福建省三明第一中学2023-2024学年高一下学期第二次月考试题 数学（含答案）

三明一中2023-2024学年下学期第二次月考
高一数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第I卷（选择题共58分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1.复数（为虚数单位）的虚部是（ ）
A. B.-2 C.-1 D.1
2.随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，将社区内的2100名老年人 1900名中年人 1800名青年人按年龄进行分层，用分层随机抽样方法从中抽取一个容量为580的样本发放调查问卷，如果样本按比例分配，则在老年人中发放的调查问卷份数是（ ）
A.220 B.210 C.200 D.190
3.已知四边形是平行四边形，，记，则（ ）
A. B.
C. D.
4.下表统计了中国在第10届至第19届亚运会中获得的金牌数：
届数 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
金牌数 94 183 125 129 150 165 199 151 132 201
则中国获得金牌数的第70百分位数是（ ）
A.165 B.174 C.175 D.183
5.平均数 中位数和众数都描述了数据的集中趋势，下列说法错误的是（ ）
A.如果频率分布直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多
B.与中位数相比，平均数反映出样本数据中的更多信息
C.对分类型数据，比如产品质量等级等集中趋势的描述可以用众数
D.如果频率分布直方图在“右边”拖尾，那么平均数小于中位数
6.若一个圆锥的体积为，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7.革命烈士陵园内的革命烈士纪念碑，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美.某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为点，纪念碑的最底端记为点（在的正下方），在广场内（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为15米，在两点处测得纪念碑最顶端处的仰角分别为和，则纪念碑的高度为（ ）
A.17米 B.16米 C.15米 D.14米
8.如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段（包括端点）上一点，则的面积的最大值为（ ）
A. B. C.2 D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若则
C.若，则
D.若，则
10.下列说法正确的是（ ）
A.若，则可作为平面向量的一组基底
B.若都是非零向量，且，则
C.已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D.若，则在上的投影向量的坐标是
11.重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，荣昌折扇平面图为下图的扇形，其中，动点在上（含端点），连结交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.
D.
第II卷（非选择题共92分）
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在复平面内，已知复数满足，且，则__________.
13.已知样本的平均数为6，方差为4，样本的平均数为8，方差为2，则新样本的方差为__________.
14.如图，已知四面体的各条棱长均等于分别是棱的中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，当截面面积最大时，四棱锥的体积为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知向量
（1）若与共线，求的值；
（2）若与垂直，求的值.
16.（15分）
正三棱柱的底面正三角形的边长为为的中点；.
（1）证明：平面；
（2）求证：
（3）求到平面的距离.
17.（15分）
在中，已知角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若边上的中线为，求的值；
18.（17分）
某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐：第三类是面食，如煮面 炒粉等，为了更合理地设置口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择 各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表：
类别 选餐 套餐 面食
选择人数 50 30 20
平均每份取餐时长（单位 分钟） 2 0.5 1
已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有240名学生在等待就餐.
（1）根据以上调查统试，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），求选择选餐的同学取到午餐的最长等待时间；
（2）取餐时至多等待多长时间能让的同学感到满意？（即在接受等待时长内取到餐，保留整数）；
（3）根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程.
19.（17分）
如图，在菱形中，的余弦值为为靠近的三等分点，将沿直线翻折成，连接和，
（1）求证：平面平面；
（2）判断线段的长是否为定值？若是，请求出线段的长，若不是，请说明理由；
（3）求二面角的正切值的最大值.
高一数学第二次月考参考答案
一 单选题
1.D 2.B 3.A 4.B 5.D 6.C 7.C 8.A
二 多选题
9.BC 10.BD 11.ABD
三 填空题
12. 13. 14.
四 解答题
15.（1）因为向量，
则.
又因为与共线，
则，
解得.
（2）由题意可知：，
因为与垂直，则，
解得.
16.（1）连接，设，连接.
因为是正三棱柱的侧面，所以为矩形，
所以是的中点，所以是的中位线，
所以，
又平面平面，所以平面
（2）因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2，为的中点，，
又平面平面
平面
平面.
（3），
故，
又，
所以，
设点到平面的距离为，
则即.
解得，所以点到平面的距离为.
17.（1）由，以及正弦定理可得：，
即，
即
又在中，，所以，
又，所以，
（2）
18.（1）由题意得，就餐高峰期时选择选餐的总人数为人；
这120人平均分布在12个选餐窗口，平均每个窗口等待就餐的人数为人，
所以选择选餐同学取到午餐的最长等待时间为分钟，
（2）由可接受等待时长的频率分布直方图可知，
分组为的频率分别为，
所以可接受等待时长在分钟以内的同学占0.05，即有的同学不满意
可接受等待时长在分钟以内的同学占，即有的同学对等待时间少于15分钟感到满意，
所以至多等待的时间，能让的同学感到满意
，所以分钟
至多等待18分钟，能让的同学感到满意
（3）假设设置个选餐窗口，个套餐窗口，个面食窗口，则各队伍的同学最长等待时间如下：
类别 选餐 套餐 面食
高峰期就餐总人数 120 72 48
各队伍长度（人）
最长等待时间（分钟）
依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，则要求每个队伍的最长等待时间大致相同，
即得，即有，
而，故，
因此建议设置选餐 套餐 面食三个类别的窗口数分别为15，2，3个
19.（1）在菱形中，的余弦值为为靠近的三等分点由余弦定理得，
即，
又由，故
由翻折性质知，又因为平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）如图所示，取上靠近的三等分点，即，
连接
因为和的两边方向相同
则由等角定理得
在菱形中，
可得，
在中，由余弦定理可得
，
所以
（3）如图所示，由（1）的知，平面平面，
在平面中，过作，垂足为，
在平面中，过作，垂足为，
因为平面平面，
平面平面平面，所以平面，
平面
即为二面角的平面角.，
在菱形中，已知为定值，由平面知，点的在以为
圆心的圆弧上，所以当时，取得最大值1，
此时，
因为为锐角，的最大值为