的平地上选择一点A,用测角仪测得塔顶D的仰角为30°,在A,C之间选择一点B(A,B,C三点在同一直线上).用测角仪测得塔顶D的仰角为75°,且AB间的距离为40 m.
(1)求点B到AD的距离;
(2)求塔高CD(结果用根号表示).
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3 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线
线段垂直平分线的性质
(1)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
(2)几何语言:如图所示,
∵MN⊥BC于点E,且BE=CE,D是MN上任意一点,
∴ .
BD=CD
[例1]如图所示,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E.
(1)求证:△ABD是等腰三角形;
(2)若AE=6,△CBD的周长为20,求△ABC的周长.
(1)证明:∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,
∴DB=DA.∴△ABD是等腰三角形.
(2)解:∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E,AE=6,
∴AB=2AE=12,BD=AD.
∵△CBD的周长为20,∴BD+CD+BC=20.∴AD+CD+BC=20,
即AC+BC=20.∴△ABC的周长为AB+AC+BC=12+20=32.
新知应用
1.如图所示,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B的度数为( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
B
2.如图所示,在△ABC中,AB边的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC边的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,若△AEG的周长为8,则BC的长是( )
A.12 B.8 C.6 D.4
B
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB边的垂直平分线DE交BC于点E,垂足为D.求证:∠CAB=∠AED.
证明:∵DE是AB边的垂直平分线,
∴EA=EB,∠ADE=90°.
∴∠EAB=∠B.
∵∠C=90°,∴∠CAB+∠B=90°.
又∵∠AED+∠EAB=90°,
∴∠CAB=∠AED.
线段垂直平分线的判定
(1)到一条线段两个端点距离 的点,在这条线段的垂直平分线上;
(2)几何语言:如图所示,因为BD=CD,所以点D在线段BC的 上.
相等
垂直平分线
[例2]如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠ABC交AC于 点D,求证:点D在线段AB的垂直平分线上.
证明:∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=90°-30°=60°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠ABC=×60°=30°.
∴∠A=∠ABD.
∴DA=DB.
∴点D在线段AB的垂直平分线上.
新知应用
1.如图所示,点D在△ABC的边BC上,且BC=BD+AD,则点D在线段 的垂直平分线上.
AC
2.如图所示,在△ABC中,AD垂直平分BC,点E在BC的延长线上,且满足AB+BD=DE,求证:点C在线段AE的垂直平分线上.
证明:∵AD垂直平分BC,
∴BD=DC,AB=AC,
∵AB+BD=DE,∴AC+DC=DE.
∵DE=DC+CE,∴AC=CE,
∴点C在线段AE的垂直平分线上.
1.已知C,D是线段AB外的两点,AC=BC,AD=BD,点P在直线CD上,若AP=5,则BP的长为( )
A.2.5 B.5 C.10 D.25
2.如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为( )
A.8 B.11 C.16 D.17
B
B
B
4.(2023沙坪坝月考)如图所示,在△ABC中,EF是AB的垂直平分线,
AD⊥BC于点D,且D是CE的中点.
(1)求证:BE=AC;
(1)证明:∵EF是AB的垂直平分线,
∴BE=AE.
∵AD⊥BC,D是CE的中点,
∴AD是EC的垂直平分线.
∴AE=AC.∴BE=AC.
(2)若∠C=70°,求∠BAC的度数.
第2课时 三角形三边的垂直平分线
三角形三边的垂直平分线
三角形三条边的垂直平分线相交于 ,并且这一点到三个顶点的距离 .
[例1]如图所示,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P.连接PB,
PC,若∠ABP=40°,∠ACP=35°,则∠BPC的度数为 .
一点
相等
150°
三角形三边垂直平分线的性质与应用
性 质 交点个数 1个
交点位置 锐角三角形:在三角形内部
直角三角形:为斜边的中点
钝角三角形:在三角形外部
交点性质 交点到三角形三个顶点的距离相等
应用 求角度、证明线段相等或作图
新知应用
1.三条公路将A,B,C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域,如果在这个区域内修建一个公园,要使公园到三个村庄的距离相等,那么这个公园所建的位置是△ABC的( )
A.三条高线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条中线的交点
B
2.如图所示,D是线段AC,AB的垂直平分线的交点,若∠ACD=30°,
∠BAD=50°,则∠BCD的大小是( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
A
3.(2023临湘期中)如图所示,在△ABC中,DE,DF所在的直线分别为BC,
AB边的垂直平分线,连接AD,CD.若∠B=40°,求∠ACD的度数.
过一点作直线l的垂线
[例2]如图所示,在△ABC中,用尺规作图法作BC边上的高AD,垂足为D.
解:如图所示.AD即为所求作的高.
过一点作已知直线的垂线的思路:
(1)以已知点为圆心,适当的长度为半径画弧,在已知直线上截取一条线段.
(2)作所截取线段的垂直平分线即可得到垂线.
新知应用
如图所示,已知线段a,b,求作等腰三角形,使高为a,腰长为b.(a解:如图所示,△ABC为所作.
1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是( )
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三条角平线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
D
C
解:(1)①AB ②A,C
(2)设直线NM,FE交于点O,请说明:BC边的垂直平分线过点O.
解:(2)如图所示,连接OA,OB,OC.
∵OF垂直平分线段AB,ON垂直平分线段AC,
∴OA=OB,OA=OC.
∴OB=OC.
∴点O在BC边的垂直平分线上.
∴BC边的垂直平分线过点O.
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4 角平分线
第1课时 角平分线
角平分线的性质
(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离 .
(2)几何语言:如图所示,因为OP是∠MON的平分线,G为OP上任意一点,
GE⊥OM,GF⊥ON,所以 .
相等
GE=GF
[例1]如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,且E是AB的中点,DE=3,求BC的长.
解:∵∠C=90°,∴DC⊥AC.
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,
∴DC=DE=3,∠DAB=∠CAD.
∵E是AB的中点,∴DB=AD.∴∠DAB=∠B.∴∠CAD=∠DAB=∠B.
∵∠CAD+∠EAD+∠B=90°,∴∠CAD=∠EAD=∠B=30°.
∴在Rt△BED中,BD=2DE=6,∴BC=BD+CD=6+3=9.
新知应用
1.如图所示,AD是∠BAC的平分线,点P在AD上,PE⊥AC于点E,若PE=9,则点P到AB的距离是( )
A.18 B.12 C.6 D.9
D
2.(2023海淀期中)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,CD=2,若△ABD的面积为5,求AB的长.
角平分线的判定
(1)在一个角的内部,到角的两边距离 的点在这个角的平分线上.
(2)几何语言:如图所示,因为GE⊥OM,GF⊥ON,GE=GF,所以 .
.
相等
OP是∠MON
的平分线
[例2]如图所示,P是∠MON内的一点,PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,连接AB,∠PAB=∠PBA,求证:OP平分∠MON.
证明:∵∠PAB=∠PBA,
∴PA=PB.
∵PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,
∴点P在∠MON的平分线上.
∴OP平分∠MON.
新知应用
1.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点是( )
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
A
2.如图所示,点A,B在射线OM上,点C,D在射线ON上,已知AB=CD,
S△ABP=S△CDP,求证:点P在∠MON的平分线上.
1.(2023达州通川区第八中学月考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,
AD平分∠BAC,AE=AC,下列结论中不一定正确的是( )
A.DC=DE
B.∠AED=90°
C.∠ADE=∠ADC
D.DB=DC
D
2.如图所示,射线OC是∠AOB的平分线,D是 射线OC上一点,DP⊥OA于点P,DP=4,若点Q是射线OB上一点,OQ=3,则△ODQ的面积是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
D
3.如图所示,OC平分∠AOB,点P是射线OC上一点,PM⊥OB于点M,点N是射线OA上的一个动点,若PM=4,则PN的长不可能是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
A
4.如图所示,P是OC上一点,PD⊥OA于 点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.
(1)求证:OC是∠AOB的平分线;
(1)证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDF=90°,∠PEG=90°.
在Rt△PFD和Rt△PGE中,∵PF=PG,DF=EG,
∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL).∴PD=PE.
又∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴OC是∠AOB的平分线.
(2)若PF∥OB,且PF=4,∠AOB=30°,求PE的长.
第2课时 三角形三个内角的平分线
三角形三条角平分线
(1)三角形的三条角平分线相交于 ,并且这一点到三条边的距离 ;
(2)符号表示:如图所示,在△ABC中,AM,BN,CP分别是三个内角的平分线,且相交于点O,则点O到三边的距离相等,即OD= = .
一点
相等
OE
OF
[例1]如图所示,现有一块三角形的空地,边AC=20 m,BC=30 m,AB=40 m,现要把它分成面积为2∶3∶4的三部分,分别种植不同的花草,请你设计一种方案,并简单说明理由.
新知应用
1.(2023临西期末)如图所示,在△ABC中,∠BAC=60°,角平分线BE,CD相交于点P,若AP=4,AC=6,则S△APC的值为( )
A.4 B.6 C.12 D.24
B
2.如图所示,O是△ABC内一点,且O到△ABC三边AB,BC,CA的距离OF=OD=OE,若∠BAC=66°,则∠BOC的度数为( )
A.120° B.130° C.123° D.125°
C
与角平分线有关的尺规作图
[例2]尺规作图:如图所示,在两条公路OA和OB之间,要建一个加油站P,使加油站P到两村庄M,N的距离相等,且到两条公路的距离相等.保留作图痕迹,不写作图步骤.
解:如图所示,作∠AOB的平分线,再作线段MN的
垂直平分线,两线的交点即为所求.
新知应用
1.如图所示,某旅游景区内有一块三角形绿地ABC,现要在道路AB边上建一个休息点M,使它到AC和BC两边的距离相等,在图中确定休息点M的位置.甲、乙、丙、丁四位同学的作图如下,正确的是( )
C
甲的作图 乙的作图 丙的作图 丁的作图
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.如图所示,某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN,OA,OB,拟在MN上建造一个大型超市,使得它到OA,OB的距离相等,请确定该超市的位置P.尺规作图,保留作图痕迹,不写作法.
解:如图所示,点P即为该超市的位置.
1.如图所示,直线a,b,c表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
A.1处 B.2处
C.3处 D.4处
D
2.(2023宁乡期末)如图所示,在△ABC中,AB=10,AC=8,O为△ABC内角平分线的交点,若△ABO的面积为15,则△ACO的面积为 .
3.如图所示,在△ABC中,通过尺规作图,得到直线DE和射线AF,仔细观察作图痕迹,若∠B=42°,∠C=50°,则∠EAF的度数为 .
12
23°
4.如图所示,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,点P是∠BAC,∠ABC平分线的交点,求点P到AB边的距离.
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第一章 三角形的证明
章末知识复习
知识点一 等腰三角形
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数是( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
D
2.(2023陕西期末)如图所示,CD是等边三角形ABC边AB上的中线,AC的垂直平分线交AC于点E,交CD于点F,若DF=1,则CD的长为 .
3
3.如图所示,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)判断△BOC的形状,并说明理由.
(1)证明:∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)解:△BOC是等腰三角形.理由如下:
∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,
即∠OBC=∠OCB.∴BO=CO.∴△BOC是等腰三角形.
知识点二 直角三角形和命题
4.用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应先假设( )
A.有一个锐角小于45°
B.每一个锐角都小于45°
C.有一个锐角大于45°
D.每一个锐角都大于45°
D
假命题
6.如图所示,在△ABC中,AC=BC,直线l经过顶点C,过A,B两点分别作l的垂线AE,BF,垂足为E,F,AE=CF.求证:∠ACB=90°.
证明:在Rt△ACE和Rt△CBF中,
∵AC=CB,AE=CF,
∴Rt△ACE≌Rt△CBF(HL).
∴∠EAC=∠BCF.
∵∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠ACE+∠BCF=90°.
∴∠ACB=180°-(∠ACE+∠BCF)=180°-90°=90°.
知识点三 线段的垂直平分线
7.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,BD=BC,过点D作AB的垂线交AC于点E.求证:BE垂直平分CD.
证明:∵∠ACB=90°,DE⊥AB,
∴∠BCE=∠BDE=90°.
在Rt△BDE和Rt△BCE中,
∵BD=BC,BE=BE,
∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL).∴ED=EC.
又∵BD=BC,∴BE垂直平分CD.
30°
9.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB.若CD=3,AB=10,△ABD的面积为15,AD是∠BAC的平分线吗 请说明理由.
类型一 分类讨论思想
易出现多解的几种常见类型
(1)已知等腰三角形的一角,求另外两角;
(2)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角,求顶角;
(3)与垂直平分线或角平分线有关的问题.
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°,则顶角的度数为
.
2.在△ABC中,与∠A相邻的外角是100°,要使△ABC是等腰三角形,则∠B的度数是 .
3.在△ABC中,DF是AB的垂直平分线,交BC于点D,EG是AC的垂直平分线,交BC于点E,若∠DAE=30°,则∠BAC的度数为 .
115°或65°
80°或50°或20°
75°或105°
类型二 方程思想
(1)借助三角形内角和或外角性质列方程求等腰三角形内角度数;
(2)利用勾股定理列方程求边长.
1.如图所示,一张三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm.现将纸
片折叠,使点A与点B重合,那么折痕长为 cm.
2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则△ABC各角的度数分别为 .
∠A=36°,∠ABC=∠ACB=72°
1.(2023达州期中)如图所示,△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是底边BC上的高,下列结论不一定成立的是( )
A.BD=CD B.BD=AD
C.AD平分∠BAC D.∠B=∠C
B
2.(2023成都期中)如图所示,AD是△BAC的平分线,DE⊥AB于点E,
S△ABC=32,DE=4,AB=9,则AC的长是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.(2023渠县月考)如图所示,大树AB垂直于地面,为了测量大树的高度,小明在D处测得∠ADB=30°,他沿BC方向走了16 m,到达C处,测得∠ACB=15°,则大树AB的高度为( )
A.6 m B.8 m C.10 m D.20 m
B
B
4.(2023达州通川月考)如图所示,∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC,交AC的延长线于点F,AB=10 cm,
AC=6 cm,则BE的长为 .
2 cm
5.(2023达川月考)如图所示,点D为等腰直角三角形ABC内一点,
∠CAD=∠CBD=15°,E是AD延长线上的一点,且CE=CA.
(1)求证:DE平分∠BDC;
证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠ABC=45°.
∵∠CAD=∠CBD=15°,∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°.
∴BD=AD.∴点D在AB的垂直平分线上.
∵AC=BC,∴点C也在AB的垂直平分线上,即直线CD是AB的垂直平分线.
∴∠ACD=∠BCD=45°.∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°.
∴∠BDE=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°.
∴∠CDE=∠BDE.
∴DE平分∠BDC.
(2)若点M在DE上,且DC=DM,求证:ME=BD.
证明:(2)如图所示,连接MC.
∵DC=DM,且∠MDC=60°,∴△MDC是等边三角形,
即CM=CD,∠DMC=∠MDC=60°.
∵∠ADC+∠MDC=180°,∠DMC+∠EMC=180°,
∴∠EMC=∠ADC.
∵CE=CA,∴∠DAC=∠CEM.
在△ADC与△EMC中,∵∠ADC=∠EMC,∠DAC=∠MEC,AC=EC,
∴△ADC≌△EMC(AAS).
∴ME=AD.
由(1),知BD=AD,
∴ME=BD.
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2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质
(1)直角三角形的两个锐角 ;
(2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 .
互余
平方
[例1-1]如图所示,E是△ABC的边AC上一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D.
∠AED=∠B,△ABC是直角三角形吗 为什么
解:△ABC是直角三角形.理由如下:
∵ED⊥AB,∴∠AED+∠A=90°.
∵∠AED=∠B,
∴∠B+∠A=90°.
∴∠ACB=90°.
∴△ACB是直角三角形.
[例1-2]如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=20,D为AB上一点,且CD=16,BD=12,求AC的长.
新知应用
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A=41°,则∠B的度数为( )
A.39° B.49° C.59° D.69°
2.(2023青岛期末)满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( )
A.三边长之比为3∶4∶5
B.三内角之比为3∶4∶5
C.三内角之比为1∶2∶3
D.三边长的平方之比为1∶2∶3
B
B
3.如图所示,在△ABC中,AD,BE分别是BC,AC边上的中线.
(1)若CD=4,CE=3,AB=10,求证:∠C=90°;
(1)证明:∵AD,BE分别是BC,AC边上的中线,
CD=4,CE=3,
∴AC=2CE=2×3=6,BC=2CD=2×4=8.
∵AB=10,∴AB2=AC2+BC2.
∴△ABC是直角三角形.∴∠C=90°.
(2)若∠C=90°,AD=6,BE=8,求AB的长.
逆命题和逆定理
(1)在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的
和 ,那么这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题;
(2)如果一个定理的逆命题经过证明是 ,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
结论
条件
真命题
[例2]写出下列各命题的逆命题,并判断逆命题的真假.
(1)如果a,b都是无理数,那么ab也是无理数;
(2)三边对应相等的两个三角形全等.
解:(1)逆命题:如果ab是无理数,
那么a,b都是无理数.是假命题.
(2)逆命题:如果两个三角形全等,
那么它们的对应边分别相等.是真命题.
原命题与逆命题是互逆关系,因而是相对的,值得注意的是原命题正确,其逆命题不一定正确.
新知应用
命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是 .
.这个逆命题是 命题(选填“真”
或“假”).
三个内角都相等
的三角形是等边三角形
真
1.(易错题)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.下列结论:①在△ABC中,若a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三角形;②若△ABC是直角三角形,∠C=90°,则a2+b2=c2;③在△ABC中,若b2-a2=c2,则△ABC是直角三角形;④若△ABC是直角三角形,则(a+b)(a-b)=c2.正确的有
( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12,AC=16,则斜边AB边上的高CD的长是( )
A.20 B.10 C.9.6 D.8
3.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A.对顶角相等
B.若一个三角形的两个内角分别为30°和60°,则这个三角形是直角三角形
C.两个全等的三角形面积相等
D.两直线平行,同位角相等
C
D
(2)△ABC是直角三角形吗 为什么
第2课时 用“HL”判定两个直角三角形全等
用“HL”判定两直角三角形全等
(1)定理: 和 分别相等的两个直角三角形全等;
(2)书写格式:如图所示,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,
AB= ,BC= ,
所以Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
斜边
一条直角边
A′B′
B′C′
[例1]如图所示,已知AB=CD,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF=DE,求证:△AEB≌△CFD.
证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
∵BF=DE,∴BF+EF=DE+EF.
∴BE=DF.
在Rt△AEB和Rt△CFD中,
∵AB=CD,BE=DF,
∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL).
新知应用
1.如图所示,∠C=∠D=90°,添加一个条件,使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件正确的是( )
A.AC=AD B.AC=BC
C.∠ABC=∠ABD D.AD=BD
A
2.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°,则∠AEC的度数为 .
59°
3.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,E是AC边上的一点,BE交AD于点F,且BF=AC,FD=CD,求证:△BFD≌△ACD.
证明:∵AD是△ABC的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
在△BFD和△ACD中,
∵BF=AC,FD=CD,
∴Rt△BFD≌Rt△ACD(HL).
4.如图所示,在Rt△ABC和Rt△BAD中,AB为斜边,AC=BD,BC,AD相交于点E.
求证:∠ABC=∠BAD.
证明:在Rt△ABC和Rt△BAD中,
∵AB=BA,AC=BD,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴∠ABC=∠BAD.
直角三角形全等判定方法的运用
[例2]如图所示,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连接AE,DE,DC.求证:△ABE≌△CBD.
证明:在△ABE和△CBD中,
∵AB=CB,∠ABE=∠CBD=90°,
BE=BD,
∴△ABE≌△CBD(SAS).
直角三角形全等的判定方法
已知条件 判定方法
两直角边 SAS
斜边与一条直角边 HL
一锐角与斜边 AAS
一锐角与一条直角边 ASA或AAS
新知应用
1.下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.两个锐角分别对应相等
B.两条直角边分别对应相等
C.一条直角边和斜边分别对应相等
D.一个锐角和一条斜边分别对应相等
A
2.如图所示,已知AD是△ABC的边BC上的高,下列能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A.AB=AC B.∠BAC=90°
C.BD=AC D.∠B=45°
A
3.(2023达州通川区第八中学月考)如图所示,AB=AC,CD⊥AB于点D,
BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点O.求证:AD=AE.
证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠AEB=90°,
在△ACD和△ABE中,
∵∠ADC=∠AEB,∠CAD=∠BAE,
AC=AB,
∴△ACD≌△ABE(AAS).
∴AD=AE.
1.如图所示,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.75°
B
2.如图所示,用纸板挡住部分直角三角形后,能画出与此直角三角形全等的三角形,其全等的依据是 .
ASA
3.如图所示,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE.求证:BC=BE.
证明:∵AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,
∴∠D=∠F=90°,
在Rt△ADC和Rt△AFE中,
∵AD=AF,AC=AE,∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).
∴CD=EF.
在Rt△ABD和Rt△ABF中,∵AD=AF,AB=AB,∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF.即BC=BE.
谢谢观赏！
