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2.2用配方法求解一元二次方程（1）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
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知识点一 直接开平方法
解一元二次方程 内容
直接开平方法 利用平方根的定义直接求一元二次方程的根的方法,叫做直接开平方法.
直接开平方法 适用类型 (1)形如x2=n(n≥0)的解是x=±,当n=0时,x1=x2=0.
(2)形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,直接开平方得到x+m=±,则解为x=-m±.
(3)形如(ax+b)2=n(n≥0,a≠0)的方程,直接开平方得到ax+b=±,则解为x=.
数学
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典型例题
【例1】解方程:(x-1)2=49.
思路点拨:直接用开平方法进行求解.
解:x-1=±7,
x-1=7或x-1=-7,
解得x1=8,x2=-6.
数学
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对应练习
1.解方程:(x+1)2=16.
解:x+1=±4,
x+1=4或x+1=-4.
解得x1=3, x2=-5.
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知识点二 配方法
1.配方法:解一元二次方程时,先把方程的常数项移到方程的右边,再把它的左边配成一个含有未知数的完全平方式的形式,即将方程化为(x+a)2=b的形式.如果右边是一个非负数,这样就可以应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为配方法.
数学
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2.对于形如x2+bx+c=0的方程.
解方程步骤:
(1)先将方程化简为一般形式.
(2)把常数项移到等号右边.
(3)方程两边都加上一次项系数 的一半的平方: .
(4)方程变成= .
(5)当 时,按照直接开平方的方法进行求解.
b
-c+
-c+≥0
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典型例题
【例2】解方程:x2-2x=4.
思路点拨:用配方法进行变形求解.
解:x2-2x+1=4+1,
(x-1)2=5,
x-1=±,
解得x1=1+,x2=1-.
数学
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对应练习
2.用配方法解方程:x2+2x-8=0.
解:移项,得x2+2x=8,
配方,得x2+2x+1=8+1,
即(x+1)2=9,开方,得x+1=±3,
∴x1=2,x2=-4.
数学
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一、选择题
1.一元二次方程(x+3)2=0的解是 ( )
A.x1=x2=3 B.x1=x2=-3
C.x1=x2=0 D.x1=3, x2=-3
2.若关于x的方程(x-2)2=a-5有解.则a的取值范围是 ( )
A.a=5 B.a>5 C.a≥5 D.a≠5
B
C
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3.用配方法解方程,x2-2x-5=0时,原方程应变形为 ( )
A.(x+1)2=6 B.(x-1)2=6
C.(x+2)2=9 D.(x-2)2=9
B
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4.把x2-3x+1=0的左边配方后,方程可化为 ( )
A.= B.=
C.= D.=
解析:∵x2-3x+1=0,∴x2-3x=-1,则x2-3x+=-1+,即=,故选C.
C
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二、填空题
1.填空:
(1) x2+4x+ =(x+ )2. (2) x2+x+ =(x+ )2.
(3) x2+ +=(x+ )2.
2.用配方法将x2+8x-15=0变形为(x+4)2=m,则m= .
4
2
x
31
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3.如果x,y满足x2+2x+y2-8y+17=0,则yx的值为 .
解析:由x2+2x+y2-8y+17=0,
得(x2+2x+1)+(y2-8y+16)=0.
整理,得(x+1)2+(y-4)2=0.
再根据非负数的性质,得x+1=0,y-4=0.
解得x=-1,y=4,
所以yx=4-1=.
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三、解答题
1.用配方法解方程.
(1) 2(x-1)2-18=0; (2) x2-2x-3=0.
解:2(x-1)2=18,
(x-1)2=9,
x-1=±3,
x-1=3或x-1=-3,
x1=4,x2=-2.
解:x2-2x=3,
x2-2x+1=3+1,
(x-1)2=4,
∴x-1=±2,
∴x1=3,x2=-1.
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2.在实数范围内定义运算“○+”,其法则为a○+b=a2-b2,
求方程(4○+3)○+x=24的解.
解:由题意,
知(4○+3)○+x=(42-32)○+x=7○+x=72-x2,
∴72-x2=24,
∴x2=25,
∴x=±5.
∴x1=5,x2=-5.
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1.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,
那么x2-6x+q=2配方正确的是 ( )
A.(x-p)2=5 B.(x-p)2=9
C.(x-p+2)2=9 D.(x-p+2)2=5
解析:∵x2-6x+q=0,∴x2-6x=-q,∴x2-6x+9=-q+9,∴(x-3)2=9-q,
根据题意,得p=3,9-q=7,∴p=3,q=2,∴x2-6x+q=2是x2-6x+2=2,
∴x2-6x=0,∴x2-6x+9=9,∴(x-3)2=9,即(x-p)2=9.
故选B.
B
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2.给出一种运算:对于函数y=xn,规定y'=nxn-1.例如:若函数y=x4,则有y'=4x3.
已知函数y=x3,则方程y'=36的解是 ( )
A.x1=x2=0 B.x1=2,x2=-2
C.x1=2,x2=-2 D.x1=4,x2=-4
解析:由函数y=x3得y'=3x2,∴3x2=36,x2=12,解得x1=2,x2=-2.故选B.
B
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3.根据如图中的程序,当输入一元二次方程x2=9的解x时,
输出结果y= .
1或-7
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4.求代数式x2+2x+3的最大值或最小值.
解:∵x2+2x+3=( )+2=( )2+2,
又∵(x+1)2≥0,∴(x+1)2+2≥2,∴当x+1= 时,即x= 时,
代数式x2+2x+3有最 值,是 .
解析:∵x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2,
又∵(x+1)2≥0,∴(x+1)2+2≥2,
∴当x+1=0时,即x=-1时,
代数式x2+2x+3有最小值是2.
x2+2x+1
x+1
0
-1
小
2
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5.已知a2+2b=7,b2-2c=-1,c2-6a=-17,求a,b,c的值.
解:由a2+2b=7,b2-2c=-1,c2-6a=-17
得a2+2b+b2-2c+c2-6a+11=0,
∴(a-3)2+(b+1)2+(c-1)2=0,
∴a=3,b=-1,c=1.
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6.阅读材料:对于任何实数,我们规定符号的意义是=ad-bc.
例如:=1×4-2×3=-2,=(-2)×5-4×3=-22.
(1)按照这个规定,请你计算的值;
(2)按照这个规定,请你计算:当x2-4x+4=0时,的值.
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(1)解:=5×8-6×7=-2.
(2)解:由x2-4x+4=0得(x-2)2=0,
∴x1=x2=2,
∴=
=3×1-4×1
=-1.
2.2用配方法求解一元二次方程（2）
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知识点 二次项系数不是“1”的一元二次方程的解方程步骤
1.先将方程化简为一般形式.
2.把 项移到等号右边.
3.将二次项系数化为1,即将等式的左右两边同时除以二次项 .
4.方程两边都加上一次项系数的 的平方.
5.方程配成(x+m)2=n.
6.当n 0时,按照直接开平方的方法进行求解;
当n 0时,则方程无实数解.
常数
系数
一半
≥
<
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典型例题
【例】解方程:2x2-4x-1=0 (用配方法)
思路点拨:直接按照配方法步骤进行解方程即可.
解:移项,得2x2-4x=1
x2-2x=
x2-2x+1=+1
(x-1)2=
∴x1=1+,x2=1-.
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对应练习
解方程:3x2-6x-1=0(配方法).
解:3x2-6x=1,3(x2-2x+1)=4,
3(x-1)2=4,(x-1)2=,
x-1=±,
解得x1=1+,x2=1-.
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一、选择题
1.用配方法解方程2x2-12x=5时,先把二次项系数化为1,然后方程的
两边都应加上 ( )
A.4 B.9 C.25 D.36
2.一元二次方程2x2+6x+3=0经过配方后可变形为 ( )
A.(x+3)2=6 B.(x-3)2=12
C.= D.=
B
C
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3.方程(x+1)(x-1)=8的解是 ( )
A.x1=1,x2=-1 B.x1=2,x2=-2
C.x1=3,x2=-3 D.x1=x2=1·
4.利用配方法解方程2x2-x-2=0时,应先将其变形为 ( )
A.= B.=
C.= D.=
C
B
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二、填空题
1.关于x的一元二次方程4x2-1=0的解是 .
2.关于x的方程3x2-px+q=0通过配方变形为(x-1)2=,则pq= .
解析:∵变形后的结果是(x-1)2=,∴展开后可得x2-2x+1=,整理,
可得x2-2x+1-=0,即x2-2x-=0,∴原来方程为3x2-6x-1=0,
根据题意,可得p=6,q=-1,∴pq=-6.故答案为-6.
x=±
-6
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三、解答题
1.解方程:2x2-4x=2.
解:化简,得x2-2x=1,
x2-2x+1=1+1,
(x-1)2=2.x-1=±,
解得x1=1+,x2=1-.
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2.在一次手工制作中,小明准备了一根长8 m的铁丝,现在要制成一个矩形框架,并且要使面积尽可能地大,你能帮助小明同学制成矩形框架吗 若能,请给出制作方法,并求出最大的面积;若不能,请说出理由.
解:设制成的矩形框架的一边长为x m,
则其相邻边长是(4-x) m,矩形框架的面积为x(4-x)=-(x-2)2+4.
∵-(x-2)2≤0,
∴当x=2时,x(4-x)的值最大,最大值为4.故能制成面积最大的框架,制作方法是做成边长为2 m的正方形,其面积是4 m2.
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解析:∵R=P-Q=(x2-2x+2)-(2x-2)=(x-2)2≥0,∴R≥0,故选A.
1.已知P=x2-2x+2,Q=2x-2,令R=P-Q,则下列选项正确的是 ( )
A.R≥0 B.R>0 C.R<0 D.R=0
A
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解析:∵max(a,b)表示其中较大的数,∴当x>0时,max(x,-x)=x,
方程为x2=2x+1,x2-2x+1=2,(x-1)2=2,∴x-1=±,∴x=1±,
∵x>0,∴x=1+;当x<0时,max(x,-x)=-x.方程为-x2=2x+1,
x2+2x+1=0,(x+1)2=0,∴x=-1,
故方程x×max(x,-x)=2x+1的解是-1, 1+.故选C.
2.对于两个实数a,b,用max(a,b)表示其中较大的数,
则方程x×max(x,-x)=2x+1的解是 ( )
A.1, 1+ B.1, 1-
C.-1, 1+ D.-1, 1-
C
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3.若16(x-y)2+40(x-y)+25=0,则x与y的关系是 .
x-y=-
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4.先阅读下面的例题,再按要求解答下面的问题.
例题:说明代数式m2+2m+4的值一定是正数.
解:m2+2m+4=m2+2m+1-1+4=(m+1)2+3
∵(m+1)2≥0
∴(m+1)2+3≥3，∴m2+2m+4的值一定是正数.
(1)说明代数式-a2+6a-10的值一定是负数;
(2)设正方形面积为S1,长方形的面积为S2,正方形的边长为a,如果长方形的一边长为4,另一边长比正方形的边长少了3.请你比较S1与S2的大小关系,并说明理由.
数学
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解:(1)-a2+6a-10=-(a2-6a+9)-1=-(a-3)2-1,
∵(a-3)2≥0,∴-(a-3)2≤0,
∴-(a-3)2-1<0,
∴代数式-a2+6a-10的值一定是负数.
(2)S1>S2,理由:∵S1=a2,S2=4(a-3),
∴S1-S2=a2-4(a-3)=a2-4a+12=a2-4a+4+8=(a-2)2+8,
∵(a-2)2≥0,∴(a-2)2+8≥8,
∴S1-S2>0,∴S1>S2.
数学
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5.定义:若一个整数能表示成a2+b2(a,b都是正整数)的形式,则称这个数为“完美数”.
例如:因为13=32+22,所以13是“完美数”;
再如:因为a2+2ab+2b2=(a+b)2+b2,所以a2+2ab+2b2也是“完美数”.
(1)请直接写出一个小于10的“完美数”,这个“完美数”是 ;
(2)判断53 (请填写“是”或“否”)为“完美数”;
(3)已知M=x2+4x+k(x是整数,k是常数),要使M为“完美数”,试求出符合条件的一个k值,并说明理由;
(4)如果数m,n都是“完美数”,m≠n,试说明mn也是“完美数”.
2或5或8
是
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(3)解:k=5(答案不唯一),
理由:∵M=x2+4x+k,
∴M=x2+4x+4+k-4,
M=(x+2)2+k-4,
则当k-4为完全平方数时,M为“完美数”,
如当k-4=1时,解得k=5.
(4)解:设m=a2+b2,n=c2+d2,m≠n,
则有mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2.
故mn是一个“完美数”.
(1)解析:根据题意,
得:2=12+12,5=22+12,8=22+22,故2, 5, 8都是“完美数”,且都小于10,故答案为:2或5或8(写一个即可).
(2)解析:53=22+72,
故53是“完美数”.
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北师大版 九年级数学上册(共27张PPT)
2.1 认识一元二次方程
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能力提升
02
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知识点一 一元二次方程的定义
只含有一个未知数x的整式方程,
并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,
这样的方程叫做一元二次方程.
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典型例题
【例1】下列方程中,是关于x的一元二次方程的是 ( )
A.2x2-x-y2=0 B.x(x-2)=0
C.ax2+bx+c=0 D.x-=8
思路点拨:根据定义可直接判定答案.
解析:A项,方程2x2-x-y2=0含有2个未知数,不符合题意;B项,方程整理为x2-2x=0,它为一元二次方程,符合题意;C项,当a=0时,方程ax2+bx+c=0不是一元二次方程,不符合题意;D项,方程x-=8含有分式,它不是一元二次方程,不符合题意.故选B.
答案:B
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对应练习
1.下列是一元二次方程的有 ( )
①(x+1)(x-2)=3; ②ax2+bx+c=0;
③3(x-1)2=3x2+2x; ④-1=0; ⑤x2+y+4=0.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4
2.下列方程是一元二次方程的是 ( )
A.xy+3x-4=0 B.x2+3=0
C.2x-3+y=0 D.+2x-6=0
A
B
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知识点二 一元二次方程的一般形式
一般形式:我们把 (a,b,c为常数,且 )称为一元二次方程的一般形式,其特征是等式左边是一个关于未知数的二次多项式,等式右边是零.
一般形式中的相关概念:
一般形式 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数
ax2+bx+c=0(a≠0) ax2 bx
ax2+bx+c=0
a≠0
c
a
b
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典型例题
【例2】将方程(x-2)2=5化成一元二次方程的一般形式,正确的是 ( )
A.x2-4x-1=0 B.x2-4x+1=0
C.x2+4x-9=0 D.x2+4x+9=0
思路点拨:对方程直接进行化简,注意等号右边必须为0.
解析:(x-2)2=5,
x2-4x+4-5=0,
x2-4x-1=0,
即将方程(x-2)2=5化成一般形式为x2-4x-1=0,故选A.
答案:A
数学
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对应练习
3.一元二次方程(x+3)(x-1)=2x-4化为一般形式是 ( )
A.x2-1=0 B.x2-7=0
C.x2+4x+1=0 D.x2+1=0
4.把一元二次方程(1-x)(2-x)=3-x2化成一般形式,其中a,b,c分别为 ( )
A.2, 3, -1 B.2, -3, -1
C.2, -3, 1 D.2, 3, 1
D
B
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知识点三 一元二次方程的解(根)
解(根):使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫一元二次方程的根.
数学
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典型例题
【例3】若x=1是方程x2-4x+m=0的根,则m的值为 ( )
A.-3 B.-5 C.3 D.5
思路点拨:把x=1代入方程求解即可.
解析:把x=1代入x2-4x+m=0得1-4+m=0,解得m=3.故选C.
答案:C
数学
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对应练习
5.已知x=2是一元二次方程x2+mx+4=0的一个解,则m的值是 ( )
A.-4 B.4
C.0 D.0或4
A
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知识点四 列一元二次方程
列方程最重要的是审题,只有理解题意,才能恰当地设出未知数,准确地找出已知量和未知量之间的等量关系,正确地列出方程.
一般步骤:(1)审;(2)设;(3)列.
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典型例题
【例4】如图所示,现有长方形纸片一张,长19 cm,宽15 cm,需要在四个角剪去边长是多少的小正方形才能将其做成底面积为81 cm2的无盖长方体纸盒 请根据题意列出方程.
思路点拨:要做成底面积为81 cm2的无盖长方体盒子,
只要将底面的长和宽分别用含未知数的代数式表示,
根据长方形的面积公式,就可以找出等量关系列出方程.
解:设需要剪去的小正方形的边长为x cm,
则盒子底面长方形长为(19-2x)cm,
宽为(15-2x)cm.
根据题意,得(19-2x)(15-2x)=81.
整理,得x2-17x+51=0
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对应练习
6.根据下列问题列方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.
(1)一个矩形花园,面积为100 m2,长比宽多4 m,求花园的长和宽.
解:设花园的长为x m,则宽为(x-4)m.
依题意,可列方程为x(x-4)=100,
化为一般式为x2-4x-100=0.
数学
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对应练习
(2)小丽比小亮大1岁,如果他们年龄的乘积是210,
那么小丽和小亮分别是多少岁
解:设小丽x岁,则小亮(x-1)岁,依题意,
得x(x-1)=210,
化为一般式为x2-x-210=0.
数学
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典型例题
【例5】根据下表,确定方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是 ( )
A.2C.2.24x 2 2.23 2.24 2.25
ax2+bx+c -0.05 -0.02 0.03 0.07
数学
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典型例题
思路点拨:根的取值范围是当式子的值在负与正之间时相应的x值之间.
解析:∵对于函数y=ax2+bx+c,当x=2.23时y<0,当x=2.24时y>0,可见,x取2.23与2.24之间的某一值时,y=0,则方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是2.23答案:B
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对应练习
7.根据下表,确定关于x的方程x2+4x+c=0的解的取值范围是 ( )
A.-7C.-7x -7 -6 -5 … 1 2 3
x2+4x+c 12 3 -4 … -4 3 12
B
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一、选择题
1.下列方程中,是一元二次方程的是 ( )
A.x2+y2=1 B.3x2+1=6x
C.3x+2=0 D.x2+=1
2.一元二次方程2x2-5x=6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ( )
A.2, 5, 6 B.2, -5, -6
C.2, 5, -6 D.5, 2, -6
B
B
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3.若x=1是方程x2-ax-1=0的一个根,则实数a等于 ( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
A
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二、填空题
1.若关于x的方程(a+1)x2-ax+2=0是一元二次方程,则a的取值范围是 .
2.两个相邻偶数的积是168,设这两个相邻偶数中较大的数是x,
可列方程是 .
3.若关于x的一元二次方程2x2+(2k+1)x-(4k-1)=0的二次项系数、
一次项系数、常数项的和是0,则k= .
a≠-1
x(x-2)=168
2
数学
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三、解答题
若方程(m+2)+2mx-3=0是关于x的一元二次方程,求m的值.
解:由题意,得m2-2=2,m+2≠0,
解得m=2.
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1.已知一元二次方程ax2+bx+c=0,若a+b+c=0,则该方程一定有一个根为
( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
解析:依题意,得c=-a-b,原方程化为ax2+bx-a-b=0,
即a(x+1)(x-1)+b(x-1)=0,∴(x-1)(ax+a+b)=0,
∴x=1为原方程的一个根.故选C.
2.小红不小心将两滴墨水滴到了一道一元二次方程题上:●x2+4x+●=0.已知小红解题的正确答案是x1=,x2=-,则该一元二次方程的二次项系数及常数项分别是 .
C
4, -3
数学
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3.在一元二次方程x2-2ax+b=0中,若a2-b>0,则称a是该方程的中点值.
(1)方程x2-8x+3=0的中点值是 .
(2)已知x2-mx+n=0的中点值是3,其中一个根是2,求mn的值.
4
解:∵=3,∴m=6,
把x=2代入x2-mx+n=0得4-6×2+n=0,
解得n=8,∴mn=6×8=48.
解析:∵-3=13,
∴方程x2-8x+3=0的中点值为4,
故答案为4.
数学
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4.某学校为美化校园,准备在长35米,宽20米的长方形场地上,修建若干条宽度相同的道路,余下部分作草坪,并请全校学生参与方案设计,现有3位同学各设计了一种方案,图纸分别如图1、图2和图3所示(阴影部分为草坪).
请你根据这一问题,在每种方案中都只列出方程不解.
①甲方案设计图纸为图1,设计草坪的总面积为600平方米.
②乙方案设计图纸为图2,设计草坪的总面积为600平方米.
③丙方案设计图纸为图3,设计草坪的总面积为540平方米.
数学
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解:①设道路的宽为x 米.依题意,
得(35-2x)(20-2x)=600;
②设道路的宽为x 米.依题意,
得(35-x)(20-x)=600;
③设道路的宽为x 米.依题意,
得(35-2x)(20-x)=540.
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北师大版 九年级数学上册(共26张PPT)
第二章 一元二次方程 题型专练
北师大版 九年级数学上册
数学
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一、整体代入法
1.若x=-1是一元二次方程x2+(a-1)x+2b=0的根,则代数式3a-6b的值是 ( )
A.-3 B.3 C.-6 D.6
解析:
∵x=-1是一元二次方程x2+(a-1)x+2b=0的一个根,
∴(-1)2-(a-1)+2b=0,
∴a-2b=2,
∴3a-6b=6.
故选D.
D
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2.已知m,n是方程x2-2x-2018=0的两个不等实数根,则m2+2n的值为 ( )
A.1009 B.2018 C.2021 D.2022
解析:∵m是方程x2-2x-2018=0的实数根,
∴m2-2m-2018=0,∴m2=2m+2018,
∴m2+2n=2m+2018+2n=2(m+n)+2018,
∵m,n是方程x2-2x-2018=0的两个实数根,
∴m+n=2,
∴m2+2n=2×2+2018=2022.故选D.
D
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3.已知一元二次方程x2-3x+1=0的两根分别为x1,x2,则2-6+-5x2+7的值为 ( )
A.0 B.7 C.13 D.6
A
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解析:∵方程x2-3x+1=0的两根分别为x1,x2,
∴-3x1+1=0,∴-3x2+1=0,
∴=3x1-1,=3x2-1,
∴=x1(3x1-1)=3-x1=3(3x1-1)-x1=8x1-3,
∴2-6+-5x2+7=2(8x1-3)-6(3x1-1)+3x2-1-5x2+7
=16x1-6-18x1+6+3x2-1-5x2+7=-2(x1+x2)+6,
∵一元二次方程x2-3x+1=0的两根分别为x1,x2,
∴x1+x2=3,∴2-6+-5x2+7=-2×3+6=0.
故选A.
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二、判别式题型
4.如果关于x的一元二次方程kx2+(k+2)x+=0有两个不相等的实数根,
那么k的取值范围是 ( )
A.k>-1 B.k>-2且k≠-1
C.k≥-1且k≠0 D.k>-1且k≠0
解析:根据题意,知k≠0且Δ=(k+2)2-4·k·>0,解得k>-1且k≠0.故选D.
D
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5.关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+3k=0.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若该方程有一个根大于1,求k的取值范围.
(1)证明:∵Δ=(k+3)2-4×3k=k2+6k+9-12k=(k-3)2≥0,
∴方程总有两个实数根.
(2)解:∵(x+3)(x+k)=0,
∴x1=-3,x2=-k,
∵该方程有一个根大于1,
∴-k>1,解得k<-1,即k的范围为k<-1.
数学
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三、一元二次方程的近似根
6.根据下列表格中关于x的代数式ax2+bx+c的值与x对应值,那么你认为方程ax2+bx+c=0(a≠0, a,b,c为常数)的一个解最接近于下面的 ( )
A.5.12 B.5.13 C.5.14 D.5.15
x 5.12 5.13 5.14 5.15
ax2+bx+c -0.04 -0.02 0.01 0.03
解析:根据表格,可得方程ax2+bx+c=0(a≠0, a,b,c为常数)的一个解
x的范围为5.130.01,
∴方程的解最接近于5.14.故选C.
C
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四、球赛与互送礼物题型
7.红领巾希望小学六年级进行乒乓球比赛,每个班级组成一队参赛,比赛采取单循环赛制(即每两队都要比赛一场),共比赛36 场,则该校六年级班级数为 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
解析:设该校六年级有x 个班级,依题意,得x(x-1)=36,整理,得x2-x-72=0,解得x1=9,x2=-8(不符合题意,舍去),∴该校六年级有9 个班级.故选A.
A
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8.元旦那天,九(2)班第一小组的同学们互相赠送一件礼物,若第1小组的同学之间赠送礼物共90 件,那么该小组的人数是 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
解析:设共有x 名同学参加了聚会,
依题意,得x(x-1)=90,x2-x-90=0,
解得x1=10,x2=-9(不符合实际意义,舍去).
∴x=10.
故选B.
B
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五、病毒传染题型
9.新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的,在无防护下传播速度很快,已知有1个人患了新冠,经过两轮传染后共有196个人患了新冠,每轮传染中平均一个人传染m 人,则m的值为 ( )
A.11 B.12 C.13 D.14
解析:依题意,得(1+m)2=196,
解得m1=13,m2=-14(不合题意,舍去).
故选C.
C
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10.世界卫生组织关于埃博拉疫情报告称,在病毒传播中,每轮平均1人会感染x个人,若2个人患病,则经过两轮感染就共有162人患病,则x的值是 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
解析:若2 个人患病,则第一轮传染中感染2x 人,
第二轮传染中感染x(2+2x) 人,
依题意,得2+2x+x(2+2x)=162,即(1+x)2=81,
解得x1=8,x2=-10(不符合题意,舍去),
∴x的值为8.故选B.
B
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六、面积问题
11.如图,有长为22米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为14米,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门.
(1)设花圃的宽AB为x米,请你用含x的代数式表示BC的长为 米.
(2)若此时花圃的面积刚好为45 m2,
求此时花圃的宽.
24-3x
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(1)24-3x
解析:设花圃的宽AB为x 米,
则BC=22+2-3x=(24-3x)(米).
(2)解:x(24-3x)=45,化简,得x2-8x+15=0,
解得x1=5,x2=3.
当x=5时,24-3x=9<14,符合要求;
当x=3时,24-3x=15>14,不符合要求,舍去.
答:花圃的宽为5 米.
数学
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12.如图,张老师从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为24 m3的无盖长方体箱子,且此长方体箱子的底面长比宽多2米,现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱,
问张老师购回这张矩形铁皮共花了多少元钱
数学
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解:设长方体的底面长为x 米,则底面(x-2) 米,
由题意,得x(x-2)×1=24,
解得x1=6,x2=-4(舍去).
底面宽为6-2=4(米).
矩形铁皮的面积为(6+2)(4+2)=48(米2).
这张矩形铁皮的费用为20×48=960(元).
答:张大叔购回这张矩形铁皮共花了960 元钱.
数学
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七、动点问题
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,点P从B点出发以每秒1 cm 的速度向C点运动,同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动,当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动,设运动时间为t(s).
(1)用含t的代数式表示CP,CQ的长,并直接写出t的取值范围;
(2)多长时间后△CPQ的面积为6 cm2
(3)多长时间后P点、Q点的距离为5
数学
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解:(1)CP=BC-BP=8-t;
CQ=t;t的取值范围为0(2)设t秒后△CPQ的面积为6 cm2,
根据题意,得(8-t)t=6,解得t=2,t=6,
答:经过2 s或6 s时△CPQ的面积为6 cm2.
(3)设t秒后P点、Q点的距离为5,
根据题意,得(8-t)2+t2=(5)2,
解得t=1或t=7(不合题意舍去),
答:1 秒后P点、Q点的距离为5.
数学
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八、增长率、利润问题
14. 2021年是我国脱贫胜利年,我国在扶贫方面取得了巨大的成就,技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈.该电子器件厂生产一种电脑显卡,2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个,2020年,2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术,降低成本,2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个.
(1)这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同,求平均每年下降的百分率;
(2)2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡,以200元/个销售时,平均每天可销售20个.为了减少库存,该电脑城决定降价销售.经调查发现,单价每降低5元,每天可多售出10个,如果每天盈利1 150元,单价应降低多少元
数学
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解:(1)设平均每年的下降率为x,
依题意,得200(1-x)2=162,
解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去).
答:平均每年的下降率为10%.
(2)设单价应降低m 元,则每个的销售利润为(200-m-162)=(38-m)元,
每天可售出20+×10=(20+2m) 个,
依题意,得(38-m)(20+2m)=1 150,
整理,得m2-28m+195=0,解得m1=15,m2=13.
∵为了减少库存,∴m=15.
答:单价应降低15 元.
数学
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九、数字问题
15.一个两位数的十位数字比个位数字大2,把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方,所得数值比原来的两位数大138,求这原来的两位数.
解:设原来两位数的个位数字为x,则十位数为x+2,
根据题意列出方程,得[10(x+2)+x]+138=(10x+x+2)2,
整理,得11x2+3x-14=0,
解得x1=1,x2=-(不合题意,舍去).
答:这原来的两位数是31.
数学
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十、百分数问题
16.重庆新晋打卡地渝中区十八梯于今年9月30日开街,十八梯重建之后保留了很多原址,在此基础上还打造了民国风文化街.小明在十八梯开店卖纪念品,国庆节期间生意火爆,10月7日商店共卖出180件纪念品A和60件纪念品B,销售额为11100元,已知纪念品A的销售单价比纪念品B的销售单价高15元.
(1)A,B两种纪念品的销售单价分别是多少元
(2)随着国庆节的结束,游客大量减少,小明决定降价销售纪念品.纪念品A的销售单价在10月7日的基础上降低a%(其中a>0),销量减少a%;纪念品B的销售单价在10月7日的基础上降低5元,销量减少a%,降价后纪念品A的销售额是纪念品B的销售额的5倍,求a的值.
数学
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解:(1)设纪念品B的销售单价为x 元,则纪念品A的销售单价为(x+15) 元,
依题意,得180(x+15)+60x=11 100,解得x=35,
∴x+15=35+15=50.
答:纪念品A的销售单价为50 元,纪念品B的销售单价为35 元.
(2)依题意,得50(1-a%)×180=5×(35-5)×60,
整理,得5a2-200a=0,
解得a1=40,a2=0(不合题意,舍去).
答:a的值为40.
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十一、根与系数的关系问题
17.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2m-1=0有x1,x2两实数根.
(1)若x1=1,求x2及m的值;
(2)是否存在实数m,满足(x1-1)(x2-1)= 若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
数学
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解:(1)根据题意,
得Δ=(-6)2-4(2m-1)≥0,
解得m≤5,x1+x2=6,x1x2=2m-1,
∵x1=1,∴1+x2=6,x2=2m-1,
∴x2=5,m=3.
(2)存在.理由:∵(x1-1)(x2-1)=,
∴x1x2-(x1+x2)+1=,
即2m-1-6+1=,
整理,得m2-8m+12=0,
解得m1=2,m2=6,
经检验m1=2,m2=6为原方程的解,
∵m≤5且m≠5,
∴m=2.
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北师大版 九年级数学上册(共28张PPT)
2.5一元二次方程的根与系数的关系
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 根与系数的关系
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,
那么x1+x2= ,x1x2= .
-
数学
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典型例题
【例1】如果一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1,x2,
那么x1+x2-x1x2= ( )
A.-3 B.3 C.-4 D.4
思路点拨:已知各个系数,根据根与系数的关系式直接代入求解.
解析:∵一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1,x2,∴x1+x2=3,x1x2=-1,
∴x1+x2-x1x2=3-(-1)=4.故选D.
答案:D
数学
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对应练习
1.已知方程x2-2x-1=0的两根为x1和x2,则x1x2的值是 ( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.已知x1,x2是方程x2-4x+1=0的两根,则(x1+1)(x2+1)的值为 ( )
A.-2 B.4 C.6 D.-4
B
C
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知识点二 常见变形
1.+=(x1+x2)2-2x1x2
2.+=
3.(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
数学
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典型例题
【例2】若方程x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则+= ( )
A.10 B.16 C.13 D.22
思路点拨:已知各个系数,把这个代数式进行变形(用两根和、两根积的
形式进行表示),再利用根与系数的关系求解.
解析:∵方程x2+4x-3=0的两根分别为x1,x2,∴x1+x2=-4,x1·x2=-3,
∴+=(x1+x2)2-2x1·x2=(-4)2-2×(-3)=22.故选D.
答案:D
数学
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对应练习
3.若x1,x2是一元二次方程2x2+x-1=0的两根,则+的值为 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.若x1,x2是方程x2-3x-2=0的两根,则(x1-x2)2的值是 .
C
17
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知识点三 求作一个新的一元二次方程
以x1,x2为两根的一元二次方程是:x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.
数学
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典型例题
【例3】已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方
程是 ( )
A.x2-7x+12=0 B.x2+7x+12=0
C.x2+7x-12=0 D.x2-7x-12=0
思路点拨:根据公式x2-(x1+x2)x+x1·x2=0代入可得出答案.
解析:由一元二次方程根与系数的关系x1+x2=7,x1x2=12,得一元二次方程为x2-7x+12=0,故选A.
答案:A
数学
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对应练习
5.已知实数x1,x2满足x1+x2=11,x1x2=30,则以x1,x2为根的一个一元二次方
程是 ( )
A.x2-11x+30=0 B.x2+11x+30=0
C.x2+11x-30=0 D.x2-11x-30=0
6.已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和-3,则 ( )
A.p=-1,q=-6 B.p=1,q=6
C.p=1,q=-6 D.p=-1,q=6
A
C
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◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.设α,β是一元二次方程x2+4x=0的两个根,则α+β 的值是 ( )
A.-4 B.4 C.0 D.1
2.以-3和5为根的一元二次方程是 ( )
A.x2+2x-15=0 B.(x+3)(x-5)=4
C.x2-2x+15=0 D.(x+3)(x-5)=0
A
D
数学
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3.关于x的方程x2-4x+m+2=0有一个根为-1,则另一个根为 ( )
A.2
B.-2
C.5
D.-5
C
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二、填空题
1.写出二次项系数为1,解为1和-3的一元二次方程: .
2.已知m,n是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则m+n-mn= .
3.已知x1,x2是关于x的方程x2+mx-3=0的两个实数根,则x1x2= .
x2+2x-3=0
1
-3
数学
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三、解答题
1.已知关于x的方程x2-mx-3=0的两个实数根为x1,x2,若x1+x2=2,求x1,x2的值.
解:∵x1+x2=2,∴m=2,
∴原方程为x2-2x-3=0,
即(x-3)(x+1)=0,解得x1=3,x2=-1.
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2.已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根,求(x1+x2)2÷的值.
解:由一元二次方程根与系数的关系,得
x1+x2=-=-=4,x1·x2==1,
(x1+x2)2÷=(x1+x2)2÷
=42÷=4.
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◆ 能力提升◆
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1.设x1,x2是一元二次方程x2-(2m-1)x+m2=0的两个实数根,且
(x1+1)(x2+1)=3,则m= ( )
A.-3 B.-1 C.-1或3 D.1或-3
解析:∵x1,x2是一元二次方程x2-(2m-1)x+m2=0的两个实数根,∴Δ=(2m-1)2-4m2=-4m+1≥0,即m≤,且x1+x2=2m-1,x1x2=m2,已知等式整理,得x1x2+(x1+x2)+1=3,即m2+2m-1+1=3,解得m=1(舍去)或m=-3,则m=-3.故选A.
A
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2.设m,n是方程x2+x-2022=0的两个实数根,则m2+2m+n的值为 ( )
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
解析:∵m是方程x2+x-2022=0的实数根,∴m2+m-2022=0,
∴m2=-m+2022,∴m2+2m+n=-m+2022+2m+n=m+n+2022,
∵m,n是方程x2+x-2022=0的两个实数根,
∴m+n=-1,∴m2+2m+n=-1+2022=2021.
故选B.
B
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3.a,b为两个不等实数,a-=1,b-=1,则(a-1)(b-1)的值等于 .
解析:根据题意,得a,b是方程x-=1的两个根,即x2-x-1=0,∴a+b=1,ab=-1,∴原式=ab-(a+b)+1=-1-1+1=-1.
-1
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4.关于x的一元二次方程x2+mx+m-2=0.
(1)若-2是该方程的一个根,求该方程的另一个根;
(2)求证:无论m取任何实数,此方程总有两个不相等的实数根;
(3)设该方程的两个实数根为x1,x2,若++m(x1+x2)=m2+1,求m的值.
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(1)解:由题意,4-2m+m-2=0,解得m=2,
∴方程为x2+2x=0,解得x=-2或0,
∴方程的另一个根为0.
(2)证明:∵Δ=m2-4(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,
∴无论m取任何实数,此方程总有两个不相等的实数根.
数学
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(3)解:由根与系数的关系,
得x1+x2=-m,x1x2=m-2,
由若++m(x1+x2)=m2+1,
则有(x1+x2)2-2x1x2+m(x1+x2)=m2+1,
∴m2-2(m-2)-m2=m2+1,
整理,得m2+2m-3=0,解得m=-3或1.
数学
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5.已知关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+m2-1=0.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程两实数根分别为x1,x2,且满足(x1-x2)2=16-2x1x2,求实数m的值.
(1)解:∵关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+m2-1=0有实数根,
∴Δ=b2-4ac=[2(m+1)]2-4(m2-1)=8m+8≥0,
解得m≥-1,
∴当方程有实数根时,实数m的取值范围为m≥-1.
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(2)解:∵方程两实数根分别为x1,x2,
∴x1+x2=-2(m+1),x1·x2=m2-1.
∵(x1-x2)2=16-2x1x2,
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1·x2=16-2x1x2,
∴[-2(m+1)]2-4(m2-1)=16-2(m2-1),
整理,得m2+4m-5=0,
解得m1=-5,m2=1.
又∵m≥-1,∴实数m的值为1.
数学
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6.已知关于x的方程ax2+(3-2a)x+a-3=0.
(1)求证:无论a为何实数,方程总有实数根;
(2)如果方程有两个实数根x1,x2,当|x1-x2|=时,求出a的值.
数学
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(1)证明:
①当a=0时,方程为3x-3=0,是一元一次方程,有实数根;
②当a≠0时,方程是一元二次方程,
∵关于x的方程ax2+(3-2a)x+a-3=0中,
Δ=(3-2a)2-4a(a-3)=9>0,
∴无论a为何实数,方程总有实数根.
数学
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(2)解:如果方程的两个实数根x1,x2,
则x1+x2=,x1·x2=,
∵|x1-x2|=,
∴=,解得a=±2,
故a的值是-2或2.
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北师大版 九年级数学上册(共41张PPT)
2.3用公式法求解一元二次方程（1）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 公式法
一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是x=,这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)把方程化为一般形式: ;
(2)确定系数a,b,c的值;
(3)计算判别式b2-4ac的值;
(4)当b2-4ac≥0时,根据求根公式x=,求出方程的根;
当 时,判断方程 实数根.
ax2+bx+c=0(a≠0)
b2-4ac<0
无
数学
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典型例题
【例1】用公式法解方程:2x2+5x=7.
思路点拨:按照公式法步骤进行求解.
解:方程整理,得2x2+5x-7=0,
∵a=2,b=5,c=-7,
∴b2-4ac=25+56=81>0,
∴x==,
即x1=1,x2=-.
数学
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对应练习
1.用公式法解方程:x2-3x+1=0.
解:∵a=1,b=-3,c=1,
∴b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0,
∴x==,
∴x1=,x2=.
数学
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知识点二 一元二次方程的根的判别式
把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,一般用“Δ”来表示,即Δ=b2-4ac.
(1)b2-4ac>0 方程有 ;
(2)b2-4ac 0 方程有两个相等的实数根;
(3)b2-4ac<0 一元二次方程 ;
(4)b2-4ac 0 一元二次方程 .
两个不相等的实数根
=
没有实数根
≥
有实数根
数学
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典型例题
【例2】如果关于x的一元二次方程3x2+x-m=0有两个实数根,那么m的取值范围是 .
思路点拨:因为方程有两个实数根,所以b2-4ac≥0,列出不等式,求解即可.
解析:∵方程有两个实数根,
∴Δ=b2-4ac=12-4×3×(-m)=1+12m≥0,
解得m≥-.
答案:m≥-
数学
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对应练习
2.关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根,则实数m的取值范围是 ( )
A.m≥2 B.m≤2 C.m>2 D.m<2
3.若关于x的一元二次方程x2-5x+2k=0有两个不相等的实数根,
则k的取值范围为 .
B
k<
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一、选择题
1.关于x的一元二次方程4x2-4x+1=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
B
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2.用公式法解一元二次方程3x2-3x=1时,化方程为一般式,当中的a,b,c依
次为 ( )
A.3, -3, 1 B.3, -3, -1
C.3, 3, -1 D.3, 3, 1
3.关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个实数根,则实数k的取值范围是
( )
A.k≤1 B.k>1
C.k=1 D.k≥1
解析:∵a=1,b=-2,c=k,
而方程有两个实数根,
∴Δ=b2-4ac=4-4k≥0,∴k≤1.故选A.
B
A
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二、填空题
1.如果关于x的方程x2+4x-k=0有两个不相等的实数根,
那么k的取值范围是 .
2.如果关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0的根的判别式的值为5,
那么m= .
k>-4
-1
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3.关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0有两个相等的实数根,
则m的值是 .
4.已知关于x的一元二次方程x2-x+1=0有实数根,则m的取值范围是 .
解析:根据题意,得Δ=42-4×2m=0,解得m=2.故答案为2.
2
m≤5且m≠4
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三、解答题
1.用公式法解方程:x2-10x+9=0.
解:∵a=1,b=-10,c=9,
∴b2-4ac=(-10)2-4×1×9=64>0,
∴x==,
∴x1=9,x2=1.
数学
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2.不解方程,判断下列方程根的情况.
(1) 2y2+4y+35=0; (2) 4y(y-1)+1=0.
(2)将原方程化为一般形式,
得4y2-4y+1=0.
这里a=4,b=-4,c=1.
∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0,
∴原方程有两个相等的实数根.
解:(1)这里a=2,b=4,c=35,
∵b2-4ac=42-4×2×35=-264<0,
∴原方程没有实数根.
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1.下列说法:
①关于x的一元二次方程x2+m2=0无实数解;②无论m为何值,关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0都有两个不相等的实数根;③若关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是m<4且m≠0.其中正确的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
C
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解析:①∵关于x的一元二次方程x2+m2=0,∴Δ=0-4m2<0,∴关于x的一元二次方程x2+m2=0无实数解,故①正确;②∵一元二次方程x2-4x-m2=0,∴Δ=(-4)2-4×1×(-m2)=16+4m2>0,∴无论m为何值,关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0都有两个不相等的实数根,故②正确;③∵关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个不相等的实数根,∴Δ>0,∴(-4)2-4×1×m=16-4m>0,解得m<4,故③错误.
故选C.
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2.若a,b,c是△ABC三条边的长,则关于x的方程cx2+(a+b)x+=0的根的情
况是 ( )
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
解析:∵Δ=(a+b)2-4c×=(a+b+c)(a+b-c),
∵a,b,c是△ABC三条边的长,
∴a+b+c>0,a+b>c,
∴Δ>0,
∴方程有两个不相等的实数根.故选C.
C
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3.如果关于x的一元二次方程x2-x+k=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是 .
解析:由题意,得,解得-≤k<.
-≤k<
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4.已知关于x的方程kx2+(k+3)x+3=0(k≠0).
(1)求证:方程一定有两个实数根;
(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数k的值.
(2)解:∵x=,
∴x1=-1,x2=-,
∵方程的两个实数根都是整数,
∴正整数k=1或3.
(1)证明:∵k≠0,
Δ=(k+3)2-4·k·3=k2-6k+9=(k-3)2≥0,
∴方程一定有两个实数根.
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5.已知关于x的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0.
(1)当m为何值时,方程有两个不相等的实数根;
(2)若m为满足(1)的最小正整数,求此时方程的两个根x1,x2.
解:(1)根据题意,得m≠0
且Δ=(2m-1)2-4m(m-2)>0,
解得m>-且m≠0.
(2)根据题意,得m=1,
此时方程化为x2-x-1=0,
Δ=(-1)2-4×(-1)=5,x=,
∴x1=,x2=.
数学
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6.设a,b,c是△ABC三边的长,且关于x的方程c(x2+n)+b(x2-n)-2ax=0(n>0)有两个相等的实数根,求证:△ABC是直角三角形.
证明:c(x2+n)+b(x2-n)-2ax=0(n>0)
可化为(c+b)x2-2ax+(c-b)n=0,
∵方程有两个相等的实数根,
∴(-2a)2-4n(c+b)(c-b)=0,
即a2+b2=c2,
∵a,b,c是△ABC三边的长,
∴△ABC是直角三角形.
2.3用公式法求解一元二次方程（2）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
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02
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知识点一 求解简单的实际问题,简单的方案设计
1.弄清题意,搞清设计要求.
2.设出未知数,利用面积关系,列出方程.
3.解方程.
4.检验所求的根是否符合题意,以及是否满足实际要求.
数学
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典型例题
【例】如图,在一块长13 m,宽7 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,若栽种花草的面积是55 m2,则道路的宽应设计为多少m
数学
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典型例题
思路点拨:设小路的宽为x,则栽种花草的部分可合成长为(13-x)m,宽为(7-x)m的矩形,根据栽种花草的面积是55 m2即可列方程解答.
解:设道路的宽应为x米,
由题意,得(13-x)(7-x)=55.
整理,得x2-20x+36=0,
解得x=2或x=18(舍去).
答:道路的宽应设计为2 m.
数学
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对应练习
如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长34米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为540平方米,则小道的宽为多少米
解:设小道的宽为x米,则阴影部分可合成长为(34-2x)米,
宽为(20-x)米的矩形,由题意,得(34-2x)(20-x)=540,
整理,得2x2-74x+140=0,
解得x1=2,x2=35(不合题意).
答:小道的宽为2米.
数学
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一、选择题
1.某中学有一块长30 m,宽20 m的矩形空地,该中学计划在这块空地上划
出三分之二的区域种花,设计方案如图所示,求花带的宽度.设花带的宽度
为 x m,则可列方程为 ( )
A.(30-x)(20-x)=×20×30
B.(30-2x)(20-x)=×20×30
C.30x+2×20x=×20×30
D.(30-2x)(20-x)=×20×30
B
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2.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x-1=0有实数根,
则m的取值范围是 ( )
A.m≠2 B.m≥1且m≠2
C.m≤3且m≠2 D.m≥1
解析:关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x-1=0有实数根,且a=m-2,b=2,c=-1,∴Δ=22+4(m-2)≥0,解不等式得,m≥1,∵关于x的一元二次方程,∴m-2≠0,即m≠2,∴m≥1且m≠2.故选B.
B
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二、填空题
1.面积为90 cm2的矩形,一边剪短3 cm,另一边剪短2 cm后,恰好是一个正
方形,则这个正方形的边长为 cm.
2.若关于x的方程x2+bx-c=0(c≠0)有两个相等的实数根,则代数式的值
是 .
解析:∵关于x的方程x2+bx-c=0(c≠0)有两个相等的实数根,
∴Δ=b2-4×1×(-c)=0,∴b2=-4c,又∵c≠0,∴==-2.故答案为-2.
7
-2
数学
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3.某商城今年9月份的营业额为440万元,11月份的营业额达到了633.6
万元,则该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是 (用百
分数表示).
解析:设该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是x,根据题意,得440(1+x)2=633.6,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意,舍去),∴该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是20%.故答案为20%.
20%
数学
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三、解答题
1.如图,从一块正方形的木板上锯掉2 米宽的长方形木条,剩下的面积是48 平方米,则原来这块木板的面积是多少平方米
解:设原来这块木板的边长为x 米,
根据题意,得x(x-2)=48,
整理,得x2-2x-48=0,
解得x1=8,x2=-6(不符合题意,舍去),
∴x2=8×8=64.
答:原来这块木板的面积是64 平方米.
数学
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2.学生会组织周末爱心义卖活动,义卖所得利润将全部捐献给希望工程,活动选在一块长20米、宽14米的矩形空地上.如图,空地被划分出6个矩形区域,分别摆放不同类别的商品,区域之间用宽度相等的小路隔开,已知每个区域的面积均为32平方米,小路的宽应为多少米
解:设小路的宽为x米,则6个矩形区域可合成长
(20-2x)米,宽(14-x)米的矩形,
依题意,得(20-2x)(14-x)=32×6,
整理,得x2-24x+44=0,
解得x1=2,x2=22(不合题意,舍去).
答:小路的宽应为2米.
数学
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1.“新冠肺炎”防治取得战略性成果,若有一个人患了“新冠肺炎”,经过两
轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”,则每轮传染中平均一个人传染了
( )
A.6人 B.5人 C.4人 D.3人
解析:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,根据题意,得x+1+(x+1)x=16,x=3或x=-5(舍去).故选D.
D
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2.如图,在长为20 m,宽为12 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为整个矩形面积的,则道路的宽为 m.
第2题图
解析:设道路的宽为x m,则余下的部分可合成长为(20-x) m,宽为(12-x) m的矩形,依题意,得(20-x)(12-x)=×20×12,
解得x=2.
2
数学
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3.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形,大长方形的面积是135 cm2,则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 cm2.
第3题图
解析:设小长方形的长为x cm,宽为x cm,根据题意,得(x+2×x )·x=135,
解得x=9或x=-9(舍去),
则x =3.∴3×3=9(cm2).
故答案为9.
9
数学
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4.已知:关于x的方程kx2+(2k-3)x+k-3=0.
(1)求证:方程总有实数根;
(2)当k取哪些整数时,关于x的方程kx2+(2k-3)x+k-3=0的两个实数根均为负整数
数学
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(1)证明:分类讨论:若k=0,
则此方程为一元一次方程,
即-3x-3=0,∴x=-1,符合题意;
若k≠0,则此方程为一元二次方程,
∴Δ=(2k-3)2-4k(k-3)=9>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
综上所述,方程总有实数根.
(2)解:∵方程有两个实数根,
∴方程为一元二次方程,
利用求根公式求得x=,
即x1==-1,x2=-1.
∵方程有两个负整数根,
∴-1是负整数,即k是3的约数,
∴k=±1,±3,但k=1或k=3时,根不是负数,
∴k=-1或k=-3.
数学
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5.如图,将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A'B'C',若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2,则它移动的距离AA'为多少
数学
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解:设AC交A'B'于点H,A'C'交CD于点G,由平移的性质知AC∥A'C',A'B'∥CD,
∴四边形A'HCG是平行四边形,
∵∠A=45°,∠D=90°,
∴△A'HA是等腰直角三角形,
同理,△HCB'也是等腰直角三角形,设AA'=x cm,
则阴影部分的底边长为x cm,
高A'D=(2-x) cm,
∴S A'HCG=x·(2-x)=1,
∴x=1.即AA'=1 (cm).
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北师大版 九年级数学上册(共50张PPT)
2.6应用一元二次方程（1）
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知识点
1.列一元二次方程解应用题.
一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答.
(1)审清题意,明确题目中有哪些量,哪些是已知量,哪些是未知量,对复杂问题多读细审;
(2)设未知数,有直接设未知数和间接设未知数两种常用方法,一般选择直接设未知数,当问题难以解决时考虑间接设未知数;
(3)列方程,这是最关键的一步,根据前面的分析,找出等量关系,把等量关系转化为方程,方程中要含有所设的未知数;
(4)解方程,把所列的方程解出来;
数学
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(5)检验并作答,所谓的检验是要看结果是否符合实际意义,一元二次方程往往求出两个根,而其中一个根常常不符合实际意义,这就是检验,如增长率要符合增长的意义,线段长不能为负值等.
2.几何图形问题主要包括:
(1)面积问题,这类问题的关键是准确定位其等量关系,边长变化规律;
(2)动点问题,这类问题的关键是确定变化的量和不变的量,找出它们之间的等量关系式.
数学
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典型例题
【例】如图,某教室矩形地面的长为8 m,宽为6 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为24 m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,求地毯的长和宽分别是多少米
数学
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典型例题
思路点拨:设未铺区域的宽为x,则地毯的长为(8-2x),宽为(6-2x),根据面积公式直接列方程即可求解.
解:设四周未铺地毯区域的宽度为x m,
依题意,得(8-2x)(6-2x)=24,
解得x1=1,x2=6(舍去);
∴地毯的长为8-2=6 m,宽为6-2=4 m.
答:地毯的长为6 m,宽为4 m.
数学
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对应练习
某农场要建一个面积为80 m2的长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙AB长
为15 m),另外三边用木栏围成,木栏总长26 m,求养鸡场CD边和DE边的
长分别是多少 设养鸡场CD边的长为x m.
(1)填空:养鸡场DE边的长为 m(用含x的代数式表示);
(2)请你列出方程,求出问题的解.
(26-2x)
数学
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(1)(26-2x) 解析:设CD=x m,则DE=(26-2x) m.
(2)解:根据题意,可得x(26-2x)=80,
解得x1=5,x2=8.
∵26-2x≤15,
∴2x≥11,故x≥5.5.
∴x=8,则DE=26-16=10.
答:养鸡场CD边和DE边的长分别为8 m,10 m.
数学
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一、选择题
1.原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会,因疫情推迟到2021年5月举办,为喜迎“COP15”,某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览,为美化画面,要在长为30 cm、宽为20 cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如图),若设彩纸的宽度为x cm,根据题意可列方程为 ( )
A.(30+2x)(20+2x)=1 200
B.(30+x)(20+x)=1 200
C.(30-2x)(20-2x)=600
D.(30+x)(20+x)=600
A
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2.修建一个面积为100平方米的矩形花园,它的长比宽多10米,设宽为x米,
可列方程为 ( )
A.x(x-10)=100 B.2x+2(x-10)=100
C.2x+2(x+10)=100 D.x(x+10)=100
3.将正方形的一边长增加4,另一边长保持不变,所得的矩形的面积是原
来的2倍.设正方形的边长为x,则 ( )
A.(x+4)·x=2 B.(x+4)·x=2x
C.(x+4)·x=2x2 D.(x+4)·x=4x2
D
C
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二、填空题
1.在元旦前夕,某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了
1条祝贺元旦的短信.已知全公司共发出380条短信,那么这个公司有
员工 人.
20
数学
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2.为了加快发展新能源和清洁能源,助力实现“双碳”目标,大力发展高效光伏发电关键零部件制造,青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20 万元,由于技术升级改进,生产成本逐季度下降,第三季度的生产成本为16.2 万元,设该公司每个季度的下降率都相同,则该公司每个季度的下降率是 .
解析:设该公司每个季度的下降率是x,依题意,得20(1-x)2=16.2,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意,舍去),即该公司每个季度的下降率是10%,故答案为10%.
10%
数学
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三、解答题
1.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用26 m长的建筑材料围成,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80 m2
数学
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解:设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x m,
可以得出平行于墙的一边的长为(26-2x) m,
由题意,得x(26-2x)=80,
化简,得x2-13x+40=0,解得x1=5,x2=8,
当x=5时,26-2x=16>12(舍去),
当x=8时,26-2x=10<12.
答:所围矩形猪舍的长为10 m、宽为8 m.
数学
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2.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形.要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少
解:设这段铁丝剪成两段后,围成正方形,其中一个正方形的边长为x cm,
则另一个正方形的边长为=(5-x) cm.
根据题意,得x2+(5-x)2=17,
即x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4.
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4 cm,16 cm.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场,其布局如图
所示,已知停车场的长为26 米,宽为14 米,阴影部分设计为停车位,要铺花
砖,其余部分是等宽的通道,已知铺花砖的面积为160 平方米,则通道的宽
是 ( )
A.2 米 B.3 米
C.4 米 D.5 米
解析:设通道的宽是x 米,
则停车位可合成长为(26-2x)米,宽为(14-2x)米的矩形,根据题意得
(26-2x)(14-2x)=160,整理,得x2-20x+51=0,解得x1=3,x2=17(不符合题意,舍去),
∴通道的宽是3 米.故选B.
B
数学
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2.如图,把长40 cm,宽30 cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方
形(阴影部分即剪掉部分),将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子,设
剪掉的小正方形边长为x cm(纸板的厚度忽略不计),若折成长方体盒子
的表面积是950 cm2,则x的值是 cm.
解析:依题意,得:40×30-2x2-2x·=950,
整理,得x2+20x-125=0,
解得x1=5,x2=-25(不合题意,舍去).故x=5.
5
数学
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3.为了更好地收治新冠肺炎患者,某市计划用810米的建筑材料在一个空地上搭建方舱医院,如图所示是医院的平面图,医院分为三个区,矩形BFHG区用于隔离治疗重症患者,矩形CDEF区用于隔离治疗轻症患者,医护室是正方形AGHE,已知围成轻症患者区的建筑材料与围成医护室、重症患者区的建筑材料之和一样多,设AE=x米.
(1)用含x的代数表示:DE= ,
AB= ;
(2)设矩形BFHG的面积为6 075平方米,求AE的长.
x 米
(270-2x)米
数学
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3.(1)x 米 (270-2x)米
解析:∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,
∵围成轻症患者区的建筑材料与围成医护室、
重症患者区的建筑材料之和一样多,
∴AE+GH+BF=DE+CF,即3AE=2DE.
设AE=x 米,则DE=x 米.
∵搭建方舱医院的材料总长度为810 米,
∴AB===(270-2x) 米
.故答案为:x 米;(270-2x) 米.
数学
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(2)解:
∵四边形AGHE为正方形,
∴AG=AE=x 米,
∴BG=AB-AG=270-2x-x=(270-3x)(米).
依题意,得x(270-3x)=6075,
整理,得x2-90x+2025=0,
解得x1=x2=45.
答:AE的长为45 米.
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4.用一块长8 dm,宽6 dm的矩形薄钢片制作成一个无盖的长方体盒子,可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形(如图①),然后把四边折合起来(如图②).
(1)若要做成的盒子的底面积为15 dm2时,求截去的小正方形的边长;
(2)当这个无盖的长方体盒子的侧面积与底面积之比为5∶6时,求截去的小正方形的边长.
数学
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解:(1)设截去的小正方形的边长为x dm,
则做成的盒子的底面为长(8-2x) dm,宽(6-2x) dm的长方形,
依题意,得(8-2x)(6-2x)=15,
整理,得4x2-28x+33=0,
解得x1=,x2=.
当x=时,6-2x=6-2×=3,符合题意;
当x=时,6-2x=6-2×=-5,不合题意,舍去.
答:截去的小正方形的边长为 dm.
数学
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(2)设截去的小正方形的边长为y dm,
则做成的盒子的底面为长(8-2y) dm,宽(6-2y) dm的长方形,
依题意,得2×[(8-2y)y+(6-2y)y]∶(8-2y)(6-2y)=5∶6,
整理,得17y2-77y+60=0,
解得y1=,y2=1.
当y=时,6-2y=6-2×=-,不合题意,舍去;
当y=1时,6-2y=6-2×1=4,符合题意.
答:截去的小正方形的边长为1 dm.
2.6应用一元二次方程（2）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 增长、降低率问题
平均增长(降低)率问题:设基数为a,平均增长(降低)率为x,则一次增长(降低)后的值为a(1±x),两次增长(降低)后的值为a(1±x)2,以此类推,n次增长(降低)后的值为a(1±x)n,如果增长(降低)n次后的量为b,则可列方程a(1±x)n=b.
数学
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典型例题
【例1】永州市2020年底城市绿地面积是144万平方米,计划到2022年底城市绿地面积提高到225万平方米,则平均每年的增长率为 ( )
A.20% B.25% C.30% D.15%
思路点拨:设增长率为x,依据a(1+x)2=b列方程求解.
解析:设每年平均增长的百分率是x,则144(1+x)2=225,解得x=25%或x=-225%(舍去).即每年平均增长的百分率是25%.故选B.
答案:B
数学
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对应练习
1.某市某楼盘准备以6 000元/m2的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以4 860元/m2的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是 ( )
A.11% B.10% C.9% D.8%
B
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【例2】“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种,在我省被广泛种植,邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩,到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩.
(1)求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率;
(2)市场调查发现,当“早黑宝”的售价为20元/千克时,每天能售出200千克,售价每降价1元,每天可多售出50千克,为了推广宣传,基地决定降价促销,同时减少库存,已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克,若使销售“早黑宝”每天获利1 750元,则售价应降低多少元
数学
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典型例题
思路点拨:
(1)设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x,根据题意得关于x的一元二次方程,解方程即可.
(2)设售价应降低y元,根据每千克的利润×销售量=总利润,列方程并求解,但要注意减少库存,要求对解进行取舍.
数学
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典型例题
解:(1)设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x.
根据题意得100(1+x)2=196,
解得x1=0.4=40%,x2=-2.4(不合题意,舍去)
答:该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.
(2)设售价应降低y元,则每天可售出(200+50y)千克.
根据题意,得(20-12-y)(200+50y)=1 750,
整理,得y2-4y+3=0,解得y1=1,y2=3,
∵要减少库存,∴y1=1不合题意,舍去,
∴y=3.
答:售价应降低3元.
数学
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典型例题
2.今年10月20日,双11活动正式启动预售,在活动开始前,某商户售卖的一款商品的进价为15元,活动前销售单价为25元,平均每天能售出80件;该商户进行市场调查,发现销售单价每降低0.5元,平均每天可多售出20件.
(1)若该商户双11活动期间每件商品降价5元,则商户每天的平均销量
是 件(直接填写结果);
(2)不考虑其他因素的影响,在本次双11活动期间,若商户销售这款商品的利润要平均每天达到1 280元,每件商品的定价应为多少元
(3)在(2)的前提下,若商户平均每天至少要销售200件该商品,求商品的销售单价.
解析:80+5÷0.5×20=280(件).
280
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对应练习
2. 解:(2)设每件商品降价x 元,则销售每件商品的利润为(25-15-x)元,
平均每天可售出80+×20=(40x+80)件,
依题意,得(25-15-x)(40x+80)=1 280,
整理,得x2-8x+12=0,解得x1=2,x2=6,
∴25-x=23或19.
答:每件商品的定价应为23元或19元.
(3)当x=2时,40x+80=160<200,不合题意,舍去;
当x=6时,40x+80=320>200,符合题意,
∴25-x=19.
答:商品的销售单价为19元.
数学
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一、选择题
1.电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史,一上映就获得全国人民
的追捧,某地第一天票房约3 亿元,以后每天票房按相同的增长率增长,三
天后票房收入累计达10 亿元,若把增长率记作x,则方程可以列为 ( )
A.3(1+x)=10
B.3(1+x)2=10
C.3+3(1+x)2=10
D.3+3(1+x)+3(1+x)2=10
解析:∵某地第一天票房约3 亿元,以后每天票房按相同的增长率x增长,∴该地第二天票房约3(1+x) 亿元,第三天票房约3(1+x)2 亿元,又∵三天后票房收入累计达10 亿元,∴根据题意,可列方程3+3(1+x)+3(1+x)2=10.故选D.
D
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2.某渔具店销售一种鱼饵,每包成本价为10元,经市场调研发现:售价为20
元时,每天可销售40包,售价每上涨1元,销量将减少3包.如果想获利408元,
设这种鱼饵的售价上涨x元,根据题意可列方程为 ( )
A.(20+x)(40-3x)=408
B.(x-10)[40-3(x-20)]=408
C.(20+x-10)(40-3x)=408
D.(20+x)(40-3x)-10×40=408
C
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3. 我国古代著作《四元玉鉴》,它里面记载一个“买椽多少”问题:购买这
批椽的价钱为6210文,若每株椽的运费是3文,则少拿一株椽后,剩下椽的
运费恰好等于一株椽的价钱,问6210文能买多少株椽 设购买椽的数量为x 株,则所列的方程正确的是 ( )
A.3(x-1)=6210
B.3(x-1)x=6210
C.(3x-1)x=6210
D.3x=6210
解析:∵购买椽的数量为x 株,
∴一株椽的价钱为3(x-1)文.
根据题意,得3(x-1)x=6210.故选B.
B
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二、填空题
1.为了宣传垃圾分类,童威写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发,每个好友转发之后,又邀请n个互不相同的好友转发,依此类推.已知经过两轮转发后,共有111个人参与了宣传活动,则n的值为 .
2. 2022中秋佳节即将到来,某食品专卖店准备了一批“雪月饼”,每盒利润为100元,平均每天可卖200盒,经过调查发现每降价1元,可多销售10盒,为了尽快减少库存,决定采取降价措施,专卖店要想平均每天盈利32 000元,每盒月饼应降价 元.
10
60
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3.请根据图片内容填空:
每轮传染中,平均一个人传染了 人.
解析:设每轮传染中,平均一个人传染了x 人,
依题意,得1+x+x(1+x)=121,即(1+x)2=121,
解得x1=10,x2=-12(不符合题意,舍去),
∴每轮传染中,平均一个人传染了10 人.故答案为10.
10
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三、解答题
1.某市2019年年底自然保护区覆盖率为15%,经过两年的努力,该市2021年年底自然保护区覆盖率达到21.6%,求该市这两年自然保护区面积的平均增长率.
解:设该市这两年自然保护区面积的平均增长率为x.
依题意,得15%(1+x)2=21.6%,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).
故该市这两年自然保护区面积的平均增长率为20%.
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2.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:每
降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,在顾客得到
实惠的前提下,商家还想获得6080元的利润,应将销售单价定为多少元
解:设每件降价x元,则每件销售价为(60-x)元,每星期销量为(300+20x)件,
根据题意,得(60-x-40)(300+20x)=6080,
整理,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,
∵在顾客得到实惠的前提下进行降价,
∴取x=4,
∴定价为60-x=56(元).
答:应将销售单价定为56元.
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◆ 能力提升◆
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1.某口罩经销商批发了一批口罩,进货单价为每盒50元,若按每盒60元出售,则每周可销售80盒.现准备提价销售,经市场调研发现:每盒每提价1元,每周销量就会减少2盒,为保护消费者利益,物价部门规定,销售时利润率不能超过50%,设该口罩售价为每盒x(x>60)元,现在预算销售这种口罩每周要获得1 200元利润,则每盒口罩的售价应定为 ( )
A.70元 B.80元
C.70元或80元 D.75元
A
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解析:根据题意,得(x-50)(200-2x)=1 200,
整理,得x2-150x+5 600=0,解得x1=70,x2=80.
当x=70时,利润率=×100%=40%<50%,符合题意;
当x=80时,利润率=×100%=60%>50%,不合题意,舍去.
所以要获得1 200元利润,每盒口罩的售价应定为70元.
故选A.
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2.以下是龙湾风景区旅游信息:
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 每增加1人,人均收费降低1元,但人均收费不低于50元
根据以上信息,某公司组织一批员工到该风景区旅游,支付给旅行社2800元.从中可以推算出该公司参加旅游的人数为 .
40
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解析:
∵30×80=2 400<2 800,
∴人数超过30人;
设参加这次旅游的人数为x人,
依题意,可知x[80-(x-30)]=2 800,解得x=40或x=70,
当x=70时,80-(x-30)=80-40=40<50,故应舍去,
即参加这次旅游的人数为40人.
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3.准备在一块长为30米,宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等,且与各边垂直的小路(如图所示),四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形,且边长是小路宽度的4倍,若四条小路所占面积为80平方米,则小路
解析:设小路的宽是x米,
根据题意,得30x+24x+2x×4x=80,
解得x1=,x2=-8(舍去).
的宽度为 米.
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4.某药店新进一批桶装消毒液,每桶进价35元,原计划以每桶55元的价格销售,为更好地助力疫情防控,现决定降价销售.已知这种消毒液销售量y(桶)与每桶降价x(元)(0(1)求y与x之间的函数关系式,并解释k的实际意义;
(2)在这次助力疫情防控活动中,该药店仅获利1 890元,
这种消毒液每桶实际售价多少元
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解:(1)设y与销售单价x之间的函数关系式为
y=kx+b(k≠0),将点(1,110), (3,130)代入一次函数表达式,
得解得
故函数的表达式为y=10x+100.
(2)由题意,得(10x+100)×(55-x-35)=1 890,
整理,得x2-10x-11=0.
解得x1=11,x2=-1(舍去).
所以55-x=44.
答:这种消毒液每桶实际售价44 元.
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5.某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动,据了解,某街道居民人口共有7.5 万人,街道划分为A,B两个社区,B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2 倍.
(1)求A社区居民人口至少有多少万人
(2)街道工作人员调查A,B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现:A社区有1.2 万人知晓,B社区有1 万人知晓,为了提高知晓率,街道工作人员用了两个月的时间加强宣传,A社区的知晓人数平均月增长率为m%,B社区的知晓人数第一个月增长了m%,第二个月增长了2m%,两个月后,街道居民的知晓率达到76%,求m的值.
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解:(1)设A社区居民人口有x 万人,则B社区有(7.5-x)万人,
依题意,得7.5-x≤2x,解得x≥2.5.
即A社区居民人口至少有2.5 万人.
(2)依题意,得1.2(1+m%)2+1×(1+m%)×(1+2m%)=7.5×76%,设m%=a,
方程可化为1.2(1+a)2+(1+a)(1+2a)=5.7,
化简,得32a2+54a-35=0,
解得a=0.5或a=-(舍去),
∴m=50.
答:m的值为50.
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北师大版 九年级数学上册(共23张PPT)
2.4用因式分解法求解一元二次方程
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
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能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 因式分解法
1.定义:因式分解法解一元二次方程,是将方程的右边化为0,而左边分解为两个一次因式乘积的形式,分别令每个因式等于0,得到两个一次方程,解这两个方程得到一元二次方程的两个根.
2.依据:因式分解法解一元二次方程的依据是若a·b=0,
那么 =0或 =0.
3.步骤:(1)移项:将方程的右边化为0;
(2)分解:把方程的左边进行因式分解;
(3)转化:分别令每个因式等于0,转化为两个一元一次方程;
(4)求解:解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的根.
4.因式分解的常用方法:提公因式法、运用公式法.
a
b
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典型例题
【例1】解方程:(2x+1)2=3(2x+1).
思路点拨:移项后,利用提公因式法进行分解,
再转化为两个一次方程进行求解即可.
解:原方程可变形为(2x+1)2-3(2x+1)=0,
提公因式,得(2x+1)[(2x+1)-3]=0,
即2x+1=0或2x-2=0,
∴x1=1,x2=-.
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对应练习
1.用因式分解法解方程:x(x+2)=3x+6.
解:原方程可变形为x(x+2)-3(x+2)=0,
(x+2)(x-3)=0,
即x+2=0或x-3=0,
解得x1=-2,x2=3.
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知识点二 选择适当的方法解一元二次方程
1.一元二次方程的四种解法中,选取顺序依次为先直接开平方法;
其次因式分解法;再考虑公式法;最后考虑配方法.
2.一元二次方程解法的适用范围及特点如下表:
方法 理论依据 适用范围 主要特点
直接开平方法 平方根的意义 (x+m)2=n(n≥0) 求解迅速、准确,但只适用于一些特殊结构的方程
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配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 解法繁琐,当二次项系数为1时,用此法较简单
公式法 b2-4ac≥0 所有一元二次方程 计算量大,易出现符号错误
因式分解法 若ab=0,则a和b至少有一个为0 方程一边为0,另一边是易于分解成两个一次因式乘积的方程 只适用于一些特殊的方程
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典型例题
(1)(x-2)2-9=0;
(2)x2-2x-5=0
【例2】解方程:
思路点拨:
移项,两边直接开平方法求解.
解:原方程可变形为(x-2)2=9
x-2=±3
即x-2=3或x-2=-3,
解得x1=5,x2=-1.
思路点拨:
用配方法求解或者用公式法求解.
解:原方程可变形为x2-2x=5,
x2-2x+1=5+1,
(x-1)2=6,
∴x-1=±,
∴x1=1+,x2=1-.
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典型例题
(3)x2+2x-4=0;
(4)x2-3x-4=0
思路点拨:
用公式法求解或者用配方法求解.
解:原方程可变形为x2+2x=4,
x2+2x+1=4+1,
(x+1)2=5,
x+1=±,
∴x1=-1+,x2=-1-
思路点拨:
用因式分解法求解.
解:原方程可变形为
(x-4)(x+1)=0
x-4=0或x+1=0
∴x1=4,x2=-1.
数学
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对应练习
2.解方程:
(1) 3(x-2)2-48=0;
(2) x2-4x-7=0;
解:原方程可变形为
(x-2)2=16,x-2=±4,
∴x1=6,x2=-2.
解:原方程可变形为
x2-4x=7,
x2-4x+4=7+4,
(x-2)2=11,x-2=±,
∴x1=2+,x2=2-.
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对应练习
(3) 2x2+3x=1;
(4) 2x2-7x+3=0.
解:原方程可变形为2x2+3x-1=0,
∵a=2,b=3,c=-1,
∴Δ=b2-4ac=32-4×2×(-1)=17>0,
∴x==,
∴x1=,x2=.
解:原方程可变形为
(x-3)(2x-1)=0,
x-3=0或2x-1=0,
∴x1=3,x2=.
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◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.方程x2-2 022x=0的解是 ( )
A.x=2 022 B.x=0
C.x1=2 022,x2=0 D.x1=-2 022,x2=0
2.方程x2=x的解为 ( )
A.x=1 B.x=±1
C.x=0或1 D.x=0
C
C
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3.方程(x-3)(x+2)=0的根是 ( )
A.x1=-3,x2=-2
B.x1=-3,x2=2
C.x1=3,x2=-2
D.x1=3,x2=2
C
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二、填空题
1.方程x(x+3)=0的解是 .
2.方程(x+1)2=4(x+1)的解为 .
3.方程(x-m)(x-3)=0和方程x2-2x-3=0同解,则m= .
x1=0,x2=-3
x1=-1,x2=3
-1
数学
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三、解答题
解下列方程.
(1) x2=2;
(2) (2x-1)2-x2=0;
解:原方程可变形为
x2-2x=0,x(x-2)=0,
∴x1=0,x2=2.
解:原方程可变形为
(2x-1+x)(2x-1-x)=0,
(3x-1)(x-1)=0,
∴x1=, x2=1.
数学
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(3) (3x-1)2=4(2x+3)2;
(4) x(x-2)+x-2=0.
解:直接开平方,
得3x-1=±2(2x+3),
即3x-1=2(2x+3)
或3x-1=-2(2x+3),
解得x1=-7,x2=-.
解:原方程可变形为
(x-2)(x+1)=0,
x-2=0或x+1=0,
解得x1=2,x2=-1.
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1.我们知道方程x2-2x-3=0的解是x1=-1,x2=3,现给出另一个一元
二次方程(2x+1)2-2(2x+1)-3=0,它的解是 ( )
A.x1=1,x2=3
B.x1=1,x2=-1
C.x1=-1,x2=3
D.x1=-1,x2=-3
解析:
∵方程x2-2x-3=0的解是x1=-1,x2=3,
∴(2x+1)2-2(2x+1)-3=0,
∴2x+1=-1或2x+1=3,
解得x1=1,x2=-1.
故选B.
B
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2.若-4和9是关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则二次三项式
ax2+bx+c(a≠0)可分解为 ( )
A.(x-4)(x+9) B.(x+4)(x-9)
C.a(x-4)(x+9) D.a(x+4)(x-9)
解析:∵-4和9是关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,
∴二次三项式ax2+bx+c(a≠0)可分解为a(x+4)(x-9),故选D.
D
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3.若(x2+y2)(x2+y2-2)=3,则x2+y2= .
4.规定:在实数范围内定义一种运算“ ”,其规则为a b=a(a+b),
方程(x-2) 7=0的根为 .
解析:设x2+y2=t(t≥0),代入原方程中即可求解.
解析:由题意,得(x-2)(x-2+7)=0,(x-2)(x+5)=0,
x-2=0或x+5=0,
∴x1=2,x2=-5.故答案为x1=2,x2=-5.
3
x1=2,x2=-5
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5.一元二次方程(2022x)2-2021×2023x-1=0的较大根为a,一元二次方程
x2+2021x-2022=0的较小根b,则a-b的值为 .
解析:(2022x)2-2021×2023x-1=0,
20222x2-(2022-1)×(2022+1)x-1=0,
20222x2+(1-20222)x-1=0,(x-1)(20222x+1)=0,
解得x1=1,x2=-,则a=1,x2+2021x-2022=0,
即(x+2022)(x-1)=0,则x1=1,x2=-2022,
∴b=-2022,则a-b=2023.
2023
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6.阅读例题,解答下题:
例:解方程:x2-|x|-2=0.
解:将含有绝对值符号的方程中的绝对值去掉,就分情况考虑:
(1)当x≥0,x2-x-2=0,解得x1=-1(不合题意,舍去),x2=2;
(2)当x<0,x2+x-2=0,解得x1=1(不合题意,舍去),x2=-2.
综上所述,原方程的解是x=2或x=-2.
依照上例解法,解方程x2+2|x+2|-4=0.
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解:①当x+2≥0,即x≥-2时,
方程变形,得x2+2(x+2)-4=0,
∴x2+2x=0,
∴x(x+2)=0,
∴x1=0,x2=-2;
.
②当x+2<0,即x<-2时,
方程变形,得x2-2(x+2)-4=0,
∴x2-2x-8=0,
∴(x+2)(x-4)=0,
∴x1=-2(舍去),x2=4(舍去);
综上所述,原方程的解是x1=0或x2=-2
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北师大版 九年级数学上册
