(共34张PPT)
3.7 切线长定理
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 切线长及切线长定理
1.切线长:过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的 .
(从圆外一点向圆引切线,最多可以引两条.)
2.切线长定理:过圆外一点画圆的两条切线,
它们的 相等.
如图所示:PA,PB是圆O的切线,线段PA,PB就是切线长,则有
PA= ,∠APO= ,OP垂直平分 .
切线长
切线长
PB
∠ BPO
AB
数学
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典型例题
【例 1】如图,P为圆O外一点,PA,PB分别切圆O于A,B两点,若PA=5,则PB= ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
思路点拨:利用切线长定理即可得出答案.
解析:∵PA,PB均为☉O的切线,∴PB=PA=5,故选D.
答案:D
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对应练习
1.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别为P,C,D,若AB=4,AC=3, 则BD的长是 ( )
A.2.5
B.2
C.1.5
D.1
D
1.D 解析:∵AP,AC是☉O的切线,∴AP=AC=3,∵AB=4,∴PB=AB-AP =4-3=1,∵BP,BD是☉O的切线, ∴BD=BP=1.故选D.
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名师点拨:明确切线和切线长是两个不同的概念.切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.
数学
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知识点二 四边形与内切圆
1.和四边形的四条边都相切的圆叫做四边形的内切圆.此时四边形叫做圆的外切四边形.
2.圆的外切四边形性质:对边之和相等.
如右图:AB+CD=AD+BC.
3.不是所有的四边形都有内切圆,只有对边的和相等的四边形才有内切圆.
有内切圆的特殊四边形:菱形、正方形.
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典型例题
【例 2】如图,一圆外切四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形的周长为 ( )
A.32
B.34
C.36
D.38
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思路点拨:利用圆的外切四边形的性质即可得出答案.
解析:由题意可得圆外切四边形的两组对边之和相等,所以四边形的周长=2×(7+10)=34.故选B.
答案:B
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对应练习
2.若与四边形各边都相切的圆叫四边形的内切圆,则下列图形一定有内切圆的是 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.任意四边形
C
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3.如图,四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和☉O分别相切于点L,M,N,P.若四边形ABCD的周长为20,则AB+CD等于 .
10
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,PA切☉O于点A,PB切☉O于点B,OP交☉O于点C,下列结论中错误的是 ( )
A.∠APO=∠BPO
B.PA=PB
C.AB⊥OP
D.C是PO的中点
D
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2.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,已知∠P=60°,PA=3,那么AB的长为 ( )
A.6 B.3 C.1.5 D.1
B
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3.如图,PA,PB分别切☉O于A,B两点,∠P=40°,则∠C的度数为
( )
A.40° B.140° C.70° D.80°
C
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4.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,若∠P=80°,则∠ABO的度数是 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
B
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4.B 解析:∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB,OB⊥PB,即∠PBO=90°, ∵∠P=80°,∴∠PAB=∠PBA=×(180°-80°)=50°, ∴∠ABO=90°-∠PBA=90°-50°=40°.故选B.
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5.如图,PA,PB分别与☉O相切于A,B,∠P=70°,C为☉O上一点,则∠ACB的度数为 ( )
A.110°
B.120°
C.125°
D.130°
C
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二、填空题
1.如图,四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和☉O分别切于L,M,N,P,且AB=10 cm,CD=5 cm,则四边形ABCD周长为 cm.
30
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2.如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,CD切☉O于点E,且分别交PA,PB于点C,D,若PA=6,则△PCD的周长为 .
2. 12 解析:∵PA,PB分别切☉O于点A,B,CD切☉O于点E,PA=6, ∴PB=PA=6,CA=CE,DB=DE,∴△PCD的周长=PC+CE+PD+DE=PC+CA+PD+DB
=PA+PB=12.
12
数学
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三、解答题
如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,AC为弦,BC为☉O的直径,若∠P=60°,PB=2 cm.
(1)求证:△PAB是等边三角形;
(2)求AC的长.
(1)证明:∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B,
∴PA=PB,且∠P=60°,
∴△PAB是等边三角形.
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(2)解:∵由(1)得△PAB是等边三角形,
∴PB=AB=2 cm,∠PBA=60°,
∵BC是直径,PB是☉O切线,
∴∠CAB=90°,∠PBC=90°,
∴∠ABC=30°,∴tan∠ABC==,
∴AC=2×= cm.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,☉O是△ABC的内切圆,点D,E分别为边AC,BC上的点,且DE为☉O的切线,若△ABC的周长为25,BC的长是9,则△ADE的周长是 ( )
A.7 B.8 C.9 D.16
A
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1. A 解析:∵AB,AC,BC,DE都和☉O相切, ∴BI=BG,CI=CH,DG=DF,EF=EH.
∴BG+CH=BI+CI=BC=9,
∴周长C△ADE=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF
=AD+DG+EH+AE
=AG+AH=C△ABC-(BG+EH+BC)
=25-2×9=7.故选A.
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2.如图,已知PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,C是☉O上一个动点,且不与A,B重合,若∠PAC=α,∠ABC=β,则α与β的关系是
.
α=β或α+β=180 °
2. α=β或α+β=180° 解析:连接OA,OB,∵PA,PB是☉O的两条切线,∴∠PAO=∠PBO=90°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,分两种情况:
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①当C在优弧AB上时,如图1, ∵∠PAC=α,∠ABC=β,
∴α+β=∠PAC+∠ABC=90°+∠OAC+∠ABC
=90°+∠OAC+180°-∠C-∠BAC
=270°+∠OAC-∠AOB-∠OAB-∠OAC
=270°-∠AOB-∠OAB,在△OAB中,∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°,
∴∠AOB+∠OAB=90°, ∴α+β=270°-90°=180°;
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②当C在劣弧AB上时,如图2,
∵∠PAO=∠PBO=90°,∠OAB=∠OBA,∠CBP=∠CAB,
∴∠PAC=∠ABC,即α=β.综上,α与β的关系是:α+β=180°或α=β.
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3.如图,Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,则△ABC的面积为 .
12
3. 12 解析:设CE=x.根据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.根据勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理,得x2+7x=12.∴S△ABC=AC·BC=(x+3)(x+4)=(x2+7x+12)=×(12+12)=12.
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4.如图,☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,且∠ACB=90°, ∠A,∠B,∠C所对的边长依次为3, 4, 5,则☉O的半径是 .
2
数学
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4. 2 解析:过O点分别作AB,BC,AC的垂线,垂足分别为D,E,F,如图,设☉O的半径为r,
∵☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切, ∴OE=OF=r,BD=BE,CE=CF,AD=AF,∵∠ACB=90°,
∴四边形OECF为正方形, ∴CE=CF=r,∴BD=BE=BC-EC=3-r, ∴AD=AB+BD=5+3-r=8-r,AF=AC+CF=4+r,
∵AD=AF,∴8-r=4+r,解得r=2,即☉O的半径为2.
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5.如图,☉O过 ABCD的三个顶点A,D,C,边AB与☉O相切于点A,边BC与☉O相交于点H,射线AD交边CD于点E,交☉O于点F,点P在射线AO上,且∠PCD=2∠DAF.
(1)求证:△ABH是等腰三角形;
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证明:∵四边形ADCH是圆内接四边形,
∴∠ADC+∠AHC=180°,
又∵∠AHC+∠AHB=180°,
∴∠ADC=∠AHB,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ADC=∠B,∴∠AHB=∠B,∴AB=AH,
∴△ABH是等腰三角形.
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(2)求证:直线PC是☉O的切线;
证明:连接OC,如右图所示,
∵边AB与☉O相切于点A,∴BA⊥AF,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴CD⊥AF,
又∵FA经过圆心O,∴=,∠OEC=90°,∴∠COF=2∠DAF,
又∵∠PCD=2∠DAF,∴∠COF=∠PCD,
∵∠COF+∠OCE=90°,∴∠PCD+∠OCE=90°,即∠OCP=90°,
∴直线PC是☉O的切线.
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(3)若AB=2,AD=,求☉O的半径.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB=2,
∵FA⊥CD,∴DE=CE=1,
∵∠AED=90°,AD=,DE=1,∴AE==4,
设☉O的半径为r,则OA=OD=r,OE=AE-OA=4-r,
∵∠OED=90°,DE=1,∴r2=(4-r)2+12,
解得r=,即☉O的半径是.
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北师大版 九年级数学下册(共38张PPT)
3.5 确定圆的条件
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 确定圆的条件:圆心和半径
1.经过平面内一个点A作圆时,只要以点A以外的任意一点为圆心,以该点到A的距离为半径即可作出一个圆,这样的圆有
个.
2.经过平面内的两个点A,B作圆,由于圆心到这两个点的距离相等,所以圆心在线段AB的垂直平分线上,这样的圆有
个.
无数
无数
数学
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3.经过平面内的三个点A,B,C作圆分两种情况:
(1)当三点在同一直线上时,不能作圆;(2)当三点不在同一直线上时,能作一个圆.
作法:①连结任意两点,得到两条线段;②作这两条线段的垂直平分线;③取两垂直平分线的交点为圆心,圆心到任意一点的距离为半径作圆,即为所求.
定理:不在 直线上的三点确定一个圆.
同一
数学
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典型例题
【例1】经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.无数
思路点拨:根据“不在同一直线上的三点只能确定一个圆”即可得出答案.
解析:经过不在同一直线上的三点确定一个圆.故选A.
答案:A
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对应练习
1.平面直角坐标系内的三个点A(1,-3),B(0,-3),C(2,-3),
(填“能”或“不能”)确定一个圆.
不能
数学
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2.如图,点A,B,C在同一条直线上,点D在直线AB外,过这4个点中的任意3个,能画的圆有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
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名师点拨:同一条直线上的三点不能确定一个圆,必须是“不在同一条直线上的三个点”才可以确定一个圆.
数学
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知识点二 三角形的外接圆
1.三角形的外接圆:三角形的三个顶点都在同一圆上,则该圆是三角形的外接圆.
说明:因为三角形三个顶点不在同一直线上,因此三角形有唯一的外接圆.
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2.三角形的外接圆的作法:作任意两条边的垂直平分线,这两条垂直平分线的交点就是外接圆的圆心,也叫做三角形的外心;而圆心与其中任意一个顶点之间的距离,就是外接圆的半径;根据外心和半径所作的圆就是三角形的外接圆.
数学
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3.三角形外接圆的外心位置.锐角三角形,外心在三角
形内;直角三角形,外心在斜边上,即为斜边的中点;
钝角三角形,外心在三角形外.如图所示:
4.直角三角形外接圆的
半径R=c(c为斜边).
5.三角形外心的性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,等于其外接圆的半径.
数学
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典型例题
【例2】如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(1,4),(5,4),(1,0),则以A,B,C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ( )
A.(3,2)
B.(2,3)
C.(1,3)
D.(3,1)
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思路点拨:三角形任意两边(或者圆里面任意两条不平行的弦)的垂直平分线的交点就是圆心.
解析:根据垂径定理的推论,如图,作弦AB,AC的垂直平分线,
交点O'即为三角形外接圆的圆心,且O'坐标是(3,2).故选A.
答案:A
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对应练习
3.在△ABC中,已知∠C=90°,AC=8,BC=6,则△ABC的外接圆的半径为 ( )
A.4 B.3 C.5 D.10
C
数学
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4.如图,在平面直角坐标系中,A(0,-3),B(2,-1),C(2,3).则△ABC的外心坐标为 ( )
A.(0,0) B.(-1,1)
C.(-2,-1) D.(-2,1)
D
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5.如图,已知点O是△ABC的外心,∠A=40°,连接BO,CO,则∠BOC的度数是 ( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
C
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞,鼠洞只有三个出口A,B,C,要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞,这只花猫最好蹲守在 ( )
A.△ABC的三边高线的交点P处
B.△ABC的三角平分线的交点P处
C.△ABC的三边中线的交点P处
D.△ABC的三边垂直平分线的交点P处
D
数学
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2.下列说法中,正确的是 ( )
A.三点确定一个圆
B.三角形有且只有一个外接圆
C.四边形都有一个外接圆
D.圆有且只有一个内接三角形
B
数学
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3.已知AB=3 cm,则过点A,B且半径为3 cm的圆有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
数学
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4.下列条件中,不能确定一个圆的是 ( )
A.圆心与半径
B.直径
C.平面上的三个已知点
D.三角形的三个顶点
C
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4.C 解析:A项,已知圆心与半径能确定一个圆,不符合题意;B项,已知直径能确定一个圆,不符合题意;C项,平面上的三个已知点,不能确定一个圆,符合题意;D项,已知三角形的三个顶点,能确定一个圆,不符合题意.故选C.
数学
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5.如图,△ABC内接于☉O,AD是☉O的直径,若∠B=30°,则∠DAC的度数是 ( )
A.50°
B.55°
C.60°
D.70°
C
数学
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5.C 解析:连接BD,∵AD是☉O的直径,∴∠ABD=90°, ∵∠ABC=30°,∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=60°, ∴∠CAD=∠CBD=60°.故选C.
数学
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二、填空题
1.点O是△ABC的外心,∠ACB=80°,那么∠AOB= .
160°
数学
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2.平面直角坐标系内的三个点A(2,1),B(-1,3),C(2,-4) (填“能”或“不能”)确定一个圆.
2.能 解析:∵A(2,1),B(-1,3),C(2,-4),∴点A,B,C不共线,∴三个点A(2,1),B(-1,3),C(2,-4)能确定一个圆.故答案为能.
能
数学
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3.如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠C=45°,AB=6,则☉O的半径为 .
3
数学
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三、解答题
如图所示,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.
(1)求证:BD=CD;
(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,
DB为半径的圆上,并说明理由.
(1)证明:∵AD为直径,AD⊥BC,∴BD=CD.
数学
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(2)解:B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.
理由:由(1)知BD=CD,∴=,∴∠BAD=∠CBD.
∵BE是∠ABC的平分线,∴∠CBE=∠ABE,
又∵∠DBE=∠CBD+∠CBE,
∠DEB=∠BAD+∠ABE,
∴∠DBE=∠DEB,∴DB=DE.
由(1)知BD=CD,∴DB=DE=DC.
∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,在平面直角坐标系中,A(-2,2),B(8,2),C(6,6),点P为△ABC的外接圆的圆心,将△ABC绕点O逆时针旋转90°,点P的对应点P'的坐标为 ( )
A.(-2,3)
B.(-3,2)
C.(2,-3)
D.(3,-2)
A
数学
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1.A 解析:如图,过点C作CD⊥AB于点D,∵A(-2,2),B(8,2),C(6,6), ∴D(6,2)∴AB=10,BD=2,CD=4,∴BC2=BD2+CD2=20,AD=8,∴AC2=CD2+AD2=80,∴AB2=BC2+AC2,∴△ABC是直角三角形,∴△ABC的外接圆的圆心P在斜边AB的中点处.如图,取AB的中点P,∴P(3,2),连接OP,将OP绕点O逆时针旋转90°至P',作PG⊥x轴于点G,P'H⊥x轴于点H, ∴∠PGO=∠P'HO=90°,∴∠POG=∠OP'H,OP=OP’,∴△OPG≌△P'OH(AAS),∴OH=PG=2,P'H=OG=3,∴P'(-2,3).故选A.
数学
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2.如图,△ABC内接于☉O,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∠ACB的平分线交☉O于点D,则CD= .
7
数学
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2. 7 解析:如图,过点A作AE⊥CD于点E,∵∠ACB=90°, AC=6,BC=8,∴tan∠ABC==, ∵=,∴∠ADC=∠ABC,∴tan∠ADC==,
∵CD是∠ACB的平分线,∴∠ACD=45°, ∴CD=AE=AC=3,∴DE=AE=4,
∴CE=CE+ED=3+4=7.故答案为7.
数学
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3.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,CD平分∠ACB交☉O于点D,交AB于F,弦AE⊥CD于点H,连接CE,OH.
(1)求∠AHO的度数;
解:连结OC,如图,∵AB是直径,CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°, ∵AE⊥CD,∴∠AHC=90°,∠HAC=45°=∠ACH,
∴CH=AH,∵OC=OA,∴O,H都在AC的垂直平分线上,
∴OH垂直平分AC,∴∠AHO=∠CHO=45°.
数学
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(2)若BC=6,AC=8,求HE的长.
解:延长CB,AE交于M,如图,
∴∠M=45°=∠CAM=∠HCM=∠HCA,
∴CM=CA=8,BC=6,BM=2,
∴BE=EM=,
∴CH=HM=4,
∴HE=3.
M
数学
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4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,且交BC于点E.
(1)过点C作CF⊥AD,垂足为点F,延长CF交AB于点G.若AC=3,AF∶FD=1∶2,求☉O的半径.
(2)在(1)的条件下,若GF=,求sin∠ACE的值.
数学
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解:(1)如图所示,
连接BD,CD.设AF=x,
∵AF∶FD=1∶2,∴FD=2x,∴AD=AF+FD=3x,
在Rt△ACD中,∵CF⊥AD,∴易证△AFC∽△ACD,
∴AC2=AF·AD,即3x2=18,解得x=,∴☉O的半径为.
数学
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(2)在Rt△AFG中,根据勾股定理,得AG==3,
∵∠DAB=∠GAF,∠ABD=∠AFG,∴△AFG∽△ABD,
∴=,即=,解得BD=3,
∴AB==6,在Rt △ABD中,
∵sin∠ADB=,AD=3,AB=6,∴sin∠ADB=.
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB,∴sin∠ACE=.
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北师大版 九年级数学下册(共49张PPT)
第三章 圆 题型专练
北师大版 九年级数学下册
数学
题型专练
一、圆周角定理的运用
1.如图,AB是☉O的直径,点D在☉O上,若∠AOC=120°,则∠BDC的度数是 ( )
A.20°
B.30°
C.40°
D.45°
B
数学
题型专练
2.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点.若∠BAC=20°,则∠ADC的度数为 ( )
A.40°
B.60°
C.70°
D.80°
C
数学
题型专练
二、利用圆内接四边形性质解题
3.如图,四边形ABCD为圆内接四边形,∠A=75°,则∠C的度数为
( )
A.115°
B.105°
C.95°
D.60°
B
数学
题型专练
4.如图,四边形ABCD内接于☉O,若它的一个外角∠DCE=72°,则∠BOD等于 ( )
A.144°
B.70°
C.110°
D.140°
A
数学
题型专练
三、利用垂径定理构建直角三角形解题
5.如图,在☉O中,CD是直径,AB是弦,AB⊥CD于点M,AB=8,OC=5, 则MD的长为 ( )
A.4
B.3
C.2
D.1
C
数学
题型专练
5.C 解析:连接OA,∵CD是直径,AB是弦,AB⊥CD于点M,AB=8, ∴AM=BM=4,∵OC=5,∴OA=OD=5,∴OM===3.∴DM=OD-OM=5-3=2.故选C.
数学
题型专练
6.如图,AB是☉O的直径,CD⊥AB于点E,CD=30,BE=9,则AB
( )
A.17
B.30
C.34
D.36
C
数学
题型专练
6.C 解析:连接OC,设☉O的半径r,∵直径AB⊥CD,∴CE=CD=15, ∵OC2=OE2+CE2,∴r2=(r-9)2+152,∴r=17,∴AB=2r=34.故选C.
数学
题型专练
四、圆的确定
7.平面直角坐标系内的三个点A(3,0),B(0,-4),C(2,-3) (填“能”或“不能”)确定一个圆.
7. 能 解析:设经过A(3,0), B(0,-4)两点的直线解析式为y=kx+b,将A,B代入,解得k=,b=-4,∴经过A,B两点的直线解析式为y=x-4,当x=2时,y=×2-4=-≠-3,∴点C(2,-3)不在直线AB上,即A,B,C三点不在同一直线上,又∵两点确定一条直线,∴A,B,C三点可以确定一个圆.
能
数学
题型专练
8.如图是☉O的一段弧,AB和BC是圆弧的两条弦,☉O的半径为2,AB=2,BC=2.
(1)作出圆心O的位置,并把圆补充完整;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不用写作法)
(2)求∠ABC的度数.
解:(1)如图,点O和☉O为所作;(解析:作AB和BC的垂直平分线,它们相交于点O,然后以点O为圆心,OB为半径作圆即可)
数学
题型专练
(2)如图,连接OB,
∵OD⊥AB,OE⊥BC,∴BD=AD=AB=,
BE=CE=BC=1,在Rt△OBD中, ∵cos∠OBD==,∴∠OBD=45°,在Rt△OBE中,
∵cos∠OBE==,∴∠OBE=60°,∴∠ABC=45°+60°=105°.
数学
题型专练
五、利用圆心角定理解题
9.如图,在☉O中,如果∠AOB=2∠COD,那么 ( )
A.AB=2DC
B.AB
C.AB<2DC
D.AB>2DC
C
数学
题型专练
9.C 解析:作∠AOB的平分线交☉O于点E,连接AE,BE,如图,则∠AOE=∠BOE=∠AOB,∵∠AOB=2∠COD,∴∠AOE=∠BOE=∠COD,∴AE=BE=CD,∵AB数学
题型专练
10.如图,AB为☉O的直径,=,∠BOD=42°,则∠AOC的度数为 ( )
A.90°
B.96°
C.98°
D.100°
B
数学
题型专练
10.B 解析:∵=,∴∠COD=∠BOD=42°,
∵AB为☉O的直径,∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-42°-42°=96°.故选B.
数学
题型专练
六、圆内接正多边形
11.如图,点A,B,C,D为一个正多边形的顶点,点O为正多边形的中心,若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 ( )
A.5 B.10 C.12 D.20
B
数学
题型专练
11.B 解析:如图,作正多边形的外接圆,连接AO,BO, ∴∠AOB=2∠ADB=36°,∴这个正多边形的边数为=10.故选B.
数学
题型专练
12.如图,在平面直角坐标系中,正六边形OABCDE的边长是2,则它的外接圆圆心P的坐标是 .
(1,
数学
题型专练
七、弧长的计算
13.如图,菱形OABC的边长是4,且点A,B,C在☉O上,则劣弧的长度为 ( )
A. B.
C. D.
D
数学
题型专练
14.如图,已知☉O的半径为6,AB,BC是☉O的弦,若∠ABC=50°,则的长是 ( )
A.π B.π
C.10π D.12π
解析:连接OA,OC,
∵∠ABC=50°,∴∠AOC=2∠ABC=100°,∴的长为=.故选B.
B
数学
题型专练
八、圆锥、圆柱的计算
15.某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥,它的高AO=8米,底面半径OB=6米,则圆锥的侧面积是 平方米(结果保留π). ( )
A.60π
B.50π
C.47.5π
D.45.5π
A
数学
题型专练
16.如果圆柱的母线长为6 m,侧面积是48π cm2,那么这个圆柱的底面直径为 ( )
A.4 cm B.4π cm
C.8 cm D.8π cm
C
数学
题型专练
九、扇形、弓形等的面积计算
17.“愉快的感觉来自恰当的比例”,当折扇的张角为135°时给人们带来好的视觉效果,现有一个圆心角为135°,半径为4的扇形,则该扇形的面积为 ( )
A.3π B.4π C.6π D.8π
17.C 解析:∵扇形的圆心角为135°,半径为4,∴该扇形的面积为=6π.故选C.
C
数学
题型专练
18.若一个扇形的圆心角是90°,面积为π,则这个扇形的半径是
( )
A.2 B.4 C.2π D.4π
18.A 解析:设扇形的半径为r,∵扇形的圆心角是90°,面积为π, ∴=π,解得r=±2(负数舍去),即这个扇形的半径为2.故选A.
A
数学
题型专练
19.如图,☉A,☉B,☉C的半径都是2 cm,则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是 ( )
A.π
B.π
C.2π
D.6
19.C 解析:∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴阴影部分的面积==2π.故选C.
C
数学
题型专练
20.如图,AB为☉O的直径,OE⊥BC,垂足为点E,AB⊥CD,垂足为点F.
(1)求证:AD=2OE;
(2)若∠ABC=30°,☉O的半径为2,求两阴影部分面积的和.
(1)证明:连接AC,
∵AB⊥CD,∴=,∴AC=AD,
∵OE⊥BC,∴E为BC的中点,
∵O为AB的中点,∴OE为△ABC的中位线,
∴OE=AC,∴OE=AD,即AD=2OE.
数学
题型专练
(2)解:S半圆=π·OB2=π×22=2π,
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∵∠ABC=30°,AB=4,∴AC=AB=×4=2,
BC===2,S△ABC=AC·BC=×2×2=2,
∵AB⊥CD,∴拱形AD的面积=弓形AC的面积,
∴S阴影=S半圆-S△ABC=2π-2.
数学
题型专练
十、三角形的内心和外心
21.如图所示的正方形网格中,A,B,C三点均在格点上,那么△ABC的外接圆圆心是 ( )
A.点E
B.点F
C.点G
D.点H
C
数学
题型专练
22.下列关于三角形的内心说法正确的说法为 ( )
A.内心是三角形三个角平分线的交点
B.内心是三角形三边中垂线的交点
C.内心到三角形三个顶点的距离相等
D.钝角三角形的内心在三角形外
A
数学
题型专练
十一、切线长定理的运用
23.如图,PA,PB分别切☉O于点A和点B,C是上任一点,过C的切线分别交PA,PB于点D,E.若☉O的半径为6,PO=10,则△PDE的周长是 ( )
A.16 B.14 C.12 D.10
A
数学
题型专练
23. A 解析:连接OA,
∵PA切☉O于A,∴∠OAP=90°,∴在Rt△OAP中,OP=10,OA=6,由勾股定理,得PA==8.∵PA,PB分别切☉O于点A和点B, DE切☉O于C,∴PA=PB=8,DA=DC,EB=EC,
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PD=PD+DA+EB+PE
=PA+PB=8+8=16.故选A.
数学
题型专练
24.如图,PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,∠APB=54°,则∠COD=
( )
A.36° B.63° C.126° D.46°
B
数学
题型专练
十二、运用切线的性质定理与判定定理解题
25.如图,AB是☉O的直径,BD与☉O相切于点B,点C是☉O上一点,连接AC并延长,交BD于点D,连接OC,BC,若∠BOC=50°,则∠D的度数为 ( )
A.50°
B.55°
C.65°
D.75°
C
数学
题型专练
26.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D.若☉O的半径为2,则BD的长为 ( )
A.3
B.
C.2
D.4
C
数学
题型专练
27.如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,切点为A,BC交☉O于点D,点E是AC的中点.
(1)试判断直线DE与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若☉O的半径为2,∠B=50°,AC=5,求图中阴影部分的周长.
数学
题型专练
解:(1)直线DE与☉O相切, 理由如下:
连接OE,OD,如图,
∵AC是☉O的切线,∴AB⊥AC,∴∠OAC=90°,
∵点E是AC的中点,O点为AB的中点,
∴OE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3,
∵OB=OD,∴∠B=∠3,∴∠1=∠2,
在△AOE和△DOE中
1
2
3
数学
题型专练
∴△AOE≌△DOE (SAS),∴∠ODE=∠OAE=90°,∴DE⊥OD,
∵OD为☉O的半径,∴DE为☉O的切线.
1
2
3
数学
题型专练
(2)∵DE,AE是☉O的切线,∴DE=AE,
∵点E是AC的中点,∴DE=AE=AC=2.5,
∠AOD=2∠B=2×50°=100°,
∴阴影部分的周长=2.5+2.5+=5+.
数学
题型专练
28.如图,AB为☉O的直径,射线AP交☉O于C点,∠PCO的平分线交☉O于D点,过点D作DE⊥AP交AP于E点.
(1)求证:DE为☉O的切线;
证明:如图,连接OD.
∵OC=OD,∴∠1=∠3.
∵CD平分∠PCO,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.
∵DE⊥AP,∴∠2+∠EDC=90°.
∴∠3+∠EDC=90°.即∠ODE=90°.
∴OD⊥DE.∴DE为☉O的切线.
1
2
3
数学
题型专练
(2)若DE=3,AC=8,求直径AB的长.
解:过点O作OF⊥AP于点F.由垂径定理,得AF=CF.
∵AC=8,∴AF=4.
∵OD⊥DE,DE⊥AP,
∴四边形ODEF为矩形.∴OF=DE.
∵DE=3,∴OF=3.
在Rt△AOF中,OA2=OF2+AF2=42+32=25,
∴OA=5,∴AB=2OA=10.
F
数学
题型专练
十三、“隐圆问题”
∠ABC=90°,点M,N分别在射线BA,BC上,MN长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为 .
29.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,
2- 2
数学
题型专练
29. 2-2 解析: 如图,连接BE,BD.由题意,得BD==2,∵∠MBN=90°,MN=4,EM=NE,∴BE=MN=2, ∴点E的运动轨迹是以B为圆心,2为半径的弧,∴当点E落在线段BD上时,DE的值最小,∴DE的最小值为2-2.(也可以用DE≥BD-BE,即DE≥2-2确定最小值)
数学
题型专练
30.如图,AB=AD=6,∠A=60°,点C在∠DAB内部且∠C=120°,则CB+CD的最大值是 ( )
A.4 B.8 C.10 D.6
A
数学
题型专练
30.A 解析:如图,连接AC,BD,在AC上取一点M,使得DM=DC, ∵∠DAB=60°, ∠DCB=120°,
∴∠DAB+∠DCB=180°,∴A,B,C,D四点共圆, ∵AD=AB,∠DAB=60°,∴△ADB是等边三角形, ∴∠ABD=∠ACD=60°,
∵DM=DC,∴△DMC是等边三角形,∴∠ADB=∠MDC=60°,CM=DC, ∴∠ADM=∠BDC,∵AD=BD,∴△ADM≌△BDC,∴AM=BC,∴AC=AM+MC=BC+CD,
数学
题型专练
∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC, ∵AD=AB=6,∴当AC最大时,四边形ABCD的周长最大,则CB+CD最大,∴当AC是△ABC的外接圆的直径时,CB+CD最大,此时C点在的中点处,∴∠CAB=30°,∴AC最大值=AB×cos 30°=4, ∴CB+CD的最大值为AC=4.故选A.
数学
题型专练
31.如图,正方形ABCD的边长为2 cm,动点E,F分别从点A,C同时出发,以相同的速度分别沿AB,CD向终点B,D移动,当点E到达点B时,运动停止,过点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG,则AG长的最小值为 cm.
-1
数学
题型专练
31.-1 解析:连接AC,BD,交于点O,由题意,可知EF经过点O,取OB的中点M,连接MA,MG,∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD,AO=OB,∵AB=2 cm,∴OA=OB=2 cm,∴OM=1 cm,∴AM=== cm,在Rt△BOG中,M是OB的中点,∴GM=OB=1 cm,∵AG≥AM-MG=(-1) cm,当A,M,G三点共线时,AG最小为(-1) cm.故答案为-1.
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题型专练
北师大版 九年级数学下册(共37张PPT)
3.3 垂径定理
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 垂径定理
垂直于弦的直径 这条弦,
并且 弦所对的 .
如图:若直径AB⊥CD,则AB平分CD,AB平分
.
平分
平分
弧
数学
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典型例题
【例1】如图,在☉O中,OC⊥AB于点C.若☉O的半径为10,AB=16,则OC的长为 ( )
A.4 B.5
C.6 D.8
思路点拨:连接OA,构建直角三角形,利用垂径定理和勾股定理即可解决问题.
数学
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解析:
如图,连接OA.∵OC⊥AB,∴AC=CB=AB=8,
∵OA=10,∠ACO=90°,∴OC===6,
故选C.
答案:C
数学
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对应练习
1.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若BE=5,AE=1,则弦CD的长是 ( )
A.5
B.
C.2
D.6
C
数学
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2.如图,有一圆弧形桥拱,已知圆弧所在圆的半径OA=10 m,桥拱的跨度AB=16 m,则拱高CD为 ( )
A.6 m
B.8 m
C.4 m
D.3 m
C
2.解析:∵AB=16 m,CD⊥AB,
∴AD=AB=8 m.在直角△AOD中,根据勾股定理,得OA2=AD2+OD2,
∴102=82+OD2,解得OD=6 m,
∵OC=10 m,
∴CD=10-6=4 m.故选C.
数学
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名师点拨:在圆中解有关弦的问题时,常作“垂直于弦的直径”这一辅助线,这样可以利用垂径定理,构造直角三角形(由半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角三角形的相关知识进行解题.
数学
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 .
如图:若直径AB平分CD(不是直径),则AB⊥CD,AB平分
弧
数学
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典型例题
【例2】
如图,C是☉O的弦AB的中点,若圆的半径为13,AB的长为24,则OC的长为 .
思路点拨:连接OA,根据垂径定理的推论可得到直角三角形,再利用勾股定理解决问题.
数学
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解析:如图,连结OA,∵C是AB的中点,∴OC⊥AB,OC=
AB=12,OA=13,则OC==5.
答案:5
数学
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对应练习
3.如图,圆O的直径AB=20,CD是圆O的弦,点E是CD的中点,且BE∶AE=1∶4,则CD的长为 ( )
A.10
B.12
C.16
D.18
C
数学
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名师点拨:
(1)注意逆定理里面的括号内容(不是直径),漏了这几个字,就是错的了.
(2)垂径定理推论:由垂径定理及推论,在以下5个结论中,若已知其中两个,就能推出其余三个.
①AB平分弦CD(CD不是直径); ②AB是直径;
③AB垂直于弦CD; ④AB平分 ;
⑤AB平分 ,
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,在☉O中,弦AB的长为8,圆心O到AB的距离为3,则☉O的半径为 ( )
A.6 B.5
C.4 D.3
B
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2.如图,AB为☉O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=6,OD=4,则DC的长为 ( )
A.1 B.2
C.2.5 D.5
A
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3.如图,DC是☉O的直径,弦AB⊥CD于点F,则下列结论不一定正确的是 ( )
C
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4.如图,☉O的直径CD=20,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,
OM∶OC=3∶5,则AB的长为 ( )
A.8 B.12 C.16 D.2
C
数学
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5.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=10,CD=8,则
AE的长是 ( )
A.2 B.1
C. D.
解析:∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∴CE=CD=×8=4,
∵圆的半径CD长是×10=5,∴OE===3,
∴AE=OA-OE=5-3=2.故选A.
A
数学
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二、填空题
1.☉如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,
已知OE=5,DO=13,则CD的长为 .
24
数学
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2.如图,☉O的弦长为8 cm,☉O的半径为5 cm,
则弦AB的弦心距为 .
3 cm
解析:连接OA,过点O作OC⊥AB,∵OC⊥AB,∴☉O的半径为
5 cm,☉O的弦长为8 cm,∴OA=5 cm,AC=4 cm,由勾股定理,得OC==3 cm,∴弦AB的弦心距为3 cm.
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3.☉O的半径是13,弦AB∥CD,AB=24,CD=10,则AB与CD的距离为 .
7或17
解析:如图,作OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F,
连接OA,OC,OA=OC=13,则AE=AB=12,CF=CD=5,
∵AB∥CD,∴E,O,F三点共线, 在Rt△AOE中,OE===5,在Rt△OCF中,OF===12,当圆心O在弦AB与CD之间时,AB与CD的距离=OF+OE=12+5=17;当圆心O在弦AB与CD的外部时,AB与CD的距离=OF-OE=12-5=7.∴AB与CD的距离是17或7.
数学
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三、解答题
如图,AB是☉O的弦,CD是☉O的直径,CD⊥AB,垂足为E.如果CD=10,CE=2,求AB长.
解:如图所示,连接OA,
∵CD是☉O的直径,
CD⊥AB,CD=10,
∴AE=BE=AB,OA=OC=5,
数学
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∴OE=OC-CE=5-2=3,
在Rt△AOE中,由勾股定理,得
AE===4,
∴AB=2AE=8.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,某大桥可以近似地看作半径为250 m的圆中的一段圆弧,桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连,其正下方的路面AB长度为300 m,那么这些钢索中最长的一根为 ( )
A.60 m B.50 m C.45 m D.40 m
B
数学
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1.解析:设圆弧的圆心为O,过O作
OC⊥AB于点C,交AB于点D,
连接OA,如图所示,则OA=OD=250,
AC=BC=AB=150,
∴OC===200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
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2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若AE=1,AB=CD=6,则OE的值是 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
A
数学
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2.解析:过点O作OH⊥AB于点H,OF⊥CD于点F,连接OB,OC,如图,则DF=CF=CD=3,AH=BH=AB=3,∵AE=1,
∴EH=AH-AE=2,在Rt△OBH和Rt△OCF中,∴Rt△OBH≌Rt△OCF(HL),∴OH=OF,
∵CD⊥AB,∴∠HEF=90°,∵OHE=∠OFE=90°,
∴四边形OHEF为正方形,∴OE=EH=2.故选A.
数学
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3.如图,在☉O中,弦AB=8,点C在AB上移动,连接OC,过点C作CD⊥OC交☉O于点D,则CD的最大值是 ( )
A.2
B.4
C.6
D.8
B
数学
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3.解析:作OH⊥AB于点H,连接OA,OD,如图,∴AH=BH=AB=×8=4,∵CD⊥OC,
∴CD=,而OD为定值,OC最小时,CD最大,
∴当OC=OH时,CD的值最大,∴CD的最大值为4.故选B.
数学
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4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
=(弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,半径为5,“矢”为2,则弧田面积为 .
10
数学
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5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,且OC⊥PC,垂足为点C.弦CD垂直平分半径AO,垂足为点E,
PA=6.求:
(1)☉O的半径;
(2)弦CD的长.
数学
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解:(1)设OC=x,
∵弦CD垂直平分半径AO,
∴OE=OA=x,∵PC⊥OC,CD⊥OP,
∴∠PCO=∠CEO=90°,
∴∠P+∠COP=90°,∠ECO+∠COP=90°,
∴∠P=∠ECO,
∴△CEO∽△PCO,∴=,
∴=,解得x=6,则☉O的半径为6.
数学
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(2)由(1)得OC=6,OE=3,由勾股定理,
得CE==3,
∵CD⊥OA,∴CD=2CE=6.
数学
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6.如图,BD是☉O的直径,弦AC垂直平分OD,垂足为E.
(1)求∠DAC的度数;
(2)若AC=6,求BE的长.
数学
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解:(1)连接OA.∵AC垂直平分OD,
∴AO=AD,又∵OA=OD,
∴△OAD是等边三角形,
∴∠DAO=60°.
∵AC⊥OD,AO=AD,
∴∠DAC=∠OAC=×60°=30°.
数学
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(2)∵OD⊥AC,AC=6,∴AE=AC=3,
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
∴∠AEO=90°,OE=OD,
∴OE=OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x=.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3.
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北师大版 九年级数学下册(共38张PPT)
3.8 圆内接正多边形
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 圆内接正多边形
1.定义:顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的外接圆.
2.正多边形的中心:外接圆圆心就是它的中心。如图, 就是正六边形ABCDEF的中心.
3.正多边形的半径:外接圆的半径就是正n边形的半径.如图, 就是正六边形的半径.
圆心O
OD,OE
数学
返回目录
4.正多边形的中心角:正n边形每一边所对的圆心角叫做正n边形的中心角.如图, 就是正六边形的中心角.一个正n
边形有 个中心角,因此中心角的度数= .
5.正多边形的边心距:中心到正n边形的一边的距离叫做正n边形的 .如图, 就是正六边形的边心距.
∠DOE
n
边心距
OH
数学
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典型例题
【例1】如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,连接AC,则∠BAC的度数是 ( )
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
思路点拨:连结OB,OC得到一个中心角,根据中心角的性质计算出中心角的度数,再利用圆周角定理即可得出答案.
数学
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解析:
连接BO,CO,在正六边形ABCDEF中,∠BOC==60°,∴∠BAC=∠BOC=30°,故选D.
答案:D
数学
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对应练习
1.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接AC,则∠BAC的度数是 ( )
A.45°
B.38°
C.36°
D.30°
C
数学
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2.如图,☉O是正方形ABCD的外接圆,若☉O的半径为4,则正方形ABCD的边长为 ( )
A.4
B.8
C.2
D.4
D
数学
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名师点拨:
三种特殊的正多边形中的有关数据(其中r,R分别是正多边形内切圆半径和外接圆半径,a为正多边形的边长):
(1)等边三角形的中心角为120°,r=R;
(2)正四边形(正方形)的中心角为90°,R=r;
(3)正六边形的中心角为60°,R=a,r=R.
数学
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知识点二 利用尺规作圆内接正n边形
把圆周n等分,再顺次连结n个等分点可得到圆的内接正n边形.
数学
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典型例题
【例2】在圆O中用尺规作圆的内接正方形.
思路点拨:正方形的对角线就是圆的直径,且是互相垂直关系,所以只要画出两条互相垂直的直径,把圆上的四点依次连接起来就是圆的内接正方形.
数学
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解析:先随意画直径AC,分别以A,C为圆心,大于OA为半径画弧相交于E点,连结OE并延长交圆O于B,D两点,再依次连接ABCD,即可得到正方形ABCD.
答案:如图所示,四边形ABCD就是所求的正方形.
数学
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对应练习
3.数学课中,张老师和同学们复习回顾圆与正多边形位置关系时,马伊同学向大家分享了自己设计的一个作圆内接等边三角形的方法,方法如下:①如图,作直径AD;②作半径OD的垂直平分线,交☉O于B,C两点;③连结AB,AC,那么△ABC为所求的三角形.
张老师认可马伊同学的设计,请你顺着马伊同学的设计思路完成整个过程.
数学
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(1)用尺规在原图上作出△ABC;
(2)证明△ABC是等边三角形.
(1)解:如图所示,△ABC就是所作的等边三角形.
(2)证明:连接OB,OD,
∵BC垂直平分OD,∴BO=BD,又∵OB=OD,∴BO=BD=OD,
∴△OBD为等边三角形,∴∠D=60°,∴∠C=∠D=60°,
∵AD垂直平分BC,
∴AB=AC,又∵∠C=60°,∴△ABC为等边三角形.
数学
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名师点拨:掌握圆内接正三角形、正方形、正六边形的画法.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,已知正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的半径为2,则该正六边形的边长是 ( )
A.1
B.2
C.
D.2
B
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2.若一个正方形的周长为24,则该正方形的边心距为 ( )
A.2 B.3 C.3 D.2
B
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3.若☉O的内接正n边形的边长与☉O的半径相等,则n的值为
( )
A.4 B.5 C.6 D.7
C
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4.正八边形的中心角的度数是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.B 解析:360°÷8=45°,故选B.
B
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5.如图,△ABC内接于☉O,∠C=36°,弦AB是圆内接正多边形的一边,则该正多边形是 ( )
A.正五边形
B.正六边形
C.正十边形
D.正十二边形
A
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5.A 解析:如图,连接AO,BO, ∵∠ACB=36°,∴∠AOB=2∠C=72°,
∴360°÷72°=5,
∴AB是正五边形的一条边,故选A.
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二、填空题
1.圆内接正十边形中心角的度数为 度.
36
数学
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2.已知:如图,四边形ABCD是☉O的内接正方形,点P是劣弧上不同于点C的任意一点,则∠BPC的度数等于 .
45°
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2. 45° 解析:如图,连接OB,OC,∵四边形ABCD是☉O的内接正方形,∴∠BOC==90°,∴∠BPC=∠BOC=45°.
数学
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3.如图,A,B,C在☉O上,AB是☉O内接正六边形的一边,BC是☉O内接正十边形的一边,若AC是☉O内接正n边形的一边,则n等于
.
15
数学
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三、解答题
如图,正方形ABCD内接于☉O,P为上的一点,连接DP,CP.
(1)求∠CPD的度数;
(2)当点P为的中点时,CP是☉O的内接正n边形的一边,求n的值.
解:(1)连接OD,OC,
∵正方形ABCD内接于☉O,
∴∠DOC=90°.∴∠DPC=∠DOC=45°.
数学
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(2)连接PO,OB,
∵正方形ABCD内接于☉O,
∴∠COB=90°,
∵点P为BC的中点,
∴=,
∴∠COP=∠COB=45°,
∴n=360÷45=8.
数学
◆ 能力提升◆
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1.☉O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是 ( )
A.∶2 B.1∶1
C.1∶ D.∶
A
数学
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1. A 解析: 如图,连接CO,过点O作
OE⊥CD于点E,四边形AMNB是正方形,
☉O切AB于点C,△CFD是☉O的内接
正三角形,设圆的外切正方形的边长为a,
则CO=BC=,∠OCE=30°,∴CE=·cos 30°=,∴这个圆的内接正三角形的边长为:2EC=,∴∶a=∶2.故选A.
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2.如图所示,正方形ABCD内接于☉O,其边长为4,则☉O的内接正三角形EFG的边长为 .
2
数学
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2. 2 解析: 连接AC,OE,OF,作OM⊥EF
于点M,∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=4,∠ABC=90°,∴AC是直径,AC=4,
∴OE=OF=2,∵OM⊥EF,∴EM=MF,
∵△EFG是等边三角形,∴∠GEF=60°,在Rt△OME中, ∵OE=2,∠OEM=∠GEF=30°,∴OM=,EM=OM=,
∴EF=2.
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3.如图,☉O半径为4 cm,其内接正六边形ABCDEF,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1 cm/s速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,QE,PE,BQ.设运动时间为t(s).
(1)求证:四边形PEQB为平行四边形;
数学
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证明:∵正六边形ABCDEF内接于☉O,
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F,
∵点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1 cm/s速度沿AF,DC向终点F,C运动,∴AP=DQ=t,PF=QC=4-t,
在△ABP和△DEQ中,
∴△ABP≌△DEQ (SAS),∴BP=EQ,同理,可证得PE=QB,
∴四边形PEQB是平行四边形.
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(2)填空:
①当t= s时,四边形PBQE为菱形;
②当t= s时,四边形PBQE为矩形.
2
0或4
(2)2 0或4 解析:①当PA=PF,QC=QD时,
四边形PBEQ是菱形时,此时t=2 s.②当t=0时,∠EPF=∠PEF=30°,∴∠BPE=120°-30°=90°,∴此时四边形PBQE是矩形.当t=4时,同法可知∠BPE=90°,此时四边形PBQE是矩形.综上所述,t=0 s或4 s时,四边形PBQE是矩形.
数学
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4.如图①、图②、图③……图n,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形的ABCDE、……、正n边形ABCDE……的边AB,BC上的点,且BM=CN,连结OM,ON.
数学
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(1)求图①中∠MON的度数;
解:(1)过点O作OP⊥BC,OQ⊥AB,
∵AB=BC,∴OP=OQ,CP=QB,
∵BM=CN,∴CP-CN=QB-BM,
即QM=PN,∴△OQM≌△OPN,
∴∠MOQ=∠NOP,
∵∠POQ=120°,
∴∠MON=∠MOP+∠PON=∠MOP+∠MOQ=120°.
Q
P
数学
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(2)图②中∠MON的度数是 ,图③中∠MON的度数是
;
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
90°
72°
(3)∠MON=.
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北师大版 九年级数学下册(共65张PPT)
3.6 直线和圆的位置关系(1)
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 直线和圆的位置关系
观察图1、图2、图3,填写下表
直线和圆的位置关系 直线和圆的交点个数 (可利用交点个数判断直线与圆的位置关系) 圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系(可利用这个关系判断直线与圆的位置关系) 直线
相离 0 d r
相切 (交点称为切点) d r 切线
相交 d r 割线
1
2
>
=
<
数学
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数学
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典型例题
【例1】已知☉O的半径为4 cm,圆心O到直线l的距离为3 cm,则直线l与☉O的位置关系为 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法确定
思路点拨:利用d(圆心到该直线的距离)与半径r的关系进行判断.
解析:∵☉O的半径为4 cm,圆心O到直线l的距离为3 cm,4<3 ,∴直线和圆相离.故选C.
答案:C
数学
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对应练习
1.如图,若圆O的半径为3,点O到一条直线的距离为3.则这条直线可能是 ( )
A.l1
B.l2
C.l3
D.l4
A
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2.若直线m与☉O的公共点个数不小于1,则直线m与☉O的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相交或相切 D.相离
C
数学
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名师点拨:根据d与r的关系可以判断直线与圆的位置关系,反过来也成立,常常根据这个关系判断直线与圆的位置关系,要熟记.
数学
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知识点二 切线的性质
圆的切线 于过切点的半径.
垂直
数学
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典型例题
【例2】如图,直线l是☉O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交☉O于点C.若AB=8,OA=6,则BC的长为 ( )
A.3
B.4
C.5
D.6
数学
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思路点拨:利用圆的切线性质构建一个直角三角形,运用勾股定理即可得出答案.
解析:∵直线l是☉O的切线,A为切点,∴OA⊥AB,∴∠OAB=90°, ∵AB=8,OA=6,∴OB==10,∴BC=OB-OC=10-6=4,故选B.
答案:B
数学
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对应练习
3.如图,AB是☉O的直径,AP是☉O的切线,PB交☉O于点C,点D在☉O上,若∠ADC=40°,则∠P的度数是 ( )
A.35° B.40° C.45° D.50°
D
数学
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4.如图,AB是☉O的弦,AC是☉O的切线,A为切点,BC经过圆心.若BC=9,AC=3,则☉O的半径等于 .
4
数学
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名师点拨:
(1)已知圆的切线时,经常连接圆心与切点,得到半径,构造出直角三角形来解决问题.
(2)圆的切线垂直于过切点的半径,但是少了“过切点的”,这句话就错了.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,PA为☉O切线,连接OP,OA.若∠A=50°,则∠POA的度数为 ( )
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
B
数学
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2.如图,AD,BC是☉O的直径,点P在BC的延长线上,PA与☉O相切于点A,连接BD,若∠P=40°,则∠ADB的度数是 ( )
A.65°
B.60°
C.55°
D.50°
A
数学
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2.A 解析:∵PA与☉O相切于点A,∠P=40°, ∴∠OAP=90°,∴∠BOD=∠AOP=90°-∠P=50°, ∵OB=OD,
∴∠ADB=∠OBD=(180°-∠BOD)÷2 =(180°-50°)÷2=65°,故选A.
数学
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3.已知☉O的半径是5,直线l是☉O的切线,则点O到直线l的距离是 ( )
A.2.5 B.3 C.5 D.10
C
数学
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4.如图,已知两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的长的取值范围是 ( )
A.8≤AB≤10
B.8C.4≤AB≤5
D.4A
数学
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二、填空题
1.已知☉O的半径为10,直线AB与☉O相切,则圆心O到直线AB距离d= .
10
数学
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2.如图,PB与☉O相切于点B,OP与☉O相交于点A,若☉O的半径为2,∠P=30°,则AP的长为 .
2
数学
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3.如图,∠ACB=30°,点O是CB上的一点,且OC=6,则以4为半径的☉O与直线CA的公共点的个数为 .
2
数学
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三、解答题
如图所示,在☉O中,AB,CD是直径,BE是切线,B为切点,连接AD,BC,BD.
(1)求证:△ABD≌△CDB;
(2)若∠DBE=37°,求∠ADC的度数.
(1)证明:∵AB,CD是直径,
∴∠CBD=∠ADB=90°,AB=CD.
又∵∠A=∠C,∴△ABD≌△CDB(AAS).
数学
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(2)解:∵BE是切线,∴∠ABE=90°.
∵∠DBE=37°,∴∠ABD=53°.
∵OB=OD,∴∠ABD=∠ODB=53°.
∴∠ADC=90°-53°=37°.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,点A到直线l的距离为3,☉A的半径为2,C,P分别为☉A和l上的动点,以PC为直角边的Rt△PBC与圆A始终相切于点C,
且∠P=30°,则斜边PB的最小值为 .
数学
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2.如图,AB切☉O于点A,OB交☉O于点C,弦CD∥AB,连接AD,当四边形ABCD为平行四边形时,∠B的大小为 度.
30
数学
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3.如图,已知☉P的半径为2,圆心P在抛物线y=x2+x-上运动,当☉P与x轴相切时,则圆心P的坐标为_______________________
___________.
(-1+2,2)或(-1-2,2)
或(-1,-2)
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4.如图,AB为☉O的直径,P是BA延长线上一点,PC切☉O于点C,CG是☉O的弦,CG⊥AB,垂足为D.
(1)求证:∠PCA=∠ABC;
证明:连接OC,
∵PC切☉O于点C,∴OC⊥PC,
∴∠PCO=90°,即∠PCA+∠OCA=90°.
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,即∠ABC+∠OAC=90°,
∵OC=OA,∴∠OCA=∠OAC,∴∠PCA=∠ABC.
数学
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(2)过点A作AE∥PC交☉O于点E,交CD于点F,连接BE.若sin P=, CF=5,求BE的长.
解:∵AE∥PC,∴∠PCA=∠CAF.
∵AB⊥CG,∴=,∴∠ACF=∠ABC.
又∵由(1)得∠PCA=∠ABC,∴∠ACF=∠CAF,∴AF=CF=5.
∵AE∥PC,∴∠FAD=∠P,∴sin∠FAD=sin P=,
在Rt△AFD中,AF=5,sin∠FAD=,∴FD=3,AD=4,∴CD=CF+FD=8.
在Rt △OCD中,设OC=r,由勾股定理,得r2=(r-4)2+82,解得r=10,∴AB=2r=20. ∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°,
在Rt△ABE中,∵sin∠EAD=,∴=,∵AB=20,∴BE=12.
数学
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5.如图,AB是☉O的直径,点C是的中点,过点C的切线与AD的延长线交于点E,连接CD,AC.
(1)求证:CE⊥AE;
(2)若CD∥AB,DE=1,求☉O的半径.
(1)证明:如图,连接OC,∵CE是☉O的切线,∴OC⊥CE,
∵点C是的中点,∴=,∴∠CAB=∠CAD,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠OCA=∠CAD,∴OC∥AE,∴CE⊥AE.
数学
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(2)解:如图,连接OD,
∵CD∥AB,OC∥AE,∴四边形AOCD是平行四边形,
又∵OA=OC,∴四边形AOCD是菱形,∴AD=CD=OA,
∴OA=AD=OD,∴△AOD是等边三角形,∴∠OAD=60°,
∵CD∥AB,∴∠CDE=∠OAD=60°,
∴∠DCE=30°,∴CD=2DE=2,
∴OA=CD=2,即☉O的半径为2.
3.6 直线和圆的位置关系(2)
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 切线的判定
过半径外端且 于这条半径的直线是圆的切线.
垂直
数学
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典型例题
【例1】如图,点B在☉A上,点C在☉A外,以下条件不能判定BC是☉A切线的是 ( )
A.∠A=50°,∠C=40°
B.∠B-∠C=∠A
C.AB2+BC2=AC2
D.☉A与AC的交点是AC的中点
思路点拨:根据切线的判定(∠ABC需要为90°)分别对各个选项进行判断即可.
数学
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解析:A项,∵∠A=50°,∠C=40°,∴∠B=180°-∠A-∠C=90°, ∴BC⊥AB,∵点B在☉A上,∴AB是☉A的半径,∴BC是☉A的切线;B项,∵∠B-∠C=∠A,∴∠B=∠A+∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B=90°, ∴BC⊥AB,∵点B在☉A上,∴AB是☉A的半径,∴BC是☉A的切线;C项,∵AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形,∠B=90°,∴BC⊥AB,
∵点B在☉A上,∴AB是☉A的半径,∴BC是☉A的切线;D项,∵☉A与AC的交点是AC的中点,∴AB=AC,但不能证出∠B=90°,∴不能判定BC是☉A切线.故选D.
答案:D
数学
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对应练习
1.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点P, PD⊥AC于点D.
(1)求证:PD是☉O的切线;
(2)若∠CAB=120°,AB=6,求BC的值.
(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵OP=OB,∴∠B=∠OPB,∴∠OPB=∠C,∴OP∥AC,
∵PD⊥AC,∴OP⊥PD,∴PD是☉O的切线.
数学
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(2)解:连接AP,如图,
∵AB为直径,∴∠APB=90°,∴BP=CP,
∵∠CAB=120°,∴∠BAP=60°,
在Rt△BAP中,AB=6,∠B=30°,
∴AP=AB=3,∴BP=AP=3,
∴BC=2BP=6.
数学
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名师点拨:
(1)证明一条直线是圆的切线时,若这条直线与圆有公共点,常作的辅助线是连接该点与圆心得半径,证半径与这条直线是垂直关系;若未知这条直线与圆是否有公共点时,常过圆心作这条直线的垂线段,证明该垂线段长等于该圆的半径,即d=r.
(2)证明切线的4种情形:证明角等于90°;两条切线相交时常证明三角形全等;通过证明平行找到直角;作垂直再证明d=r.
数学
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知识点二 三角形与内切圆
1.三角形的内切圆:和三角形三边都相切的圆叫做内切圆.
2.作三角形内切圆的方法:先作两个角的角平分线,取交点为圆心O,过圆心O向一边作垂线,垂线段为内切圆的 ,根据圆心和半径即可以画出三角形的 .
3.三角形的内心:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的 ;钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的 部.
半径
内切圆
内心
内
数学
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4.三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三角形 的距离相等.(2)三角形的内心与三角形的顶点的连线平分这个角.
5.直角三角形内切圆的半径r=(a,b,c为直角三角形的两条直角边和斜边的长).
三边
数学
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典型例题
【例2】已知△ABC的内心为P,则下列说法错误的是 ( )
A.PA=PB=PC
B.P在△ABC的内部
C.P为△ABC三个内角平分线的交点
D.P到三边距离相等
思路点拨:根据三角形的内心的定义和性质即可得出答案.
解析:三角形内心到三角形三条边的距离相等,并不是到三个顶点的距离相等,故A项说法错误.故选A.
答案:A
数学
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对应练习
2.如图,点O为△ABC的内心,∠A=50°,则∠BOC的度数为( )
A.120°
B.125°
C.115°
D.130°
C
数学
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3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,☉O与△ABC的三边相切于点D,E,F,则该圆的半径为 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
A
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,以点O为圆心作圆,所得的圆与直线a相切的是 ( )
A.以OA为半径的圆
B.以OB为半径的圆
C.以OC为半径的圆
D.以OD为半径的圆
D
数学
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2.下列说法错误的是 ( )
A.三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B.一个三角形一定有唯一一个内切圆
C.一个圆一定有唯一一个外切三角形
D.等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
C
数学
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3.如图,∠APB=30°,点O在射线PA上,☉O的半径为2,当☉O与PB相切时,OP的长度为 ( )
A.3
B.4
C.2
D.2
B
数学
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4.如图,☉O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的 ( )
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
B
数学
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二、填空题
1.如图,AB为☉O的直径,圆周角∠ABC=40°,当∠BCD= 时, CD为☉O的切线.
50°
数学
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1. 50° 解析:连接OC,∵OC=OB,∴∠OCB=∠ABC=40°,∴当∠BCD=50°时,∠BCD+∠OCB=90°,即OC⊥CD,∴当∠BCD=50°时,CD为☉O的切线.故答案为50°.
数学
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2.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE= .
110°
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3.如图,A是☉O上一点,且PA=12,PB=8,OB=5,则PA与☉O的位置关系是 .
相切
数学
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3. 相切 解析:连接OA,
∵PA=12,PB=8,OB=5,∴OP=PB+OB=13,OA=OB=5,∴PA2+OA2=OP2,∴∠PAO=90°,即OA⊥PA,∴PA是☉O的切线,即PA与☉O的位置关系是相切.故答案为相切.
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三、解答题
如图,AD是☉O的弦,AB经过圆心O交☉O于点C,∠A=∠B=30°, 连接BD.
求证:BD是☉O的切线.
解:如图,连接OD,
∵OD=OA,∴∠ODA=∠DAB=30°,∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°,
∴∠ODB=180°-∠DOB-∠B=180°-60°-30°=90°,
即OD⊥BD.∴直线BD与☉O相切.
数学
◆ 能力提升◆
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1.在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,AC=3,BC=4,分别用r,r1,r2表示△ABC,△ACD,△BCD内切圆的半径,则 ( )
A.r+r1+r2= B.r+r1+r2=
C.r-r1-r2=- D.r-r1-r2=-
A
数学
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1.A 解析:∵在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高, AC=3,BC=4,∴AB=5,CD=,AD=,BD=,
∵Rt△ABC,Rt△ACD,Rt△BCD的内切圆半径分别是r,r1,r2,
∴r===1,r1==,r2==,∴r+r1+r2=,故选A.
数学
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2.如图,在△ABC中,AB=6 cm,AC=BC=5 cm,点P从点A出发沿AB方向以1 cm/s的速度做匀速运动,点D在BC上且满足∠CPD=∠A,则当运动时间t= s时,以点C为圆心,以CD为半径的圆与AB相切.
1或5
数学
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2. 1或5 解析: 作CE⊥AB于点E,
∵AB= 6 cm, AC=BC =5 cm,∴ AE=BE =3 cm,
∴ CE= =4 cm,
∵☉C与AB相切. ∴CD=CE =4 cm,∴BD=5-4 =1 cm, ∵AC=BC,∴∠A=∠B,
∵∠BPC=∠CPD+∠BPD=∠A+∠ACP,∠CPD=∠A,∴∠BPD=∠ACP,∴△PAC∽△DBP,∴=,即=,解得t1=1,t2=5,故答案为1或5.
数学
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3.如图,以线段AB为直径作☉O,CD与☉O相切于点E,交AB的延长线于点D,连接BE,过点O作OC∥BE交切线DE于点C,连接AC.
(1)求证:AC是☉O的切线;
(2)若BD=OB=4,求弦AE的长.
数学
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(1)证明:如图,连接OE,
∵CD与☉O相切,∴OE⊥CD,∴∠CEO=90°.
∵BE∥OC,∴∠AOC=∠OBE,∠COE=∠OEB.
∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,
∴∠AOC=∠COE,
在△AOC和△EOC中,
∴△AOC≌△EOC(SAS),∴∠CAO=∠CEO=90°,∴AC是☉O的切线.
数学
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(2)解:在Rt△DEO中,∵BD=OB,
∴BE=OD=OB=4,又∵OB=OE,
∴△BOE为等边三角形,∴∠ABE=60°,
∵AB为圆O的直径,∴∠AEB=90°,
∴AE=BE·tan 60°=4.
数学
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4.如图,AB为☉O的直径,点C在☉O 上,点P是直径AB上的一点,(不与A,B重合),过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q.
(1)点D在线段PQ上,且DQ=DC.求证:CD是☉O的切线;
(2)若sin∠Q=,BP=6,AP=2,求QC的长.
数学
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(1)证明:如图,连结OC.
∵DQ=DC,∴∠Q=∠QCD.
∵OC=OB,∴∠B=∠OCB.
∵QP⊥BP,∴∠QPB=90°,
即∠B+∠Q=90°,
∴∠QCD+∠OCB=90°,∴∠OCD=90°,
∴CD⊥OC,即CD是☉O的切线.
数学
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(2)解:如图,作OH⊥BC,点H为垂足,
∵BP=6,AP=2,∴AB=8,OB=AB=4.
在Rt△BQP中,sin Q===,
∴BQ=10,cos∠B=sin∠Q=,
在Rt△BHO中,cos∠B===,∴BH=,∵OH⊥BC,
∴BC=2BH=2×=,∴CQ=BQ-BC=.
H
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北师大版 九年级数学下册(共71张PPT)
3.4 圆周角和圆心角的关系(1)
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 圆周角定理
1.圆周角的定义:顶点都在 上,两边分别与圆还有另一个交点的角.
圆周角必须同时具备两个条件:(1)顶点在圆上;(2)角的两边都和圆还有另一个交点.
2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的 度数的 .
圆
圆心角
一半
数学
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典型例题
【例1】如图,点A,B,C是☉O上的点,且∠AOB=60°,则∠ACB等于 ( )
A.50°
B.40°
C.30°
D.20°
数学
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思路点拨:利用圆周角定理直接得出答案.
解析:∵∠AOB=60°,∴∠ACB=∠AOB=30°,故选C.
答案:C
数学
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对应练习
1.下列四个图中,∠x是圆周角的是 ( )
C
数学
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2.如图,点A,B,C都在☉O上,若∠ACB=60°,则∠AOB的度数是 ( )
A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
C
数学
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名师点拨:(1)圆周角定理在圆的证明中比较常用,必须熟练掌握圆周角与圆心角之间的关系.
(2)一条弧的度数等于这段弧所对的圆心角的度数.
数学
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知识点二 圆周角定理推论1
同弧或等弧所对的圆周角 .
相等
数学
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典型例题
【例2】如图,CD是☉O的弦,直径AB⊥CD,垂足为M,连结AD,AC.若∠BAD=30°,则∠CAB= ( )
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
数学
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思路点拨:利用垂径定理和圆周角定理的推论即可得出答案.
解析:∵直径AB⊥CD,∴ ,∴∠CAB=∠BAD=30°,
故选A.
答案:A
数学
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对应练习
3.如图,AB,CD都是☉O的弦,且AB⊥CD.若∠CDB=62°,则∠ACD的大小为 ( )
A.28° B.31°
C.38° D.62°
A
数学
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4.如图,A,P,B,C是圆上的四个点,∠APC=∠CPB=60°,则∠ACB= ( )
A.50° B.60°
C.70° D.80°
B
数学
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名师点拨:(1)通过“同弧或等弧”找到圆中相等的角,是圆里面比较常用的方法.
(2)一条弦所对的圆周角有两种情况:一种是角的顶点在优弧上,另一种角的顶点在劣弧上.因此一条弦所对的两个圆周角,当两个角的顶点在同弧上时两角相等,当两个角的顶点不在同弧(即一个顶点在优弧,一个顶点在劣弧)上时,这两个角互补.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,OA,OB是☉O的两条半径,点C在☉O上,若∠C=38°,则∠AOB的度数为 ( )
A.38°
B.76°
C.80°
D.60°
B
解析:∵∠AOB=2∠C,∠C=38°,∴∠AOB=76°.故选B.
数学
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2.如图,AB是☉O的直径,点C,D是圆上两点,且∠CDB=28°,则∠AOC= ( )
A.56°
B.118°
C.124°
D.152°
C
数学
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3.如图,在☉O中,∠BOC=130°,点A在 上,则∠BAC的度数为
( )
A.55° B.65°
C.75° D.130°
B
解析:∵∠BOC=130°,点A在 上,∴∠BAC=∠BOC=
×130°=65°.故选B.
BAC
数学
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4.如图,在☉O中,弦AC,BD相交于点P,连接BC,AD,若∠C=30°,则∠ADP的大小为 ( )
A.30°
B.43°
C.53°
D.77°
A
解析:∵∠C=30°,∠C,∠ADP所对弧都是 ,
∴∠ADP=∠C=30°.故选A.
AB
数学
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二、填空题
1.如图,∠C是☉O的圆周角,∠C=45°,则∠AOB的度数为
.
90°
数学
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2.如图,AC,AB是☉O的两条弦,AC∥OB,∠ABO=25°,
则∠BOC= .
50°
数学
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3.如图,AB,BC是☉O的弦,∠ABC=90°,
OD,OE分别垂直AB,BC于点D,E,
若AD=3,CE=4,则☉O的半径长为 .
5
数学
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三、解答题
如图,在☉O中, ,∠ACB=70°.分别求∠ABC和∠BOC的度数.
解:∵ ,∠ACB=70°,
∴∠ABC=∠ACB=70°,
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=40°,
∴∠BOC=2∠A=80°,
∴∠ABC的度数为70°,∠BOC的度数为80°.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,在四边形ABCD中,AC,BD是对角线,AB=AC=AD,如果∠BDC=35°,那么∠BAC= ( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
C
解析:∵AB=AC=AD,∴点B,C,D在以点A为圆心的圆上,∵∠BDC=35°,∴∠BAC=2∠BDC=70°.故选C.
数学
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2.如图所示,已知☉O的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别是∠AOB,∠COD,若∠AOB与∠COD互补,弦CD=6,则弦AB的长为
( )
A.6
B.8
C.5
D.5
B
数学
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2.解析:如图,延长AO交☉O于点E,连接BE,则∠AOB+∠BOE=180°,又∵∠AOB+∠COD=180°,
∴∠BOE=∠COD,∴BE=CD=6,∵AE为☉O的直径,∴∠ABE=90°,∴AB===8,故选B.
数学
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3.如图,AB是圆O的弦,AB=40,点C是圆O上
的一个动点,且∠ACB=45°,若点M,N分别是
AB,BC的中点,则MN的最大值是
.
40
解析:连接OA,OB,∵∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°,
∴△OAB为等腰直角三角形,∴OA=AB=×40=40.∵点M,N分别是AB,BC的中点,∴MN=AC,当AC为直径时,AC的值最大,∴MN的最大值为40.
数学
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4.如图,已知BC是☉O的一条弦,点A是☉O的优弧BC上的一个动点(点A与B,C不重合),∠BAC的平分线AP交☉O于点P.∠ABC的平分线BE交AP于点E,连接BP.
(1)求证:点P为 的中点;
(2)PE的长度是否会随点A的运动而变化 请说明理由.
数学
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(1)证明:∵∠BAC的平分线AP交☉O于点P,
即∠BAP=∠CAP,
∴ ,
∴点P为 的中点.
数学
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(2)解:PE的长度不会随点A的运动而变化.理由如下:如图,
∵BE平分∠ABC,∴∠4=∠5,
∵∠3=∠1+∠4,而∠1=∠2,∴∠3=∠5+∠2,
∵∠2=∠6,∴∠3=∠5+∠6,∴PE=PB,
∴PE的长度不会随点A的运动而变化.
数学
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5.如图,A,B,C是☉O上的三个点,∠BAC=45°,∠ABC=15°,
AD∥OC并交BC的延长线于点D,OC交AB于点E.
求证:AC2=AD·CE.
数学
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证明:连接OA,OB,
∵∠ABC与∠AOC所对的弧都为 ,
∴∠AOC=2∠ABC.又∵∠ABC=15°,
∴∠AOC=30°,又∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=(180°-30°)=75°.
同理,得∠BOC=2∠BAC=90°,
数学
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∠OBC=∠OCB=(180°-90°)=45°.
又∵OC∥AD,∴∠D=∠OCB=45°,
∴∠BAC=∠D,∠CAD=∠OCA=75°.
∴△ACE∽△DAC.
∴AC∶AD=CE∶AC,即AC2=AD·CE.
数学
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6.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作☉O,D为☉O上一点,连接AD,BD,CD,且BD=AB.
(1)求证:∠ABD=2∠BDC;
(2)若D为弧AC的中点,求tan∠BDC.
数学
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(1)证明:如图,连接OD,连接BO并延长交AD于点H,
∵OD=OA,BD=AB,OB=OB,
∴△BOA≌△BOD(SSS),
∴∠ABO=∠DBO,∴BH⊥AD,
∵以AC为直径作☉O,
∴CD⊥AD,∴CD∥BO,
∴∠BDC=∠DBO,
∴∠ABD=2∠DBO=2∠BDC.
数学
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(2)解:∵D为弧AC的中点,
∴∠AOD=∠COD=90°,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA=∠HOD=45°,
∴∠COB=∠OBC=45°,设OH=DH=a,
∴OC=OD=a,∴OB=2a,
在Rt△BDH中,tan∠DBO===,
∵∠BDC=∠DBO,
∴tan∠BDC=.
3.4 圆周角和圆心角的关系(2)
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 圆周角定理的推论2
直径所对的圆周角是 ;90°的圆周角所对的弦是
.
直角
直径
数学
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典型例题
【例1】如图,AB是☉O的直径,点C在圆上,若∠ABC=70°,则∠BAC的度数为 ( )
A.70°
B.60°
C.40°
D.20°
数学
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思路点拨:根据直径所对的圆周角就是直角,利用三角形内角和即可计算出答案.
解析:∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°,
∵∠ABC=70°,∴∠BAC=90°-70°=20°,故选D.
答案:D
数学
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1.如图,已知AB是☉O的直径,CD是弦,若∠ABD=54°,则∠BCD等于 ( )
A.27° B.34°
C.36° D.46°
C
对应练习
数学
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2.如图,☉O的直径AB=4,点C在☉O上,∠ABC=30°,则AC的长是 ( )
A.1 B.
C. D.2
D
数学
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名师点拨:如果已知条件中出现了圆的直径,通常考虑构造直径所对的圆周角,构造直角三角形,把问题转化为研究直角三角形问题.
数学
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知识点二 圆内接四边形
1.圆内接四边形:四边形的四个顶点都在同一个圆上,则四边形是圆的内接四边形,圆是四边形的外接圆.
2.推论:(1)圆内接四边形的对角互补;(2)圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角.
由此可以得到:同弦所对的圆周角 或 .
3.只有对角互补的四边形才有外接圆.有外接圆的特殊四边形是:正方形、矩形、等腰梯形.
相等
互补
数学
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典型例题
【例2】如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,其中∠A=100°,则∠C的度数为 ( )
A.130° B.100° C.80° D.50°
数学
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思路点拨:利用圆内接四边形的对角互补性质即可得出答案.
解析:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠A+∠C=180°.∵∠A=100°,∴∠C=180°-100°=80°.故选C.
答案:C
数学
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对应练习
3.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠ADC=130°,则∠AOC的度数为 ( )
A.25° B.80° C.130° D.100°
D
数学
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4.如图,圆内接四边形ABCD的外角∠ABE为85°,则∠ADC的度数为 ( )
A.85°
B.45°
C.95°
D.105°
A
数学
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名师点拨:在圆的证明中常用圆内接四边形“对角互补”和“外角等于它的内对角”的性质.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,AC是☉O的直径,B是☉O上的点,若∠ACB=60°,则∠A的度数为 ( )
A.40° B.30° C.20° D.10°
B
数学
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2.如图,AB是半圆O的直径,点C,D在半圆上,若∠D=120°,则∠B的度数是 ( )
A.60°
B.120°
C.30°
D.70°
A
数学
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3.如图,四边形ABCD内接于☉O,∠A=125°,则∠C的度数为
( )
A.45°
B.55°
C.65°
D.75°
B
数学
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4.如图,AB为☉O的直径,点C,D在☉O上.若∠CAB=30°,则∠D的度数为 ( )
A.70° B.60°
C.50° D.40°
解析:方法①:连接OC,在△AOC中,∵AO=CO,∠CAB=30°,
∴∠CAO=∠ACO=30°,∴∠AOC=120°,∵ ,∴∠D=∠AOC=60°;方法②:连接BC,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,又∵∠CAB=30°,∴∠CBA=60°,∵ ,∴∠D=∠CBA=60°,故选B.
B
AC=AC
AC=AC
数学
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5.如图,点C是以点O为圆心,AB为直径的半圆上一点,连接AC,BC,OC.若AC=4,BC=3,则sin∠BOC的值是 ( )
A.1
B.
C.
D.
B
数学
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二、填空题
1.如图,四边形ABCD内接于☉O,E为直径
AB延长线上一点,且AB∥DC,若∠A=72°,
则∠CBE的度数为 .
108°
数学
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2.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠ADC=110°,则∠AOC的度数为 .
140°
数学
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3.如图,∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角,若∠DCE=82°,那么∠BOD的度数为 .
164°
解析:∵∠DCE=82°,四边形ABCD内接于☉O,∴∠A=∠DCE=82°,
∴∠BOD=2∠A=164°.
数学
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三、解答题
如图,AB是☉O的直径,∠ACD=30°,
过点D作DE⊥AB,垂足为点E,
DE的延长线交☉O于点F,AB=8,
求∠DAB的度数和DF的长.
数学
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解:如图,连接BD,∵∠ACD=30°,
∴∠B=∠ACD=30°,
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB=90°-∠B=60°,
∵∠ADB=90°,∠B=30°,AB=8,
∴AD=AB=4,
数学
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∵∠DAB=60°,DE⊥AB,且AB是直径,
∴∠ADE=30°,DE=EF,
∴AE=AD=2,DE==2,
∴DF=2DE=4.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,Rt△ABC的斜边AC与量角器的直径重合(A点的刻度为0),将射线BF绕着点B转动,与AC交于点E,与量角器的外圆弧交于点D,点D在量角器上对应的刻度为130.若AB=AE,则∠CAB的度数为 ( )
A.70° B.65°
C.50° D.40°
C
数学
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1.解析:设圆心为O,连接OD,∵∠ABC=90°,
∴点C在以AB为直径的圆上,即点B在☉O上,
∴∠ABD=∠DOA=65°,∵AB=AE,
∴∠AEB=∠ABE=65°,
∴∠CAB=180°-2×65°=50°.故选C.
数学
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2.如图,AB为☉O的直径,C,E为☉O上的点,连接AC,BC,CE,BE,D为AB延长线上一点,连接CD,且∠BCD=∠E,AB=CD.若☉O的半径为2,则点A到CD的距离为 .
2+2
数学
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2. 解析:过A点作AH⊥CD于点H,
连接OC,如图, ∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°,∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA,
∵∠CAB=∠E,∠E=∠BCD,∴∠BCD=∠OCA,∵∠OCA+∠OCB=90°,∴∠BCD+∠OCB=90°,即∠OCD=90°,∵AB=CD=4,
OC=2,∴OD==10,∵OC∥AH,∴△DOC∽△DAH,∴=,即=,∴AH=2+2,即点A到CD的距离为2+2.
数学
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3.如图,已知☉C经过原点O,并与两坐标轴交于A,D两点,点B在☉C上,∠OBA=30°,点D的坐标为(0,6).求:
(1)点A的坐标;
(2)圆心C的坐标;
(3)☉C的面积.
数学
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解:连接AD,∵∠DOA=90°,
∴AD为直径,即点C在AD上,
由圆周角定理,得∠D=∠OBA=30°,
在Rt△OAD中,OD=6,则OA=2,
AD=4,即圆的半径为2.
(1)∵OA=2,∴点A的坐标为(2,0).
(2)点C为AD的中点,故圆心C的坐标为(,3).
(3)∵圆的半径r为2,
∴☉C的面积为S=πr2=π(2)2=12π.
数学
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4.已知:如图,△ABC内接于☉O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交☉O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连接AD.
(1)求证:∠DAC=∠DBA;
(2)求证:P是线段AF的中点;
(3)若☉O的半径为5,AF=,求tan∠ABF的值.
数学
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(1)证明:∵BD平分∠CBA,
∴∠CBD=∠DBA.
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角,
∴∠DAC=∠CBD,
∴∠DAC=∠DBA.
(2)证明:∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
又∵DE⊥AB于点E,
数学
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∴∠DEB=90°,
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°,
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP,
∴PD=PA.
又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°
且∠ADE=∠DAC,
∴∠PDF=∠PFD,∴PD=PF,
∴PA=PF,即P是线段AF的中点.
数学
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(3)解:∵∠DAF=∠DBA,∠ADB=∠FDA=90°,
∴△FDA∽△ADB,
∴=,
∴在Rt△ABD中 ,tan∠ABD====,
即tan∠ABF=.
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北师大版 九年级数学下册(共36张PPT)
3.1 圆
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 圆的定义
1.平面上到定点( )的距离等于定长( )的所有点组成的图形.
2.圆心为O,则把该圆记作☉O,读作圆O.
3.确定一个圆取决于两个因素:圆心和半径. 决定圆的位置, 决定圆的大小.
圆心
半径
圆心
半径
数学
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典型例题
【例1】下列条件中,能确定圆的是 ( )
A.以点O为圆心
B.以2 cm长为半径
C.以点O为圆心,以5 cm长为半径
D.经过已知点A
思路点拨:确定的圆心和半径才能确定圆.
数学
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解析:A项,点O为圆心,没有半径长,则不能确定圆;B项,以2 cm长为半径,圆心不确定,则不能确定圆;C项,以点O为圆心,以5 cm长为半径可确定圆;D项,经过点A,圆心和半径都不能确定,则不能确定圆.故选C.
答案:C
数学
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对应练习
1.以点A为圆心,一长为8 cm的线段为半径作圆,则可以作圆 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.不能确定
A
数学
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2.在平面内与点P的距离为1 cm的点的个数为 ( )
A.无数个 B.3个
C.2个 D.1个
A
解析:在平面内与点P的距离为1 cm的点的个数为所有到定点P的距离等于1 cm的点的集合.故选A.
数学
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名师点拨:
(1)熟记理解圆的定义,平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,因为在某些题目里会隐含有圆,需要通过圆的定义才能理解并进行解题.
(2)确定一个圆的两个要素:圆心和半径.
数学
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知识点二 与圆有关的概念
1.连接圆上任意两点的线段叫做弦,
如图线段AB.
2.经过圆心的弦叫做直径,
如图:CD;圆中最长的弦是直径.
数学
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3.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称“弧”,用符号“⌒”表示.
其中大于半圆的弧称为优弧,优弧要用三个字母来表示,如图:优弧 .小于半圆的弧称为劣弧,用两个字母来表示,如图:劣弧 .圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆,如图 .
4.能够重合的两个圆叫做等圆.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
数学
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[提醒]
1.表示弧的时候,要把弧的端点的字母写在第一位置和最后一个位置,如上面的A,D和B,D.
2.只有在同圆或等圆中才存在等弧.在判断等弧时,首先看两弧所在的圆是否为同圆或等圆,然后再看弧的长度是否相等.
数学
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典型例题
【例2】下列说法:(1)长度相等的弧是等弧;
(2)弦不包括直径;(3)劣弧一定比优弧短;
(4)直径是圆中最长的弦,其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
思路点拨:利用等弧的定义、优弧和劣弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项.
数学
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解析:(1)长度相等的弧不一定是等弧,弧的度数必须相同,故不符合题意;(2)弦包括直径,故不符合题意;(3)同圆或等圆中劣弧一定比优弧短,故不符合题意;(4)直径是圆中最长的弦,符合题意.正确的只有1个,故选A.
答案:A
数学
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对应练习
3.下列判断正确的是 ( )
A.两端点都在圆上的线段叫作直径
B.通过圆心的线段叫作直径
C.在同一圆中,两端点都在圆上的线段中,最长的是直径
D.所有圆的直径都相等
C
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4.已知AB是半径为2的圆的一条弦,则AB的长不可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.已知圆中最长的弦为6,则这个圆的半径为 .
D
3
数学
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名师点拨:
(1)直径是弦,但弦不一定是直径,且注意半径不是弦.
(2)只有在同圆或等圆中才存在等弧.在判断等弧时,首先看两弧所在的圆是否为同圆或等圆,然后再看弧的长度是否相等.
数学
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知识点三 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种,如右图所示.圆的半径为r,圆心与该点的距离为d.
(1)当A在☉O外 d r;
(2)当B在☉O上 d r;
(3)当C在☉O内 d r.
>
=
<
数学
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典型例题
【例3】若☉O的半径为6,线段OP的长度为8,则点P与圆的位置关系是 .
思路点拨:根据(点与圆心的距离)d与r的关系进行位置的确定.
解析:∵OP=8,r=6,则OP>r,∴点P在圆外.
答案:点P在圆外
数学
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对应练习
6.已知☉O的半径是5,A点为线段PO的中点,当OP=10时,点A与圆的位置关系是 ( )
A.点A在圆内 B.点A在圆外
C.点A在圆上 D.不能确定
C
数学
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名师点拨:
(1)点与圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是互相对应的,即已知位置关系即可确定其数量关系,已知数量关系也可以确定位置关系,在解题过程中常进行相互转化.
(2)在平面上任意画出一个圆,则把平面上的点分成了三类:圆上的点、圆内的点和圆外的点.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.能决定圆的位置的是 ( )
A.圆心 B.半径
C.直径 D.周长
A
数学
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2.下列说法正确的是 ( )
A.弦是直径
B.弧是半圆
C.直径是圆中最长的弦
D.半圆是圆中最长的弧
C
数学
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3.已知☉O的半径是6 cm,则☉O中最长的弦长是 ( )
A.6 cm B.12 cm
C.16 cm D.20 cm
B
数学
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4.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,若以A为圆心,4为半径作☉A.下列四个点中,在☉A外的是 ( )
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
C
数学
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二、填空题
1.过圆内一点(非圆心)有 条弦,有 条直径.
2.已知☉O的直径为8,点P到圆心的距离d.若d 时,点P在☉O外;若d 时,点P在☉O内;若d 时,点P在☉O上.
3.已知☉O内一点P到圆的最大距离为13 cm,最小距离为 5 cm,则圆的半径为 .
无数
1
>4
<4
=4
9 cm
数学
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三、解答题
在平面直角坐标系中,以原点O为圆心、5为半径作☉O,已知A,B,C三点的坐标分别为A(3,4),B(-3,-3),C(4,-).试判断A,B,C三点与☉O的位置关系.
解:∵OA==5,OB=
=3<5,OC==>5,
∴点A在☉O上,点B在☉O内,点C在☉O外.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,△ABC中,以B为圆心,BC长为半径画弧,分别交AC,AB于D,E两点,并连接BD,DE,若∠A=30°,AB=AC,则∠BDE的度数为
( )
A.45° B.52.5°
C.67.5° D.75°
C
数学
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1.解析:∵∠A=30°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)=75°,
∵以B为圆心,BC长为半径画弧,∴BE=BD=BC,
∴∠BDC=∠ACB=75°,∠BED=∠BDE,∴∠DBC=180°-∠BDC-∠ACB=30°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°,
∴∠BDE=(180°-∠ABD)=67.5°.故选C.
数学
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2.过圆O内一点P的最长的弦、最短弦的长度分别是10 cm,
8 cm,则OP= cm.
解析:如图所示,CD⊥AB于点P,根据题意,
得AB=10 cm,CD=6 cm,∵CD⊥AB,∴CP=CD=4 cm,
根据勾股定理,得OP==3 cm.故答案为3.
3
数学
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3.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,CD⊥AB于点D,DE⊥BC于点E,F为AB的中点,以D为圆心,为半径画☉D,请判断点B,E,F与☉D的位置关系.
解:∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,
∴AB=4,AC=2.
∵CD⊥AB,
∴易证△ABC∽△CBD,
数学
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∴AB×CD=AC×BC,
∴CD=,∴DB=1.
又∵易证△BCD∽△BDE,
∴BC×DE=CD×DB,∴DE=.
∵F为AB的中点,DB=1,
∴FD=1.而1>,
∴E在☉D上,B,F在☉D外.
数学
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4.已知:如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB,CD的延长线交于点E,若AB=2DE,∠C=40°,求∠E及∠AOC的度数.
解:连接OD,
∵OC=OD,∠C=40°,
∴∠ODC=∠C=40°,
∵AB=2DE,OD=AB,
∴OD=DE,
数学
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∵∠ODC是△DOE的外角,
∴∠E=∠EOD=∠ODC=20°,
∵∠AOC是△COE的外角,
∴∠AOC=∠C+∠E=40°+20°=60°.
数学
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5.如图所示,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,那么E,F,G,H是否在同一个圆上
解:E,F,G,H四点在以点O为圆心的圆上.
理由如下:如图所示,连接OE,OF,OG,OH.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD.
又∵E为边AB的中点,∴OE=AB.
数学
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同理,可得OF=BC,OG=CD,OH=DA,
∴OE=OF=OG=OH.
∴E,F,G,H四点在以点O为圆心,OE为半径的圆上.
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北师大版 九年级数学下册(共46张PPT)
3.9 弧长及扇形的面积
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 弧长计算公式
在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长计算公式为
l= .
说明:公式中n表示1°的圆心角的倍数,所以n和180都是不带单位的.
数学
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典型例题
【例1】已知扇形的圆心角为120°,半径为3 cm,则弧长为 ( )
A. cm B.2π cm C.4 cm D. cm
思路点拨:利用弧长公式直接计算出答案.
解析:∵扇形的圆心角为120°,半径为3 cm,
∴扇形的弧长计算公式l===2π cm,故选B.
答案:B
数学
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对应练习
1.如图,点A,B,C是☉O上的点,AO=3,∠C=30°,则的长是 ( )
A.π B.2π C.3π D.4π
1.A 解析:∵∠C和∠AOB都是对, ∴∠AOB=2∠C=2×30°=60°,∴的长度为=π.故选A.
A
数学
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2.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B.若OA=2,∠BPA=60°, 则劣弧AB的长为 .
π
数学
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名师点拨:在弧长公式l=中,一共涉及l,n,R三个量,知道其中任意两个都能求出第三个.
数学
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知识点二 扇形面积计算公式
1.如果扇形的半径为R,圆心角为n°,那么扇形面积计算公式为
S扇形= .
2.扇形面积的另一个计算公式:S扇形=lR(其中l为扇形的 , R为 ).
推导过程:S扇形==××R=lR
弧长
半径
数学
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典型例题
【例2】半径为6的圆中,一个扇形的圆心角为60°,则该扇形的面积为 ( )
A.6π B.3π C.2π D.π
思路点拨:利用扇形的面积公式直接计算,得出答案.
解析:S===6π.故选A.
答案:A
数学
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对应练习
3.若一个扇形的圆心角是90°,面积为π,则这个扇形的半径是 ( )
A.2 B.4 C.2π D.4π
A
数学
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4.已知扇形的弧长为π,半径为1,则该扇形的面积为 .
数学
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名师点拨:
(1)扇形的两条面积公式均可以使用,在知道弧长和半径时使用第2条公式更为简便.
(2)利用扇形的两个面积公式,在n,R,l,S扇形中,知道其中任何两个量,都能求出另外两个.
数学
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拓展知识点一 圆柱的侧面积及全面积
1.侧面积:圆柱的侧面展开图是矩形,这个矩形的长为圆柱的地面周长C,宽为圆柱的母线长l,如果圆柱的底面半径为r,则S侧面=Cl= .
2.全面积:S圆柱全=S侧面+2S圆= + .
2πrl
2πrl
2πr2
数学
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典型例题
【例3】一个圆柱的底面半径是5 dm,高是5 dm,则这个圆柱的表面积是 ( )
A.50π B.10π C.75π D.100π
思路点拨:根据圆柱的全面积公式直接计算,可得出答案.
解析:根据题意得这个圆柱的表面积=2×π×52+2π×5×5=100π(dm2).故选D.
答案:D
数学
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对应练习
5.一个圆柱体的侧面积是20π cm2,高是2 cm,则它的底面半径是 ( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
C
数学
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6.一个圆柱的底面直径是10厘米,高是4分米,则它的侧面积是 ( )
A.400平方厘米 B.12.56平方厘米
C.125.6平方厘米 D.1 256平方厘米
D
数学
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名师点拨:
(1)熟记公式对计算比较有帮助;
(2)当该圆柱体为无盖形状时,它的表面积为S圆柱全=S侧面+S底圆=2πrl+πr2.
数学
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拓展知识点二 圆锥的侧面积
如图,圆锥侧面展开图是一个扇形.
1.设侧面展开的扇形的圆心角为n°,底面周长与展开图的弧长相等,即2πr=.还可以得到n°=·360°.
数学
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2.侧面展开图扇形的面积为S侧=πrl(r为底面半径,l为母线长).
3.高h,底面半径r,母线l之间的关系:h2+r2=l2.
数学
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典型例题
【例4】
如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度),已知其母线长为10 cm,底面圆半径为3 cm,则这个冰淇淋外壳的侧面积等于
( )
A.10π cm2 B.30π cm2
C.60π cm2 D.90π cm2
数学
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思路点拨:根据圆锥侧面积公式直接代入计算,即可得出答案.
解析:S侧=πrl=π×3×10=30π,故选B.
答案:B
数学
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对应练习
7.若将半径为16 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径是 ( )
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
C
数学
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8.小新打算用一张半径为15 cm,圆心角为120°的扇形做成一个圆锥形的生日帽,则这个生日帽的高为 ( )
A.5 cm B.10 cm
C.5 cm D. cm
B
数学
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名师点拨:圆锥的侧面展开图为一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,AB是圆O的直径,CD是弦,∠BCD=30°,AB=6,则的长为 ( )
A.π
B.4π
C.2π
D.45π
1.A 解析:∵∠BCD=30°,
∴∠BOD=2∠BCD=2×30°=60°, ∴弧BD的长为=π.故选A.
A
数学
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2.一个扇形的弧长是2π,半径是4,则该扇形的圆心角的度数
( )
A.45° B.90° C.120° D.180°
2.B 解析:设圆心角为n°,则有=2π,∴n=90,∴该扇形的圆心角的度数是90°.故选B.
B
数学
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3.已知扇形的圆心角为60°,半径为6,则扇形的面积是 ( )
A.π B.3π C.6π D.36π
3.C 解析:由题意,得n=60°,R=6,故S===6π.故选C.
C
数学
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4.如图,一把扇形的纸扇完全打开后,两竹条外侧OA和OB的夹角为120°,OA长为12 cm,贴纸的部分AC长为6 cm,则贴纸部分的周长为 ( )
A.6π+12 cm
B.36π+12 cm
C.18π+12 cm
D.12π+12 cm
D
数学
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4.D 解析:∵OA的长为12 cm,贴纸部分的宽AC为6 cm. ∴OC=OA-AC=6 cm,又∵OA和OB的夹角为120°, ∴==4π cm,==8π cm,∴贴纸部分的周长为4π+8π+2×6=(12π+12) cm.
数学
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二、填空题
1.已知扇形圆心角的度数是60°,面积是2π cm2,则扇形的半径为 cm.
2
数学
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2.如图,圆柱体侧面积为24π,底面圆的半径等于3,则圆柱体的高为 .
4
数学
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3.如图,圆锥的底面半径OB=3 cm,高OC=4 cm.则这个圆锥的侧面积是 .
15π cm2
数学
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4.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,若☉O的半径为10,则的长为 .
4π
数学
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三、解答题
如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E, ∠AOC=60°,OC=2.
(1)求OE和CD的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
数学
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解:(1)∵CD⊥AB,∴∠CEO=90°,在△OCE中,
∵∠CEO=90°,∠EOC=60°,OC=2,
∴OE=OC·cos 60°=OC=1,
CE=OC·sin 60°=OC=.∵OA⊥CD,
∴CE=DE,∴CD=2.
数学
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(2)∵AB是☉O的直径,∴AB=2OC=4,
∵S△ABC=AB·CE=×4×=2,
∴S阴影=π×22-2=2π-2.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,M,N是以CD为直径的半圆周的三等分点,P是直径CD上的任意一点,若MN=5 cm,则图中阴影部分的面积为 ( )
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D. cm2
D
数学
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1.D 解析:连接OM,ON,∵M,N是以CD为直径的半圆周的三等分点,∴∠MON=60°,∴OM=ON=MN=5 cm,∵S△MNP=S△MON,∴阴影部分的面积等于扇形MON的面积,即为= cm2.故选D.
数学
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2.已知圆O是正n边形A1A2…An的外接圆,半径为18,如果弧A1A2的长为π,那么边数n为 .
36
数学
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3.如图,AB是☉O的直径,弦DE垂直平分半径OA,点C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,连接EF,EO,若DE=2,∠DPA=45°.
(1)求☉O的半径;
解:∵直径AB⊥DE,∴CE=DE=.
∵DE平分半径AO,∴CO=AO=OE.
又∵∠OCE=90°,∴∠CEO=30°.
在Rt△COE中,OE===2,
∴☉O的半径为2.
数学
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(2)求图中的阴影部分的面积.
解:如右图,连接OF.在Rt△DCP中,
∵∠DPC=45°,
∴∠D=90°-45°=45°.
∴∠EOF=2∠D=90°.
∵S扇形OEF=×π×22=π,
S△OEF=·OE·OF=×2×2=2,
∴S阴影=S扇形OEF-S△OEF=π-2.
数学
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4.如图,AB为☉O的直径,射线AD交☉O于点F,点C为的中点,过点C作CE⊥AD,垂足为E,连接AC.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)若∠BAC=30°,AB=4,求阴影部分的面积.
数学
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(1)证明:如图,连接BF,OC,
∵AB是☉O的直径,
∴∠AFB=90°,即BF⊥AD.
∵CE⊥AD,∴BF∥CE.
∵点C为劣弧BF的中点,∴OC⊥BF.
∵BF∥CE,∴OC⊥CE.
∵OC是☉O的半径,∴CE是☉O的切线.
数学
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(2)解:如图,连接OF,与AC交于点M.
∵OA=OC,∠BAC=30°,∴∠BAC=∠ACO=30°.
∴∠BOC=60°.由(1)知,OC⊥CE,
又∵AD⊥CE,∵AD∥OC.
∴∠FAM=∠OCM=30°.
∴∠FAB=∠FAM+∠BAC=60°.
又∵OA=OF,∴△AFO为等边三角形.∴AF=OF=OC.
∵∠FMA=∠OMC,∴△AFM≌△COM(AAS).
M
数学
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∴S△AFM=S△COM.∴S阴影=S扇形FOC.
∵点C为的中点,∴=,∴∠FOC=∠BOC=60°.
∵AB=4,∴FO=OC=OB=2.
∴S扇形FOC===π,
即阴影部分的面积为π.
M
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北师大版 九年级数学下册(共36张PPT)
3.2 圆的对称性
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 圆的对称性
1.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过 的直线,因此圆有 条对称轴.
2.圆是中心对称图形,对称中心为 .
圆心
无数
圆心
数学
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典型例题
【例1】下列说法中,不正确的是 ( )
A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B.圆的每一条直径都是它的对称轴
C.圆有无数条对称轴
D.圆的对称中心是它的圆心
思路点拨:圆既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴是直线,即可判断出答案.
数学
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解析:B项,圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴,故B项错误.故选B.
答案:B
数学
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对应练习
1.下列说法不正确的是 ( )
A.圆是轴对称图形
B.圆有无数条对称轴
C.所有的直径所在的直线都是圆的对称轴
D.所有的半径都是圆的对称轴
D
数学
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2.如图所示,三个圆是同心圆,图中阴影部分的面积为 .
π
数学
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名师点拨:
(1)圆关于直径成轴对称,但直径不是对称轴,而应该说直径所在的直线是圆的对称轴.
(2)圆的旋转不变性:圆绕圆心旋转任意角度都与原图形重合.
数学
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知识点二 圆心角、弧、弦的关系
1.圆心角:顶点在圆心,角的两边与圆有两个交点的角.
2.同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 相等,所对的
相等.
3.在 中,如果两个 、两条 、两条 中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
弧
弦
同圆或等圆
圆心角
弧
弦
数学
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即是:如图,若∠AOB=∠COD,则AB=CD,且 ;若AB=CD,
则∠AOB= ,且 = ;若 ,则∠AOB=
,且AB= .
∠COD
∠COD
CD
数学
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典型例题
【例2】如图,在☉O中,若点C是的中点,∠AOC=45°,则∠AOB= ( )
A.45°
B.80°
C.85°
D.90°
数学
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思路点拨:根据在同圆中,弧相等则对应的圆心角也相等,即可得出答案.
解析:∵点C是 的中点,∴ ,
∴∠AOC=∠BOC=45°,
∴∠AOB=45°+45°=90°,故选D.
答案:D
数学
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对应练习
3.如图所示的齿轮有16个齿,每两齿之间间隔相等,相邻两齿间的圆心角α的度数为 ( )
A.20°
B.22.5°
C.25°
D.30°
B
数学
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4.下列语句中,正确的有 ( )
①相等的圆心角所对的弧相等;
②等弦对等弧;
③长度相等的两条弧是等弧;
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
数学
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名师点拨:圆心角定理及其推论在圆的证明中经常会运用到,必须熟练掌握并运用.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.下列命题是真命题的是 ( )
A.相等的弦所对的弧相等
B.圆心角相等,其所对的弦相等
C.在同圆或等圆中,圆心角不相等,所对的弦不相等
D.弦相等,它所对的圆心角相等
C
数学
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2.如图,在☉O中, ,∠A=40°,则∠B的度数为 ( )
A.80°
B.70°
C.50°
D.60°
B
数学
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3.已知AB是经过圆心O的直线,P为☉O上的任意一点,则点P关于直线AB的对称点P'与☉O的位置关系是 ( )
A.点P'在☉O内 B.点P'在☉O外
C.点P'在☉O上 D.无法确定
C
解析:根据圆的对称性,AB是对称轴,所以点P'在☉O上.故选C.
数学
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二、填空题
1.☉O的弦AB等于半径,那么弦AB所对的圆心角的度数是
°.
2.如图,在☉O中,AC=BD,若∠AOC=120°,
则∠BOD= .
60
120°
数学
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3.如图,AB是直径, ,∠BOC=40°,则∠AOE的度数为 .
60°
数学
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4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=25°,
以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,
交AC于点E,则 的度数为 .
50°
数学
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三、解答题
如图,A,B,C,D是☉O上四点,且AD=CB,求证:AB=CD.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,等腰△ABC的顶角∠CAB为50°,以腰AB为直径作半圆,交BC于点D,交AC于点E,则 的度数为 ( )
A.25° B.35°
C.50° D.65°
C
解析:连结OD,OE,∵∠CAB=50°,在等腰△ABC中,∠B=(180°-50°)
÷2=65°,∵OA=OE,OB=OD,∴∠AEO=∠A=50°,则∠AOE=180°-2
×50°=80°,∠OBD=∠ODB=65°,则∠BOD=180°-2×65°=50°,
∴∠DOE=180°-∠AOE-∠BOD=50°,所以弧DE的度数为50°.故选C.
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2.如图所示,AB是☉O的直径,直线CM是AO的垂直平分线,直线DN是OB的垂直平分线,则下列结论正确的是 ( )
A
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2.解析:如图,连接AC,OC,OD,BD,∵直线CM是AO的垂直平分线,直线DN是OB的垂直平分线,∴AC=OC,BD=OD,
∵OC=OD=OA=OB,∴△AOC,△BOD是等边三角形,∴∠AOC=∠BOD=60°,∵AB是☉O的直径,
∴∠COD=60°,
∴ .故选A.
AC=CD=DB
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3.如图,在△ABC中,∠A=70°,☉O截△ABC
的三条边所得的弦长都相等,
则∠BOC= .
125°
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3.解析:∵△ABC中∠A=70°,☉O截△ABC的三条边所得的弦长相等,∴其对应的弦心距相等,即O到三角形三条边的距离相等,如图,OD=OE=OF,易证 Rt△ODB≌Rt△OEB(HL),∴∠1=∠2,同理,可证得∠3=∠4,∴∠1+∠3=(180°-∠A)=(180°-70°)=55°,
∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-55°=125°.
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4.如图,在☉O中,D,E分别是半径OA,OB的中点,C是☉O上一点,CD=CE.
(1)求证: .
(2)若∠AOB=120°,CD=2,求半径OA的长.
(1)证明:连接OC,如图1所示:
∵D,E分别是半径OA,OB的中点,OA=OB,
∴OD=OE,
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在△OCD和△OCE中,
∴△OCD≌△OCE(SSS),
∴∠COD=∠COE,∴ .
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(2)解:连接AC,如图2所示:
∵∠AOB=120°,
∴∠COD=∠COE=60°,
∵OC=OA,
∴△AOC是等边三角形,
∵D是OA的中点,∴CD⊥OA,
∴OC===4,
∴OA=4.
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5.如图所示,A,B是☉O上的两点,∠AOB=120°,C是的中点,判断四边形OACB的形状并证明你的结论.
解:四边形OACB是菱形.证明如下:
∵C是 的中点,
∴ ,∴AC=BC.
又∵∠AOB=120°,∴∠AOC=∠OCB=60°,
∴AO∥BC.∵OA=OC=OB,
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∴△AOC和△BOC都是等边三角形,
∴∠AOC=∠BOC=60°.
∵AO∥BC,又AO=BC,
∴四边形OACB是平行四边形.
∵OA=OB=AC=BC,
∴四边形OACB是菱形.
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6.如图所示,A为圆O上半圆上的一个三等分点,B是 的中点,P为直径MN上的一动点,圆O的半径为1,求AP+BP的最小值.
解:如图所示,作点B关于MN的对称点E,连接AE交MN于点P.此时PA+PB最小,且等于AE.延长AO交圆O于点C,
连接CE,OE,OB.
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∵A是半圆的三等分点,
∴∠AOM=60°.
∵B是 的中点,
∴∠BOM=∠AOM=30°.
根据圆的对称性,可得∠MOE=∠BOM=30°.
∴∠AOE=90°,∴∠CAE=45°.
又∵AC为圆的直径,
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∴∠AEC=90°,∴∠C=∠CAE=45°,
∴CE=AE=AC=,
即AP+BP的最小值是.
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北师大版 九年级数学下册