(共26张PPT)
6.1 反比例函数
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 反比例函数的概念
一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.
反比例函数的表达式可写成 ,这是一般形式,也可写
成 (k≠0),此时x的指数为 ,还可写成 (k≠0).
[注意]因为分母不能为零,所以反比例函数的自变量x不能为 ,
同样函数值y也不能为 .
y=(k≠0)
y=kx-1
-1
xy=k
0
0
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典型例题
【例1】下列函数中,y是x的反比例函数的是 ( )
A.y= B.y= C.y= D.y=+2
思路点拨:根据反比例函数的定义即可判断答案.
解析:A项是正比例函数,不是反比例函数,故此选项不合题意;
B项是反比例函数,故此选项符合题意;
C项不是反比例函数,故此选项不合题意;
D项不是反比例函数,故此选项不合题意.故选B.
答案:B
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对应练习
1.下列函数是反比例函数的是 ( )
A.y= B.y=- C.y= D.y=
2.函数y=xk-1是反比例函数,则k=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
A
A
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对应练习
3.下列关系式中,y是x的反比例函数的是 ( )
A.y= B.y=
C.y= D.-2xy=1
解析:A项,y=(k≠0),不符合题意;B项,y=,是y与x2成反比例,不符合题意;
C项,y=,不符合反比例函数的定义,不符合题意;
D项,-2xy=1,符合反比例函数的定义,符合题意.故选D.
D
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知识点二 反比例函数表达式的确定
由于反比例函数 只有一个待定系数,因此只需要
一组对应值,即可求出k的值,从而确定其表达式.
用待定系数法求反比例函数的表达式的步骤:
(1)设:设反比例函数的表达式为y=(k≠0);
(2)代:将已知条件(一组自变量与 )代入表达式,得到
一个关于k的方程;
(3)解:解这个方程,求出待定系数k;
(4)写:将待定系数k的值代入y=中,得到反比例函数的表达式.
y=(k≠0)
函数的对应值
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典型例题
【例2】已知y是x的反比例函数,且当x=3时,y=8.
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)当y=-12时,求x的值.
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典型例题
思路点拨:(1)利用反比例函数的定义,设y=,然后把x=3,y=8代入求出k.从而得到反比例函数解析式;
(2)把y=-12代入(1)中的解析式中计算出x的值即可.
解:(1)设y=,当x=3时,y=8,∴8=,
解得k=24,∴反比例函数的解析式为y=;
(2)当y=-12时,则-12=,解得x=-2.
数学
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对应练习
4.已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6.
(1)求出y与x的函数表达式;
(2)当y=12时,求x的值.
解:(1)设y与x的函数表达式是y=(k≠0),把x=2,y=6代入y=,得k=12,
即y与x的函数表达式是y=.
(2)把y=12代入y=,得12=,解得x=1.
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知识点三 根据实际问题列反比例函数的表达式
对于一个实际问题,应根据题意写出函数的表达式.对于实际问题中的函数自变量的取值范围,除了要使函数表达式有意义外,还要使实际问题有意义.
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典型例题
【例3】列出下列问题中的函数关系式,并判断它们是否为反比例函数.
(1)某农场的粮食总产量为1 500 t,则该农场人数y与平均每人占有粮食量x(t)的函数关系式;
(2)小明完成100 m赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数关系式.
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典型例题
思路点拨:(1)由“农场人数=粮食总产量÷平均每人占有粮食量”可得函数关系式.
(2)由“时间=”可得函数关系式.
解:(1)由平均数,得x=,即y=,
是反比例函数;
(2)由路程、速度与时间的关系,得t=,
即t=是反比例函数.
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对应练习
5.在某一电路中,保持电压不变,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例,当电阻R=5 Ω时,电流I=2 A.
(1)求I与R之间的函数关系式;
(2)当电流I=0.5 A时,求电阻R的值.
解:(1)根据电压U(V)、电流I(A)与电阻R(Ω)之间的关系,
可得I=,将R=5,I=2代入,得2=,∴U=10,∴I=.
(2)将I=0.5代入I=中,得R=20.
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一、选择题
1.下列关系式中,y是x的反比例函数的是 ( )
A.y= B.y=x2
C.y=- D.y=-
解析:y=为y与x的正比例函数关系,y=x2为y与x的二次函数关系,
y=-为y与x的反比例函数关系,y=-为y与x2的反比例函数关系.
故选C.
C
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2.已知y与x成反比例函数,且x=2时,y=3,则该函数表达式是 ( )
A.y=6x B.y=
C.y= D.y=
3.在反比例函数y=中,当x=3时,函数值为 ( )
A.3 B.5 C.-3 D.-5
C
B
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二、填空题
1.已知函数y=x-3m是反比例函数,则m的值为 .
2.判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数
①xy=-;②y=5-x;③y=;④y=.其中 是反比例函数.
3.y=是反比例函数,则a必须满足 .
①③
a≠-2
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三、解答题
一水池内有污水60 m3,设放净全池污水所需的时间为t(时),每时的放水量为w m3.
(1)试写出t与w之间的函数关系式,t是w的反比例函数吗
(2)求当w=15时,t的值.
解:(1)t=,t是w的反比例函数.
(2)当w=15时,t=,解得t=4.
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1.下列四个表格表示的变量关系中,变量y是x的反比例函数的是 ( )
B
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2.若函数y=(m2-3m+2)x|m|-3的反比例函数,则m的值是 ( )
A.1 B.-2
C.2或-2 D.2
3.若(xy-2)(x2y2+1)=0,则y与x之间的函数关系式为 .
B
y=
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4.如图,△ABC是边长为2的等边三角形,点E,F分别在CB和BC的延长线上,且∠EAF=120°,设BE=x,CF=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
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解:∵∠EAF=120°,∠BAC=60°,
∴∠EAB+∠CAF=60°.
∵∠EAB+∠E=∠ABC=60°,
∴∠E=∠CAF.
∵∠EBA=∠ACF=120°,
∴△EBA∽△ACF,
∴=,∴=,
∴y=.自变量x的取值范围为x>0.
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5.在面积为定值的一组菱形中,当菱形的一条对角线长为4 cm时,它的另一条对角线长为12 cm.
(1)设菱形的两条对角线的长分别为x(cm),y(cm),求y关于x的函数表达式.这个函数是反比例函数吗 如果是,指出比例系数.
(2)若其中一个菱形的一条对角线长为6 cm,求这个菱形的边长.
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(1)解:∵在面积为定值的一组菱形中,当菱形的一条对角线长为4 cm时,它的另一条对角线长为12 cm,
∴S菱形=×4×12=24,
∵菱形的两条对角线的长分别为x,y,
∴S菱形=xy=24,
∴y关于x的函数表达式为y=;
这个函数是反比例函数,比例系数是48.
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(2)解:∵其中一个菱形的一条对角线长为6 cm,
∴另一条对角线长为=8(cm),
∴这个菱形的边长为
=5(cm),
∴这个菱形的边长为5 cm.
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北师大版 九年级数学上册(共32张PPT)
6.2 反比例函数的图像与性质（1）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
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01
CONTANTS
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能力提升
02
数学
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知识点一 反比例函数的图象及其画法
反比例函数图象的画法(描点法):
(1)列表:自变量的取值应以0(但x≠0)为中心,向两边取三对(或三对以上)互为相反数的数,如1和-1, 2和-2, 3和-3等,再求出对应的y的值;
(2)描点:根据所求的点坐标去对应描点;
(3)连线:按照从左到右的顺序连接各点并延伸,注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交.
数学
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典型例题
【例1】画出y=与y=的图象.
思路点拨:列出表格,可在x=0两侧取x=±1,x=±2,x=±4等一系列互为相反数的值分别代入函数表达式求出相应的y值,填入表格,并取表中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系内描点,然后在同一象限内用光滑的曲线顺次连接各点并延伸.
数学
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典型例题
解:(1)列表:
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典型例题
(2)描点.
(3)连线.函数图象如图①,②所示.
数学
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对应练习
1.在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=与y=-的图象.
解:列表如下:
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y= -0.75 -1 -1.5 -3 3 1.5 1 0.75
y= - 0.75 1 1.5 3 -3 -1.5 -1 -0.75
数学
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对应练面直角坐标系中,描点、连线得到两个函数的图象,如图所示:
数学
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对应练习
2.在平面直角坐标系中画出函数y=的图象.
(1)完成下列表格:
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y= - - -1 2 1
(2)描点画图.
解:如图所示:
-2
数学
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知识点二 反比例函数图象的特点
数学
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典型例题
【例2】已知一次函数y=kx+b的图象如图,那么正比例函数y=kx和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是 ( )
数学
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典型例题
思路点拨:根据一次函数图象可以确定k,b的符号,再根据k,b的符号来判定正比例函数y=kx和反比例函数y=图象所在的象限.
解析:∵从图可知一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限,
∴k>0,b<0,∴正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限,
反比例函数y=的图象经过第二、四象限.综上所述,符合条件的图象是C,
故选C.
答案:C
数学
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典型例题
【例3】如图,已知反比例函数:y=,y=,y=在x轴上方的图象,则k1,k2,k3的大小依次排列为 .(从大到小排列)
数学
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典型例题
思路点拨:先根据经过的象限判断k1,k2,k3的正负,再根据反比例函数y=的图象,当|k|越小,图象与坐标原点越接近进行判断.
解析:∵反比例函数y=,y=的图象在第二象限,∴k2<0,k3<0,∵y=的图象距原点较远,∴k20,综合可得k1>k3>k2.
答案:k1>k3>k2
数学
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对应练习
3.如图,已知直线y=mx与双曲线y=的一个交点坐标为(3,4),则它们的另一个交点坐标是 .
(-3,-4)
数学
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对应练习
4.反比例函数y=-与一次函数y=kx+1在同一坐标系的图象可能是( )
B
数学
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对应练习
解析:A项,由反比例函数的图象可知,k<0,一次函数图象呈下降趋势且交于y轴的正半轴,不符合题意;
B项,由反比例函数的图象可知,-k>0,一次函数图象呈下降趋势且交于y轴的正半轴,符合题意;
C项,由反比例函数的图象可知,-k<0,一次函数图象呈上升趋势且交于y轴的正半轴,不符合题意;
D项,由反比例函数的图象可知,-k<0,一次函数图象呈上升趋势且交于y轴的正半轴,不符合题意.故选B.
数学
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对应练习
5.如图是三个反比例函数y=,y=,y=在x轴上方的图象,由此观察得到k1,k2,k3的大小关系为 .
k1数学
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对应练习
6.如图,过点A(1,0)的直线与y轴平行,且分别与正比例函数y=k1x,y=k2x和反比例y=在第一象限相交,则k1,k2,k3的大小关系是 .
k2>k3>k1
数学
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一、选择题
1.已知反比例函数y=的图象经过点(2,-2),则k的值为 ( )
A.4 B.- C.-4 D.-2
2.函数y=-2x与函数y=-在同一坐标系中的大致图象是 ( )
C
B
数学
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3.如图是三个反比例函数y1=,y2=,y3=在x轴上方的图象,由此得到
( )
A.k1>k2>k3 B.k2>k1>k3
C.k3>k2>k1 D.k3>k1>k2
解析:∵y3位于第一象限,y1和y2位于第二象限,
∴k3>0,k1<0,k2<0,
∵当x=-1时,y1>y2,∴k2>k1,∴k3>k2>k1,
故选C.
C
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二、填空题
1.在平面直角坐标系xOy中,若反比例函数y=的图象位于第二、四
象限,则k的取值范围是 .
解析:∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限,
∴k-2023<0,
解得k<2023.
k<2023
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2如图,反比例函数y=(k<0)的图象与经过原点的直线相交于A,B两点,已知A点的坐标为(-2,1),那么B点的坐标为 .
解析:∵点A与B关于原点对称,
点A的坐标为(-2,1),
∴B点的坐标为(2,-1).
3.若某反比例函数y=经过(-3,-2),则它的图象在 象限.
(2,-1)
一、三
数学
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三、解答题
1.在图中画出反比例函数y=的图象.
(1)完成下列表格:
数学
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(2)描点,画图.
数学
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2.已知反比例函数y=.
(1)如果这个函数的图象经过点(2,-1),求k的值;
(2)如果这个函数图象如图所示,求k的取值范围.
解:(1)把x=2,y=-1代入y=,
得=-1,解得k=-.
(2)∵这个函数图象经过第一、三象限,
∴2k+1>0,解得k>.
数学
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1.函数y=与y=ax-a(a为常数,且a≠0)在同一坐标系中的图象可能是 ( )
解析:当a>0时,函数y=图象在第一、三象限;
y=ax-a图象在第一、三、四象限;
当a<0时,函数y=图象在第二、四象限;
y=ax-a图象在第一、二、四象限.故选A.
A
数学
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2.小颖画了一个函数y=-1的图象如图,那么关于x的分式方程 =1的解
是 .
解析:分式方程=1可化为-1=0,
∴关于x的分式方程=1的解是函数y=-1的图象与x轴的交点横坐标,
∴分式方程=1的解是x=3.
x=3
数学
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3.已知反比例函数y=(k≠0)和一次函数y=x-6.
(1)若一次函数与反比例函数的图象交于点P(2,m),求m和k的值;
(2)当k满足什么条件时,两函数的图象没有交点
数学
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解:(1)∵一次函数y=x-6的图象
过点P(2,m),
∴m=2-6,解得m=-4,
即点P的坐标是(2,-4).
∵点P也在反比例函数y=的图象上,
∴k=2×(-4)=-8.∴m=-4,k=-8.
(2)联立y=(k≠0)和y=x-6,有=x-6,
即x2-6x-k=0.要使两函数的图象没有交点,
需使方程x2-6x-k=0无实数解,
∴Δ=(-6)2-4×(-k)=36+4k<0,
解得k<-9.
∴当k<-9时,两函数的图象没有交点.
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4.如图,直线y1=ax+b与双曲线y2=交于A,B两点,与x轴交于点C,点A的纵坐标为6,点B的坐标为(-3,-2),求直线和双曲线的解析式.
解:∵点B(-3,-2)在双曲线y2=上,∴=-2,
∴k=6,∴双曲线的解析式为y2=,把y=6代入y2=,
得x=1,∴点A的坐标为(1,6),
∵直线y1=ax+b经过A,B两点,
∴ 解得
∴直线的解析式为y1=2x+4.
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北师大版 九年级数学上册(共36张PPT)
第六章 题型专练
北师大版 九年级数学上册
数学
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一、反比例函数的定义
1.下列函数是反比例函数的是 ( )
A.y= B.y=x2-1
C.y= D.y=
2.已知函数y=(m+2)是反比例函数,且图象在第二、四象限内,则
m的值是 .
解析:∵函数y=(m+2)-10是反比例函数,且图象在第二、四象限内∴m2-10=-1,且m+2<0,解得m=-3.
C
-3
数学
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二、反比例函数的图象
3.点(-2,5)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则下列各点在该函数图象上的是 ( )
A.(5,-2) B. C.(-5,-2) D.
4.若反比例函数y=的图象分布在第二、四象限,则k的取值范围是
.
A
k>4
数学
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5.已知反比例函数y=(k>0)的图象如图所示,请结合图象回答:当0解析:∵反比例函数y=(k>0)的图象经过(1,5),
∴k=1×5=5,∴反比例函数的解析式为y=.
∵k=5>0,∴该反比例函数的图象经过第一、三象限,
且在每个象限内均y随x的增大而减小.当y=3时,x=,
∴0.
x>
数学
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6.在同一平面直角坐标系中,函数y=-kx+k与y=(k≠0)的图象可能是 ( )
解析:①当k>0时,y=-kx+k过一、二、四象限;y=(k≠0)过一、三象限;
②当k<0时,y=-kx+k过一、三、四象限;y=(k≠0)过二、四象限.
观察图形可知,只有A选项符合题意.故选A.
A
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三、反比例函数图象与正比例函数图象的交点
7.已知直线y=ax(a≠0)与双曲线y=(k≠0)的一个交点坐标为(-2,3),则它们的另一个交点坐标是 ( )
A.(2,-3) B.(-3,-2)
C.(-2,-3) D.(3,-2)
A
数学
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四、反比例函数系数k
8.已知反比例函数图象A,B,C对应各自反比例函数系数k1,k2,k3;则k1,k2,k3的大小关系 .
k1数学
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9.如图,矩形OABC中,点A在x轴上,点C在y轴上,点B在反比例函数y=位于第二象限的图象上,若矩形OABC的面积为6,则k的值是 ( )
A.3
B.6
C.-3
D.-6
D
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10.如图,P1,P2,P3是双曲线上的三点,过这三点分别作y轴的垂线,得到三个△P1A1O,△P2A2O,△P3A3O,设它们的面积分别为S1,S2,S3,则S1,S2,S3的大小关系是 ( )
A.S1=S2=S3
B.S1=S3C.S2>S3>S1
D.无法确定
A
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五、反比例函数值的大小判断
11.已知点A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2
C.y2>y1>y3 D.y3>y1>y2
解析:∵点A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=-的图象上,
∴y1==1,y2=-=-2,y3=-=-1,∴y1>y3>y2.故选B.
B
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12.已知点(x1,y1)和(x2,y2)都在反比例函数y=的图象上,如果x1A.y1C.y1>y2 D.无法判断
解析:∵反比例函数y=中k=1,∴图象在第一、三象限,
在每个象限y随x的增大而减小,当x1,x2同号,即0y2,
当x1,x2异号时,即x2>0>x1,y1D
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13.若点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)在反比例函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y1C.y2C
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六、反比例函数与一次函数的大小比较
14.如图所示,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A(2,3),B(6,1)两点,当k1x+b<时,x的取值范围为 ( )
A.06
B.2C.x>6
D.x<0或2A
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15.如图,一次函数y1=ax+b和反比例函数y2=-的图象交于A(m,1),B(n,-2)两点,若当y1A.x<-4或0B.-42
C.-21
D.x<-2或x>1
B
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七、反比例函数的应用
16.如果等腰三角形的面积为10,底边长为x,底边上的高为y,则y与x的函数关系式为 ( )
A.y= B.y= C.y= D.y=
解析:∵等腰三角形的面积为10,底边长为x,底边上的高为y,
∴xy=10,∴y与x的函数关系式为y=.
故选C.
C
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17.小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑,则其录入的时间t(分)与录入文字的平均速度v(字/分)之间的函数表达式应为t= (v>0).
解析:由录入的时间=录入总量÷录入速度,可得t=(v>0).
数学
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18.A,B两地相距400 千米,某人开车从A地匀速到B地,设小汽车的行驶时间为t时,行驶速度为v千米/时,且全程限速,速度不超过100 千米/时.
(1)写出v关于t的函数表达式;
(2)若某人开车的速度不超过每时80 千米,那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间
(3)若某人上午7点开车从A地出发,他能否在10点40分之前到达B地 请说明理由.
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解:(1)根据题意,路程为400,设小汽车的行驶时间为t时,
行驶速度为v千米/时,则v关于t的函数表达式为v=.
(2)设从A地匀速行驶到B地要t时,则≤80,解得t≥5,
∴他从A地匀速行驶到B地至少要5时.
(3)∵v≤100,≤100,解得t≥4,
∴某人从A地出发最少用4 时才能到达B地,7点至10点40分,是3时,
∴他不能在10点40分之前到达B地.
数学
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19.疫情防控期间,某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒,完成1间办公室和1间教室的喷洒共需8 min;完成2间办公室和3教室的喷洒共需21 min.
(1)该校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需多少时间
(2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度y
(单位:mg/m3)与时间x(单位:min)的函数关系如图
所示,校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为
y=2x,药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系,
两个函数图象的交点为点A(m,n).当教室空气中
的药物浓度不高于1 mg/m3时,对人体健康无危害,校医依次对(1)班至(11)班教室(共11间)进行药物喷洒消毒,当把最后一间教室药物喷洒完成后,(1)班学生能否进入教室 请通过计算说明.
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解:(1)设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需x min和y min,
则解得
故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需3 min和5 min.
(2)一间教室的药物喷洒时间为5 min,则11 间教室需要55 min,当x=5时,y=2x=10,故点A的坐标为(5,10),
设反比例函数的表达式为y=,将点A的坐标代入上式并解得k=50,故反比例函数的表达式为y=,当x=55时,y=<1,故(1)班学生能安全进入教室.
数学
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八、反比例函数与一次函数
20.如图,已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象交于M(2,m)和N(-1,-4)两点.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)求△MON的面积;
(3)请判断点P(4,1)是否在这个反比例函数的
图象上,并说明理由;
(4)根据图象,若ax+b<时,直接写出x的取值范围.
数学
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(1)解:∵把N(-1,-4)代入y=得:k=4,
∴反比例函数的解析式是y=,
∴M(2,m)代入反比例函数y=得m=2,
∴M的坐标是(2,2),
把M,N的坐标代入一次函数y=ax+b,
得解得
∴一次函数的解析式是y=2x-2.
数学
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(2)解:∵把y=0代入一次函数的解析式y=2x-2,得0=2x-2,解得x=1,∴A(1,0),
∴△MON的面积S=SAOM+S△AON=×1×2+×1×4=3.
(3)解:把x=4代入y=得y=1,
∴点P(4,1)在这个反比例函数的图象上.
(4)解:从图象,可知ax+b<时,x的取值范围为x<-1或0数学
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九、反比例函数的综合题
21.如图,一次函数y=2x-3的图象与反比例函数y=的图象相交于
点A(-1,n),B两点.
(1)求反比例函数的解析式与点B的坐标;
(2)连接AO,BO,求△AOB的面积;
(3)点D是反比例函数图象上的一点,当∠BAD=90°时,求点D的坐标.
数学
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(1)解:∵点A(-1,n)在一次函数y=2x-3的图象上,
∴n=-5.∴点A(-1,-5),
∵点A(-1,-5)在反比例函数y=的图象上,
∴k=-1×(-5)=5,
∴y=,联立解得
∴点B.
数学
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(2)解:设y=2x-3与y轴的交点为点E,
则点E(0,-3),∴OE=3,
∴S△AOB=S△AOE+S△BOE=×3×1+×3×=.
数学
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(3)解:设点D,如图,分别过点D,B作y轴的平行线DM,BN,过点A作MN⊥DM于点M,交BN于点N,则MN⊥BN,
∴∠M=∠N=90°,∴∠DAM+∠ADM=90°,
∵∠BAD=90°,∴∠BAN+∠DAM=90°,
∴∠BAN=∠ADM,∴△BAN∽△ADM,
∴=,即=,
解得a1=-10,a2=-1(舍去),
∴D.
数学
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22.如图,一次函数y=-x+3的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,a)和B两点,与x轴交于点C.
(1)求反比例函数的解析式和另一个交点B的坐标;
(2)当-x+3<时,请直接写出x的取值范围;
(3)若点P为x轴上一动点,求PA+PB的最小值.
数学
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(1)解:把点A(1,a)代入y=-x+3,得a=-1+3,
∴a=2,即A(1,2),把A点坐标代入反比例函数y=,
∴k=1×2=2,∴反比例函数的表达式为y=,
联立一次函数和反比例函数解析式,
得解得或
∴B点的坐标为(2,1).
数学
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(2)解:由(1)知A(1,2,),B(2,1),根据图象可知,
当-x+3<时,02,
∴当-x+3<时,x的取值范围为02.
数学
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(3)解:作B点关于x轴的对称点B',连接AB',则此时PB=PB',
∴当P点在AB'上时,PA+PB有最小值,最小值为AB',
∵B点与点B'关于x轴的对称,
∴B'(2,-1),
∴AB'==,
∴PA+PB的最小值为.
数学
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23.如图,在平面直角坐标系中,B,C两点在x轴的正半轴上,以线段BC为边向上作正方形ABCD,顶点A在正比例函数y=2x的图象上,反比例函数y=(x>0,k>0)的图象经过点A,且与边CD相交于点E.
(1)若BC=4,求点E的坐标;
(2)连接AE,OE.
①若△AOE的面积为24,求k的值;
②是否存在某一位置使得AE⊥OA,若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
数学
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解:(1)在正方形ABCD中,AB=BC=4,
∴A(2,4),
∵A(2,4)在y=的图象上,
∴k=2×4=8,
∵OC=OB+BC=6,
∴xE=6,将xE=6代入y=中,得:yE=,
∴点E的坐标为.
数学
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(2)①设A(a,2a)(a>0),则点E,
∵S梯形ABCE=S△AOE=24,
∴××2a=24,得a2=9,
∴k=2a2=18;
数学
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②不存在.理由:∵AE⊥OA,∴∠OAB+∠BAE=90°,
∵∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°,
∴∠OAB=∠DAE,
∵∠ABO=∠D=90°,AB=AD,
∴△OAB≌△EAD(ASA),∴OB=DE,
由①可知,A(a,2a)(a>0),则点E,
∴OB=a,DE=2a-=,∴a=,∴a=0,
∴k=0,∵k>0,∴不符合题意,不存在.
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北师大版 九年级数学上册(共27张PPT)
6.3 反比例函数的应用
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 利用反比例函数解决实际问题
反比例函数是反映现实世界中两个变量之间关系的一种重要的数学模型.它在现实中有广泛应用.利用反比例函数的图象与性质,能比较清晰、直观地解决一些实际问题.
用反比例函数的知识解决实际问题的一般步骤:
(1)根据问题情境确定反比例函数表达式;
(2)根据表达式去解决实际问题.
(3)求解过程中,注意根据实际的情况确定自变量的取值范围,即x>0.
数学
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典型例题
【例1】如图,曲线表示温度T(℃)与时间t(h)之间的函数关系,它是一个反比例函数的图象的一支.当温度T≤2℃时,时间t应 ( )
A.不小于 h
B.不大于 h
C.不小于 h
D.不大于 h
数学
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典型例题
思路点拨:首先确定函数解析式,然后根据函数值的取值范围确定自变量的取值范围即可.
解析:设函数解析式为T=(t>0),
∵经过点(1,3),∴k=1×3=3,
∴函数解析式为T=,当T≤2 ℃时,t≥ h.故选C.
答案:C
数学
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对应练习
1.某物体对地面的压力为定值,物体对地面的压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数关系如图所示,这一函数表达式为 ( )
A.p= B.p=
C.S= D.S=
解析:观察图象,易知p与S之间是反比例函数关系,
设p=,由于A(20,10)在此函数的图象上,∴k=20×10=200,∴p=.故选B
B
数学
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对应练习
2.已知某品牌显示器的使用寿命为定值.这种显示器可工作的天数y与平均每天工作的时数x是反比例函数关系,图象如图所示.如果这种显示器至少要用2 000天,那么显示器平均每天工作的时数x应控制在( )
A.0C.0A
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知识点二 反比例函数与一次函数的综合运用
求两个函数的交点时,往往把两个函数的表达式联立组成方程组,求得的解就是交点坐标,有多少个解,就有多少个交点.
数学
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典型例题
【例2】如图,点A(1,2)是正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)和反比例函数y=(m为常数,且m≠0)图象的交点,则关于x的方程kx=的解是( )
A.1
B.2
C.1或2
D.1或-1
数学
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典型例题
思路点拨:根据方程的解就是对于函数图象的交点的横坐标,而这两个点关于原点中心对称,即可解答本题.
解析:点A(1,2)是正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)
和反比例函数y=图象的交点,
∴另一个交点B的坐标为(-1,-2),
∴关于x的方程kx=的解是1和-1.故选D.
答案:D
数学
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对应练习
3.如图,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点.则方程kx+b-=0的解是 .
-4或2
数学
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对应练习
4.已知函数y1=x与y2=在同一平面直角坐标系内的图象如图所示,由图象可知,当y1>y2时,x的取值范围是 .
-11
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.一个直角三角形的两直角边分别为x,y,其面积为1,则y与x之间的关系用图象表示为 ( )
C
数学
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2.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的气体,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度ρ(kg/m3)是体积V(m3)的反比例函数,它的图象如图所示,当V=8 m3时,气体的密度是 ( )
A.1 kg/m3 B.2 kg/m3
C.3 kg/m3 D.4 kg/m3
解析:设密度ρ与体积V的反比例函数解析式为ρ=,
把点(4,2)代入ρ=,解得k=8,
∴密度ρ与体积V的反比例函数解析式为ρ=,把V=8代入ρ=,得ρ=1.故选A.
A
数学
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3.一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80千米/时的平均速度用了6时到达目的地,当他按原路匀速返回时,汽车的速度v(千米/时)与时间t(时)的函数关系为 ( )
A.v= B.v+t=480
C.v= D.v=
A
数学
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二、填空题
1.面积为100的长方形,那么它的长y与宽x之间的函数关系式为 .
2.码头工人每天往一艘轮船上装载30 吨货物,装载完毕恰好8 天时间.轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度v(单位:吨/天)与卸货天数t之间的函数关系式为 .
解析:设轮船上的货物总量为k 吨,根据已知条件得k=30×8=240,
所以v关于t的函数关系式为v=(t>0).
y=
v=(t>0)
数学
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三、解答题
1.如图,一次函数y=x+b与反比例函数y=的图象交于A,B两点,其中点A的坐标为(2,3).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)求另一个交点B的坐标;
(3)写出不等式x+b>的解集.
数学
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解:(1)把点A(2,3)分别代入y=x+b和y=中,得3=2+b,3=,∴b=1,k=6,
∴一次函数的表达式为y=x+1;反比例函数的表达式为y=.
(2)联立方程组解得
∴另一个交点B的坐标为(-3,-2).
(3)不等式x+b>的解集为-32.
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2.某种商品上市之初采用了大量的广告宣传,其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系,当广告停止后,日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系(如图所示),现已知上市20 天时,当日销售量为200 件.
(1)写出该商品上市以后日销售量y(件)与上市的天数x(天)之间的表达式.
(2)当上市的天数为多少时,日销售量为100 件
(1) :当0∴y=5x;当x≥20时,设y=,把(20,100)代入得k2=2000,
∴y=. (2) :当上市的天数为20 天时,日销售量为100 件.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图1是一个亮度可调节的台灯,其灯光亮度的改变,可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现,如图2是该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例函数的图象,该图象经过点P(880,0.25).根据图象可知,下列说法不正确的是 ( )
A.I与R的函数关系式是I=(R>0)
B.当I=0.5时,R=440
C.当R>1 000时,I>0.22
D.当880C
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解析:A项,设I与R的函数关系式是I=(R>0),∵该图象经过点P(880,0.25),
∴=0.25,∴U=220,∵I与R的函数关系式是I=(R>0),正确,不符合题意;
B项,当I=0.5时,R=440,正确,不符合题意;
C项,∵反比例函数I=(R>0)I随R的增大而减小,当R>1 000时,I<0.22,错误,符合题意;
D项,∵R=0.25时,I=880,当R=1 000时,I=0.22,∴当880故选C.
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2.某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机,该饮水机的工作程序是:放满水后,接通电源,则自动开始加热,每分水温上升10 ℃,待加热到100 ℃,饮水机自动停止加热,水温开始下降,水温y(℃)和通电时间x(min)成反比例关系,直至水温降至室温,饮水机再次自动加热,重复上述过程.设某天水温和室温为20 ℃,接通电源后,水温和时间的关系如下图所示,回答下列问题:
(1)分别求出当0≤x≤8和8关系式;
(2)求出图中a的值;
(3)李老师这天早上7:30将饮水机电源打开,若他
想在8:10上课前能喝到不超过40 ℃的开水,问他需要在什么时间段内接水.
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(1)解:当0≤x≤8时,设y=k1x+b,
将(0,20),(8,100)代入y=k1x+b,
得k1=10,b=20,
∴当0≤x≤8时,y=10x+20;
当8得k2=800,
∴当8(2)解:将y=20代入y=,解得a=40.
(3)解:令y=40代入y=,得=40,
解得x=20,
∴20+8=28(分),30+28=58(分),
∴在7:58~8:10时间段去接水.
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3.直线y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象分别交于点A(m,3)和点B(6,n),与坐标轴分别交于点C和点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若点P是x轴上一动点,当△COD与△ADP相似时,求点P的坐标.
数学
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解:(1)∵y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象分别交于点A(m,3)
和点B(6,n),∴m=2,n=1,
∴A(2,3),B(6,1),则有
解得
∴直线AB的解析式为y=-x+4.
数学
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(2)如图,①当PA⊥OD时,
∵PA∥OC,∴△ADP∽△CDO,此时P(2,0).
②当AP'⊥CD时,易知△P'DA∽△CDO,
∵直线AB的解析式为y=-x+4,
∴设直线P'A的解析式为y=2x+c,将A点代入解得c=-1,
∴直线P'A的解析式为y=2x-1,令y=0,
解得x=,∴P',
综上所述,满足条件的点P坐标为(2,0)或.
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北师大版 九年级数学上册(共32张PPT)
6.2 反比例函数的图像与性质（2）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
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◆ 名师导学 ◆
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知识点一 反比例函数的图象与性质
关于反比例函数的图象与性质列表归纳如下:
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拓展:反比例函数与正比例函数y=kx(k≠0)的异同点.
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典型例题
【例1】点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)在反比例函数y=-的图象上,且x1<0A.y1C.y1数学
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典型例题
思路点拨:先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限,再
根据在每一象限内的增减性进行解答即可.
解析:反比例函数y=-的大致图象如图所示,
∵x1<0∴由图象可知,y2答案:B
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对应练习
1.若反比例函数y=的图象在其所在的每一象限内,y随x的增大而增大,则k的取值范围是 ( )
A.k<-2 B.k>-2 C.k<2 D.k>2
2.已知点A(-1,y1),B(1,y2),C(2,y3)是函数y=图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y1C.y3A
B
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知识点二 反比例函数y=(k为常数,k≠0)中比例系数k的几何意义
如右图所示,过双曲线上任一点P(x,y)作x轴,y轴的垂线PM,PN,
所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.
因为y=,所以xy=k,所以S= ,即过双曲线上任意
一点作x轴,y轴的垂线,所得的矩形的面积为 .
如右图所示,过双曲线上任一点E作EF垂直于y轴,
连接EO,所得的三角形OEF的面积 .
|k|
|k|
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典型例题
【例2】反比例函数y=的图象如图所示,点M是该函数图象上的一点,MN垂直于x轴,垂足是点N,如果S△MON=4,则k= .
思路点拨:根据直角三角形的面积与k的关系可直接计算得出结果.
解析:根据题意得S△MON=|k|,则|k|=4,
而从图象可知k<0,所以k=-8.
答案:-8
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对应练习
3.已知反比例函数y=的图象如图所示,若矩形OABC的面积为3,则k的值
是 ( )
A.3 B.-3
C.6 D.-6
解析:∵矩形OABC的面积为3,
∴|k|=3,
根据图象,可知k<0,∴k=-3.
故选B.
B
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◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.反比例函数图象的一支如图,△POM的面积为2,则该函数的解析式是 ( )
A.y=
B.y=
C.y=-
D.y=-
D
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2.如果反比例函数y=的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小,那么m的取值范围是 ( )
A.m> B.m< C.m≤ D.m≥
3.点A(-3, y1),B(-1,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y1C.y3B
C
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二、填空题
1.反比例函数y=-(x<0),如图所示,则矩形OAPB的面积是 .
2.对于函数y=,若x>2,则y (选填“>”或“<”)3.
4
<
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3.如果点(-3,a),(-2,b)在反比例函数y=(k<0)的图象上,那么a,b的大小关
系是 .
解析:∵反比例函数y=(k<0)中k<0,
∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限,
且在每一象限内y随x的增大而增大,
∵-3<0,-2<0,∴点(-3,a),(-2,b)位于第二象限,∴a>0,b>0,
∵-3<-2<0,∴aa数学
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三、解答题
1.已知反比例函数y=,它的图象在每一个象限内,y随x的增大而减小.
(1)求k的取值范围;
(2)当反比例函数过点A(2,4),求k的值.
解:(1)由题意,得k-4>0,解得k>4;
(2)把点A(2,4)代入y=,
得4=,
解得k=12.
数学
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2.如图,一次函数的图象与反比例函数y=的图象交于点A(m,6)和点B(4,-3).
(1)求反比例函数的表达式和点A的坐标;
(2)根据图象回答,x在什么范围时,一次函数的值大于反比例函数的值.
数学
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(1)解:由反比例函数解析式,可知
k=xy=6m=4×(-3),
解得k=-12,m=-2,
∴反比例函数解析式为y=-,A(-2,6).
(2)解:一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为x<-2或0数学
◆ 能力提升◆
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1.已知函数y=-的图象经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果x2<0( )
A.00>y2
C.y2解析:∵-k2-1<0,∴函数y=-的图象在二、四象限,
∵x2<0∵y2>0,y1<0.故选D.
D
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2.如图,在平面直角坐标系中,过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线,分别交函数y=(x>0),y=-(x>0)的图象于点A,点B.若C是y轴上任意一点,则△ABC的面积为 ( )
A.9 B.6 C. D.3
C
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解析:连接OA,OB,∵C是y轴上任意一点,
∴S△AOB=S△ABC,∵S△AOP=×3=,
S△BOP=×|-6|=3,∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=+3=,
∴S△ABC=,故选C.
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3.如图,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点A在反比例
函数y=(x>0)的图象上,则经过点B的反比例函数解析式为 .
y=-
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解析:过点B作BC⊥x轴于点C,过点A作AD⊥x轴于点D,
∵∠BOA=90°,∴∠BOC+∠AOD=90°,∵∠AOD+∠OAD=90°,
∴∠BOC=∠OAD,又∵∠BCO=∠ADO=90°,∴△BCO∽△ODA,
∴S△AOD∶S△OBC=,在Rt△AOB中,
∵∠OAB=30°,∴AO=OB,∴S△AOD∶S△OBC=3,
∵S△OBC=-k,∴3=-k×3,解得k=-2,
∴过点B的反比例函数是y=-.
数学
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4.若某反比例函数y=与正比例函数y=mx的图象相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,那么2x1y2-3x2y1= .
5.一次函数y1=-x+b与反比例函数y2=(x>0)的图象如图所示,当y1-3
04
数学
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6.定义:若一个矩形中,一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数y=的图象上,则称这个矩形为“奇特矩形”.如图,在直角坐标系中,矩形ABCD是第一象限内的一个“奇特矩形”,且点A(4,2),D(7,2),则AB的长为 .
或
数学
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解析:点A(4,2),D(7,2),在矩形ABCD中,BC=AD=3,设AB=m,则CD=m,
∴B(4,2-m),C(7,2-m),因为反比例函数图象的一支在第一象限,故k>0,
当反比例函数图象经过AB和CD的三等分点时,
∴反比例函数经过,,∴4=7,
解得m=,当反比例函数图象经过AD和BC的三等分点时,
反比例函数经过(5,2)和(6,2-m),可得6(2-m)=5×2,解得m=,故AB的长为或.
数学
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7.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=-x+5的图象与反比例函数y=(k>0)的图象相交于A,B两点,与x轴相交于点C,连接OB,且△BOC的面积为.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)将直线AB向下平移,若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点,试说明直线AB向下平移了几个单位长度
数学
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解:(1)一次函数y=-x+5中,令y=0,解得x=5,∴C(5,0),
∴OC=5,作BD⊥OC于点D,∵△BOC的面积为,
∴OC·BD=,即×5BD=,∴BD=1,
∴点B的纵坐标为1,代入y=-x+5中,求得x=4,∴B(4,1),
∵反比例函数y=(k>0)的图象经过B点,
∴k=4×1=4,
∴反比例函数的解析式为y=.
数学
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(2)将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度得直线解析式为y=-x+5-m,
∵直线AB向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点,
∴=-x+5-m,
整理,得x2+(m-5)x+4=0,
Δ=(m-5)2-4×1×4=0,解得m=9或m=1,
即m的值为1或9.
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8.如图,平面直角坐标系中,点C在x轴上,点A的横坐标是1,以OA,OC为邻边作 ABCO,点D是BC的中点,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A,点D.
(1)求点B的坐标(用含k的代数式表示);
(2)连接AD,若AB=AD,求k的值.
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解:(1)作AE⊥x轴,垂足为点E,作DF⊥x轴,
垂足为点F,直线DF与AB交于点G,
∴∠AEO=∠DFC=90°,
当x=1时,y=k,
∴A(1,k),
∴AE=k,OE=1,
∵四边形OABC是平行四边形,
∴AO=BC,AO∥BC,AB∥OC,
∴∠AOE=∠DCF,
∴△DCF∽△AOE,∴==.
∵点D是BC的中点,∴CD=BD=BC,
∴=.
∴DF=,CF=,当y=时,x=2,
∴.D(2,k),∴OF=2,
∵AB∥OC,
∴∠B=∠BCF,∠BGD=∠CFD=90°,
∴△DCF≌△DBG,∴BG=CF=,
∴点B.
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(2)∵OC=OF-CF=,∴AB=AD=,
∴AG=AB-BG=1,在Rt△ADG中,
DG===,
∵△DCF≌△DBG,∴DF=DG=,
∴AE=FG=2DG=,
∴A(1,),代入y=,得k=.
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北师大版 九年级数学上册
