(共39张PPT)
1.1 锐角三角函数(1)
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 锐角的正切
在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A的 (tangent),记作tan A,即
tan A= = (请使用图中的线段填写).
正切
数学
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典型例题
【例1】在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,AC=2,BC=3,则tan B的值为 ( )
A. B. C. D.
思路点拨:画出直角三角形,利用正切定义即可求解.
数学
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解析:∵AC=2,BC=3,
∴tan B==,故选A.
答案:A
数学
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对应练习
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=10,BC=8,则tan A的值为 ( )
A. B. C. D.
D
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2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,垂足为D,
则tan∠BCD= .
数学
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名师点拨:
(1)正切必须在直角三角形里面使用.使用正切解题时,最好把直角三角形画出来,这样会比较方便.
(2)tan A没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比,当∠A的大小确定时,tan A就是一个定值,与边长无关.
(3)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切.
(4)若用一个字母表示的角,则可以把“∠”符号去掉,若用三个字母表示的角,则不可以把“∠”符号去掉.
数学
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知识点二 正切与梯子的倾斜程度的关系
∠A越大,则tan A的值越 ,则梯子越 .(即tan A随着∠A的增大而 )
大
陡
增大
数学
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典型例题
【例2】比较大小:tan 40° tan 70°(填“>”或“<”)
思路点拨:利用正切值随着角度的增大而增大的性质即可求解.
数学
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解析:∵tan α的值随着α的增大而增大,且40°<70°,∴tan 40°<
tan 70°,故答案为<.
答案:<
数学
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对应练习
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的,则∠A的正切值 ( )
A.缩小为原来的 B.扩大为原来的4倍
C.缩小为原来的 D.没有变化
D
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4.若∠B为锐角,且tan B
”).
<
数学
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名师点拨:
(1)∠A为锐角,则有tan A>0.
(2)tan A随着∠A的增大而增大,因此比较梯子的倾斜度,只需要比较梯子倾斜角的正切值即可.
数学
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知识点三 坡度与坡角
1.坡角:坡面与水平面的夹角叫做 (或称倾斜角),通常用字母α, β, γ等表示.
2.坡度(坡比):坡面的 铅直高度h与水平宽度l的比叫做
(或坡比),通常用i表示,i= = ,坡度通常写成i=h∶l的形式.(如右图所示)
3.坡度(i=tan α)越大,坡角越 ,坡面就越 .
坡角
坡度
tan α
大
陡
数学
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典型例题
【例3】如图,河坝的横断面AB的坡比是1∶2,
坝高BC=3米,则坡面AB的长度是 米.
思路点拨:先利用坡比求出AC,再利用勾股定理即可求解.
数学
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解析:∵河坝的横断面AB的坡比是1∶2,
∴=,∵BC=3米,∴AC=6米,
由勾股定理得:AB===3(米).
答案:3
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对应练习
5.某斜坡的坡度i=1,则它的坡角是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
B
解析:设斜坡的坡角为α,由题意,得tan α=1,则α=45°.故选B.
数学
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6.如图所示是一水库大坝的横截面的一部分,坝高h=6 m,迎水坡AB=10 m,斜坡的坡角为α,则该斜坡的坡度是 ( )
A.
B.
C.
D.
D
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名师点拨:坡度实际上就是坡角的正切值,当坡度越大时,坡面越陡.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=,那么tan B的值是 ( )
A. B. C. D.
解析:∵∠C=90°,∴tan B= = =.故选D.
D
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2.如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍,那么锐角A的正切值 ( )
A.扩大为原来的两倍 B.缩小为原来的
C.不变 D.不能确定
C
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3.如图,在平面直角坐标系中,P的坐标为(3,4),则tan α的值为
( )
A.
B.
C.
D.
A
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二、填空题
1.如图,河坝横断面迎水坡AB的坡比为1∶,坝高BC=4 m,则AB的长度为 .
4 m
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2.已知∠α,∠β如图所示,则tan ∠α与tan ∠β的大小关系是
.
tan∠α数学
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3.如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为 .
1
解析:连接BC,由网格可得AB=BC=,AC=,
即AB2+BC2=AC2,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°,则tan∠BAC=1.
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三、解答题
在Rt△ABC中,∠C=90°,tan B=,BC=2,求AB的长.
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,tan B=,
∵tan B=,BC=2,
∴=,解得AC=3,
由勾股定理,
得AB===.
数学
◆ 能力提升◆
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1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且c=3a,则tan B的值为 .
解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴b===2a,
则tan B===2.故答案为2.
2
数学
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2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,点D在边BC上,将△ABC沿AD折叠,点C恰好落在边AB上的点E处,则tan∠CAD的
值为 .
数学
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2. 解析:在Rt△ACB中,由勾股定理,可知AC2+BC2=AB2,
∴BC==4.由折叠的性质,得AE=AC=3,DE=DC,
∠AED=∠C=90°.设DE=DC=x,则BD=4-x,BE=AB-AE=2.
在Rt△BED中,BE2+DE2=BD2,∴22+x2=(4-x)2.∴x=1.5,则tan∠CAD= = = .
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3.在平面直角坐标系xOy中,已知一次函数y=kx+b的图象经过点P(1,1),与x轴交于点A,与y轴交于点B,且tan∠ABO=3,那么点A的坐标是 .
(-2,0)或(4,0)
数学
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3.解析:在Rt△AOB中,由tan∠ABO=3,
可得OA=3OB,则一次函数y=kx+b中
k=±.∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象
过点P(1,1),∴当k=时,可得b=;
当k=-时,可得b=,即一次函数的解析式为y=x+或y=-x+,令y=0,则x=-2或4,∴点A的坐标是(-2,0)或(4,0).
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4.如图,AB和CD是圆柱ABCD的两条高,现将
它过点A用尽可能大的刀切一刀,截去图中
阴影部分所示的一块立体图形,截面与CD
的交点为P,连结AP,已知该圆柱的底面
半径为2,高为6,截去部分的体积是该圆柱体积的,则,tan∠BAP的值为 .
1
数学
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4. 解析:过点P作PE⊥AB于点E,如图所示:∵截去部分的体积是该圆柱体积的,∴线段PE上面部分的体积是该圆柱体积的,∴线段PE下面部分的体积是该圆柱体积的,∴PC=DC=6×=2,
∴AE=DP=6-2=4,∵圆柱的底面半径为2,则PE=4,∴tan∠BAP= = =1.
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5.如图,高度相同的电线杆AB,CD均垂直于地面AF.某时刻电线杆AB的影子为地面上的线段AE,电线杆CD的影子为地面上的线段CF和坡面上的线段FG.已知坡面FG的坡比i=1∶0.75,且AE=6 m,CF=1 m,FG=5 m.求电线杆AB的高度.
解:延长DG交AF的延长线于点H,作GM⊥FH于点M,
∵i=1∶0.75=,
∴=,∵FG=5 米,
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∴GM=4 米,FM=3 米,
∵CF=1 米,∴CM=4 米,
∵AE=CH=6 米,∴MH=2 米,
∵GM⊥AF,DC⊥AF,
∴GM∥DC,∴=,即=,
∴CD=12 米,∴AB=CD=12 米.
答:电线杆AB的高度为12 米.
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6.如下图表示甲、乙两个楼道的阶梯.请通过计算探索下列问题:
(1)哪一个楼道的阶梯比较陡
解:(1)∵在图甲中,AB=5 m,AC=3 m,
∴BC=4 m,∴tan α==.
在图乙中,∵A'C'=3 m,B'C'=6 m,
∴tan β==,∴tan α>tan β.
∴甲楼道的阶梯比较陡.
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(2)如果每阶高不超过20 cm,那么甲楼道阶梯至少有 阶,乙楼道阶梯至少有 阶.
15
15
数学
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(3)甲楼道的阶梯铺地毯时需地毯面积为
1.5×(3+4)=10.5(m2).
乙楼道的阶梯铺地毯时需地毯面积为
1.5×(3+6)=13.5(m2).
所以甲楼道的阶梯所需地毯面积较小.
(3)如果甲、乙两个阶梯的宽都是1.5 m,在阶梯最少的情况下,在甲、乙两个阶楼上铺地毯,哪一个阶梯所需地毯面积较小 (共41张PPT)
1.5 三角函数的应用
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
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01
CONTANTS
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能力提升
02
数学
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知识点一 航海问题
1.方位角:方位角是以观察点为中心(方位角的顶点),以正北或正南为始边,旋转到观察目标的方向线所成的锐角,方位角也称象限角.方位角常写成“北偏……”“南偏……”的形式,而一般不写成“东偏……”或“西偏……”的形式.
2.南偏东45°习惯上也叫做东南方向,同理北偏西45°叫做
方向,北偏东45°叫做 方向,南偏西45°叫做 方向.
西北
东北
西南
数学
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典型例题
【例1】如图要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,点P位于点A正北方向,点C位于点A的北偏西46°,若测得PC=50米,则小河宽PA为 ( )
A.50sin 44°米
B.50cos 44°米
C.50tan 44°米
D.50tan 46°米
数学
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思路点拨:由题目知∠PAC=46°,则∠PCA=44°,已知一直角边,求另一直角边,即可判断应该使用正切函数解题.
解析:∵PA⊥PB,∴∠APC=90°,∵∠PAC=46°,∴∠PCA=90°-46°
=44°,∵PC=50米,∠PCA=44°,∴tan 44°=,∴小河宽PA=PC·tan∠PCA=50·tan 44°米.故选C.
答案:C
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对应练习
1.一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,2时后到达海岛B处.灯塔C在海岛A的北偏东43°方向上,在海岛B的北偏东86°方向上.则海岛B到灯塔C的距离是 ( )
A.15海里 B.20海里
C.30海里 D.60海里
C
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2.如图,某校教学楼在校门(图中点O处)正东方向的点B处,学生食堂在距离校门北偏东60°方向,且在教学楼的正北方向(图中点A处),经测得校门与学生食堂相距200米,那么学校校门与教学楼的距离OB是 ( )
A.100米
B.100米
C.米
D.200米
B
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名师点拨:方位角一定要分清楚以哪个点为中心,不同的中心方位角就会不同.
数学
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知识点二 三角函数的应用
解题步骤:
(1)先审题,分清已知条件,找出未知量,弄清它们的联系.
(2)其次添加辅助线,构造出直角三角形,构造的直角三角形必须把已知的特殊角或边的量含在其中.
(3)选用合适的三角函数进行解题,可能直接求,也可能要列方程.
(4)看题目是否要精确答案.
(5)作答.
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典型例题
【例2】如图所示,一艘轮船在近海处由西向东航行,点C处有一灯塔,灯塔附近30海里的圆形区域内有暗礁,轮船在A处测得灯塔在北偏东60°方向上,轮船又由A向东航行40海里到B处,测得灯塔在北偏东30°方向上.
(1)求轮船在B处时到灯塔C处
的距离是多少
(2)若轮船继续向东航行,有无触礁危险
数学
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思路点拨: (1)利用三角形内角和定理求出∠ACB,利用等腰三角形的判定定理解答;
(2)作CE⊥AB交AB的延长线于点E,通过正弦函数求出CE,把CE与30进行比较得到答案.
解:(1)由题意得,∠CAB=30°,∠ABC=120°,
∴∠ACB=180°-30°-120°=30°,
∴∠ACB=∠CAB,
∴BC=AB=40海里;
数学
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(2)如图,作CE⊥AB交AB的延长线于点E,
在Rt△CBE中,sin∠CBE=,
∴CE=BC·sin∠CBE=40×=20,
∵20>30,
∴轮船继续向东航行,无触礁危险.
数学
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对应练习
3.喜迎二十大,“龙舟故里”赛龙舟,小亮在龙舟竞渡中心广场点P处观看400米直道竞速赛,如图所示,赛道AB为东西方向,赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上,终点B位于点P的北偏东60°方向上,AB=400米,求点P到赛道AB的距离 (结果保留整数,参考数据:≈1.732)
数学
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解:过点P作PC⊥AB,垂足为C,设PC=x米,
在Rt△APC中,∠APC=30°,
∴AC=PC·tan 30°=x米,
在Rt△CBP中,
∠CPB=60°,
∴BC=PC·tan 60°=x米,
∵AB=400米,
数学
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∴x+x=400,
∴x=100≈173,
∴PC=173米,
∴点P到赛道AB的距离约为173米.
数学
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名师点拨:
(1)根据问题找到要求解的直角三角形,当没有现成的直角三角形时,适当添加辅助线构造(或分割)直角三角形.
(2)有些问题中有两个(或两个以上)直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑在两个(或两个以上)直角三角形中找出含有相同的未知元素(常以公共边为桥梁)的关系式,运用方程求解.
(3)要留意题目后面对答案的要求(保留小数、根号、整数).
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,要得到从点D观测点A的俯角,可以测量 ( )
A.∠ADC
B.∠DCE
C.∠ADB
D.∠DAB
D
数学
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2.如图,一辆自行车竖直摆放在水平地面上,下边是它的部分示意图,现测得∠A=88°,∠C=42°,AB=60,则点A到BC的距离为
( )
A.60sin 50°
B.
C.60cos 50°
D.60tan 50°
A
数学
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2. 解析:如图所示,过点A作AD⊥BC于点D.
∵∠BAC=88°,∠C=42°,∴∠B=180°-88°-42°=50°,
在Rt△ABD中,AD=AB×sin B=60×sin 50°,
∴点A到BC的距离为60sin 50°,A项正确.故选A.
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3.如图, 学校在小明家北偏西30°方向,且距小明家6千米,那么学校所在位置A点坐标为 ( )
A.(3,3) B.(-3,-3)
C.(3,-3) D.(-3,3)
D
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二、填空题
1.如图所示,C岛在A岛的北偏东60°方向,在B岛的北偏西45°方向,则从C点看A,B两岛的视角∠ACB= .
105°
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2.如图,海面上B,C两岛分别位于A岛的正东和正北方向,A岛与C岛之间的距离约为36海里,B岛在C岛的南偏东45°,A,B两岛之间的距离约为 海里.
36
数学
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3.一配电房示意图如图所示,它是一个
轴对称图形,已知BC=6 m,房顶A离
地面EF的高度为6 m,则tan∠ABC的值为 .
解析:过点A作AD⊥BC于点D,如图,
∵它是一个轴对称图形,∴AB=AC,
∵AD⊥BC,∴BD=BC=3 m,AD=6-4=2 m,
∴tan∠ABC==.
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三、解答题
如图,灯塔A在港口O的北偏东60°方向上,且与港口的距离为80海里,一艘船上午9时从港口O出发向正东方向航行,上午11时到达B处,看到灯塔A在它的正北方向.试求这艘船航行的速度.(结果保留根号)
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解:由题意,得∠ABO=90°,
∠AOB=90-°60°=30°,
OA=80海里,
∴AB=OA=40海里,
OB==40 海里,
∴这艘船航行的速度为40÷(11-9)=20(海里/时).
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图所示,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为4 m.如果在坡度为0.75的山坡上种树,也要求株距为4 m,那么相邻两树间的坡面距离为 ( )
A.5 m
B.6 m
C.7 m
D.8 m
A
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2.如图是高铁站自动检票口的双翼闸机,检票后双翼收起,通过闸机的物体的最大宽度为70 cm,检票前双翼展开呈扇形CAP和扇形DBQ,若AC=BD=55 cm,∠PCA=∠BDQ=30°,则A,B之间的距离为 cm.
15
数学
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2. 解析:如图,连接AB,CD.过点A作AE⊥CD于E,
过点B作BF⊥CD于F.则CD=70 cm,
四边形AEFB是矩形,∴EF=AB,∵AE∥PC,
∴∠PCA=∠CAE=30°,
∴CE=AC·sin 30°=55×= cm,
同理,可得DF= cm,
∴AB=EF=CD-CE-DF=70--=15 cm.
数学
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3.如图,在一笔直的沿湖道路l上有A,B两个游船码头,观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向,在码头B北偏西45°的方向,AC=4 km,游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B,设开往码头A,B的游船速度分别为v1,v2,若回到A,B所用时间相等,则v1∶v2= .
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3. 解析:如图所示,过点C作CD⊥AB于点D,
∵AC=4,∠CAB=90°-60°=30°,
∴CD=AC=2,在Rt△CBD中,∠CBD=45°,
∴BC=CD=2,
∵设开往码头A,B的游船速度分别为v1,v2,回到A,B所用时间相等,
∴v1∶v2===.
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4.如图,在小山的东侧点A处有一个热气球,由于受西风的影响,以每分30米的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25分后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧点B处 的俯角为30°,则小山东西两侧A,B两点间的距离为 米.
750
数学
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5.如图,直线l表示城市高架快速路,为了解快速路对周边居民的噪声影响,勘测师在快速路直线l上的A处测得小区B在A的南偏西45°方向距离A为80米,小区C在A的北偏西60°方向距离A为60米.
(1)分别求小区B,C到快速路(直线l)的距离;
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(2)居住场所与快速路的距离不大于50米时,居民的生活将受到影响,相关部门准备对受到影响的路段加装隔音墙,若每米隔音墙的单价为300元/米,请你判断小区B和C是否受影响 如果有影响,计算安装隔音墙所需费用.(参考数据:≈1.73,≈1.41,结果保留整数)
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解:(1)如图,过点C作CM⊥l于点M,过点B作BN⊥l于点N,
则∠BNA=∠AMC=90°,
由题意,得∠CAM=30°,
∠BAN=45°,AC=60米,AB=80米,
∴CM=AC=30米,BN=AB=40 米,
∴小区B,C到快速路(直线l)的距离分别为40米,30米.
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(2)∵小区B,C到快速路(直线l)的距离分别为40米,30米,
∴小区B不受影响,小区C受影响,
如图,设在直线l上从G到H处受影响,
则CG=HC=50米,∵CM=30米,
∴GM=HM===40米,
∴GH=2×40=80米,
∴安装隔音墙需要费用为80×300=24 000元.
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6.南海诸岛自古以来都是中国的领土,2018年4月12日,中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵,军委主席习近平登上长沙舰检阅海军舰艇编队,包括辽宁号航母在内的48艘舰艇参加了阅兵仪式.如图,A,B是两处海港,其中A在B南偏东60°方向30千米处,辽宁号航母从海港A出发,沿北偏东45°方向,以15千米/时的速度匀速航行,两时后,长沙舰从海港B出发,沿北偏东75°的方向匀速航行,两舰恰好同时到达阅兵地点C.
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(1)长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了多少时间
(2)求长沙舰的航行速度.(结果保留根号)
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解:(1)由题意,得AB=30千米,
∠ABC=30°+15°=45°,
∠BAC=(90°-30°)+45°=105°,
∴∠C=180°-45°-105°=30°,
过点A作AD⊥BC,垂足为D,
在Rt△ABD中,
AD=BD=×30=30千米,
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在Rt△ADC中,∠C=30°,
∴AC=2AD=60千米,
CD==30 千米,
∴BC=(30+30)千米,
∴辽宁号航母从A到C的时间为60÷15=4(时),
则长沙舰从B到C所用时间为4-2=2(时),
∴长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了2时.
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(2)长沙舰的速度为(30+30)÷2=(15+15)千米/时,
答:长沙舰的航行速度为(15+15)千米/时.
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北师大版 九年级数学下册(共30张PPT)
1.2 30°,45°,60°角的
三角函数值
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
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01
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能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点 特殊角的三角函数值
1.特殊直角三角形.
数学
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2.根据上图,根据定义可以推导30°, 45°, 60°这三个角的三角函数值,填写下表:
1
数学
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拓展延伸
锐角三角函数之间的关系,如图所示,
在Rt△ABC中,∠C=90°,sin2α+cos2α=+==1;
===tan α,所以,平方关系:sin2α+cos2α=1.商数关系:tan α=.
数学
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典型例题
【例】已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则tan B的值为
( )
A. B.1 C. D.2
思路点拨:根据直角三角形两个锐角互余性质,求得∠B,再根据特殊角的函数值,即可得出答案.
数学
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解析:∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°,tan B=,故选C.
答案:C
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对应练习
1.sin 45°的值为 ( )
A. B. C.1 D.
2.已知α为锐角,cos α=,则α的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.无法确定
A
A
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3.tan 60°的值等于 ( )
A.1 B. C.3 D.
C
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名师点拨:
(1)特殊角的三角函数值比较重要,要熟记.
(2)增减规律记忆特殊角的三角函数值.
①sin α的值随锐角α的增大而增大,30°, 45°, 60°角的正弦值依次为, , ;
②cos α的值随锐角α的增大而减小,30°, 45°, 60°角的余弦值依次为, , ;
数学
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③tan α的值随锐角α的增大而增大,30°, 45°, 60°角的正切值依次为, 1, .
(3)在运用特殊角的三角函数值进行计算或解决其他问题时,若题目中没有特别要求,一般不取近似值,即保留根号.
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◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.cos 30°的值等于 ( )
A. B.1 C. D.
2.与2sin 30°的结果相同的是 ( )
A.1-sin 30° B.sin 45°
C.tan 60° D.cos2 45°
C
B
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3.方程tan α=1,则锐角α= ( )
A.30° B.45°
C.60° D.无法确定
B
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二、填空题
1.已知sin 35°=0.573 6,则cos 55°= .
2.在△ABC中,若+=0,则△ABC是
三角形.
0.573 6
等边
2. 解析:∵+=0,∴sin A=,cos B=,
∴∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.故答案为等边.
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3.若∠A是锐角,且sin A=,则tan A的值为 .
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三、解答题
1.计算:
(1) sin 60°·cos 30°-;
解:原式=×-
=-
=.
(2) |-3|+2cos 30°--.
解:原式=3+2×-3-2
=3+-3-2
=-.
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2.如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内滑梯的倾斜度由45°降为30°,已知原滑梯AB的长为5米,点D,B,C在同一水平地面上.求改善后滑梯会加长多少米.(结果精确到0.01米.参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.449)
解:在Rt△ABC中,
∵AB=5米,∠ABC=45°,
∴AC=AB×sin 45°=5×= 米.
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在Rt△ADC中,∠ADC=30°,
∴AD==÷=5 米,
∴AD-AB=5-5≈5×1.414-5=2.07(米).
∴改善后滑梯会加长约2.07米.
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◆ 能力提升◆
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1.若∠A是锐角,且sin A=,则 ( )
A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45°
C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°
A
解析:∵0<<,即sin 0°数学
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2.若α为锐角,且sin α+cos α=,则sin α·cos α= .
解析:∵sin α+cos α=,
∴(sin α+cos α)2=,则sin2α+cos2α+2sin α·cos α=,
∴1+2sin α·cos α=,∴2sin α·cos α=,
∴sin α·cos α=.
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3.如右图所示,直线l经过点A(1,0),且与x轴正方向的夹角为30°,则直
线l的表达式为 .
y=x-
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4.直角三角形ABC中,∠C=90°且tan B=2tan A-1,则∠B= .
45°
解析:在直角三角形ABC中,∠C=90°,则tan B=,tan A=,
∴=2×-1,整理,得2a2-ab-b2=0,(2a+b)(a-b)=0,
解得a=b,∴∠B=45°.
数学
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5. sin21°+sin22°+sin23°+…+sin287°+sin288°+sin289°.
解:原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)
+sin245°
=1+1+…+1+0.5
=44.5.
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6.化简下列各式:
(1);
解:原式=
=
=|sin 70°-cos 70°|
=sin 70°-cos 70°.
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(2)-1.
解:原式=-1
=-1
=1+tan2θ-1
=tan2θ.
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7.对于钝角α,定义它的三角函数值如下:sin α=sin(180°-α),
cos α=-cos(180°-α).
(1)求sin 120°,cos 120°,sin 150°的值;
(2)若一个三角形的三个内角的度数比是1∶1∶4,A,B是这个三角形的两个顶点,sin A,cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A和∠B的大小.
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解:(1)由题意,得sin 120°=sin(180°-120°)=sin 60°=,
cos 120°=-cos(180°-120°)=-cos 60°=-,
sin 150°=sin(180°-150°)=sin 30°=.
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(2)∵三角形的三个内角的度数比是1∶1∶4,
∴三个内角分别为30°,30°,120°,
①当∠A=30°,∠B=120°时,方程的两根为,-,将代入方程,得4×-m×-1=0,
解得m=0,经检验-是方程4x2-1=0的根,
∴m=0符合题意;
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②当∠A=120°,∠B=30°时,两根为,,不符合题意;
③当∠A=30°,∠B=30°时,两根为,,
将代入方程,得4×-m×-1=0,
解得m=0, 经检验不是方程4x2-1=0的根.
综上所述m=0,∠A=30°,∠B=120°.
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北师大版 九年级数学下册(共33张PPT)
1.3 三角函数的计算
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 用计算器求锐角三角函数值和求解几何问题
1.在计算器面板上涉及三角函数的键有 , , .当我们要计算整数度数的某个三角函数值时,可先按这三个键之一,再从高位到低位按出表示度数的整数,然后按键 ,就可以在显示屏上显示结果.
数学
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2.利用计算器由锐角三角函数值求锐角时,具体过程如下:
①按 键;②键入题目中的函数名称,即按下 或 或
键;③键入已知三角形函数值;④键入 得到相应角度.
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典型例题
【例1】用计算器求tan 72°54'34″的值(结果精确到0.001).
思路点拨:根据计算器的使用说明书,正确地按键计算即可.
解:依次按键 ,显示在屏幕上的答案为3.252 458 337≈3.252.
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【例2】已知tan A=0.85,用计算器求∠A的大小,下列按键顺序正确的是 ( )
数学
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思路点拨:直接根据计算器功能键判断.
解析:根据计算器功能键,先按反三角SHIFT,再按正切值.故选A.
答案:A
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对应练习
1.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin 36°18',按键顺序正确的是 ( )
D
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2.已知sin A=0.981 6,运用科学计算器求锐角A时(在开机状态下),按下的第一个键是 ( )
B
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3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=42°,BC=8,若用科学计算器求AC的长,则下列按键顺序正确的是 ( )
C
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名师点拨:不同计算器的按键方式可能不同.用计算器求锐角的三角函数值时,如果没有特别说明,计算结果一般精确到万分位.利用三角函数值求锐角的度数时,要根据已知条件选择合适的三角函数.
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知识点二 利用三角函数解决仰角(俯角)问题
名称 定义 图示
仰角 当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角
俯角 当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角
数学
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典型例题
【例3】
如图,小东在教学楼距地面9 m高的窗口C处,
测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°,
旗杆底部B点的俯角为45°.升旗时,国旗上端悬挂在距地面1.95 m处,若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放46 s结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多大的速度匀速上升 (参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
数学
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思路点拨:紧扣仰角、俯角的概念,利用仰角、俯角的三角函数值解决实际问题.
数学
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解:如图,作CD⊥AB于点D,在Rt△BCD中,BD=9 m,∠BCD=45°,则BD=CD=9 m.在Rt△ACD中,CD=9 m,∠ACD=37°,
则AD=CD·tan37°≈9×0.75=6.75 m.
∴AB=AD+BD≈15.75 m.
∵国旗上升的高度是15.75-1.95=13.8(m),整个过程耗时46 s,
∴国旗的上升速度==0.3(m/s).
则国旗应以0.3 m/s的速度匀速上升.
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对应练习
4.新冠肺炎疫情期间,我国各地采取了多种方式进行预防.其中,某地运用无人机规劝居民回家.如图,无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°,测得该建筑底部C处的俯角为17°.若无人机的飞行高度AD为10 m,求该建筑BC的高度(结果取整数).(参考数据:sin 17°≈0.29,cos 17°≈0.96,tan 17°≈0.31)
数学
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解:作AE⊥BC于点E,则四边形ADCE为矩形,
∴EC=AD=10 m,
在Rt△AEC中,tan∠EAC=,
则AE=≈≈32 m,
在Rt△AEB中,
∠BAE=45°,
∴BE=AE=32 m,
∴BC=10+32=42 m.
则该建筑BC的高度为42 m.
数学
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名师点拨:处理仰角、俯角问题的出发点:(1)要从背景图中提炼相关信息,把仰角或俯角转化到示意图中;(2)添加水平线或铅垂线构造直角三角形;(3)灵活选择边角关系来体现已知和所求之间的关系.
数学
◆ 基础巩固◆
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1.计算器的按键顺序是 实际上它是求一个角的正弦值,则这个角的度数为 ( )
A.75°38'25″ B.25°38'57″
C.38°25'75″ D.57°25'38″
A
数学
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2.如图,已知点A点B是同一幢楼上的两个不同位置,从A点观测标志物C的俯角是65°,从B点观测标志物C的俯角是35°,则∠ACB的度数为 ( )
A.25°
B.30°
C.35°
D.65°
B
数学
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3.已知sin A=0.1782,则锐角A的度数大约为 ( )
A.8° B.9° C.10° D.12°
C
数学
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二、填空题
1.如图,从点C测得树的顶端的仰角为33°, BC=20米,则树高
AB≈ 米.(用计算器计算,结果精确到0.1米)
13.0
数学
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2.将sin 20°,cos 20°,cos 40°,cos 80°的值由小到大的顺序排列
.
cos 80°数学
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3.如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A,B在同一水平面上).为了测量A,B两地之间的距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升900米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则
A,B两地之间的距离为 米.
数学
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三、解答题
如图,从一栋两层楼的楼顶A处看对面的教学楼CD,测得教学楼底部点C处的俯角是45°,测得此大楼楼顶D处的仰角为60°,已知两栋楼的水平距离为8米.求该大楼CD的高度(结果保留根号).
数学
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解:由题意,得AB⊥DC,在点A处的俯角为45°,
∴∠BAC=45°.∵AB=8米,
∴BC=8米.
在Rt△ABD中,∠BAD=60°,
∴BD=AB tan∠BAD=AB tan 60°=8 米,
∴CD=CB+BD=(8+8) 米.
∴大楼CD的高度为(8+8) 米.
数学
◆ 能力提升◆
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1.已知:α为锐角,且=1,则tan α的值等于 ( )
A.-1 B.2 C.3 D.2.5
D
解析:∵ =1,∴5sin α-3cos α=3sin α+2cos α,
∴2sin α=5cos α,∴ = ,∵tan α= ,∴tan α=.故选D.
数学
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2.化简:-2= .
0
数学
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3.如图所示是一辆自行车的侧面示意图.已知车轮直径均为65 cm,车架中AC的长为42 cm,座杆AE的长为18 cm,点E,A,C在同一条直线上,后轴轴心B与中轴轴心C所在直线BC与地面平行,∠ACB=73°,求车座E到地面的距离EF.(结果精确到1 cm.参考数据:sin 73°≈0.96,cos 73°≈0.29,tan 73°≈3.27)
数学
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解:∵点E,A,C在同一条直线上,AE=18 cm,AC= 42 cm,
∴CE=AE+AC=18+42=60(cm).
在Rt△EDC中,∠EDC=90°,
∵sin∠ACB=,
∴DE=CE sin∠ACB=60 sin 73°≈57.6 cm.
∵DF= 65=32.5 cm,
∴EF=DE+DF≈57.6+32.5≈90 cm.
故车座E到地面的距离EF约为90 cm.
数学
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4.如图所示,某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度.他们借助一个高度为30 m的建筑物CD进行测量,在点C处测得塔顶B的仰角为45°,在点E处测得B的仰角为37°(B,D,E三点在一条直线上).求电视塔的高度h.(参考数据:sin37°≈0.60,cos 37°≈0.80,
tan 37°≈0.75)
数学
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解:在Rt△ECD中,tan∠DEC=,
∴EC=≈=40 m.
在Rt△BAC中,∠BCA=45°,∴CA=BA=h.
在Rt△BAE中,tan∠BEA=,
∴≈0.75.
∴h≈120 m.
∴电视塔的高度h约为120 m.
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北师大版 九年级数学下册(共26张PPT)
1.4 解直角三角形
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点 解直角三角形的概念及基本类型
1.概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做 .
[注意]在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即 条边和2个 .
2.解直角三角形的两种基本类型:①已知两 ;②已知一锐角和 .
[注意]已知两锐角不能解直角三角形.
解直角三角形
3
锐角
边长
一边
数学
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典型例题
【例】在Rt△ABC中,∠C=90°.根据下列条件求出直角三角形的其他元素.
(1)c=40,∠A=60°;
(2)a=4,b=12.
数学
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思路点拨:(1)已知一个锐角和斜边,利用锐角互余可以求另一个锐角,再利用三角函数关系求得直角边的边长即可解直角三角形.
(2)已知两直角边,利用正切关系可以求得两个锐角,再利用锐角正弦值或者勾股定理可以求得斜边.
数学
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解:(1)∠B=90°-∠A=90°-60°=30°;
∵sin B=,∴b=40·sin 30°=40×=20;
∵sin A=,
∴a=40·sin 60°=40×=20,
即∠B=30°,a=20,b=20;
数学
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(2)∵tan A===,∴∠A=30°,
∴∠B=90°-∠A=60°,
∵sin A=,∴c==8,
即∠A=30°,∠B=60°,c=8.
数学
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对应练习
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,已知a=,c=2,解这个直角三角形.
解:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,a=,c=2,
∴b===.
∵sin A==,
∴∠A=30°.
∴∠B=90°-30°=60°.
数学
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2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,c=10,解这个直角三角形.
解:∵∠C=90°,∠B=45°,
∴∠A=90°-45°=45°,
∴BC=AC,
∵sin A=,
∴BC=10·sin 45°=5,
∴AC=5.
数学
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名师点拨:
(1)已知两锐角不能解直角三角形.
(2)解直角三角形的方法:“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜用切(正切),宁乘毋除,取原避中.”这句话的意思是:当已知或求解中有斜边时,就用正弦或余弦,无斜边时,就用正切;当所求的元素既可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法;既可以由已知数据又可由中间数据求解时,则用已知数据,尽量避免用中间数据.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.在Rt△ABC中,有下列情况,则直角三角形可解的是 ( )
A.已知BC=6,∠C=90°
B.已知∠C=90°,∠A=60°,BC=5
C.已知∠C=90°,∠A=∠B
D.已知∠C=∠B=45°
B
数学
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2.如图,在平面直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(3,m),且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是,则m的值为 ( )
A.5 B.4
C.3 D.
B
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3.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°.若sin A=,BC=4,则AB的长为
( )
A.2 B.2
C.2 D.6
D
解析:∵sin A=,BC=4,∴sin A=,∴=,解得AB=6.故选D.
数学
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二、填空题
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=2,则∠A= ,
AB= .
解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,
∴∠A=30°,
∵BC=2,∴AB=2BC=4.故答案为:30°, 4.
30°
4
数学
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2.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=5,AC=6,
则sin A= .
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,
(1)已知:b=,c=2,则∠A= ,∠B= ,a= ;
(2)已知:sin B=,c=10,则a= ,b= .
45°
45°
6
8
数学
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三、解答题
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且∠A=30°,b=,解这个直角三角形.
解:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠B=60°,∵cos A===,∴c=2,
∴a==1.∴∠B=60°,c=2,a=1.
数学
◆ 能力提升◆
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1.已知在△ABC中,∠A=60°,AB=1+,AC=2,则∠C= ( )
A.45° B.75° C.90° D.105°
B
解析:过点C作CD⊥AB,垂足为D,
在Rt△ACD中,∵∠A=60°,
∴∠ACD=30°.∵sin A=,cos A=,
∴CD=sin 60°×2=,AD=cos 60°×2=1.
∴BD=AB-AD=1+-1=.
在Rt△BCD中,∵CD=BD,∴∠BCD=45°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=75°.故选B.
数学
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2.如图,在△ABC中,∠BAC>90°,BC=4,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°,点B的对应点B'落在BA的延长线上,若sin∠B'AC=0.8,则AC= .
5
数学
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2. 解析:作CD⊥BB'于点D,如图,∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°,点B对应点B'落在BA的延长线上,∴BC=B'C=4,
∠BCB'=90°,∴△BCB'为等腰直角三角形,
∴BB'=BC=8,∴CD=BB'=4,在Rt△ACD中,
∵sin∠DAC==0.8,∴AC==5.
数学
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3.如图所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,BD⊥DC,
AD=16 cm,tan C=,求梯形ABCD的周长.
解:∵AB⊥AD,BD⊥DC,
∴∠ABD+∠ADB=∠CBD+∠C=90°.
又∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∴∠ABD=∠C,
数学
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∴tan∠ABD=tan C===,
∴AB=12 cm.由勾股定理,得BD=20 cm.
∵tan C===,∴DC=15 cm.
由勾股定理,可知BC=25 cm.
∴梯形ABCD的周长为16+12+15+25=68 cm.
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4.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=2,DC=BC=4.
(1)求:sin∠ADC的值.
(2)E是四边形内一点,F是四边形外一点,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,试判断△ECF的形状.
(3)在(2)的条件下,当BE∶CE=1∶2,∠BEC=135°时,求sin∠BFE的值.
数学
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解:(1)如图,过点A作AM⊥DC于点M,
∴∠BCD=90°,AM⊥CD,
∴AM∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCM是平行四边形,且∠BCD=90°,
∴四边形ABCM是矩形,
∴AM=CB=4,AB=CM=2,
∴DM=2,∴AD==2,
∴sin∠ADC===.
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(2)△ECF是等腰直角三角形,理由如下:
∵∠EDC=∠FBC,DE=BF,BC=DC,
∴△CDE≌△CBF(SAS),
∴∠DCE=∠BCF,CE=CF,
∴∠DCE+∠ECB=∠BCF+∠BCE,
∴∠DCB=∠ECF=90°,且CE=CF,
∴△ECF是等腰直角三角形.
数学
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(3)设BE=k,则CE=CF=2k,∴EF=2k,
∵∠BEC=135°,又∠CEF=45°,∴∠BEF=90°,
∴BF==3k,
∴sin∠BFE==.
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北师大版 九年级数学下册(共37张PPT)
1.6 利用三角函数测高
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
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知识点一 测倾器的认识和使用
1.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成,测倾器可以用来测量倾斜角——即仰角和俯角.
2.测倾器测量依据是:测仰角时依据“同角的余角相等”;测俯角时利用“对顶角相等”和“同角的余角相等”.
数学
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典型例题
【例1】小艺同学在数学实践活动中测量树的高度,如图,她站在A处看树顶端B的仰角为35°,眼睛到地面的距离CA为1.6米,点A到树的距离AD为7米,则树的高BD为(已知sin 35°≈0.6, cos 35°≈0.8, tan 35°≈0.7) ( )
A.4.9米 B.5.8米
C.6.5米 D.7.2米
数学
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思路点拨:过C作CE⊥BD于点E,CE=AD=7米,在Rt△CBE中根据三角函数的定义即可得BE,但要记得加上DE(即AC).
解析:过C作CE⊥BD于点E,则DE=AC=1.6米,CE=AD=7米,在Rt△BCE中,tan∠BCE=tan 35°==≈0.7,
∴BE=4.9米,∴BD=DE+BE=4.9+1.6=6.5米.故选C.
答案:C
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对应练习
1.如图,为测量某建筑物的高度AB,在离该建筑物底部24米的点C处,目测建筑物顶端A处,视线与水平线夹角∠ADE为39°,目高CD为1.5米,求建筑物的高度.(结果精确到0.1米)(参考数据:sin 39°=0.63, cos 39°=0.78, tan 39°=0.81)
数学
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解:由题意,知四边形BCDE为矩形,
∴DE=BC=24 m,CD=BE=1.5 m,
在Rt△ADE中,∵∠ADE=39°,
∴tan∠ADE==tan 39°==0.81,
∴AE=24×0.81=19.44 m,
∴AB=AE+EB=19.44+1.5≈20.9 m.
∴建筑物的高度AB约为20.9 m.
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名师点拨:
测量底部可以到达的物体高度时要注意以下几点:
(1)测量时,测倾器的支架必须与水平面垂直.
(2)这种方法需要测量三个数据,即物体最高处的仰角,测点与物体的水平距离,测倾器的高度.
(3)在计算高度时,不要忘记加上测量仪的高度或者人的身高.
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知识点二 测量底部不可以到达的物体的高度
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。这时只需要测量两次仰角,再通过计算即可计算出物体的高度.
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典型例题
【例2】越来越多太阳能路灯的使用,既点亮了城市的风景,也是我市积极落实节能环保的举措,某校学生开展综合实践活动,测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图, 已知测倾器的高度为1.5米,
在测点A处安置测倾器,测得点M的仰角∠MBC=33°,
在与点A相距4.5米的点D处安置测倾器,测得点M的
仰角∠MEC=45°(点A,D与N在一条直线上),求电池
板离地面的高度MN的长.(精确到0.1米) (参考数据:sin 33°≈0.54, cos 33°≈0.84, tan 33°≈0.65)
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思路点拨:延长BE交MN于点H,设MH=x米,则EH=MH=x,即可得BH关于x的代数式,再在Rt△MBH中,根据正切的列式计算即可求出x值,从而得出答案.
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解:延长BE交MN于点H,则BH⊥MN,
设MH=x米,
在Rt△MEH中,∠MEH=45°,
∴EH=MH=x米,∴BH=(x+4.5)米,
在Rt△MBH中,∠MBH=33°,
∴tan∠MBH=,即≈0.65,
解得:x≈8.36,
∴MN=MH+HN=8.36+1.5≈9.9米.
∴电池板离地面的高度MN的长约为9.9米.
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对应练习
2.李威在A处看一棵大树的顶端D处的仰角是30°,向树的方向前进30米到B处看树顶D处的仰角是60°,李威的眼睛离地面高EA=FB=1.5米,已知EG⊥CD,DC⊥AC,E,F,G在一条直线上,求树高CD是多少 (结果保留根号)
数学
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解:由题意,得EF=30米,GC=1.5米,∠E=30°,∠DFG=60°,∠DGF=90°,
∴∠EDF=∠E=30°,
∴DF=EF=30米,
在Rt△DGF中,∵sin∠DFG=,
∴DG=DF·sin∠DFG=30·sin 60°=15米,
∴DC=DG+GC=(15+1.5)米.
∴树的高CD是(15+1.5)米.
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名师点拨:这种题型,需要应用两次三角函数,并且可能要用到列方程才可以解答,在最后计算高度时,不要忘记加上测量仪的高度或者人的身高.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.某课外数学兴趣小组的同学进行关于测量楼房高度的综合实践活动.如图,他们在距离楼房35米的C处测得楼顶的仰角为α,则楼房AB的高为 ( )
A.35sin α米 B.35tan α米
C.米 D.米
B
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2.如果从某一高处甲看低处乙的俯角为30°,那么从乙处看甲处,甲在乙的 ( )
A.俯角30°方向 B.俯角60°方向
C.仰角30°方向 D.仰角60°方向
C
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3.如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1 200 m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离是 ( )
A.1 200
B.1 2003
C.2 400
D.2 4003
C
解析:由题意,得∠B=α=30°,∠C=90°,
∴AB=2AC=2 400 m.故选C.
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二、填空题
1.如图所示,小明同学在距离某建筑物6米的点A处测得条幅两端B点,C点的仰角分别为60°和30°,则条幅的高度BC为
米(结果可以保留根号).
4
数学
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2.如图,C,D是两个村庄,分别位于一个湖的南,北两端A和B的正东方向上,且点D位于点C的北偏东60°方向上,CD=12 km,则
AB= km.
6
数学
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三、解答题
如图,小明想测量山的高度.他在点B处仰望山顶A,测得仰角∠ABN=30°,再向山的方向(水平方向)行进100 m至索道口点C处,在点C处仰望山顶A,测得仰角∠ACN=45°.求这座山的高度.(结果精确到0.1 m,小明的身高忽略不计) (参考数据:=1.41, =1.73)
数学
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解:如图,作AH⊥BN于点H,设AH=x m,
∵∠ACN=45°,
∴CH=AH=x m,
∵tan ∠ABH=,
∴BH=x,
则BH-CH=BC,
即x-x=100,解得x=50(+1).
∴这座山的高度为50(+1) m.
数学
◆ 能力提升◆
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1.小杰在一个高为h的建筑物顶端,测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30°,旗杆与地面接触点的俯角为60°,那么该旗杆的高度是 ( )
A.h B.h C.h D.h
C
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1.解析:如图,过A作AE⊥BC于点E,则四边形ADCE是矩形,CE=AD=h.∵在Rt△ACE中,CE=h,∠CAE=60°,
∴AE==h.∵在Rt△AEB中,∠BAE=30°,
∴BE=AE·tan 30°=h·=h,
∴BC=BE+CE=h+h=h.
即旗杆的高度为h.故选C.
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2.临沂高铁即将开通,这将极大方便市民的出行.如图,在距离铁轨200米处的B处,观察由东向西的动车,当动车车头在A处时,恰好位于B处的北偏东60°方向上,10秒钟后,动车车头到达C处,恰好位于B处西北方向上,则这时段动车的平均速度是 米/秒.
( )
A.20(+1) B.20(-1)
C.200 D.300
A
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3.如图,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC,CD,坡面的坡度t=1∶,测得BC=6米,CD=4米,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°,则电线杆AB的高度为 米.
2+4
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3. 解析:延长AD交BC的延长线于点E,作DF⊥BE于点F,
∵坡度t =1∶,∴∠DCF=30°,
又∵CD=4米,∴DF=2米,
CF==2 米,
由题意,得∠E=30°,∴EF==2 米,∴BE=BC+CF+EF=(6+4) 米,∴AB=BE·tan E=(6+4)×=(2+4) 米.
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4.如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为 km.
30+10
数学
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4. 解析:如图,过B作BE⊥AC于点E,过C作CF∥AD,
则CF∥AD∥BG,∠AEB=∠CEB=90°,
∴∠ACF=∠CAD=20°,∠BCF=∠CBG=40°,
∴∠ACB=20°+40°=60°,
由题意,得∠CAB=65°-20°=45°,
在Rt△ABE中,∵∠ABE=45°,∴△ABE是等腰直角三角形,
∵AB=30 km,∴AE=BE=AB=30 km,在Rt△CBE中,
∵∠ACB=60°,tan∠ACB=,∴CE===10 km,
∴AC=AE+CE=(30+10) km,
∴A,C两港之间的距离为(30+10) km.
数学
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5.如图所示,某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明,启智求真”的宣传牌CD.小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°,沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度i=1∶,AB=10米,AE=15米,求这块宣传牌CD的高度.(测倾器的高度忽略不计,结果精确到0.1米,参考数据:≈1.414,≈1.732)
数学
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解:如图,分别过B作BF⊥DE于点F,作BG⊥AE于点G.
在Rt△ADE中,
∵tan∠DAE=,
∴DE=AE·tan∠DAE=15 米.
∵山坡AB的坡度i=1∶,AB=10米,
∴BG=5米,AG=5 米.
数学
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∴EF=BG=5米,
BF=AG+AE=(5+15) 米.
∵∠CBF=45°,∴CF=BF=(5+15) 米.
∴CD=CF+EF-DE=20-10=20-10×1.732=2.68≈2.7 米.
∴这块宣传牌CD的高度约为2.7米.
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6.如图,某无人机爱好者在一小区外放无人机,当无人机飞行到一定高度D点处时,无人机测得操控者的俯角为75°,测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°.已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米,小区楼房BC的高度为15米,求此时无人机的高度 (参考数据:tan 75°=2+,tan 15°=2-.计算结果保留根号)
数学
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解:过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥DE于点F,如图所示,则四边形BCFE是矩形,
∴CF=BE,
EF=BC=15 米,
由题意,得AB=45 米,
∠DAE=75°,∠DCF=45°,
在Rt△ADE中,∠AED=90°,
数学
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∴tan∠DAE=,∴AE==
=(2-)DE,
在Rt△DCF中,∠DCF=45°,
∴△CDF是等腰直角三角形,
∴CF=DF,
∴BE=DF,
∵AB=AE+BE=AE+DF,
数学
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∴(2-)DE+DE-15=45,
∴DE=(30+15) 米.
∴此时无人机的高度为(30+15) 米.
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北师大版 九年级数学下册(共31张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
题型专练
北师大版 九年级数学下册
数学
题型专练
一、构造直角三角形求三角函数值
1.已知∠A是锐角,sin A=,则cos A= ,tan A= .
数学
题型专练
二、三角函数值的取值范围、增减性
2.若cos α=2m-1(α为锐角),则m的取值范围是 .
解析:∵0数学
题型专练
3.sin 62°, cos 58°, cos 30°的大小关系是 ( )
A.cos 58°B.sin 62°C.cos 58°D.sin 62°A
数学
题型专练
4.比较大小:tan 67° tan 60°; tan 48° sin 60°.
>
>
数学
题型专练
三、求角的取值范围
5.当A为锐角,且A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<60°
C.60°<∠A<90° D.30°<∠A<45°
B
数学
题型专练
6.已知tan A=0.7,则∠A度数的范围是 .
解析:∵tan A=0.7,tan 30°=≈0.577,tan 45°=1,∴∠A度数的范围是30°<∠A<45°.
30°<∠A<45°
数学
题型专练
四、互余角的三角函数
7.若∠α是锐角,且cos α=sin 53°,则∠α的度数是 .
8.已知α为锐角,sin α+cos(90°-α)=,则α= .
37°
60°
数学
题型专练
五、网格线中求三角函数值
9.如图,在4×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的格点上,那么tan∠ABC的值为 ( )
A. B.
C.4 D.
C
数学
题型专练
10.如图,在2×4的方格中,两条线段的夹角(锐角)为∠1,则
sin∠1= .
解析:如图,过点C作CE∥AB,连接DE,∵CE=,DE=,CD=,∴DE=CE,
CE2+DE2=10=CD2,∴∠CED=90°,
∴∠EDC=∠ECD=45°,∵CE∥AB,
∴∠1=∠DCE=45°,∴sin∠1=.
数学
题型专练
六、非负三角函数值的和为0
11.在△ABC中,已知∠A,∠B均为锐角,且有|tan2B-3|+(2sinA-)2=0,则△ABC是 ( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
A
数学
题型专练
七、坡度
12.某人沿坡度i=1∶的桥向上走了50 m,这时他离地面的高度是 ( )
A.20 m B.24 m
C.25m D.25 m
D
数学
题型专练
13.如图,传送带和地面成一斜坡,它把物体从地面送到离地面5米高的地方,物体所经过路程是13米,那么斜坡的坡度为 ( )
A.1∶2.6 B.1∶
C.1∶2.4 D.1∶
C
解析:如图,根据题意知AB=13,AC=5,则BC===12,∴斜坡的坡度i=tan∠ABC===1∶2.4,故选C.
数学
题型专练
八、三角函数公式的运用
14.式子sin210°+sin220°+cos210°+cos220°的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
数学
题型专练
15.已知tan α=5,则= .
解析:∵tan α=5=,∴sin α=5cos α,
∴原式====.
数学
题型专练
九、计算
16.计算:(1) 2-1+(2 024-π)0-2sin 30°;
解:原式=+1-2×
=+1-1=;
数学
题型专练
(2) +|-2|-+6cos 30°+(π-3.14)0.
解:原式=9+2--2+6×+1
=11-3+3+1=12.
数学
题型专练
17.已知α是锐角,且sin(α-15°)=,计算-4cos α-|1-2sin α|+tan α的值.
解:∵α是锐角,且sin(α-15°)=,
∴α-15°=45°,
∴α=60°,∴cos α=,sin α=,tan α=,
∴-4cos α-|1-2sin α|+tan α
=2-4×-+
=2-2-(-1)+=-+1+=1.
数学
题型专练
十、三角函数的应用题
18.小明在热气球A上看到正前方横跨河流
两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别
为45°,35°.已知大桥BC与地面在同一水平面
上,其长度为100 m,求热气球离地面的高度 m(结果保留整数)(参考数据:sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70)
233
数学
题型专练
18.解析:作AD⊥BC交CB的延长线于点D,设AD为x m,由题意,得∠ABD=45°,∠ACD=35°,在Rt△ADB中,∠ABD=45°,∴DB=x m,在Rt△ADC中,∠ACD=35°,∴tan∠ACD=,∴=0.7,解得x≈233.所以,热气球离地面的高度约为233 m,
数学
题型专练
19.在一次海上救援中,两艘专业救助船A,B同时收到某事故渔船P的求救讯息,已知此时救助船B在A的正北方向,事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上,在救助船B的西南方向上,且事故渔船P与救助船A相距60海里.
(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B
之间的距离(结果保留根号);
(2)求救助船A,B分别以20海里/时,15海里/时的
速度同时出发,匀速直线前往事故渔船P处搜
救,试通过计算判断哪艘船先到达.
数学
题型专练
解:(1)作PC⊥AB于点C,如图所示,则∠PCA=∠PCB=90°,
在Rt△ACP中,
∵∠CAP=30°,PA=60海里,
∴PC=PA=30海里,
在Rt△BCP中,∵∠CBP=45°,
∴sin∠CBP=,
∴PB===30 海里.
∴收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为30 海里;
数学
题型专练
(2)由(1)和题意,得PA=60海里,PB=30 海里,vA=20海里/时,
vB=15海里/时,
∴救助船A所用的时间===3时,
救助船B所用的时间===2 时,
∵3>2,
∴救助船B先到达.
数学
题型专练
20. 2020年6月16日,我国在西昌卫星发射中心,用长征三号乙运载火箭成功将最后一颗北斗星送入预定轨道,如图,火箭从地面O处发射,当火箭达到A点时,从位于地面C处雷达站测得AC的距离是8 km,仰角为30°;6秒后火箭到达B点,此时测得仰角为45°,求这枚火箭从A到B的平均速度是多少米/秒 (结果精确到1 m/s·≈1.414, ≈1.732)
数学
题型专练
解:在Rt△AOC中,AC=8 km,∠ACO=30°,
∴AO=AC=4 km,
cos∠ACO=,
∴OC=AC·cos∠ACO=8×cos 30°=6.928 km.
在Rt△BOC中,∠BCO=45°,
∴BO=OC=6.928 km,∴AB=BO-AO=6.928-4=2.928 km=2 928 m.
∴平均速度=2 928÷6=488 (m/s).
∴这枚火箭从A到B的平均速度是488 m/s.
数学
题型专练
21.某一天,小明和小亮想利用所学过的测量知识来测量一棵古树的高度AB.他们带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示,于是他们先在古树周围的空地上选择一点D,通过测倾器测的角度为45°,再在BD的延长线上确定一点F,使DF=5米,并在F处通过测倾器测的角度为30°,测倾器的高度CD=EF=1米.已知点F,D,B在同一水平直线上,
且EF,CD,AB均垂直于FB,则这棵古树的高度
AB为多少米 (结果保留根号)
数学
题型专练
解:连接EC并延长交AB于点N,由题意,得EN⊥AB,四边形EFDC是矩形,故FD=EC=5 米,EF=DC=BN=1 米,则设AN=x 米,
故CN=x 米,可得tan 30°=,
解得x=,
则AB=+1= 米.
∴这棵古树的高度AB为 米.
数学
题型专练
22.南海是我国的南大门,如图所示,某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航,在A处测得北偏东30°方向上,距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行,便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/时的速度前去拦截.问:经过多少时,海监执法船恰好在C处成功拦截.
数学
题型专练
解:如图,过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D,
∵∠BAC=75°-30°=45°,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴AD=CD,
∴AC==CD,
∵BC∥AE,
∴∠DBC=∠BAE=90°-30°=60°,
∴∠BCD=30°, ∴BC=2BD,
数学
题型专练
AD=CD===BD,
∵AD-BD=AB,
∴BD-BD=20海里,
解得BD=10(+1)海里,
∴CD=BD=(30+10) 海里,
∴AC=CD=(30+10) 海里,
∴(30+10)÷20=(时).
∴经过时,海监执法船恰好在C处成功拦截.
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题型专练
北师大版 九年级数学下册(共41张PPT)
1.1 锐角三角函数(2)
北师大版 九年级数学下册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 正弦、余弦的定义
1.正弦:在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比也随之确定,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作
,即sin A= = (请使用图中的线段填写).
sin A
数学
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2.余弦:在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的邻边与斜边的比也随之确定,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作
,即cos A= = (请使用图中的线段填写).
cos A
数学
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典型例题
【例1】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则下列等式正确的是 ( )
A.sin A= B.cos A=
C.tan A= D.cos A=
思路点拨:先画出Rt△ABC,利用勾股定理求出BC,则每一个角的正弦、余弦、正切都可以直接得到,从而解题.
数学
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解析:如图所示:
∵∠C=90°,AB=5,
AC=3,∴BC=4,
∴sin A=,A项错误;cos A=,B项正确;tan A=,C项错误;cos A=,D项错误.故选B.
答案:B
数学
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对应练习
1.如图,在△ABC中,∠A=90°,AC=6,AB=8,则sin C的值为 ( )
A. B.
C. D.
D
数学
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2.在△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则cos A等于 ( )
A. B. C. D.
D
数学
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3.如图,将∠AOB放在边长均为1的小正方形组成的网格中,则cos∠AOB的值为 ( )
A. B.
C. D.
C
数学
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名师点拨:在求正弦、余弦的三角形函数值时,根据直角三角形找准对应边,当题目中没有给出直角三角形时,则可根据题目画出正确的直角三角形进行求解.
数学
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知识点二 锐角三角函数
锐角A的正弦、 和 都是∠A的三角函数.
拓展延伸 互为余角的三角函数关系:对于任意锐角α,则有:
sin α=cos(90°-α);cos α= ;tan α·tan(90°-α)=1.
余弦
正切
sin(90°-α)
数学
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典型例题
【例2】如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=1,AB=,则下列三角函数值正确的是 ( )
A.sin A= B.tan A=2
C.cos B=2 D.sin B=
思路点拨:利用勾股定理求出AC,则所有的三角函数值都可以直接得到,从而解题.
数学
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解析:∵∠C=90°,BC=1,AB=,∴AC==2,
∴sin A===,tan A==,cos B===,sin B===,所以A、B、C项不符合题意,D项符合题意.故选D.
答案:D
数学
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对应练习
4.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列三角函数正确的是 ( )
A.sin A= B.tan A=
C.tan B= D.cos B=
C
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5.若sin (70°-α)=cos 50°,则α的度数是 ( )
A.50° B.40°
C.30° D.20°
C
解析:∵sin(70°-α)=cos 50°,∴70°-α+50°=90°,解得α=30°.故选C.
数学
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6.在△ABC中,∠C=90°,cos A=,则tan B等于 ( )
A. B.
C. D.2
B
数学
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名师点拨:
(1)锐角三角函数必须在直角三角形里面使用.
(2)锐角三角函数没有单位,它表示一个比值,其大小只与角的大小有关,与角所在的直角三角形的大小无关.
(3)锐角三角函数是一个完整的符号.
数学
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知识点三 梯子的倾斜程度与三角函数的关系
设∠A为梯子的倾斜角,
(1)∠A越大,tan A的值越大,梯子越陡;
(2)∠A越大,sin A的值越 ,梯子越 ;
(3)∠A越大,cos A的值越 ,梯子越 .
大
陡
小
陡
数学
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典型例题
【例3】将sin 89°, sin 47°, sin 41°, sin 46°的值,按由小到大的顺序排列是 .
思路点拨:利用正弦值随着角度的增大而增大性质,即可求解本题.
数学
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解析:sin A随着∠A的增大而增大,所以:
sin 41°答案:sin 41°数学
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对应练习
7.将cos 87°, cos 57°, cos 30°, cos 66°的值,按由大到小的顺序排列是 .
cos 30°>cos 57°>cos 66°>cos 87°
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8.若锐角∠A满足sin 20° .
25°解析:∵sin 20°=cos 70°,∴cos 70°故答案为25°数学
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名师点拨:
(1)正弦值、正切值都是随着角的增大而增大;余弦值是随着角的增大而减小.
(2)可以用比较三角函数值的大小来比较梯子的倾斜度.
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◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=10,AC=6,则sin A的值为 ( )
A. B. C. D.
B
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2.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,则cos A的值为
( )
A. B.
C. D.
A
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3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=5,若cos∠A=,则BC的长为
( )
A.8 B.12
C.13 D.18
B
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二、填空题
1.计算:tan 54°·tan 36°= .
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=3,则AC的长为
.
1
4
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3.比较大小:sin 46° cos 43°.
<
解析:∵cos 43°=sin(90°-43°)=sin 47°,46°<47°,
∴sin 46°数学
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三、解答题
如图所示,在△ABC中,AC=6,AB=8,AD⊥BC于点D,DC=3,求sin B的值.
解:在Rt△ACD中,AC=6,DC=3
∴AD===3.
在Rt△ABD中,AB=8,AD=3,
∴sin B==.
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◆ 能力提升◆
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1.已知△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=20,则△ABC的周长是
( )
A.40 B.50 C.60 D.70
C
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2.如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D沿BC自B向C运动(点D与点B,C不重合),作BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,则BE+CF的值 ( )
A.不变
B.增大
C.减小
D.先变大再变小
C
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2. 解析:方法①:∵BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,
∴CF∥BE,∴∠DCF=∠DBE,设∠DCF=∠DBE=α,
∴CF=DC·cos α,BE=DB·cos α,
∴BE+CF=(DB+DC)cos α=BC·cos α,
∵∠ABC=90°,∴0<α<90°,
当点D从B向C运动时,α是逐渐增大的,
∴cos α的值是逐渐减小的,
∴BE+CF=BC·cos α的值是逐渐减小的.故选C.
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方法②:S△ABC=·AD·CF+·AD·BE=·AD(CF+BE),
∴CF+BE=,
∵点D沿BC自B向C运动时,AD是增加的,
∴CF+BE的值是逐渐减小的.故选C.
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3.如图,由四个全等的直角三角形围成的
大正方形的面积是169,小正方形的面积
是49,则cos α-sin α的值等于 .
解析:∵小正方形面积为49,大正方形面积为169,∴小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即AC2+(7+AC)2=132,整理得,AC2+7AC-60=0,解得AC=5,AC=-12(舍去),∴BC==12,∴sin α==,cos α==,∴cos α-
sin α=-=.
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4.在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿CE将△CDE对折,使点D正好落在AB边上,求tan∠AFE.
解:根据图形,有∠AFE+
∠EFC+∠BFC=180°,
根据折叠的性质,
有∠EFC=∠EDC=90°,
即∠AFE+∠BFC=90°,而Rt△BCF中,
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有∠BCF+∠BFC=90°,
易得∠AFE=∠BCF,
在Rt△BFC中,根据折叠的性质,有CF=CD,
在Rt△BFC中,BC=8,CF=CD=10,
由勾股定理,易得BF=6,则tan∠BCF=;
故有tan∠AFE=tan∠BCF=
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5.在△ABC中,∠B,∠C均为锐角,其对边分别为b,c,求证:=.
证明:如图所示,过A作AD⊥BC于点D,
在Rt△ABD中,
sin B=,
∴AD=ABsin B,
在Rt△ADC中,sin C=,
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∴AD=ACsin C,
∴ABsin B=ACsin C,而AB=c,AC=b,
∴csin B=bsin C,
∴= .
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6.如图所示,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,它的三边长分别为a,b,c,对于同一个角A的正弦、余弦存在关系式sin2A+cos2A=1,试说明.
(1)在横线上填上适当内容;
解:∵sin A= ,cos A= .∴sin2A+cos2A= ,
∵a2+b2=c2,
∴sin2A+cos2A=1.
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(2)若∠α为锐角,利用(1)中的关系式解决下列问题.
①若sin α=,求cos α的值;
②若sin α+cos α=,求sin α·cos α的值.
解:①∵sin α=,
∴cos α===.
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②∵sin α+cos α=,
∴(sin α+cos α)2=,
∴sin2α+2sin α·cos α+cos2α=,
∵sin2α+cos2α=1,
∴1+2sin α·cos α=,
∴sin α·cos α=.