(共30张PPT)
第三章 概率的进一步认识
题型专练
北师大版 九年级数学上册
数学
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一、数字问题
1.有一密码箱的密码有5 位数字,若忘记了其中第一位和最后一位,那么一次把它打开的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析:第一位和最后一位的数字可能为0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,共10 个数字,则一次把它打开的概率为=.故选B.
B
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2.从分别写有数字1, 2, 3, 4, 5的5 张卡片中任意取出两张,组成一个两位数,则所组成的数字是偶数的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:画树状图如下:
共有20 个等可能的结果,其中所组成的数字是偶数的结果有8 个,∴所组成的数字是偶数的概率为=.故选C.
C
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二、有放回、可重复的事件概率
3. 2021年第十四届全国运动会的吉祥物:“朱朱” “熊熊” “羚羚” “金金”深受大家的喜欢,现将四张背面完全相同、正面分别印有以上4个吉祥物图案的卡片(卡片的形状、大小、质地都相同),背面朝上放在桌面上.
(1)若从中任意抽取1张,抽得的卡片上的图案恰好是“羚羚”的概率是 .
(2)若先从中任意抽取1张,记录后放回,洗匀后再任意抽取第2张,求两次抽取的卡片图案相同的概率(用树状图列表的方法求解).
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解:把“朱朱” “熊熊” “羚羚” “金金”4 个吉样物图案的卡片分别记为A,B,C,D,画树状图如下:
由树状图可知,共有16 种等可能的结果,其中两次抽取的卡片图案相同的结果有4 种,分别是:(A,A),(B,B),(C,C),(D,D);
∴两次抽取的卡片图案相同的概率为P==.
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4.从2021年高考开始,福建省全面实行“3+1+2”的高考选考方案.“3”指语文、数学、外语三科必考;“1”指从物理和历史中任选一科参加高考;“2”指从化学、生物、地理、政治四科任选两科参加高考.考生选定组合后按6科成绩计算高考成绩.(注:选法与顺序无关,例如:“物化政”和“物政化”属于同一种选法).
(1)高一学生亮亮即将面临选科分班,他的物理和历史成绩相当,若只考虑成绩,他随机选中物理的概率是 .
(2)高一学生小陈和小潘也即将面临选科分班,他俩酷爱物理和生物,两人约定必选物理和生物,他们还需在剩下三科里选取一科,假设选中每一科的机会相同,求他们恰好都选中“物化生”组合的概率是多少
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(1) 解析:∵从物理和历史中任选一科,共有两种可能出现的结果,
∴他选中物理的可能性为.
(2)解:小陈和小潘从化学、地理、政治中任选一科,所有可能出现的结果如下:
化学 地理 政治
化学 化学化学 地理化学 政治化学
地理 化学地理 地理地理 政治地理
政治 化学政治 地理政治 政治政治
共有9 种不同的结果,其中都选“化学”的有1种,
∴P(都选化学)=,
即P(都选理化生)=.
小潘
小陈
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三、不放回、不可重复的事件概率
5. 2022年卡塔尔世界杯的吉祥物“拉伊卜”凭借可爱的造型受到网友喜爱,如图分别是2022年和2018年世界杯的吉祥物和会徽图案,军军制作了4 张正面分别印有这四个图案的卡片(卡片的形状、大小、颜色和质地等都相同,这4 张卡片分别用字母A,B,C,D表示),并将这4 张卡片正面朝下洗匀.
(1)军军从中随机抽取1 张卡片上的图案是吉祥物“拉伊卜”的概率是 .
(2)军军从这4 张卡片中任意抽取1 张卡片,
再从剩下的卡片中任意抽取1 张卡片,
请利用画树状图或列表法,求抽取的2 张
卡片上的图案都是吉祥物的概率.
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(2)解:画树状图如下:
共有12 种等可能的结果,其中抽取的2 张卡片上的图案都是吉祥物的结果有2 种,
即AC,CA,
∴抽取的2 张卡片上的图案都是吉祥物的概率为=.
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6.一只不透明的袋子里装有2个白球,1个黑球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,从中任意摸出1个球,是红球的概率为.
(1)袋子里红球有 个.
(2)现从袋子中一次摸出两个球,请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果,并求摸到的两个球中有一个是黑球的概率.
2
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(2)解:画树状图如下:
共有20 个等可能的结果,摸到的两个球中有一个是黑球的结果有8 个,∴摸到的两个球中有一个是黑球的概率为=.
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四、游戏的公平性
7.小明和小亮用如图所示的两个转盘(每个转盘被分成三个面积相等的扇形)做游戏,转动两个转盘各一次,若两次数字之和为奇数,则小明胜;若两次数字之和为偶数,则小亮胜,这个游戏对双方公平吗 说说你的理由.
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解:
如树状图所示,有9 种等可能的结果数,其中两次数字之和为奇数的结果数为5,两次数字之和为偶数的结果数为4,∴小明胜的概率为,小亮胜的概率为,∵≠,∴这个游戏不公平.
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五、频率与概率
8.在一个不透明的袋子里,装有6枚白色棋子和若干枚黑色棋子,这些棋子除颜色外都相同.将袋子里的棋子摇匀,随机摸出一枚棋子,记下它的颜色后再放回袋子里,不断重复这一过程,统计发现,摸到白色棋子的频率稳定在0.1,由此估计袋子里黑色棋子的个数为 ( )
A.60 B.56 C.54 D.52
C
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9.在一个不透明的袋子里有1个红球,1个黄球和n个白球,它们除颜色外其余都相同.
(1)从这个袋子里摸出一个球,记录其颜色,然后放回,摇均匀后,重复该实验,经过大量实验后,发现摸到白球的频率稳定于0.5左右,求n的值;
(2)在(1)的条件下,先从这个袋中摸出一个球,记录其颜色,放回,摇均匀后,再从袋中摸出一个球,记录其颜色.请用画树状图或者列表的方法,求出先后两次摸出不同颜色的两个球的概率.
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解:(1)根据题意,得=,解得n=2.
(2)画树状图如下:
由树状图知,共有16 种等可能结果,其中先后两次摸出不同颜色的两个球的结果数为10,∴先后两次摸出不同颜色的两个球的概率为=.
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六、概率与统计
10.为了更好落实“双减”政策,增强课后服务的时效性,我县一中学定于每周四下午进行兴趣课“走班制”,开设了5 类兴趣课(每位学生均选其一):A.音乐;B.体育;C.美术;D.信息技术;E.演讲,为了了解该校学生的参与情况,现随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
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根据图中信息,解答下列问题:
(1)求此次调查的学生人数,并补全条形统计图;
(2)求“C”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数;
(3)若“E”类兴趣班中有2 名男生和3 名女生,从中随机抽取2 名参加县级演讲比赛,请用列表或画树状图的方法,求恰好抽到1 名男生和1 名女生的概率.
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解:
(1)此次调查的学生人数为15÷30%=50(人),
“D”类兴趣课的人数为50-8-15-10-5=12(人),
补全条形统计图如右图.
(2)“C”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数为360°×=72°.
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(3)画树状图如下:
共有20 种等可能的结果,其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有12 种,∴恰好抽到1 名男生和1 名女生的概率为=.
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七、综合类型
11.从-2,-1, 1, 2四个数中任取两个数,分别记为a,b,则关于x的不等式组有解的概率是 .
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解析:∵关于x的不等式组有解,∴b+1画树状图如下:
共有12 种等可能的结果,其中关于x的不等式组有解的结果有4 种,分别是或或或∴关于x的不等式组有解的概率为=.
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12.有四张正面分别标有数字-1, 0, 1, 2 的不透明卡片,它们除了数字之外其余全部相同,将它们背面朝上,洗匀后从四张卡片中随机抽取一张不放回,将卡片上的数字记为m,再随机地抽取一张,将卡片上的数字记为n.
(1)请用画树状图或列表法写出(m,n)所有的可能情况;
(2)求所选的(m,n)能在一次函数y=-x的图象上的概率.
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解:(1)画树状图如下:
则(m,n)所有的可能情况是(-1,0),
(-1,1), (-1,2), (0,-1), (0,1), (0,2),
(1,-1), (1,0), (1,2), (2,-1), (2,0), (2,1).
(2)所选的(m,n)能在一次函数y=-x的图象上的情况有(-1,1), (1,-1)共2 种,所以,所选的(m,n)能在一次函数y=-x的图象上的概率为=.
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13.一个袋中有3张形状大小完全相同的卡片,编号为1, 2, 3,先任取一张,将其编号记为m,再从剩下的两张中任取一张,将其编号记为n.
(1)请用树状图或者列表法,表示事件发生的所有可能情况;
(2)求关于x的方程x2+mx+n=0有两个不相等实数根的概率.
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(1)解:依题意,画出树状图
(或列表)如下:
1 2 3
1
(2,1) (3,1)
2 (1,2)
(3,2)
3 (1,3) (2,3)
或
n
m
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(2)解:当m2-4n>0时,关于x的方程x2+mx+n=0有两个不相等实数根,
而使得m2-4n>0的m,n有2组,即(3,1)和(3,2).
则关于x的方程x2+mx+n=0有两个不相等实数根的概率是.
∴P(有两个不相等实数根)=.
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14.在如图所示的电路图中,有四个断开的开关A,B,C,D和一个灯泡L.
(1)若任意闭合其中一个开关,则灯泡L发亮的概率为 .
(2)若任意闭合其中两个开关,请用列表法或画树状图法求灯泡L发亮的概率.
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(2)解:画树状图如图:
结果任意闭合其中两个开关的情况共有12 种,其中能使小灯泡发光的情况有6 种,小灯泡发光的概率是=.
(1) 解析:有4 个开关,只有D开关一个闭合小灯发亮,所以任意闭合其中一个开关,则小灯泡发光的概率是.
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3.2用频率估计概率
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一
1.频率与概率的区别与联系.
频率是伴随实验而产生的,是一个 ,概率是伴随一个事件而客观存在的,是一个 ,只有当实验次数很多时,频率才会在概率附近的数值上摆动,但即使实验次数再多,也很难保证两者相等.
2.计算公式:频率 概率.
实验值
理论值
=
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典型例题
【例1】一个不透明的袋子里装有黄、白、红三种颜色的球,摇匀后每次随机从袋中摸出一个球,记录颜色后放回袋中,通过大量试验后,发现摸到黄球的频率稳定在0.5附近,则随机从袋中摸出一个球,摸到黄球的概率约为 ( )
A. B. C. D.
思路点拨:概率=频率,直接得出答案.
解析:∵摸到黄色球的频率稳定在0.5左右,
∴摸到黄色球的概率为.故选B. 答案:B
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对应练习
1.在一个不透明的袋子中,装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个,除颜色外其它完全相同.若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和0.45,则该袋子中的白色球可能有 ( )
A.6个 B.16个 C.18个 D.24个
2.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球,通过多次摸球试验后,发现摸到白球的频率约为30%,估计袋中黑球有 ( )
A.8个 B.9个 C.14个 D.15个
B
C
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知识点二 用模拟试验的频率估计随机事件发生的概率
1.用模拟试验代替实际调查既省时又省力,但必须设计出合乎题意的方案.通常有以下两种比较常见的模拟试验:
(1)摸球试验;(2)用计算器产生随机数.
2.模拟试验的多样性:同一试验,有各种各样的替代物,这样会给试验带来很多方便.如在抛掷一枚硬币的试验中,如果手边恰好没有硬币,可以用一张红桃扑克牌和一张黑桃扑克牌为替代物,还可以用黄、白两个乒乓球为替代物,也可以用黑、白两粒围棋子为替代物来进行模拟试验.
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3.模拟试验的原则:替代试验必须在同等条件下进行.
4.用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数,
当试验次数很大时,结果将会较为精确.
5.摸球试验中应记住每次摸出球后必须放回.
6.不是所有试验都能找到替代物.
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典型例题
【例2】设计一个试验方案,估计10个人中至少有2个人生日在同一个月的概率.
思路点拨:利用频率估计概率,结合可操作的实验设计方案.
解:可设计如下试验方案:将12个大小、颜色、质量完全相同的小球分别标上1~12代表十二个月,放在不透明的袋子里.从袋子中任意摸出一球,记录数字,放回去,再摸出一球,记录数字,放回去,重复做10次,称为一次试验,并记录是否至少2个数字相同,重复多次这样的试验,利用试验频率来估计概率.
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对应练习
3.甲、乙、丙、丁四位同学进行一次网球单打比赛,要从中选出两位同学打第一场比赛.
(1)请用树状图法或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率;
(2)请你设计一个以摸球为背景的实验(至少摸2次),并根据该实验写出一个发生概率与(1)所求概率相同的事件.
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对应练习
解:(1)如下图:
恰好选中甲、乙两位同学的概率是=.
(2)设计如下:一个布袋中有红、黑、白、黄各1个球,
从中摸出一个(不放回),接着又摸出1个,
两次摸到的球是一个红球和一个黑球的概率.
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◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.木箱里装有除颜色不同外其他均相同的4 张红色卡片和若干张蓝色卡片,随机从木箱里摸出1 张卡片记下颜色后再放回,经过多次的重复试验,发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.75,则估计木箱中蓝色卡片有 ( )
A.20 张 B.12 张 C.8 张 D.4 张
解析:设木箱中蓝色卡片有x 张,根据题意得:=0.75,解得x=12,
经检验x=12是原方程的解,
则估计木箱中蓝色卡片有12 张.故选B.
B
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2.小明、小雪、丁丁和东东在公园玩飞行棋,四人轮流掷骰子,小明掷骰子7次就掷出了4次6,则小明掷到数字6的概率是 ( )
A. B. C. D.不能确定
B
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3.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出来的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入6 个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不断重复,共摸球400 次,其中66 次摸到黑球,估计盒中大约有白球 ( )
A.28 个 B.29 个 C.30 个 D.32 个
解析:设盒子里有白球x 个,得:=,解得x≈30.经检验结果符合题意.故选C.
C
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二、填空题
1.做重复试验:抛掷同一枚啤酒瓶盖1 000次.经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44,则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为 .
0.56
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2.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.
根据以上数据,估计这名球员在罚球线上投篮一次,投中的概率为 .
投篮次 数n 50 100 150 200 300 400 500
投中次 数m 28 49 78 102 153 208 255
投中频 率m/n 0.56 0.49 0.52 0.51 0.51 0.52 0.51
解析:由频率分布表可知,随着投篮次数越来越大时,频率逐渐稳定到常数0.51附近,∴这名球员在罚球线上投篮一次,投中的概率为0.51.故答案为0.51.
0.51
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3.一个袋子里有n个除颜色外完全相同的小球,其中有8个黄球,每次摸球前先将袋子里的球摇匀,任意摸出一球记下颜色后放回,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.4,那么可以推算出n大约是 .
20
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三、解答题
1.一个口袋中放有20个球,其中红球6个,白球和黑球各若干个,每个球除了颜色外没有任何区别.小王通过大量反复试验(每次取一个球,放回搅匀后取第二个)发现,取得黑球的频率稳定在0.4左右.
(1)请你估计袋中黑球的个数;
(2)若小王取出的第一个球是白球,将它放在桌上,闭上眼睛从袋中余下的球中再任意取一个球,取出红球的概率是多少
解:(1)估计袋中黑球的个数为20×0.4=8(个).
(2)小王取出的第一个球是白球,则袋子中还剩余19个球,其中红球有6个,所以从袋中余下的球中再任意取一个球,取出红球的概率是.
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2.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个,小明做摸球试验,他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复上述过程,下表是实验中的一组统计数据:
摸球的 次数n 100 200 300 500 800 1 000 3 000
摸到白球 的次数m 63 124 178 302 481 599 1 803
摸到白球 的频率 0.63 0.62 0.593 a 0.601 0.599 b
(1)计算:a= ;b= ;
(2)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近 (精确到0.1);
(3)求不透明的盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个
0.604
0.601
0.6
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解:∵白球的频率=0.6,
∴白球个数=40×0.6=24,
黑球=40-24=16.
答:不透明的盒子里黑球有16个,白球有24个.
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◆ 能力提升◆
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1.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用,如图是小刚同学的健康码(绿码)示意图,
已知正方形二维码的边长为2 cm,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机掷点,经过大量重复试验,发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右,据此可估计黑色部分的面积约为 cm2.
解析:由题意,知黑色部分的
面积约为2×2×0.7=2.8(cm2).
2.8
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2.某区未成年人校外心理健康辅导站多年来一直致力于未成年人心理健康服务工作.2022年11月疫情期间,辅导站对全区135057名中小学生进行了心理普测,探索出“云端”守护学生心灵的服务模式,受到了社会的广泛赞誉.为了更好地服务未成年学生,该辅导站对全区学生是否需要心理辅导进行随机问卷调查,得到以下统计表:
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调查人数 5 000 10 000 15 000 20 000
需要心理辅 导的人次 163 294 446 602
需要辅导的 频率 0.032 6 0.029 4 0.029 7 0.030 1
(1)通过以上数据估计,任意调查一名该区学生,这名学生需要心理辅导的概率大约是 (精确到0.001).
(2)辅导站通常使用A(沙盘游戏)、B(绘画分析)、C(会谈技术)、D(音乐放松)四种方式对需要辅导的学生进行公益心理辅导.在某次心理辅导服务中,有2名学生选择A方式,1名学生选择B方式,2名学生选择C方式.辅导站的马老师准备从这5名学生中选择2人进行辅导,请用列表法或树状图求选中的这两名学生恰好都是选择C方式的概率.
0.030
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解:列表如下:
可能出现的结果有20 种,并且它们出现的可能性相等,其中,选中的这两名学生恰好都是选择C方式的结果有2 种,则P(恰好都是选择C方式)==.
A1 A2 B C1 C2
A1 (A2,A1) (B,A1) (C1,A1) (C2,A1)
A2 (A1,A2) (B,A2) (C1,A2) (C2,A2)
B (A1,B) (A2,B) (C1,B) (C2,B)
C1 (A1,C1) (A2,C1) (B,C1) (C2,C1)
C2 (A1,C2) (A2,C2) (B,C2) (C1,C2)
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3.一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球,这两种球除了颜色之外没有其他任何区别,袋中的球已经搅匀,闭眼从口袋中摸出一个球,经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在.
(1)估计摸到黑球的概率是 .
(2)如果袋中原有红球12个,又放入n个黑球,再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在,求n的值.
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(1) 解析:P(取出黑球)=1-P(取出红球)=1-=.
(2)设袋子中原有黑球x 个,根据题意,得=,解得x=18,
经检验x=18是原方程的根,
∴黑球有18 个,
∵又放入了n 个黑球,根据题意,得=,
解得n=6.
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4.某超市经营某品牌的一种乳制品,根据往年销售经验,每天销售量与当天最高气温t(单位:℃)有关.为了制定六月份的订购计划,统计了前三年六月份每天的最高气温、销售量与最高气温的关系得到下表:
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最高气温t (单位:℃) 天数 每天销售量(瓶)
t<20 15 240
20≤t<25 30 300
t≥25 45 500
(1)估计超市今年六月份某一天这种乳制品的销售量不超过300瓶的概率;
(2)估计超市这种乳制品今年六月份平均每天的销售量;
(3)设进货成本为每瓶4元,售价为每瓶6元,结合前三年六月份的销售数据,估计超市今年六月份经营这种乳制品的总利润.
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解:(1)这种乳制品一天的需求量不超过300 瓶,当且仅当最高气温低于25 ℃,由表格数据,知最高气温低于25 ℃的频率为=0.5,所以这种乳制品一天的需求量不超过300 瓶的概率的估计值为0.5.
(2)六月份一天需求量的平均数
==390(瓶).
答:六月份一天需求量的平均数为390 瓶.
(3)390×(6-4)×30=23 400(元)
答:估计超市今年六月份经营这种乳制品的总利润是23 400 元.
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3.1用树状图或表格求概率（2）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
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能力提升
02
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◆ 名师导学 ◆
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知识点一
1.在求概率的过程中,要注意各种结果出现的可能性要相同.
2.配紫色游戏:红色和蓝色一起配成了蓝色.
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典型例题
【例1】一个箱子里共有3个球,其中有2个白球、1个红球,
它们除颜色外均相同.
(1)从箱子中任意摸出一个球,不将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球,
求两次摸出的球都是白球的概率;
(2)从箱子中任意摸出一个球,记下颜色后将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球,求两次摸出的球都是白球的概率.
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典型例题
思路点拨:
(1)直接利用树状图或者列表法,按概率公式求解;
(2)方法与第(1)问一样,与第(1)问稍有不同的是,
第(2)问摸出第一个球后放回.
解:两个白球用“白1”“白2”表示.
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典型例题
由表格可知共有6种等可能结果.
所以P(两次摸出的球都是白球)==.
(1)用表格列出所有可能出现的结果:
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典型例题
(2)用表格列出所有可能出现的结果:
由表格可知,共有9种等可能结果,
两次摸出的球都是白球的可能结果有4种,
所以P(两次摸出的球都是白球)=.
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对应练习
1.泰州的旅游景点很多,现有A,B,C三个景点.
(1)若小明任选一个景点游玩,问选中A景点的概率是多少
(2)若小明任选两个景点游玩,问选中A和B两个景点的概率是多少 (用列表法或树状图求解)
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对应练习
解:(1)小明任选一个景点游玩,选中A景点的概率=.
(2)画树状图为:
共有6种等可能的结果数,其中选中A和B两个景点的结果数为2,所以选中A和B两个景点的概率==.
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2.甲、乙两人进行摸牌游戏.现有三张形状大小完全相同的牌,正面分别标有数字2, 3, 5,将三张牌背面朝上,洗匀后放在桌子上.甲从中随机抽取一张牌,记录数字后放回洗匀,乙再随机抽取一张.请用列表法或画树状图的方法,求两人抽取数字之和是偶数的概率.
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典型例题
解:所有可能出现的结果如下:
从表格可以看出,总共有9种结果,其中两人抽取的数字之和是偶数的有(2,2), (3,5), (3,3), (5,3), (5,5)5种,所以P=.
2 3 5
2 (2,2) (2,3) (2,5)
3 (3,2) (3,3) (3,5)
5 (5,2) (5,3) (5,5)
数学
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知识点二 几何事件的概率
P=.
数学
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典型例题
【例2】一个小球在如图所示的地板上自由滚动,并随机停在某块方砖上,如果每一块方砖除颜色外完全相同,那么小球最终停留在黑砖上的概率是 ( )
A.
B.
C.
D.1
数学
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典型例题
思路点拨:根据几何概率的求法,小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.
解析:∵总面积为9个小正形的面积,其中阴影部分面积为4个小正方形的面积,
∴小球停在阴影部分的概率是.
故选B.
答案:B
数学
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对应练习
3.如图,是一圆形转盘,阴影部分扇形圆心角为120°,转动转盘,转盘停止后,指针落在阴影部分的概率是 ( )
A.
B.
C.
D.无法确定
B
数学
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对应练习
4.如图,转盘中8个扇形的面积都相等,任意转动转盘,当转盘停止时,指针落在阴影部分的概率为 ( )
A.,2-5.
B.
C.
D.
B
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.不透明的袋子中有两个小球,上面分别写着数字“1”,“2”,除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其数字,那么两次记录的数字之和为3的概率是 ( )
A. B. C. D.
C
数学
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2.现有两个可以自由转动的转盘,每个转盘分成三个相同的扇形,涂色情况如图所示,指针的位置固定,同时转动两个转盘,则转盘停止后指针指向同种颜色区域的概率是 ( )
A.
B.
C.
D.
A
数学
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二、填空题
1.小刚想给小东打电话,但忘了电话号码中的一位数字,只记得号码是284□9456(□表示忘记的数字).若小刚从0至9的自然数中随机选取一个
数放在□的位置,则他拨对小东家电话号码的概率是 .
数学
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2.从-1, 1, 2中任取两个不同的数,分别记为a和b,则a,b是方程x2-x-2=0的
两个根的概率是 .
解析:列表如下:
由表知,共有6 种等可能结果,其中a,b是方程x2-x-2=0的两个根的有(-1,2)、(2,-1)这两种结果,所以a,b是方程x2-x-2=0的两个根的概率为=.
-1 1 2
-1 (1,-1) (2,-1)
1 (-1,1) (2,1)
2 (-1,2) (1,2)
数学
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三、解答题
九(1)班为准备学校举办“我的梦·美丽中国梦”演讲比赛,通过预赛共评选出甲、乙、丙三名男生和A,B两名女生共5名推荐人选.
(1)若随机选一名同学参加比赛,求选中男生的概率.
(2)若随机选一名男生和一名女生组成一组选手参加比赛,用树状图(或列表法)表示所有可能出现的结果,并求恰好选中男生甲和女生A的概率.
数学
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解:(1)随机选一名同学参加比赛,选中男生的概率=.
(2)画树状图为:
共有6种等可能的结果数,其中选中男生甲和女生A的结果数为1,所以恰好选中男生甲和女生A的概率=.
数学
◆ 能力提升◆
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1.杭州市某公交站每天6:30~7:30开往某学校的三辆班车票价相同,但车的舒适程度不同.学生小杰先观察后上车,当第一辆车开来时,他不上车,而是仔细观察车的舒适状况,若第二辆车的状况比第一辆车好,他就上第二辆车;若第二辆车不如第一辆车,他就上第三辆车.若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等,则小杰坐上优等车的概率是 ( )
A. B. C. D.
A
数学
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解析:列表得:
∵小杰乘车的可能性有6种情况,小杰坐上优等车的有3种情况,
∴小杰坐上优等车的概率是=.故选A.
顺序 优, 中, 差 优, 差, 中 中, 优, 差 中, 差, 优 差, 优, 中 差,
中,
优
小杰 差 中 优 优 优 中
数学
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解析:画树状图如下:
共有24种等可能的结果,从中任取三根木棒能够组成三角形的结果有6种,
∴从中任取三根木棒能够组成三角形的概率为=.故选C.
2.从长度为1 cm,2 cm,3 cm,4 cm的4 根木棍中抽取了3 根,
能够构成三角形的概率为 ( )
A. B. C. D.
C
数学
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3.四边形ABCD中,①四边形ABCD是平行四边形;②AC=BD;③AC⊥BD;④AB=BC.从这四个条件中任选两个,可以判定四边形ABCD是菱形的概
率是 .
解析:画树状图如下:
由树状图知,共有12种等可能结果,其中可以判定四边形ABCD是菱形的有①③,①④,③①,④①这四种结果,所以可以判定四边形ABCD是菱形的概率是=.
数学
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4.在-1, 3, -2这三个数中,任选两个数分别作为k,b的值,使一次函数y=kx+b的图象在第二、三、四象限的概率是 .
数学
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5.消费者在许昌市某火锅店饭后买单时可以参与一个抽奖游戏,规则如下:有4 张纸牌,它们的背面都是小猪佩奇头像,正面为2 张笑脸、2 张哭脸.现将4 张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上,然后让消费者去翻纸牌.
(1)现小杨有一次翻牌机会,若正面是笑脸的就获奖,正面是哭脸的不获奖.她从中随机翻开一张纸牌,小杨获奖的概率.
(2)如果小杨、小月都有翻两张牌的机会.小杨先翻一张,放回后再翻一张;小月同时翻开两张纸牌.他们翻开的两张纸牌中只要出现一张笑脸就获奖.他们谁获奖的机会更大些 通过树状图或列表法分析说明理由.
数学
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解:(1)小杨获奖的概率=.
(2)设两张笑脸牌分别为笑1,笑2,两张哭脸牌分别为哭1,哭2,画树状图如下:
小月:
∵共有12种等可能的结果,翻开的两张纸牌中出现笑脸的有10种情况,
∴小月获奖的概率是=;
数学
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小杨:
∵共有16种等可能的结果,翻开的两张纸牌中出现笑脸的有12种情况,
∴小杨获奖的概率是=;∵>,
∴P(小月获奖)>P(小杨获奖),
∴小月获奖的机会更大些
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北师大版 九年级数学上册(共34张PPT)
3.1用树状图或表格求概率（1）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一
1.现实生活中经常遇到多种结果都可能发生的事件,可利用树状图或表格求解事件发生的概率,当出现结果的可能性相同时,将所有结果展示出来,符合条件的结果与所有结果的比值即为这一事件发生的概率.
2.概率P= (n为所有可能出现的结果数目,k为符合条件的结果数目,0≤P≤1)
3.一步事件概率的求法:列举法.
数学
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典型例题
【例1】一个袋子中有4个球,其中2个红球,2个蓝球,除颜色外其余特征均相同,若从这个袋子中任取1个球,是蓝色的概率是 ( )
A. B. C. D.
思路点拨:直接根据概率公式求解即可.
解析:根据题意,得一袋中装有2个蓝球,2个红球,共4个,任意摸出1个,
摸到蓝球的概率是=.故选A.
答案:A
数学
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对应练习
1.在一个不透明的盒里,装有10个红色球和5个蓝色球,它们除颜色不同外,其余均相同,从中随机摸出一个球,它为蓝色球的概率是 ( )
A. B. C. D.
2.在一个不透明的布袋中装有2个白球和3个红球,它们除了颜色不同外,其余均相同.从中随机摸出一个球,摸到白球的概率是 ( )
A. B. C. D.
C
D
数学
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知识点二 两步或者两步以上事件的概率
用列表法或者树状图法求解.
数学
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典型例题
【例2】小明和小斌参加学校社团活动,准备在舞蹈社、文学社和漫画社里选择一项,那么两人同时选择漫画社的概率为 ( )
A. B. C. D.
数学
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典型例题
思路点拨:根据题意,用树状图或者列表法即可求得答案.
解析:列表如下:
舞蹈 文学 漫画
舞蹈 (舞蹈,舞蹈) (文学,舞蹈) (漫画,舞蹈)
文学 (舞蹈,文学) (文学,文学) (漫画,文学)
漫画 (舞蹈,漫画) (文学,漫画) (漫画,漫画)
由表格可知,共有9种等可能结果,
其中两人同时选择漫画社的只有1种结果,所以两人同时选择漫画社的概率为.
故选C.
答案:C
数学
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对应练习
3.地铁四号线有A,B两个入口,D,E,F三个出口,则青青从A入口进,F出口出的概率是 .
数学
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对应练习
4.淘淘和丽丽是九年级学生,在5月份进行的物理、化学、生物实验技能考试中,考试科目要求三选一,并且采取抽签方式取得,那么他们两人都抽到物理实验的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析:画树状图如图,
因为共有9种等可能的结果数,
其中他们两人都抽到物理实验的结果为1,
所以他们两人都抽到物理实验的概率是.故选B.
B
数学
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对应练习
5.某校举行诗词大赛,决赛阶段只剩下甲、乙、丙三名同学,则甲、乙两位同学获得前两名的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析:画树状图如图,由树状图可知:
所有等可能的结果有6种,
其中甲、乙两位同学获得前两名的有2种,
∴甲、乙两位同学获得前两名的概率为=.故选B.
B
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知识点三 游戏的公平性
只有当游戏双方赢的概率相等时,才判断游戏公平.
数学
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典型例题
【例3】甲乙两人做游戏,同时掷两枚相同的硬币,双方约定:同面朝上甲胜,反面朝上则乙胜,则这个游戏对双方 ( )
A.公平
B.对甲有利
C.对乙有利
D.无法确定公平性
数学
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典型例题
思路点拨:先用树状图或者列表法或者列举法求得掷硬币所有的情况,再按要求分别求甲、乙两人获胜的概率,再把概率进行比较即可得出答案.
解析:同时掷两枚相同的硬币,出现的情况如下:
(正,正),(反,正),(正,反),(反,反)共四种情况.
∴P(同面朝上)==50%,
P(反面朝上)==50%,
∴游戏公平.故选A.
答案:A
数学
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对应练习
6.如图所示的转盘,三个扇形的圆心角相等,分别标有数字1, 2, 3.小明和小亮进行一个游戏,游戏规则为:一人转动一次圆盘,如果两次转出的数字之和为偶数,那么小明胜;否则小亮胜.
(1)用画树状图或列表的方法求出小明获胜的概率;
(2)你认为该游戏公平吗 请说明理由.
数学
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对应练习
解:(1)列表如下:
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
由表可知,所有等可能的情况数为9种,其中两次指针所指数字之和为偶数的有5种结果,则小明获胜的概率为.
(2)答:不公平.理由:由表可知,所有等可能的情况数为9种,其中两次指针所指数字之和为奇数的有4种结果,和为偶数的有5种结果,所以小明获胜的概率为,小亮获胜的概率为,∵≠,∴此游戏不公平.
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.在“WZFLS”中随机选择一个字母,选到“F”的概率是 ( )
A. B. C. D.
C
数学
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2.为做好疫情防控工作,在学校门口放置了A,B,C三条体温检测通道,某日入校张老师与王同学走相同通道的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:树状图如下:
共有9 种等可能情况,其中张老师与王同学走相同通道的情况为3 种,
∴张老师与王同学走相同通道的概率为=.
故选B.
B
数学
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3.遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动,如图是某赛道的部分通行路线示意图,某赛车从入口A驶入,行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同,则该赛车从F口驶出的概率是 ( )
A. B.
C. D.
解析:画树状图如图,共有4 种等可能的结果,
其中该赛车从F口驶出的结果有1 种,
∴该赛车从F口驶出的概率为.故选B.
B
数学
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二、填空题
1.小明和小亮做游戏,先是各自背着对方在纸上写一个自然数,然后同时呈现出来.他们约定:若两人所写的数都是奇数或都是偶数,则小明获胜;否则,小亮获胜.这个游戏对双方 (填“公平”或“不公平”).
解析:两人写的数字共有奇偶、偶奇、偶偶、奇奇四种情况,
因此同为奇数或同为偶数概率为=,一奇一偶概率也为=,
所以这个游戏对双方公平.
公平
数学
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2.某校举行A,B两项趣味比赛,甲、乙两名学生各自随机选择其中的一项,则他们恰好参加同一项比赛的概率是 .
3.如图,同时旋转两个标准的转盘,当转盘停止转动时,
指针所指的两数字之积为奇数的概率是 .
数学
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三、解答题
1.某电脑公司现有A,B,C三种型号的甲品牌电脑和D,E两种型号的乙品牌电脑.希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑.
(1)写出所有选购方案(用树状图或表格表示);
(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同,那么A型号电脑被选中的概率是多少
数学
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(1)解:用树状图表示如下图:
∴总共有6种情况,即有6种选购方案.
(2)解:∵选中A型号电脑有两种选购方案(A,D),(A,E),
∴A型号电脑被选中的概率为=.
数学
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2.在一次试验中,每个电子元件 的状态有通电、断开两种可能,并且这两种状态的可能性相等,用列表或画树状图的方法,求图中A,B之间电流能够通过的概率.
解:画树状图如下:
由树状图知,共有4 种等可能的结果,
A,B之间电流能够正常通过的结果有1 种,
∴A,B之间电流能够正常通过的概率为.
数学
◆ 能力提升◆
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1.有一枚质地均匀的正方体骰子,六个面上分别刻有1到6的点数,将它投掷两次,则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为8的概率是 ( )
A. B. C. D.
C
数学
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2.甲、乙两人进行象棋比赛,比赛规则为3局2胜制,如果两人在每局比赛中获胜的机会均等,且比赛开始后,甲先胜了第1局,那么最后甲获胜的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析:画树状图如右图,∵第二局共有2种等可能的结果,各为的概率,
第二局甲赢后不需要再继续第三局;若进行了第三局,最后甲获胜的有1种情况,获胜概率为,∴最后甲获胜的概率是×+=.故选D.
D
数学
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3.在□a2□2ab□b2的三个空格中,顺次填上“+”或“-”,恰好能构成完全平
方式的概率是 .
数学
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4.从2021年起,很多省份的高考将采用“3+1+2”的模式:“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目,“1”是指在物理、历史2科中任选1科,“2”是指在化学、生物、道德与法治、地理4科中任选2科.
(1)若你在“1”中选择了你喜欢的物理,在“2”中已经选择了你喜欢的化学,
(2)若小王在“1”中选择了喜欢的历史,请用列表法表示他在“2”中所有可选科目的方案,由于大学后考研必须要考道德与法治,小王不想到考研的时候出现知识空档期,而他对其他学科没有特别要求,那么他选择合适科目的概率是多少
则你选择地理的概率为 .
数学
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(2)解:把化学、生物、道德与法治、地理分别记为A,B,C,D,
画树状图如图:
共有12个等可能的结果,其中含有道德与法治学科的方案有6个,
∴小王选择合适科目的概率为=.
数学
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5.如图,有3张背面相同的纸牌A,B,C,其正面分别画有三个不同的几何图形,
(1)求摸出一张纸牌是中心对称图形的概率;
(2)将这3张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张,放回洗匀后再摸出一张.求摸出两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的纸牌的概率,(用树状图或列表法求解,纸牌可用A,B,C表示)
数学
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解:(1)∵3张牌中有2张牌是中心对称图形,
∴摸出一张纸牌是中心对称图形的概率为.
(2)画树状图如图.
从树状图可以看出,所有可能出现的结果共有9个,这些结果出现的可能性相等而摸出两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的纸牌的情况有1种,所以摸出两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的纸牌的概率为.
数学
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6.在四个完全相同的小球上分别写上1, 2, 3, 4四个数字,然后装入一个不透明的口袋内搅匀,从口袋内取出一个球记下数字后作为点M的横坐标x,放回袋中搅匀,然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点M的纵坐标y,求点M(x,y)落在直线y=-x+5上的概率.
数学
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解:列表得:
∵共有16种等可能的结果,点M(x,y)满足y=-x+5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),
∴点M(x,y)落在直线y=-x+5上的概率为=.
1 2 3 4
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
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北师大版 九年级数学上册
