(共28张PPT)
4.3 相似多边形
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 相似多边形的定义
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.例如,五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1相似.记作:五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1.“∽”读作相似于.在记两个多边形相似时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
数学
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典型例题
【例1】下列图形一定相似的是 ( )
A.两个平行四边形 B.两个矩形
C.两个正方形 D.两个等腰三角形
数学
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典型例题
思路点拨:根据相似多边形的定义,要相似须满足两个条件:对应角相等和对应边成比例,根据这两个条件进行判断即可得出答案.
解析:A项,两个平行四边形,对应边不一定成比例,对应角不一定相等,所以不一定相似,故不合题意;
B项,两个矩形,对应角都是直角(相等),对应边不一定成比例,所以不一定相似,故不合题意;
C项,两个正方形,对应角相等,对应边成比例,所以一定相似,故符合题意;
D项,两个等腰三角形,对应角不一定相等,对应边不一定成比例,所以不一定相似,故不合题意.故选C.
答案:C
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对应练习
1.下列各组中两个图形不一定相似的是 ( )
A.有一个角是120°的两个等腰三角形
B.两个等腰直角三角形
C.有一个角是35°的两个等腰三角形
D.两个等边三角形
2.下列说法中,错误的是 ( )
A.全等图形一定是相似图形 B.两个等边三角形一定相似
C.两个等腰直角三角形一定相似 D.两个直角三角形一定相似
C
D
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对应练习
3.下列各选项:
①两个边长不等的等边三角形;
②两个边长不等的正方形;
③两个边长不等的菱形;
④两个斜边不等的等腰直角三角形;
⑤两个边长不等的正五边形,
其中的两个图形一定相似的有 .(填序号)
①②④⑤
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知识点二 相似比、相似多边形的性质
1.相似比:相似多边形对应边的比叫做相似比.例如,五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1相似,对应边=====k,则五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的相似比是k,五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的相似比是.
2.相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.
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典型例题
【例2】如图,四边形ABCD∽四边形EFGH,求∠α,∠β的大小和EH的长度.
思路点拨:观察图形,根据相似多边形的对应角相等可得出∠α=∠C=83°,∠A=∠E=118°,
再根据四边形的内角和等于360°可计算求出∠β的大小,
然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出EH的长度.
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典型例题
解:∵四边形ABCD∽四边形EFGH,
∴∠α=∠C=83°,∠A=∠E=118°,
在四边形ABCD中,∠β=360°-∠C-∠B-∠A=360°-83°-78°-118°=81°,
∵四边形ABCD∽四边形EFGH,
∴EH∶AD=EF∶AB,
∴设EH的长度为x cm,∴x∶21=24∶18,
解得x=28,
∴EH=28 cm.
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对应练习
4.如图,四边形ABCD∽四边形EFGH,∠A=80°,∠C=90°,∠F=70°,则∠H等于 ( )
A.70° B.80°
C.110° D.120°
5.一个五边形ABCDE各边的边长为2, 3, 4, 5, 6,另一个和它相似的五边形A1B1C1D1E1最长边为12,则A1B1C1D1E1的最短边长为 ( )
A.8 B.6 C.4 D.2
D
C
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对应练习
6.如图所示,把矩形ABCD对折,折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似,已知AB=4.
(1)求AD的长;
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.
数学
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对应练习
解:(1)∵矩形DMNC∽矩形ABCD,∴=,
∴=,∴AD2=16,∴AD2=32,
∴AD=4.
(2)∵===,
∴矩形DMNC与矩形ABCD的相似比是.
数学
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一、选择题
1.下列四组图形中,一定相似的是 ( )
A.正方形与矩形 B.正方形与菱形
C.矩形与菱形 D.正七边形与正七边形
D
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解析:
A项,正方形与矩形,对应角相等,对应边不一定成比例,不符合题意;
B项,正方形与菱形,对应边成比例,对应角不一定相等,不符合相似的定义,不符合题意;
C项,矩形与菱形,对应边比值不相等,对应角不一定相等,不符合题意;
D项,正七边形与正七边形,对应角相等,对应边一定成比例,符合相似的定义,符合题意.
故选D.
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2.下列各选项中的两个图形是相似图形的是 ( )
解析:A项,两个图形形状不相同,不相似,不符合题意;
B项,两个图形形状不相同,不相似,不符合题意;
C项,两个图形形状不相同,不相似,不符合题意;
D项,两个图形形状相同,相似,符合题意.
故选D.
D
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3.若四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',且AB∶A'B'=1∶2,已知BC=8,
则B'C'的长是 ( )
A.4 B.16 C.24 D.64
B
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二、填空题
1.四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形,点A,B,C,D分别与A',B',C',D'对应,已知BC=3,CD=2.4,B'C'=2,那么C'D'的长是 .
2.如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',则α= .
解析:∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D’,
∴∠A=∠A'=62°,∠B=∠B'=75°,
∴α=360°-140°-62°-75°=83°.
1.6
83°
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三、解答题
如图所示,小林在一块长为6 m,宽为4 m,一边靠墙的矩形小花园ABCD周围栽种了一种花来装饰,这种花的边框宽为20 cm,边框内外边缘所围成的两个矩形相似吗
解:边框外缘所围成的矩形的
长=640 cm,宽=420 cm,
长与宽的比为640∶420=32∶21,
而矩形ABCD中,600∶400=3∶2,
∵32∶21≠3∶2,即对应边不成比例,
∴边框内外边缘所围成的两个矩形不相似.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,在长为8 cm,宽为4 cm的矩形中,截去一个矩形,使得剩余的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则剩余的矩形的面积是 ( )
A.2 cm2
B.4 cm2
C.8 cm2
D.16 cm2
C
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2.装裱一幅宽40 cm,长60 cm的矩形画,要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似,装裱上去的部分的上下的宽都为15 cm,若装裱上去的左右部分的宽都为x cm,则x= .
解析:由题意,得=,解得x=10.
10
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3.如图,现有一个边长是1的正方形ABCD,在它的左侧补一个矩形ABEF,使所得矩形CEFD∽矩形ABEF,求BE的长.
解:∵矩形CEFD∽矩形ABEF,
∴=,
设BE的长为x,
则=,解得x1=,
x2=(舍去),则BE的长为.
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4.如图,四边形ABCD为平行四边形,AE平分∠BAD交BC于点E,过点E作EF∥AB,交AD于点F,连接BF.
(1)求证:BF平分∠ABC;
(2)若AB=6,且四边形ABCD∽四边形CEFD,求BC的长.
数学
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(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,∴∠FAE=∠AEB,∵EF∥AB,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∵AE平分∠BAD,
∴∠FAE=∠BAE,∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=EB,
∴四边形ABEF是菱形,∴BF平分∠ABC.
数学
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(2)解:∵四边形ABEF为菱形;∴BE=AB=6,
∵四边形ABCD∽四边形CEFD,
∴=,即=,
解得BC=3±3(负值舍去),
∴BC=3+3.
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5.为了铺设一矩形场地,特意选择某地砖进行密铺,为了使每一部分都铺成如图所示的形状,且由8块地砖组成,问:
(1)每块地砖的长与宽分别为多少
(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似 试说明你的理由.
数学
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解:(1)设矩形地砖的长为a cm,宽为b cm,由图可知4b=60,即b=15.
因为a+b=60,所以a=60-b=45,
所以矩形地砖的长为45 cm,宽为15 cm.
(2)不相似.理由如下:
由题意,得矩形地面的长为2×45×k=90k(cm),宽为60k cm,所以==.
而==,≠,即矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例,所以它们不相似.
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北师大版 九年级数学上册(共26张PPT)
4.2 平行线分线段成比例
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
如图,l1∥l2∥l3,则a∶b= .
c∶d
数学
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典型例题
【例1】如图,直线l1∥l2∥l3,直线l4,l5被直线l1,l2,l3所截,截得的线段分别为AB,BC,DE,EF.若AB=4,BC=6,DE=3,则EF的长是 ( )
A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
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典型例题
思路点拨:根据平行线分线段成比例定理列出比例式,代入已知数据计算即可.
解析:∵直线l1∥l2∥l3,∴=,
∵AB=4,BC=6,DE=3,∴=,
∴EF=4.5.故选B.
答案:B
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对应练习
1.如图,AB∥CD∥EF.若=,BD=4,则DF的长为 ( )
A.2
B.4
C.6
D.8
D
数学
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对应练习
2.如图,a∥b∥c.AB=9,BC=3,DE=12,则EF的长为 ( )
A.4
B.6
C.16
D.3
A
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知识点二 平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线与其他两边相交,
截得的 .
对应线段成比例
数学
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典型例题
【例2】如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD∶DB=3∶2,AE=6 cm,则EC的长
为 ( )
A.6 cm
B.5 cm
C.4 cm
D.3 cm
数学
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典型例题
思路点拨:根据平行线分线段成比例定理的推论列出比例式,代入已知数据计算即可.解析:∵DE∥BC,
∴=,
∵AD∶DB=3∶2,AE=6 cm,
∴=,
解得EC=4 cm,故选C.
答案:C
数学
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对应练习
3.如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD=4,BD=2,则AE∶AC的值为
( )
A.0.5
B.2
C.
D.
D
数学
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对应练习
4.如图,在△ABC中,DE∥BC,若, - .=,3-5.,则AE∶CE的值为( )
A.3
B.
C.
D.
C
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,直线l1∥l2∥l3,分别交直线m,n于点A,B,C,D,E,F.若AB∶BC=5∶3,
DE=15,则EF的长为 ( )
A.6 B.9
C.10 D.25
解析:∵l1∥l2∥l3,DE=15,
∴==,即=,
解得EF=9.故选B.
B
数学
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2.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC的反向延长线上,且DE∥BC.
若AE=2,AC=4,AD=3,则AB为 ( )
A.9 B.6
C.3 D.
3.已知在△ABC中,DE∥BC,AD=5,DB=7,AE=4,则AC的值是 ( )
A.7.6 B.9.6
C.8.5 D.5.6
B
B
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二、填空题
1.如图,AD,BC相交于点O,点E,F分别在BC,AD上,AB∥CD∥EF,如果
CE=6,EO=4,BO=5,AF=6,那么AD= .
第1题图
解析:∵AB∥CD∥EF,∴=,
∵CE=6,EO=4,BO=5,AF=6,
∴=,∴DF=4,
∴AD=AF+DF=6+4=10.
10
数学
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2.如图,在△ABC中,DE∥BC,若=,AE=1,则AC等于 .
第2题图
3
数学
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三、解答题
如图,直线l1∥l2∥l3,CH=2,AG=1.5,BG=4.5,EF=5,求DH与EK的长.
解:根据平行线分线段成比例的性质,可得=,=,
∵CH=2,AG=1.5,BG=4.5,
∴=,
∴DH=6.
∵AG=1.5,AB=1.5+4.5=6,EF=5,
∴EK=.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,在△ABC中,D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,EF∥CD交AB于点F,
那么下列比例式中正确的是 ( )
A.=
B.=
C.=
D.=
C
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2.如图,E是△ABC的中线AD上一点,CE的延长线交AB于点F,若AF=2,
ED=3AE,则AB的长为 .
第2题图
14
数学
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解析:过D点作DH∥CF交AB于点H,如图,∵EF∥DH,∴==,∴FH=3AF=3×2=6,
∵AD为中线,
∴BD=CD,
∵DH∥CF,∴==1,
∴BH=FH=6,
∴AB=AF+FH+HB=2+6+6=14.
数学
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3.如图,在△ABC中,D为BC上一点,且BD∶CD=2∶3,点E为AD的中点,BE的延长线交AC于点F,则为 .
第3题图
解析:过点D作DT∥BF交AC于点T,在△ADT中,
∵EF∥DT,∴=,又∵E为AD的中点,
∴AE=ED,∴AF=FT,在△BCF中,
∵DT∥BF,∴==,∴==.
数学
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4.如图,在△ABC中,AF∶FD=1∶5,BD=DC,求AE∶EC的值.
解:过点D作DG∥BE交AC于点G.
∵DG∥BE,
∴==.
∵DG∥BE,
∴=,
又BD=DC,
∴EG=CG.
∴==.
数学
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5.如图,已知E是平行四边形ABCD中DA边的延长线上一点,且AD=2AE,连接EC分别交AB,BD于点F,G.
(1)求证:BF=2AF;
(2)若BD=20 cm,求DG的长.
数学
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(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∵AF∥CD,
∴==,
∵AE∥BC,
∴==,
∴BF=2AF.
数学
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(2)解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,
而由(1)得BF=2AF,
∴BF=AB=CD,
∵BF∥CD,
∴==,
∴=,
∴DG=BD=×20=12 cm.
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北师大版 九年级数学上册(共46张PPT)
4.1 成比例线段（1）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
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知识点一 两条线段的比
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD= ,或者写成=,其中,线段AB,CD分别叫做线段的比的前项和 .
m∶n
后项
数学
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典型例题
【例1】已知线段AB的长为2 m,线段CD的长为20 cm,则线段AB与线段CD的比为 .
思路点拨:求线段的比值,先观察线段的单位是否一致,若不一致,则要化为同一单位.
解析:∵CD=20 cm=0.2 m,
∴AB∶CD=2∶0.2=10∶1.
答案:10∶1
数学
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对应练习
1.已知线段AB∶CD=5∶2,其中CD=40 cm,则AB= cm.
2.已知线段AB=2.5 m,线段CD=400 cm,则AB∶CD= .
100
5∶8
数学
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知识点二 成比例线段
对于给定的四条线段a,b,c,d,如果a与b的比等于c与d的比,即=(或a∶b=c∶d),那么,这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.
数学
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典型例题
【例2】以下列数据(单位:cm)为长度的各组线段中,成比例线段的是 ( )
A.1, 2, 3, 4 B.3, 6, 9, 18
C.1, 2, 2, 6 D.1, , 4, 3
思路点拨:分别计算各组数中最大与最小数的乘积和另外两数的乘积,然后根据成比例线段的定义进行判断.
解析:A项,1×4≠2×3,不符合题意;B项,3×18=6×9,符合题意;
C项,1×6≠2×2,不符合题意;D项,1×3≠×4,不符合题意.故选B.
答案:B
数学
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对应练习
3.下面四条线段成比例的是 ( )
A.a=1,b=2,c=4,d=6 B.a=3,b=4,c=6,d=8
C.a=1,b=,c=2,d= D.a=1,b=2,c=3,d=4
4.已知a,b,c,d是成比例线段,其中a=1 cm,b=4 cm,c=2 cm,则d等于( )
A.2 cm B.4 cm
C.8 cm D.10 cm
B
C
数学
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知识点三 比例的基本性质
1.如果=,那么ad=bc.
2.如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么 .
=
数学
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典型例题
【例3】如果2a=5b,那么下列比例式中正确的是 ( )
A.= B.= C.= D.=
思路点拨:直接利用比例的基本性质变形即可.
解析:∵2a=5b,∴=或=.故选A.
答案:A
数学
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对应练习
5.如果3m-2n=0(m,n≠0),那么= ( )
A. B. C. D.
6.已知=,则= .
B
4
数学
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知识点四 比例中项
若a∶b=b∶c,那么b叫做a,c的比例中项,且有b2=ac.
数学
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典型例题
【例4】已知线段b是线段a和线段c的比例中项,若a=3,c=4,则b的值是( )
A.2 B.5 C.2 D.3
思路点拨:先根据比例中项的定义得到3∶b=b∶4,然后利用比例性质求b的值.
解析:根据题意,得a∶b=b∶c,即3∶b=b∶4,
解得b=2或b=-2 (舍去),
∴b的值为2.故选C.
答案:C
数学
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对应练习
7.已知线段a=3,c=27,线段b是a,c的比例中项,则线段b的长度为 ( )
A.9 B.±9 C.11 D.±11
8.如果b=4是a与c的比例中项,且a=2,那么c的值为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
A
C
数学
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知识点五 比例尺相关的公式
比例尺= ; 实际距离= ;
图上距离= .
实际距离×比例尺
数学
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典型例题
【例5】在比例尺为1∶1000000的地图上,相距3 cm的两地,它们的实际距离为 ( )
A.3 km B.30 km C.300 km D.3 000 km
思路点拨:实际距离=
解析:3÷=3000000(cm),3000000 cm=30 km.故选B.
答案:B
数学
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对应练习
9.在比例尺为1∶2000000的地图上,实际相距100 km的两地,则它们在地图上的距离为 ( )
A.5 cm B.50 cm C.20 cm D.10 cm
10.在一幅地图上,用9厘米表示实际距离1 080米,则这幅地图的比例尺是 ( )
A.1∶120 B.1∶1200
C.1∶12000 D.1∶120000
A
C
数学
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一、选择题
1.若a,b,c,d是成比例线段,其中a=5,b=2.5,c=8,则线段d的长为 ( )
A.2 B.4 C.5 D.6
2.已知3x=4y,则下面结论成立的是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
B
A
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3.若a∶b=1∶2,且b是a,c的比例中项,则b∶c等于 ( )
A.1∶3 B.1∶2 C.2∶3 D.2∶1
解析:∵b是a,c的比例中项,∴=,∵a∶b=1∶2,∴==,即b∶c=1∶2.故选B.
4.下列四组线段中,不成比例的是 ( )
A.3, 9, 2, 6 B.1, , ,
C.1, 2, 3, 9 D.1, 2, 4, 8
解析:A项,3×6=9×2,不符合题意;
B项,1×=×,不符合题意;
C项,1×9≠2×3,符合题意;
D项,1×8=2×4,不符合题意.
故选C.
B
C
数学
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二、填空题
1.在比例尺是1∶2000000的地图上量得甲乙两地的距离是6厘米,甲乙两地的实际距离是 km.
2.已知2, 4, 3三个数,请你再添上一个数,写出一个比例式: .
120
2∶4=3∶6
数学
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3.已知=,则的值为 .
解析:∵=,∴3(3m-n)=n,∴9m-3n=n,∴9m=4n,∴=.
数学
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三、解答题
1. x∶25=144∶5.
3.已知a∶b=1∶4,求的值.
2.已知长度为x-1, 2, x+1, 3的线段成比例,求x的值.
解:∵x∶25=144∶5,
∴5x=25×144,
∴x=5×144,即x=720.
解:∵a∶b=1∶4,∴b=4a,
∴===-3.
解:由成比例线段的定义,得=,
解得x=5.
数学
◆ 能力提升◆
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1.若=,则的值为 ( )
A.5 B. C.3 D.
2.若三角形三个内角的比为1∶2∶3,则它的最长边与最短边的比为 .
解析:根据题意,设三个内角分别是k,2k,3k,则k+2k+3k=180°,解得k=30°,
∴这个三角形的三个内角分别是30°, 60°, 90°,
∴它的最长边与最短边之比为2∶1(30°角所对的直角边等于斜边的一半).
A
2∶1
数学
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3.如图,在△ABC中,=,且AB=3 cm,BC=5.6 cm,AC=5 cm,求BD,DC的长.
解:设BD=x cm,则DC=BC-BD=(5.6-x)cm,
∵=,
∴=,解得x=2.1.
即BD=2.1 cm,
DC=BC-BD=5.6-2.1=3.5 cm.
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4.下面是学校操场的平面图,已知比例尺是,请你计算操场的实际
面积是多少平方米
解:2÷=8 000 (厘米),8 000 厘米=80 米,
3÷=12 000 (厘米),
12 000 厘米=120 米,
80×120=9 600 (平方米).
答:操场的实际面积是9 600 平方米.
数学
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5.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高线,试猜想线段AC,AB,CD,BC是否对应成比例 如果对应成比例,请写出这个比例式,并进行验证;如果不成比例,请说明理由.
解:=.
证明:∵S△ABC=AB·CD=AC·BC,
∴AB·CD=AC·BC,
∴=.
4.1 成比例线段（2）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 等比性质
若===k,若 ,则= .
b+d+f≠0
k
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典型例题
【例1】 ===,若b+d+f=9,则a+c+e= ( )
A.12 B.15 C.16 D.18
思路点拨:根据等比性质和已知条件,得出=,再求解即可.
解析:∵===,∴=,
∵b+d+f=9,∴a+c+e=12.故选A.
答案:A
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对应练习
1.已知=(a≠-2),则的值为 ( )
A. B.1 C.2 D.不能确定
2.若===3(3b+d-2f≠0),则的值是 ( )
A.1 B. C.3 D.无法确定
A
C
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知识点二 反比性质与合分比性质
1.反比性质:若=,则=.
2.合分比性质:若=,则=.
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典型例题
【例2】若=,则的值为 ( )
A. B. C. D.
思路点拨:方法①:根据反比性质和已知条件,得出=4,所以=.
方法②:根据=.可设a=k,b=3k,代入所求的式子即可求解.
解析:方法①:∵=,∴=,∴=,∴=.方法②:∵=,∴设a=k,b=3k,
则==,故选A.
答案:A
数学
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对应练习
3.已知=(a≠0,b≠0),则的值为 ( )
A. B. C. D.
4.已知=,则的值是 ( )
A. B. C.3 D.
5.若=,则的值为 ( )
A. B. C. D.5
B
D
A
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◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.若4m=5n(m≠0),则下列等式成立的是 ( )
A.=
B.=
C.=
D.=
解析:A项,因为=,所以5m=4n,不符合题意;
B项,因为=,所以mn=20,不符合题意;
C项,因为=,所以4m=5n,符合题意;
D项,因为=,所以5m=4n,不符合题意.
故选C.
C
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2.已知=,则的值为 ( )
A. B. C. D.
解析:=,则==,故选D.
D
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二、填空题
1.已知===2,且b+d+f≠0,则= .
2.比例式=中x的值等于 .
2
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3.若=,则= .
解析:∵=,∴a=b,∴===.
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三、解答题
1.已知==,且x+2y+3z=-46,求x,y,z的值.
解:设x=2k,y=3k,z=5k(k≠0),
∵x+2y+3z=-46,
∴2k+6k+15k=-46,解得k=-2,
∴x=-4,y=-6,z=-10.
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2.已知a∶b∶c=2∶3∶4,求的值.
解:∵a∶b∶c=2∶3∶4,
∴设a=2k,b=3k,c=4k,
则原式==-.
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◆ 能力提升◆
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1.若=10,=5,则的值为 ( )
A. B. C.5 D.6
2.已知:a,b,c满足===k(abc≠0),则k的值为 ( )
A.2 B.0或2 C.-1 D.2或-1
解析:分两种情况:①当a+b+c=0时,b+c=-a,所以k===-1;
②当a+b+c≠0时,∵===k,∴k===2.
所以k的值为2或-1.故选D.
A
D
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3.已知1, , 2三个数,请再添上一个数,使这四个数构成一个比例式,并写出相应的比例式.
解:设所添的数为x,
①由1∶=2∶x,可得x=2,因此比例式为1∶=2∶2;
②由1∶=x∶2,可得x=,因此比例式为1∶=∶2;
③由1∶x=∶2,可得x=,因此比例式为1∶=∶2;
④由x∶1=∶2,可得x=,因此比例式为∶1=∶2.
故所添的数为或或2.
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4.已知a,b,c分别是△ABC的三边长,且==,试猜想△ABC的形状,并说明理由.
解:△ABC是等边三角形.理由如下:
∵a,b,c是△ABC的三边长,∴a+b+c≠0,
又∵==,
∴==0.同理,==0.
∵a≠0,b≠0,c≠0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,
即a=b,b=c,c=a.∴a=b=c.
∴△ABC是等边三角形.
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5.如图所示,在平行四边形ABCD中,DE⊥AB于点E,BF⊥AD交AD的延长线于点F.
(1)AB,AD,BF,DE这四条线段能否成比例 如不能,请说明理由;如能,请写出比例式;
(2)若AB=10,DE=2.5,BF=5,求BC的长.
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解:(1)能.
∵DE⊥AB,BF⊥AD,
∴S ABCD=AB·DE=AD·BF,∴=.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,
由(1)知,AB·DE=AD·BF,
∴AB·DE=BC·BF,
即10×2.5=5BC,解得BC=5.
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北师大版 九年级数学上册(共30张PPT)
4.6 利用相似三角形测高
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
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能力提升
02
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◆ 名师导学 ◆
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知识点一 利用阳光下的影子测量高度
1.类型:利用阳光下的影子测高(如测量旗杆的高度).
2.原理:同一时刻物高与影长成比例.
3.(1)操作图:
(2)操作说明:①需测参照物(人)的高度及参照物(人)的影长;
②测量被测物体(旗杆)的影长.
(3)相关算式:∵△DEF∽ ,
∴ .
△ACB
=
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典型例题
【例1】如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=6 m,AB在阳光下的影长BC=3 m,在同一时刻阳光下DE的影长EF=4 m,则DE的长为 米.
思路点拨:根据同一时刻,在太阳光下,物高与影长成正比,列式解答即可.
解析:∵=,
∴=,∴DE=8.
答案:8
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对应练习
1.如图,小芳和爸爸正在散步,爸爸身高1.8米,他在地面上的影长为2.1米.若小芳身高只有1.2 m,则她的影长为 ( )
A.1.2 m
B.1.4 m
C.1.6 m
D.1.8 m
B
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知识点二 利用标杆测量高度
1.类型:利用标杆测高(如测量古塔的高度).
2.原理:构造相似三角形,把被测物体分成两部分求解.
3.(1)操作图:
(2)操作说明:①人眼、标杆顶端和被测物体(古塔)的顶端三点要共线,即人眼恰好看见被测物体(古塔)的顶端;②需测人眼高、标杆高、人与古塔的距离及人与标杆的距离.
(3)相关算式:∵△DGF∽ ,∴ ,
其中OB=GE= ,GF= ,最后PO= .
△DBP
=
AD
EF-GE
PB+OB
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典型例题
【例2】某同学利用标杆测旗杆的高度如图所示:标杆高度CD=2.6 m,标杆与旗杆的水平距离BD=15 m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6 m,人与标杆CD的水平距离DF=2 m,E,C,A三点共线,则旗杆AB的高度
为 m.
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典型例题
思路点拨:由题目和图形可看出,AB的长度分成了AH和HB两个部分,其中HB=EF=1.6 m,利用△CGE∽△AHE,得出=,把相关条件代入即可求得AH=8.5,所以AB=AH+HB.
解析:∵CD⊥FB,AB⊥FB,∴CD∥AB,
∴△CGE∽△AHE,∴=,
即:=,∴=,∴AH=8.5,
∴AB=AH+HB=AH+EF=8.5+1.6=10.1(m).
答案:10.1
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对应练习
2.如图,某测量工作人员的眼睛A与标杆顶端F,铁塔顶端E在一条直线上,已知此人眼睛距离地面的高为1.6 m,标杆高为3.2 m,且BC=1 m,CD=5 m,则铁塔的高DE= m.
第2题图
11.2
数学
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对应练习
3.如图,一位同学通过调整自己的位置,设法使三角板DEF的斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知两条边DE=0.4 m,EF=0.2 m,测得边DF离地面的高度AC=1.5 m,CD=8 m,则树高AB为 m.
第3题图
5.5
数学
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对应练习
4.如图,小明到操场测量旗杆AB的高度,他手拿一支铅笔MN,边观察边移动(铅笔MN始终与地面垂直).当小明移动到D点时,眼睛C与它们的底端N,B也恰好共线,此时测得DB=50 m,小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6 m,铅笔MN的长为0.16 m,则旗杆AB的高度为 ( )
A.15 m B. m
C. m D.14 m
C
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知识点三 利用镜子的反射测量高度
1.类型:利用镜子的反射测高(如测量旗杆的高度).
2.原理:根据反射角等于入射角构造相似三角形.
3.(1)操作图:
(2)操作说明:①人来回移动,恰好在镜子里看到旗杆的顶端(点C处放镜子);②需测人眼的高度、人到镜子的距离和旗杆底端到镜子的距离.
△ABC
=
(3)相关算式:∵△DEC∽ ,∴ .
数学
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典型例题
【例3】如图,小明为了测量高楼MN的高度,在离点N 18米的点A处放了一个平面镜,小明沿NA方向后退1.5米到点C,此时从镜子中恰好看到楼顶的点M,已知小明的眼睛(点B)到地面的高度BC是1.6米,则高楼MN的高度是 ( )
A.18.5米
B.18.8米
C.19.2米
D.21.3米
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典型例题
思路点拨:根据题意,得△ABC∽△AMN,根据对应边成比例计算即可.
解析:∵BC⊥CA,MN⊥AN,∴∠C=∠MNA=90°,
∵∠BAC=∠MAN,∴△BCA∽△MNA,
∴=,即=,
∴MN=19.2.
故选C.
答案:C
数学
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对应练习
5.如图,为了测量文昌塔AB的高度,某小组根据光的反射定理(图中∠1=∠2),把一面镜子放在点C处,然后观测者沿着直线BC后退到点D.这时恰好在镜子里看到塔顶A,此时量得CD=4 m,BD=94 m,观测者目高ED=1.6 m,则塔AB的高度为 ( )
A.35 m B.36 m
C.37 m D.38 m
B
数学
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对应练习
6.如图,淇淇同学在湖边看到一棵树,他目测出自己与树的距离为20 m,树的顶端在水中的倒影距自己5 m远,淇淇的身高为1.7 m,则树高为( )
A.3.4 m
B.4.7 m
C.5.1 m
D.6.8 m
C
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◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,某数学兴趣小组为了测量一凉亭AB的高度,他们采取了如下办法:①在凉亭的右边点E处放置了一平面镜,并测得BE=12 米;②沿着直线BE后退到点D处,眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A,并测得ED=3 米,眼睛到地面的距离CD=1.6 米(此时∠AEB=∠CED),那么凉亭AB的高为 ( )
A.6.3 米 B.6.4 米
C.6.5 米 D.6.6 米
解析:根据题意,得∠CDE=∠ABE=90°,
∠CED=∠AEB,则△ABE∽△CDE,则=,即=,
解得AB=6.4,故树高为6.4米.故选B.
B
数学
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2.为了估计河的宽度,我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A,再在河的这一边选点B和点C,使得AB⊥BC,设BC与AE交于点D,如图所示测得BD=120 m,DC=40 m,EC=30 m,那么这条河的大致宽度是 ( )
A.90 m
B.60 m
C.100 m
D.120 m
A
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二、填空题
1.如图,有一个广告牌OE,小明站在距广告牌OE 10米远的A处观察广告牌顶端,眼睛距地面1.5米,他的前方5米处有一堵墙DC,若墙高DC=2米,
则广告牌OE的高度为 米.
2.小明身高是1.6 m,影长为2 m,同时刻教学楼的影长为24 m,
则楼的高是 m.
2.5
19.2
数学
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三、解答题
如图,甲、乙两楼楼顶上的点A和点E与地面上的点C在同一条直线上,点B,D分别在点E,A的正下方且D,B,C三点在同一条直线上,B,C相距30米,D,C相距50米,乙楼高BE为18米,求甲楼高AD.
解:∵BE∥AD,
∴△EBC∽△ADC,∴=,
∵BC=30米,DC=50米,BE=18米,
∴AD===30(米).
答:甲楼高AD为30米.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡位于点G处,手电筒的光从平面镜上点B处反射后,恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处.点E到地面的高度ED=3.5 m,点F到地面的高度FC=1.5 m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4 m,墙到木板的水平距离为CD=4 m.已知光在镜面反射中的入射角等于反射角,图中点A,B,C,D在同一水平面上,则灯泡到地面的高度GA为 ( )
A.1.2 m B.1.3 m
C.1.4 m D.1.5 m
A
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解析:由题意,得FC∥DE,则△BFC∽△BED,故=,即=.解得BC=3(m),则AB=5.4-3=2.4(m),∵光在镜面反射中的入射角等于反射角,∴∠FBC=∠GBA,又∵∠FCB=∠GAB,∴△BGA∽△BFC,∴=,∴=,解得AG=1.2(m),故选A.
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2.兴趣小组的同学要测量树的高度,在阳光下,一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为0.2米,一级台阶高为0.3米,如图所示,若此时落在地面上的影长为4.4米,则树高为 ( )
A.11.5 米 B.11.75 米
C.11.8 米 D.12.25 米
C
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解析:如图,AB表示树高,BD表示树在地上的影长,CE表示树在台阶上的影长,CD为第一级台阶的高,延长EC交AB于F,CE=0.2,CD=0.3,BD=4.4,
易得四边形BDCF为矩形,∴BF=CD=0.3,CF=BD=4.4,∴EF=4.4+0.2=4.6,
∵=,∴AF==11.5,∴AB=11.5+0.3=11.8.即树高为11.8米,故选C.
数学
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3.如图,AB与CD是直立于地上的两根木杆.AD与BC是两根细绳子(看作直线段),交于点E处.若AB=3 m,CD=2 m,则交点E离地面的距离为 .
第3题图
解析:过点E作EF⊥AC于点F,
∵AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,∴==,
∵AB∥CD,∴△AEF∽△ADC,∴=,
则设ED=2x,故AE=3x,∴=,
解得EF=1.2.
1.2米
数学
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4.如图,丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P处时,发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行20 m到达点Q处时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部,已知丁轩同学的身高是1.5 m,两个路灯的高度都是9 m,则两路灯之间的距离是 m.
第4题图
30
数学
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解析:由题意,得MP∥BD,∴△AMP∽△ADB,∴=,
∵MP=1.5,BD=9,∴=,解得AP=5(m),
∵AP=BQ,PQ=20 m.
∴AB=AP+BQ+PQ=5+5+20=30(m).
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5.大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔,被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位,某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度,在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2 米的标杆CD,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,古塔的塔尖点B正好在同一直线上,测得EC=1.28 米,将标杆向后平移到点G处,这时地面上的点F,标杆的顶端点H,古塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F,点G,点E,
点C与古塔底处的点A在同一直线上),
这时测得FG=1.92 米,CG=20 米,
请你根据以上数据,计算古塔的高度AB.
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解:根据题意,得△EDC∽△EBA,∴=,=,
∵DC=HG,∴=,
∴=,
∴CA=40,∵=,
∴=,
∴AF=61.92,∴=,
∴AB=64.5.
答:古塔的高度AB为64.5 米.
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北师大版 九年级数学上册(共34张PPT)
4.8 图形的位似
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
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01
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能力提升
02
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◆ 名师导学 ◆
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知识点一 位似图形的定义及性质
1.定义:一般地,如果两个 任意一组对应顶点P,P'所在的直线都经过同一点O,且有OP'=k·OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做
,点O叫做 .实际上,k就是这两个相似多边形的 ,此时相似比k也叫做 .
2.性质:
(1)位似多边形对应顶点的连线经过 .
(2)位似多边形对应边平行(或共线)且 ,对应角 .
(3)位似多边形对应顶点到位似中心的距离之比等于 .
相似多边形
位似多边形
位似中心
相似比
位似比
位似中心
成比例
相等
位似比(相似比)
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典型例题
【例1】下列图形中,不是位似图形的是 ( )
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典型例题
思路点拨:根据位似图形的定义即可判断.
解析:
A项,△ACB与△FCE是位似图形,不符合题意;
B项,△ABC与△DEF是位似图形,不符合题意;
C项,△ABC与△EDF是位似图形,不符合题意;
D项,△ACB与△ECD不是位似图形,符合题意.故选D.
答案:D
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对应练习
1.如图,△ABC与△DEF位似,位似中心是点O,若OC∶OF=1∶3,
则△ABC与△DEF的相似比是 ( )
A.1∶2
B.1∶3
C.1∶4
D.1∶
B
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对应练习
2.如图,图形甲与图形乙是位似图形,点O是位似中心,点A,B的对应点分别为点A',B',若OA'=2OA,则图形乙的面积是图形甲的面积的 ( )
A.2倍 B.3倍
C.4倍 D.5倍
解析:由题意,可得甲乙两组图形相似,
且相似比为,根据相似图形的面积比是
相似比的平方可得,图形乙的面积是图形甲的面积的4倍.故选C.
C
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知识点二 作位似图形
1.画位似图形的一般步骤:
(1)确定位似中心;
(2)分别连接位似中心和能代表原图形的关键点;
(3)根据位似比,找出所作的位似图形的对应点;
(4)顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形.
2.几种画位似图形的方法:
类型一:在平面直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的 、
都乘同一个数k(k≠0),所对应的图形与原图形位似,位似中心是坐标原点,它们的相似比为 .
横坐标
纵坐标
|k|
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类型二:未确定位似中心,依照比例画位似图形.
如下左图所示,任意取一点O,连接OA,OB,OC,分别在OA,OB,OC上按照题目要求取A',B',C',得到△A'B'C',△A'B'C'即为所求.
类型三:位似中心在顶点处,延长图形的边画位似图形.
如上右图所示,以C点为位似中心,将AC与BC延长到指定的倍数,得到点A',B',连接A'B',得到△A'B'C,△A'B'C即为所求.
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典型例题
【例2】如图,已知O是坐标原点,AB两点的坐标分别为(3,-1), (2,1).
(1)以点O为位似中心,在y轴的左侧将△OAB放大2倍;
(2)分别写出A,B两点的对应点A',B'的坐标.
思路点拨:(1)位似中心为O,把△OAB放大2倍,
可直接计算A,B的对应点的坐标,再画图即可.
(2)根据(1)的计算结果直接写出答案.
解:(1)如上图所示:△OA'B'即为所求;
(2)A'的坐标是(-6,2),B'的坐标是(-4,-2).
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典型例题
【例3】已知点O在△ABC内,以点O为位似中心画一个三角形,使它与△ABC位似,且相似比为.
思路点拨:选取几个关键点,依次连接关键点和中心点,
并按照的相似比即可得出符合要求的图形.
解:如图所示,连接AO,BO,CO,分别取AO,BO,CO的中点
D,E,F,顺次连接D,E,F,则△DEF与△ABC位似,相似比为.
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对应练习
3.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(2,2),B(2.5,0.8),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD,则端点C的坐标为 ( )
A.(3, 1.6)
B.(4, 3.2)
C.(4, 4)
D.(6, 1.6)
C
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对应练习
4.如图,在边长均为1的小正方形网格纸中,△ABC的顶点A,B,C均在格点上,O为直角坐标系的原点,点A(-1,0)在x轴上.
(1)以O为位似中心,将△ABC放大,使得放大后的△A1B1C1与△ABC的相似比为2∶1,要求所画△A1B1C1与△ABC在原点两侧;
(2)分别写出点A1,B1,C1的坐标.
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对应练习
解:(1)所画图形如下所示:
(2)A1,B1,C1的坐标分别为(2,0), (4,-4), (6,-2).
数学
◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形.且相似比为1∶2,点B的坐标为（-2,4),则点B1的坐标为 ( )
A.(4,-8)
B.(2,-4)
C.(-1,8)
D.(-8,4)
A
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2.如下图中的两个三角形是位似图形,它们的位似中心是 ( )
A.点P
B.点O
C.点M
D.点N
A
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3.如图,已知△ABC和△DEF位似,位似中心为点O,且=,若△ABC的周长为9,则△DEF的周长为 ( )
A.4 B.6
C.12 D.13.5
解析:∵△ABC和△DEF位似,位似中心为点O,
且=,∴△ABC∽△DEF,且相似比为,
∵△ABC的周长为9,∴△DEF的周长为9×=6.故选B.
B
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4.如图,以点O为位似中心,把△ABC放大到原来的2 倍得到△A'B'C',以下说法中错误的是 ( )
A.△ABC∽△A'B'C'
B.点A,O,A'三点在
同一条直线上
C.AO∶AA'=1∶2
D.AB∶A'B'=1∶2
C
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二、填空题
1.如图,△DEF与△ABC为位似图形,点O是它们的位似中心,位似比是1∶2,已知△DEF的面积为3,那么△ABC的面积是 .
第1题图
12
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2.如图,以点O为位似中心,将△OAB放大后得到△OCD,OA=2,OC=5,
则= .
第2题图
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三、解答题
如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点均在网格格点上,且点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(4,2),C(2,4).
(1)以点O为位似中心,在第一象限画出△ABC的位似图形△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC的相似比为2∶1;
(2)在(1)的条件下,分别写出点B,C的对应点B1,C1的坐标.
数学
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解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)B1(8,4)、C1(4,8).
数学
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1.下列说法正确的是 ( )
A.分别在△ABC的边AB,AC的反向延长线上取点D,E,使DE∥BC,则△ADE是△ABC放大后的图形
B.两位似图形的面积之比等于位似比
C.位似多边形中对应对角线之比等于位似比
D.位似图形的周长之比等于位似比的平方
C
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2.定义:如果两个三角形不仅是相似三角形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这两个三角形叫做位似三角形,它们的相似比又叫做位似比,这个点叫做位似中心.如图,已知点A,B,C的坐标分别为(1,1),(5,2),(1,5),点P的坐标为(1,2).以点P为位似中心,△A1B1C1与△ABC位似,且位似比为1∶2,那么点B的对应点B1的坐标为 .
第2题图
(3,2)或(-1,2)
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解析:以点P为坐标原点、PB所在的直线为x轴建立新的平面直角坐标系,则点B在新坐标系中的坐标为(4,0),
∵以点P为位似中心,△A1B1C1与△ABC位似,且位似比为1∶2,
∴点B的对应点B1在新坐标系中的坐标为
或,即(2,0)或(-2,0),
则点B1在原坐标系中的坐标为(3,2)或(-1,2).
数学
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3.如图,直线y=x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1∶3,则点B的对应点B’的坐标
为 .
第3题图
(-8,-3)或(4,3)
数学
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解析:∵直线y=x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,令x=0可得y=1,
令y=0可得x=-2,∴点A和点B的坐标分别为(-2,0),(0,1),
∵△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形,相似比为1∶3,
∴==,∴O'B'=3,AO’=6,
∴B'的坐标为(-8,-3)或(4,3).
数学
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4.如图,△ABC的两个顶点A,B在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的图形为△A'B'C.设点B的对应点B'的横坐标是a,则点B的横坐标是 .
-(a+3)
数学
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解析:过B点和B'点作x轴的垂线,垂足分别是D和E,
∵点B'的横坐标是a,点C的坐标是(-1,0),
∴EC=a+1,
又∵△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍,
∴DC=(a+1),
∴DO=(a+3),
∴B点的横坐标是-(a+3).
数学
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5.如图,BD,AC相交于点P,连结AB,BC,CD,DA,∠DAP=∠CBP.
(1)求证:△ADP∽△BCP;
(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形
(3)若AB=8,CD=4,DP=3,求AP的长.
数学
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(1)证明:∵∠DAP=∠CBP,∠DPA=∠CPB,
∴△ADP∽△BCP.
(2)解:点A,D,P的对应点依次为点B,C,P,对应点的连线不相交于一点,故△ADP与△BCP不是位似图形.
(3)解:∵△ADP∽△BCP,
∴=,∵∠APB=∠DPC,
∴△APB∽△DPC,∴=,∴=,
∴AP=6.
数学
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6.在13×13的网格图中,已知△ABC和点M(1,2).
(1)以点M为位似中心,位似比为2,在网格图中画出△ABC的位似图形△A'B'C';
(2)写出△A'B'C'的各顶点坐标.
数学
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解:(1)如图所示,△A'B'C'即为所求.
(2)△A'B'C'的各顶点坐标分别为A'(3,6),B'(5,2),C'(11,4).
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北师大版 九年级数学上册(共42张PPT)
4.4 探索三角形相似的条件（1）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
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知识点一 相似三角形的定义
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
[注意]
(1)如果两个三角形相似,那么它们的相似比是有顺序的,例如:△ABC∽△DEF,
它们的相似比为k,则有=k;若写成△DEF∽△ABC,则它们的相似比是=.
数学
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(2)当相似比k=1时,两个相似三角形不仅形状相同,而且大小也相同,这样的三角形我们称为全等三角形,全等三角形是相似三角形的特例.
(3)相似三角形的性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
(4)相似有传递性.若△ABC∽△DEF,且△DEF∽△MNP,则△ABC∽△MNP.
数学
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典型例题
【例1】已知△ABC∽△DEF,则∠A= ,∠B= ,∠C= ;==.
思路点拨:根据相似三角形的性质解答即可.
解析:由相似三角形的对应角相等,对应边成比例,得∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.==.
答案:∠D ∠E ∠F AB EF
数学
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对应练习
1.如图,已知△ADE∽△ACB,若AB=10,AC=8,AD=4,则AE的长是( )
A.3.2 B.4
C.5 D.20
2.下列结论正确的是 ( )
A.所有面积相等的三角形都相似 B.所有的等腰三角形都相似
C.相似三角形是全等三角形 D.全等三角形都是相似三角形
C
D
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知识点二 相似三角形的判定定理1
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等,那么这两个三角形相似.简述为 .
两角分别相等的两个三角形相似
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典型例题
【例2】如图,在矩形ABCD中,E为AD上一点,EF⊥EC交AB于点F,连接
FC,求证:△AEF∽△DCE.
证明:∵∠FEC=90°,
∴∠AEF+∠DEC=90°,
∵ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,
∵∠A+∠AFE+∠AEF=180°,
∴∠AFE+∠AEF=90°,
∴∠DEC=∠AFE,
又∵∠A=∠D,∴△AEF∽△DCE.
思路点拨:用∠FEC=90°,
可得到△AEF和△DCE一对锐角相等,
再加上一对直角相等,可证相似.
数学
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对应练习
3.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,沿直线MN对折,使A,C重合,直线MN
交AC于点O.求证:△COM∽△CBA.
证明:∵沿直线MN对折,使A,C重合,
∴A与C关于直线MN对称,
∴AC⊥MN,∴∠COM=90°,
又∵在矩形ABCD中,∠B=90°,
∴∠COM=∠B,
又∵∠ACB=∠ACB,
∴△COM∽△CBA.
数学
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一、选择题
1.下列说法中,不一定成立的是 ( )
A.所有的等边三角形都相似
B.有一个钝角相等的两个等腰三角形相似
C.腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似
D.两边对应成比例的两个直角三角形相似
解析:A项,所有的等边三角形都相似一定成立;
B项,有一个钝角相等的两个等腰三角形相似一定成立;
C项,腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似一定成立;
D项,两边对应成比例的两个直角三角形相似不一定成立,故选D.
D
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2.如图所示的三个三角形,相似的是 ( )
A.甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.甲乙丙
A
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3.如图,在△ABC中,DE∥BC,GF∥AC,GF,DE相交于M点,
则图中与△ABC相似的三角形有 ( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.0 个
C
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二、填空题
1.如图,在△ABC与△ADE中,
∠C=∠AED=90°,点E在边AB上,
添加一个条件后,能判定△ABC与△DAE相似,
这个条件可以是 .
2.如图所示,∠C=∠E=90°,AC=3,BC=4,AE=2,
∠BAC=∠D
则AD= .
数学
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三、解答题
如图,在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,连接AE,在AE上取一点F,使得∠EFB=∠DAB.求证:=.
证明:∵∠EFB=∠DAB,
∠DAB=∠DAE+∠FAB,
∠EFB=∠FBA+∠FAB,
∴∠DAE=∠FBA.
在平行四边形ABCD中,CD∥AB,
∴∠DEA=∠FAB.
∴△ADE∽△BFA,∴=.
数学
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1.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,则图中相似三角形
共有 ( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
C
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2.如图,AC⊥BD,DE⊥AB,AC,ED相交于点F,BC=3,FC=1,BD=5,
则AC= .
3.如图,在边长为9的等边三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,
则AE的长为 .
第2题图
第3题图
6
7
数学
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4.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为点E,连接DE,
F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.
(1)求证:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长.
数学
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(1)证明:在 ABCD中,
AB∥CD,AD∥BC,
∴∠C+∠B=180°,∠ADF=∠DEC.
又∠AFD+∠AFE=180°,∠AFE=∠B,
∴∠AFD=∠C.在△ADF与△DEC中,
∴△ADF∽△DEC.
数学
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(2)解:在 ABCD中,CD=AB=8.
由(1)知△ADF∽△DEC,∴=,
∴DE===12.
∵AE⊥BC,AD∥BC,
∴EA⊥AD.在Rt△ADE中,由勾股定理,
得AE===6.
数学
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5.如图,△ABC,△DEP是两个全等的等腰直角三形,∠BAC=∠PDE=90°.
(1)若将△DEP的顶点P放在BC上(如图①),PD,PE分别与AC,AB相交于点F,G.求证:△PBG∽△FCP;
(2)若使△DEP的顶点P与顶点A重合(如图②),PD,PE与BC分别相交于点F,G.试问△PBG与△FCP还相似吗 为什么
数学
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(1)证明:∵△ABC,△DEP是两个全等的等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DPE=45°.
∴∠BPG+∠CPF=135°.
在△BPG中,∵∠B=45°,
∴∠BPG+∠BGP=135°.
∴∠BGP=∠CPF.∵∠B=∠C,
∴△PBG∽△FCP.
数学
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(2)解:△PBG与△FCP相似.理由如下:
如题图②,∵△ABC,△DEP是两个全等的等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DPE=45°.
∵∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG,
∠CPF=∠FPG+∠CAG=45°+∠CAG,
∴∠BGP=∠CPF.
又∵∠B=∠C,
∴△PBG∽△FCP.
数学
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知识点 相似三角形的判定定理2
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且它们的夹角相等,那么这两个三角形相似.(简述为两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
数学
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典型例题
【例】如图,在正三角形ABC中,D,E分别在边AC,AB上,
且=,AE=EB.求证:△AED∽△CBD.
思路点拨:已有∠A=∠C=60°,根据题目条件,可得这两个对应角的两边对应成比例,即证出结论.
证明:∵△ABC为正三角形,
∴∠A=∠C=60°,BC=AB.
∵AE=BE,∴CB=2AE.
∵=,∴CD=2AD.∴==.
又∵∠A=∠C,∴△AED∽△CBD.
数学
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对应练习
已知:如图,AD·AB=AE·AC,求证:△ADC∽△AEB.
证明:∵AD·AB=AE·AC,
∴=,
∵∠A=∠A,
∴△ADC∽△AEB.
数学
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一、选择题
1.下列图形中,与如图所示的△ABC相似的是 ( )
C
数学
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2.在△ABC和△DEF中,AB=AC,DE=DF,根据下列条件,
能判断△ABC和△DEF相似的是 ( )
A.= B.∠A=∠D
C.∠A=∠E D.∠B=∠D
B
数学
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3.在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件不能判定它们相似的是 ( )
A.∠A=∠B'
B.AC=BC,A'C'=B'C'
C.AB=3A'B',BC=3B'C'
D.△ABC中有两边长为3, 4,△A'B'C'有两边长为6, 8
D
数学
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解析:∵∠C=∠C',∠A=∠B',由于A满足两角对应相等,∴△ABC∽△A'B'C’;
∵∠C=∠C'=90°,当AC=BC,A'C'=B'C'时,两个三角形都是等腰直角三角形,
∴△ABC∽△A'B'C';∵∠C=∠C'=90°,当AB=3A'B',BC=3B'C’时,
AC==3A'C',两个三角形的三边对应成比例,
∴△ABC∽△A'B'C';当长为3, 4的边是Rt△ABC的直角边,
而长为6, 8的边是Rt△A'B'C'的一直角边和斜边时,两个三角形不相似,
∴条件D不能判断△ABC与△A'B'C’相似.
故选D.
数学
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4.如图,在四边形ABCD中,已知∠ADC=∠BAC,那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是 ( )
A.CA平分∠BCD
B.=
C.AC2=BC·CD
D.∠DAC=∠ABC
C
数学
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二、填空题
1.如图,AB⊥CB于点B,AC⊥CD于点C,AB=6,AC=10,当CD= 时,
△ABC∽△ACD.
数学
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2.下列三角形中相似的是: 相似, 相似, 相似.
①⑥
②④
③⑦
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三、解答题
如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DC与BE相交于点O,且DO=2,BO=DC=6,OE=3.求证:△DOE∽△COB.
证明:∵OD=2,DC=6,∴OC=4,
∴==,==,∴=,
又∠DOE=∠COB,∴△DOE∽∠COB.
数学
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1.如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿下列图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( )
C
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2.如图,已知直线y=x+4与x轴交于点B,与y轴交于点A,点M为线段AB上一动点(不与A,B重合),过点M作MN∥x轴交线段AO于点N,若以点M,O,N
为顶点的三角形与△AMN相似,则点M的坐标为 .
(-4,2)或
数学
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解析:直线y=x+4与x轴交于点B,与y轴交于点A,∴点A(0,4),点B(-8,0),
∴OA=4,OB=8,∴AB===4,
∵MN∥x轴,∴∠ANM=∠AOB=90°,∠AMN=∠ABO,∴∠ANM=∠ONM=90°,
若△AMN∽△OMN时,∴∠NAM=∠NOM,∴AM=OM,
又∵MN⊥OA,∴AN=ON=2,∴2=x+4,∴x=-4,∴点M(-4,2);
若△AMN∽MON时,∴∠AMN=∠AOM,∴∠AOM=∠ABO,
又∵∠OAM=∠OAB,∴△OAM∽△BAO,∴=,∴=,∴AM=,
∵MN∥x轴,∴△AMN∽△ABO,∴=,∴=,∴MN=,
∴y=×+4=,∴点M,
综上所述,点M的坐标为(-4,2)或.
数学
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3.如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于点E,交BA的延长线点F,问:
(1)图中△APD与哪个三角形全等 并说明理由;
(2)求证:△APE∽△FPA;
(3)猜想:线段PC,PE,PF之间存在什么关系 并说明理由.
数学
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(1)解:△APD≌△CPD.
理由:∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,
∠ADP=∠CDP.
又∵PD=PD,∴△APD≌△CPD(SAS).
(3)猜想:PC2=PE·PF.
理由:∵由(2)得△APE∽△FPA,
∴=,即PA2=PE·PF.
∵由(1)得△APD≌△CPD,∴PA=PC.
∴PC2=PE·PF.
(2)证明:∵由(1)得△APD≌△CPD,
∴∠DAP=∠DCP,
∵ABCD是菱形,∴CD∥AB,
∴∠DCF=∠DAP=∠CFB,
又∵∠FPA=∠FPA,∴△APE∽△FPA.
数学
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4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,CB=5,D是BC边上一点,且DB=1,点E是AC边上的一个点,且AE=,过点E作EF∥CB交AD于点F.
(1)求EF的长;
(2)求证:△DEF∽△ABD.
数学
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1)解:∵AC=3,CB=5,
DB=1,AE=,
∴CD=CB-DB=5-1=4,∵EF∥CB,
∴△AEF∽△ACD,
∴=,
∴EF===.
数学
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(2)证明:∵CE=AC-AE=3-=,
∴==,∵=,∴=,
∵∠C=∠C,∴△CED∽△CAB,∴∠EDC=∠B,
∵EF∥CB,∴∠EDC=∠DEF,∴∠DEF=∠B,
∵EF∥CB,∴∠DFE=∠ADB,
∴△DEF∽△ABD.
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北师大版 九年级数学上册(共51张PPT)
4.7 相似三角形的性质（1）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
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知识点
1.相似三角形对应线段的比等于 .
2.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、
对应中线的比都等于 .
相似比
相似比
数学
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典型例题
【例】如图是一块底边BC长为120 mm,高AH为80 mm的三角形余料,现要把它加工成正方形DEFG零件,使得正方形的四个顶点D,E,F,G都在三角形三边上,其中E,F在BC边上,求加工后正方形的边长.
数学
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典型例题
思路点拨:设正方形的边长为x,根据正方形的对边平行可得DG∥BC,然后判断出△ADG和△ABC相似,再根据相似三角形对应高的比等于相似比列式进行计算即可得解.
解:设正方形的边长为x.
∵四边形DEFG是正方形,∴DG∥BC,
∴△ADG∽△ABC,∴=,
解得x=48,
∴加工后正方形的边长为48 mm.
数学
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对应练习
1.已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,则的值为 ( )
A.2 B. C.3 D.
B
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对应练习
2.如图,在一块斜边长30 cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取
一个正方形CDEF,点D在边AC上,点E在斜边AB上,点F在边BC上,
若BF∶BC=1∶3,则正方形CDEF的面积为 .
80 cm2
数学
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对应练习
解析:设BF=x cm,则BC=3x cm,
∵四边形CDEF为正方形,∴EF=CF=2x,EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,
∴==,∴AC=6x,在Rt△ABC中,AB2=BC2+AC2,
即302=(6x)2+(3x)2,解得x=±2(舍去负值),
∴CF=4(cm),
∴正方形CDEF的面积=(4)2=80(cm2).
数学
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对应练习
3.如果两个相似三角形对应边之比1∶9,那么它们的对应中线之比是 ( )
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶9 D.1∶81
C
数学
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一、选择题
1.如图,铁道路口的栏杆短臂长1 m,长臂长16 m,当短臂端点下降0.5 m时,长臂端点升高(杆的宽度忽略不计) ( )
A.8 m
B.12 m
C.32 m
D.20 m
A
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2.已知△ABC∽△DEF,且AB=2DE,h1,h2分别为AB,DE边上的高,则= ( )
A.2 B. C.3 D.
3.如图,△ABC∽△A'B'C',AD,BE分别是△ABC的高和中线,A'D',B'E'分别是△A'B'C'的高和中线,且AD=4,A'D'=3,BE=6,则B'E'的长为 ( )
A. B.
C. D.
A
D
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4.如图,有一块三角形余料ABC,它的面积为36 cm2,边BC=12 cm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,则加工成的正方形零件的边长为 ( )
A.6 cm B.5 cm
C.4 cm D.3 cm
C
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解析:设加工成的正方形零件的边长为x cm,
过点A作AM⊥BC于点M,交EF于点N,
∵△ABC的面积为36 cm2,边BC=12 cm,∴BC×AM=×12AM=36,
解得AM=6.∵四边形QEFP是正方形,∴QE=EF=FP=QP=x cm,EF∥QP,
∴△AEF∽△ABC,∴=,∴=,解得x=4.故选C.
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二、填空题
1.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为3 cm,AC被分为6等份.若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE的长为 .
第1题图
解析:∵DE∥AB,
∴△CDE∽△CAB,∴DE∶AB=CD∶AC,
∴4∶6=DE∶3,∴DE=2 cm.
∴小玻璃管口径DE是2 cm.
2 cm
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2.如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,已知标杆BE高1.2 m,
测得AB=1.6 m,BC=12.4 m,则建筑物CD的高是 m.
第2题图
10.5
数学
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三、解答题
如图,已知△ABC∽△ACD,AC=6,AD=4,CD=2AD,求BD和BC的长.
解:∵AD=4,CD=2AD,
∴CD=8,
∵△ABC∽△ACD,
∴==,即==,
解得AB=9,BC=12,
∴BD=AB-AD=9-4=5.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如右侧图所示,此时液面AB等于 ( )
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
A
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解析:如图,
过点O作OM⊥CD于点M,过点O作ON⊥AB于点N,
∵AB∥CD,∴△COD∽△AOB,
∴=,∴=,
∴AB=3 cm.
数学
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2.如图,有一正方形ABCD,边长为2,点E是边CD上的中点,对角线BD上有一动点F,当顶点为A,B,F的三角形与顶点为D,E,F的三角形相似时,BF的值为 .
2或
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解析:依题意,可得BD===4,
设BF=x,则有DF=4-x.①当△ABF∽△FDE时,由=,即=,解得x=2.
②当△ABF∽△EDF时,由=,即=,解得x=,综上所述,BF的值为2或.
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3.如图,在△ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B.
(1)求证:AC·CD=CP·BP;
(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.
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(1)证明:∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠PAB+∠B,
∠APD=∠B,
∴∠DPC=∠PAB,又∵AB=AC,
∴∠ABP=∠PCD,∴△ABP∽△PCD,
∴=,∴=,
∴AC·CD=CP·BP.
数学
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(2)解:∵PD∥AB,∴∠DPC=∠B,
由(1)知∠DPC=∠PAB,∴∠PAB=∠B,
∴AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PAB=∠C,
又∠PBA=∠ABC,∴△PBA∽△ABC,
∴=,∴BP===.
数学
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4.如图,为了测量山峰AB的高度,在点D处和点F处竖立标杆DC和FE,标杆的高度都是4 m,两杆相隔50 m,并且A,B,C,D和EF都在同一平面内,从标杆DC退后2 m到G处,可看到山峰和标杆顶点C在同一直线上,标杆EF退后4 m到H处可看到山峰A和标杆顶点E在同一直线上,求山峰AB的高度.
数学
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解:∵AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH,∴AB∥CD∥EF,
∴△CDG∽△ABG,△EFH∽△ABH,
∴=,=,
∵CD=EF=4 m,DG=2 m,FH=4 m,
∴=,=,
∴=,
∴BD=50,∴=,∴AB=104.
答:山峰AB的高度为104 m.
4.7相似三角形的性质（2）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
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能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点一 相似三角形的周长比
相似三角形的周长比等于 .
相似比
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典型例题
【例1】已知两个相似三角形的对应边之比为9∶4,则这两个相似三角形的周长之比是 ( )
A.81∶16 B.9∶4 C.4∶9 D.3∶2
思路点拨:根据相似三角形周长比等于相似比即可得出答案.
解析:两个相似三角形的对应边之比为9∶4,则这两个相似三角形的周长之比为9∶4.故选B.
答案:B
数学
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对应练习
1.△ABC与△DEF相似且对应高线之比为2∶3,已知△ABC周长为40,
则△DEF周长是 ( )
A.10 B.20 C.40 D.60
2.有一个直角三角形的边长分别为3, 4, 5,另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7,则另一个直角三角形的周长是 .
D
28
数学
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知识点二 相似三角形的面积比
相似三角形的面积比等于 .
相似比的平方
数学
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典型例题
【例2】若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则△ABC与△DEF的面积比为
( )
A.3∶2 B.9∶4 C.2∶3 D.4∶9
思路点拨:根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出答案.
解析:∵△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,
∴△ABC与△DEF的面积比为(3∶2)2=9∶4.故选B.
答案:B
数学
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对应练习
3.已知△ABC的各边长分别为2, 5, 6,与其相似的另一个△A'B'C'的最大边为18,则△ABC与△A'B'C'的面积比等于 ( )
A.1∶3 B.1∶6 C.1∶9 D.4∶9
C
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对应练习
4.如图所示的网格
是正方形网格,A,B,C,D,E是网格线的交点,那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是 .
解析:设正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,则AD=1,AB=2,根据勾股定理,
得AE==2,AC==4,
∴==,∵∠DAE=∠BAC,
∴△ADE∽△ABC,∴===,
∴△ADE的面积与△ABC的面积的比是1∶4.
1∶4
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一、选择题
1.如果△ABC∽△DEF,相似比为1∶2,且△ABC的面积为1,那么△DEF的面积为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
D
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2.如图,△ABC∽△ADE,且BC=2DE,则S四边形BEDC∶S△ABC的值为 ( )
A.1∶4
B.3∶4
C.2∶3
D.1∶2
解析:∵△ABC∽△ADE,且BC=2DE,∴△ABC与△ADE的相似比为=2,
∴S△ABC∶S△ADE=22=4,又∵S四边形BEDC=S△ABC-S△ADE=3,
∴S四边形BEDC∶S△ABC=3∶4.
B
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3.在一张复印出来的纸上,一个三角形的一条边由原图中的2 cm增加了
4 cm,则复印出的三角形的周长是原图中三角形周长的 ( )
A.3倍 B.6倍 C.9倍 D.12倍
解析:由题意,可知相似三角形的边长之比=相似比=2∶(4+2)=1∶3,
所以周长之比=1∶3,所以复印出的三角形的周长是原图中三角形周长的3倍.故选A.
A
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4.已知△ABC∽△A1B1C1,且=,若△ABC的周长为8,则△A1B1C1的周长是 ( )
A.4 B.8 C.12 D.18
解析:∵△ABC∽△A1B1C1且=,
∴△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比为2∶3,
∵△ABC的周长为8,
∴△A1B1C1的周长为12.
故选C.
C
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二、填空题
1.如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1∶4,那么这两个三角形的面积比为 .
2.如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,若
△ABC∽△DCE,则△DCE的面积是 .
第2题图
解析:∵△ABC∽△DCE,BC=3,CE=5,
∴S△ABC=×2×3=3,
∴====,解得S△DCE=.
1∶16
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3.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,S△DEC∶S△CEB=1∶2,则S△DEC∶S△EAB= .
第3题图
解析:∵S△DEC∶S△CEB=1∶2,
∴DE∶EB=1∶2,∵AB∥CD,
∴△DEC∽△BEA,
∴S△DEC∶S△EAB===.
1∶4
数学
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三、解答题
如图,AB与CD相交于点O,△OBD∽△OAC,=,OB=4,S△AOC=36.求:
(1)AO的长;
(2)△BOD的面积.
解:(1)∵△OBD∽△OAC,
∴==,
∵OB=4,
∴OA=6.
(2)∵△OBD∽△OAC,
∴=,
∵S△AOC=36,
∴S△OBD=16.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,小明作出了边长为1的第1个等边三角形A1B1C1,算出了等边三角形A1B1C1的面积.然后分别取 △A1B1C1三边的中点A2,B2,C2,作出了第2个等边三角形A2B2C2,算出了等边三角形A2B2C2的面积.用同样的方法,作出了第3个等边三角形A3B3C3,算出了等边三角形A3B3C3的面积,……,由此可得,第10个等边三角形A10B10C10的面积是 ( )
A.× B.×
C.× D.×
A
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解析:正△A1B1C1的面积是,而△A2B2C2与△A1B1C1相似,
并且相似比是1∶2,则面积的比是,则正△A2B2C2的面积是×;
因而正△A3B3C3与正△A2B2C2的面积的比也是,面积是×;
依此类推△AnBnCn与△An-1Bn-1Cn-1的面积的比是,
第n个三角形的面积是.
所以第10个正△A10B10C10的面积是×.故选A.
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2.如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,DE∥AC,若S△BDE∶S△CDE=1∶3,则S△DOE∶S△AOC的值为 ( )
A. B.
C. D.
解析:∵S△BDE∶S△CDE=1∶3,∴BE∶EC=1∶3;
∴BE∶BC=1∶4;∵DE∥AC,∴△BDE∽△BAC,△DOE∽△AOC,
∴==,∴S△DOE∶S△AOC==.故选D.
D
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3.如图,将等边三角形ABC沿AC边上的高线BD平移到△EFG,阴影部分面积记为S,若=,S△ABC=16,则S= .
解析:∵等边三角形ABC沿AC边上的高线BD平移到△EFG,
∴S△ABC=S△EFG,AC∥EG,∴△FMN∽△EFG∽△ABC,
∴=,∵=,∴=,
∵△FMN的面积记为S,S△ABC=16,∴=,解得S=9.
9
数学
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4.如图,矩形ABDE中,AB=3 cm,BD=7 cm,点C在边ED上,且EC=1 cm,点P在边BD上移动,当以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时,求PD的长.
数学
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解:∵四边形ABDE为矩形,
AB=3 cm,BD=7 cm,EC=1 cm,
∴DC=DE-CE=BA-CE=2 cm,
BD=AE=7 cm.
设DP=x cm,则BP=(7-x) cm.
∵∠B=∠D=90°,
∴存在两种情况.
①当△CDP∽△ABP时,=,
即=,∴x=;
②当△PDC∽△ABP时,=,
即=,整理,得x2-7x+6=0,
解得x1=1,x2=6.
∴当以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时,PD的长为 cm 或1 cm或6 cm.
数学
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5.四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等),我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”.
(1)如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=70°,AB=AD,AD∥BC,当∠ADC=145°时,求证:对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”.
(2)如图2,在四边形ABCD中,AC平分∠BCD,当∠BCD与∠BAD满足什么关系时,对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”,请说明理由.
数学
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(1)证明:图1中,∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=35°,
∵∠ADC+∠C=180°,∠ADC=145°,
∴∠C=35°,
∴∠ADB=∠ABD=∠DBC=∠C=35°,
∴△ABD∽△DBC,
∴BD是四边形ABCD的“理想对角线”.
数学
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(2)解:图2中,当∠BAD+∠BCD=180°时,
对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”.
理由:∵AC平分∠BCD,
∴∠ACB=∠ACD,
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,
∠BAD+∠BCD=∠BAC+∠CAD+∠ACB=180°,
∴∠DAC=∠B,∴△ACB∽△DCA,
∴对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”.
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北师大版 九年级数学上册(共33张PPT)
4.5 相似三角形判定定理的证明
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
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能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
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知识点 相似三角形的判定
1.相似三角形的三个判定定理:①两角分别相等的两个三角形相似;②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;③三边成比例的两个三角形相似.
数学
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2.灵活运用相似三角形的判定方法
要判定两个三角形相似,不一定拘泥某一种方法,而应根据题目条件,从不同角度加以判定.
(1)条件中若有平行线,可采用找角相等证两个三角形相似.
(2)条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找此角所在的两边比对应相等.
(3)条件中若有两边比对应相等,可找夹角相等或第三边的比对应相等.
(4)条件中若有一对直角,可考虑再找一对等角或两直角边的比对应相等.
(5)条件中若有等腰关系,可找顶角相等或找一对底角相等或找底和腰的比对应相等.
数学
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典型例题
【例】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是BC的中点,CE⊥AD,
垂足为点E.求证:
(1)CD2=DE·AD;
(2)∠BED=∠ABC.
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典型例题
思路点拨:(1)证明∠CED=∠ACB=90°,∠CDE=∠ADC,
得到△CDE∽△ADC,列出比例式,化为等积式即可.
(2)运用(1)中的结论,证明△BDE∽△ADB,即可解决问题.
数学
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典型例题
证明:(1)∵CE⊥AD,
∴∠CED=∠ACB=90°,
∵∠CDE=∠ADC,
∴△CDE∽△ADC,
∴CD∶AD=DE∶CD,
∴CD2=DE·AD.
(2)∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
∵由(1)得CD2=DE·AD,
∴BD2=DE·AD,
即BD∶AD=DE∶BD,
又∵∠ADB=∠BDE,
∴△BDE∽△ADB,
∴∠BED=∠ABC.
数学
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对应练习
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,BE平分∠ABC,BE分别与AC,CD相交于点E,F.求证:
(1)△AEB∽△CFB;
(2)=.
数学
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对应练习
证明:(1)∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°,
∵CD为AB边上的高,
∴∠ADC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD,
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠CBE,
∴△AEB∽△CFB.
(2)∵∠ABE=∠CBE,∠A=∠BCD,
∴∠CFE=∠BCD+∠CBE=∠A+∠ABE,
∵∠CEF=∠A+∠ABE,
∴∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,
∵由(1)得△AEB∽△CFB,
∴=,∴=.
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◆ 基础巩固◆
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一、选择题
1.如图,在△ABC中,DE∥BC,DE=1,AD=2,DB=3,则BC的长是 ( )
A. B.
C. D.
C
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2.如图,BE与CD交于点A,∠C=∠E,AC=2,BC=4,AE=1.5,则DE等于 ( )
A.2 B.3
C.3.5 D.4
B
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3.如图,在菱形ABCD中,点E在BC上,AE与对角线BD交于点F.若AB=5,BE=3,则为 ( )
A. B.
C. D.
解析:∵四边形ABCD是菱形,AB=5,BE=3,
∴AD∥BC,DA=AB=5,
∵AD∥EB,∴△DAF∽△BEF,∴==.故选D.
D
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4.将一个三角形的各边都缩小到原来的后,得到三角形与原三角形 ( )
A.一定不相似 B.不一定相似
C.无法判断是否相似 D.一定相似
解析:∵将一个三角形的各边都缩小到原来的,
∴新三角形的三边与原三角形的对应边的比值为,
∴新三角形与原三角形相似.
故选D.
D
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二、填空题
1.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是边AC上一点,AE=5,
ED⊥AB,垂足为点D,则AD的长是 .
第1题图
4
数学
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2.如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,=,则BE的长为 .
第2题图
解析:由勾股定理,得BC==4,
根据矩形的性质,可得AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,∴==,∴AE=1,
∴BE==.
数学
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三、解答题
1.如图,已知AB∥CD,AD,BC交于点E,点F为BC上一点,且∠EAF=∠C,若AF=6,FB=8,求EF.
数学
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解:∵AB∥CD,∴∠B=∠C,
∵∠EAF=∠C,
∴∠B=∠EAF,
∵∠AFE=∠BFA,
∴△AFE∽△BFA,
∴=,
∵AF=6,FB=8,
∴=,
∴EF=.
数学
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2.如图,在矩形ABCD中,点E在AB边上,CF⊥DE,垂足为点F.
(1)求证:△DEA∽△CDF;
(2)若AD=3,DC=8,CF=5,求DE的长.
数学
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(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴DC∥AB,∠A=90°,
∴∠1=∠2,
∵CF⊥DE,
∴∠F=90°,
∴∠F=∠A,
∴△DEA∽△CDF.
(2)解:∵△DEA∽△CDF,
∴=,
∴=,
∴DE=.
数学
◆ 能力提升◆
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1.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,有下列结论:①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;
③S△ABG=1.5S△FGH;④AG+DF=FG;其中正确的有 ( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
C
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解析:∵△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处,点G在AF上,
将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,
∴∠CBE=∠FBE,∠ABG=∠FBG,BF=BC=10,BH=BA=6,AG=GH,
∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°,所以①正确;
在Rt△ABF中,AF===8,∴DF=AD-AF=10-8=2,
设AG=x,则GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=10-6=4,在Rt△GFH中,
∵GH2+HF2=GF2,∴x2+42=(8-x)2,解得x=3,∴GF=5,∴AG+DF=FG=5,
所以④正确;
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∵△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处,
∴∠BFE=∠C=90°,∴∠EFD+∠AFB=90°,
而∠AFB+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠EFD,
∴△ABF∽△DFE,∴=,
∴===,而==2,∴≠,
∴△DEF与△ABG不相似,所以②错误;
∵S△ABG=×6×3=9,S△GHF=×3×4=6,∴S△ABG=S△FGH,所以③正确.
故选C.
数学
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2.如图,在Rt△ABC中(∠C=90°),放置边长分别3, 4, x的三个正方形,则x的值为 ( )
A.5
B.6
C.7
D.12
C
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解析:∵在Rt△ABC中(∠C=90°),放置边长分别为3, 4, x的三个正方形,
∴△CEF∽△OME∽△PFN,∴OE∶PN=OM∶PF,
∵EF=x,MO=3,PN=4,∴OE=x-3,PF=x-4,
∴(x-3)∶4=3∶(x-4),∴(x-3)(x-4)=12,
∴解得x=0(不符合题意,舍去)或x=7.
故选C.
数学
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3.如图,在△ABC中,D,E分别是边BC,AC上的点,AD与BE相交于点F,若E为AC的中点,BD∶DC=2∶3,则AF∶FD的值是 .
2.5
数学
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解析:过点D作DH∥AC交BE于点H,
∴△DHF∽△AEF,△BDH∽△BCE,∴=,=,
∵若E为AC的中点,∴CE=AE,∴=,
∵BD∶DC=2∶3,
∴BD∶BC=2∶5,
∴DF∶AF=2∶5,
∴AF∶FD=.
数学
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4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,将四边形ACBD沿直线EF折叠,使点D与点C重合,CE与CF分别交AB于点G,H.
(1)求证:△AEG∽△CHG;
(2)△AEG与△BHF是否相似,并说明理由.
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(1)证明:∵△ABD是等边三角形,∴∠EAG=∠D=60°;
根据折叠的性质,
知DE=CE,
∠D=∠GCH=∠EAG=60°,
又∵∠EGA=∠HGC,
∴△AEG∽△CHG.
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(2)解:△AEG与△BHF相似,
理由如下:
∵∠BAD=∠ABD=∠D,
∠GCH=∠D,
∴∠BAD=∠GCH=∠ABD,
∴∠1+∠2=∠3+∠4,
∵∠2=∠3,∠4=∠5,
∴∠1=∠5,
∴△AEG∽△BHF.
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5.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上,且∠ADE=∠B,
∠ADF=∠C,线段EF交线段AD于点G.
(1)求证:AE=AF;
(2)若=,求证:四边形EBDF是平行四边形.
数学
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证明:(1)∵∠ADE=∠B,
∠BAD=∠EAD,
∴△BAD∽△DAE,
∴=,∴AD2=AE·AB,
同理,得AD2=AF·AC,
∴AE·AB=AF·AC,
∵AB=AC,∴AE=AF.
数学
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(2)由(1)得△BAD∽△DAE,
∴∠AED=∠ADB=∠DAC+∠C,
∵∠DFC=∠DAC+∠ADF,∠ADF=∠C,
∴∠AED=∠DFC,∵=,
∴△AED∽△CDF,
∴∠ADE=∠CDF=∠B,∴DF∥BE,
∵AE=AF,AB=AC,
∴∠AEF=∠AFE,∠B=∠C,
∵2∠AEF+∠BAC=180°,
2∠B+∠BAC=180°,
∴∠AEF=∠B,∴EF∥BC,
∴四边形EBDF是平行四边形.
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北师大版 九年级数学上册(共42张PPT)
第四章 图形的相似
题型专练
北师大版 九年级数学上册
数学
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一、比的性质类型题
1.已知=,则的值为 .
2.已知===,且3b-2d+5f≠0,则= .
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3.已知==,且3y=2z+6,求x,y的值.
解:设===k,则x=3k,y=5k,z=6k,
∵3y=2z+6,∴3×5k=2×6k+6,解得k=2,
∴x=3×2=6,y=5×2=10,
即x,y的值分别为6, 10.
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二、平行线分线段成比例类型题
4.如图,已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线l1,l2于点A,B,C和D,E,F,如果AB=6,BC=10,那么的值是 .
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三、相似三角形类型题
(一)相似三角形的判断
5.如图,已知△ABC与△ADE中,∠C=∠AED=90°,点E在AB上,那么添加下列一个条件后,仍然不能判定△ABC与△DAE相似的是 ( )
A.∠CAB=∠D B.AD∥BC
C.= D.=
D
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解析:
A项,由∠C=∠AED=90°,∠CAB=∠D,可知△ACB∽△DEA,不符合题意;
B项,由BC∥AD,可得∠B=∠DAE,由∠C=∠AED=90°,可得△ACB∽△DEA,
不符合题意;
C项,设==k,则AB=kAC,AD=kDE,BC=AC,AE=DE,
∴=,∴∠C=∠AED=90°,∴△ACB∽△DEA,不符合题意;
D项,由=,无法判断三角形相似,符合题意.故选D.
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6.如图,在△ABC中,∠A=92°,AB=9,AC=6,将△ABC按下列四种图示中的虚线剪开,则剪下的三角形与原三角形相似的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
C
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(二)相似三角形的证明
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=30°,求证:△ABD∽△DCE.
证明:∵AB=AC,
且∠BAC=120°,
∴∠ABD=∠ACB=30°,
∵∠ADE=30°,
∴∠ABD=∠ADE=30°,
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB,
∴∠EDC=∠DAB,
∴△ABD∽△DCE.
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8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AE,DB=DC.求证:
(1)△BFE∽△CAB;
(2)若=,AB=5,求BF的长.
数学
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(1)证明:∵AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB,
∵DB=DC,
∴∠DBC=∠C,
∴△BFE∽△CAB;
(2)解:∵=,设BE=2x,CE=3x,
∴BC=BE+CE=5x,
∴△BFE∽△CAB,AB=5,
∴==,∠BFE=∠BAC=90°,
∴EF=×AB=2,∠BFA=90°,
∵AB=AE=5,∴AF=AE-EF=3.
在Rt△ABF中,BF==4.
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(三)不定点中的相似问题
9.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4,BD=14.
点P在BD上移动,当以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时,
则PB的长为 .
8.4或2或12
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解析:设DP=x,则BP=BD-DP=14-x,∵AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,
∴∠B=∠D=90°,∴当=时,△ABP∽△CDP,即=,解得x=,
BP=14-=8.4;当=时,△ABP∽△PDC,即=,整理,得x2-14x+24=0,解得x1=2,x2=12,BP=14-2=12或BP=14-12=2,
综上,BP的长为8.4, 2或12.
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10.如图,菱形ABCD与菱形AEFG相似,AEFG的顶点G在ABCD的BC边上运动,GF与AB相交于点H,∠E=60°.若CG=3,AH=7,
则菱形ABCD的边长为 .
9
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解析:连接AC,
∵菱形ABCD∽菱形AEFG,
∴∠B=∠E=∠AGF=60°,AB=BC,
∴△ABC是等边三角形,设AB=BC=AC=a,
则BH=a-7,BG=a-3,∴∠ACB=60°,
∵∠AGB=∠AGH+∠BGH=∠ACG+∠CAG,
∵∠AGH=∠ACG=60°,∴∠BGH=∠CAG,
∵∠B=∠ACG,∴△BGH∽△CAG,∴=,∴=,
∴a2-10a+9=0,∴a=9或1(舍弃),∴AB=9.
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11.如图,在正方形网格中有5 个格点三角形,分别是:
①△ABC,②△ACD,③△ADE,④△AEF,⑤△AGH,
其中与⑤相似的三角形是 ( )
A.①③
B.①④
C.②④
D.①③④
A
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解析:由图形知,⑤中∠AHG=135°,而①②③④中,
只有①∠ABC=135°和③∠ADE=135°,
再根据两边成比例可判断,
与⑤相似的三角形是①③.故选A.
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12.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,动点P以2 cm/s的速度从点A出发,沿AC向点C移动,同时动点Q以1 cm/s的速度从点C出发.沿CB向点B移动,设P,Q两点移动t s(0数学
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(1)在P,Q两点移动的过程中,△CQP的面积能否等于3.6 cm2 若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由;
解:在矩形ABCD中,∵AB=6 cm,BC=8 cm,
∴AC=10 cm,AP=2t cm,PC=(10-2t) cm,CQ=t cm,
如图1,过点P作PH⊥BC于点H,
易知=,则PH=(10-2t) cm,
根据题意,得t·(10-2t)=3.6,解得t1=2,t2=3.
∴△CQP的面积等于3.6 cm2时,t的值为2或3.
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(2)当运动时间为多少秒时,△CPQ与△CAB相似.
解:如图2,当∠PQC=90°时,
PQ⊥BC,
∵AB⊥BC,AB=6,
BC=8,QC=t,PC=10-2t,
∴△PQC∽△ABC,
∴=,即=,
解得t=;
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如图3,当∠CPQ=90°时,PQ⊥AC,
∵∠ACB=∠QCP,∠B=∠QPC,
∴△CPQ∽△CBA,
∴=,即=,
解得t=.
综上所述,
t为秒与秒时,△CPQ与△CAB相似.
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(四)利用相似三角形证明线段的积、比关系
13.如图所示,点P是 ABCD的边DC的延长线上一点,连结AP分别交BD,
BC于点M,N.求证:AM2=MN·MP.
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证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,CD∥AB,∴∠NBM=∠MDA,
又∵∠NMB=∠AMD,∴△NMB∽△AMD,
∴=,
∵CD∥AB,∴∠MDP=∠ABM,
又∠DMP=∠BMA,
∴△DMP∽△BMA,
∴=,∴=,
∴AM2=MN·MP.
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14.如图,在△ABC中,D是BC上的点,E是AD上一点,且=,
∠BAD=∠ECA.
(1)求证:AC2=BC·CD;
(2)若AD是△ABC的中线,求的值.
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(1)证明:∵=,
∠BAD=∠ECA,
∴△BAD∽△ACE,
∴∠B=∠EAC,
∵∠ACB=∠DCA,∴△ABC∽△DAC,
∴=,∴AC2=BC·CD.
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(2)解:∵∠ADC是△ABD的外角,∠CED是△ACE的外角,
∴∠ADC=∠B+∠BAD,∠CED=∠CAE+∠ECA,
由(1)可知,∠B=∠EAC,∠BAD=∠ECA,
∴∠ADC=∠CED,∴CE=CD,
∵AD是△ABC的中线,∴BC=2CD,
∴BC=2CE,由(1)得AC2=BC·CD,
∴AC2=2CE·CE,
∴=,即=.
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(五)相似三角形的性质运用
15.如图,直立在B处的标杆AB=2.4 m,直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上(点F,B,D也在同一条直线上).已知BD=8 m,FB=1.8 m,人高EF=1.5 m,求树高CD.
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解:如图所示,过点E作EH⊥CD交CD于点H,交AB于点G,
由已知,得EF⊥FD,AB⊥FD,CD⊥FD,
∵EH⊥CD,EH⊥AB,
∴四边形EFDH为矩形,
∴EF=GB=DH=1.5 米,EG=FB=1.8 米,
GH=BD=8 米,
∴AG=AB-GB=2.4-1.5=0.9 米,
∵EH⊥CD,EH⊥AB,∴AG∥CH,
∴△AEG∽△CEH,
∴=,∴=,
解得CH=4.9,
∴DC=CH+DH=4.9+1.5=6.4 米,
即树高CD为6.4 米.
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16.近年来,邓州市委市政府为了加快城市发展,保障市民出行方便,在彩虹大桥和三贤大桥的基础上,又在湍河上架起了一座美丽的穰城大桥,连通南北,铺就城市繁荣之路.小明和小亮想通过自己所学的数学知识计算穰城大桥AF的长.如图,该桥两侧河岸平行,他们在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河岸的这一边选出点B和点C,分别在AB,AC的延长线上取点D,E,使得DE∥BC.经测量,BC=150 米,DE=240 米,且点E到河岸BC的距离为66 米,已知AF⊥BC于点F,请你根据提供的数据,帮助他们计算桥AF的长度.
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解:如图所示,过点E作EG⊥BC于点G,
∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE,
∴===,∴=,
∵AF⊥BC,EG⊥BC,
∴AF∥EG,
∴△ACF∽△ECG,
∴=,即=,
解得AF=110,
∴桥AF的长度为110 米.
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四、黄金分割问题
17.若线段AB= cm,C是AB的黄金分割点,且AC>BC,则AC= cm.
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18.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=108°,在BC边上取一点D,使BD=BA,连接AD.求证:
(1)△ADC∽△BAC;
(2)点D是BC的黄金分割点.
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(1)证明:∵AB=AC,∠BAC=108°,
∴∠B=∠C=36°,
∵BD=BA,∴∠BAD=72°,
∴∠CAD=36°,
∴∠CAD=∠B,∵∠C=∠C,
∴△ADC∽△BAC.
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(2)证明:∵△ADC∽△BAC,
∴=,
∴AC2=BC·CD,
∵AC=AB=BD,
∴BD2=BC·CD,
∴点D是BC的黄金分割点.
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五、位似图形类型题
19.如图,在平面直角坐标系中,A(2,4),B(2,0),将△OAB以O为位似中心缩小一半,则A对应的点的坐标是 ( )
A.(1,2)或(-1,-2)
B.(2,1)或(-2,-1)
C.(-1,-2)
D.(1,2)
A
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解析:∵将△OAB以O为位似中心缩小一半,A(2,4),
∴A对应的点的坐标为A或
A,
即(1,2)或(-1,-2).
故选A.
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20.如图,四边形ABCD的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,位似比为1∶2的位似图形并写出其对应顶点的坐标.
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解:(只画其中一个即可)所画的四边形ABCD的位似图形四边形A'B'C'D'、四边形A″B″C″D″如下:
其对应顶点的坐标分别为
A'(-3,3),B'(-4,1),C'(-2,0),D'(-1,2)
或A″(3,-3),B″(4,-1),C″(2,0),D″(1,-2).
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六、综合题
21.如图,矩形ABCD的一条边AD=6,将矩形ABCD折叠,使得点B落在CD边上的点P处,折痕与边BC交于点O,连接AP,OP,OA.
(1)求证:△OCP∽△PDA;
(2)若△OCP与△PDA的面积比为1∶4,求边AB的长;
(3)若点P恰好是CD边的中点,求证:2PC2=AD·OB.
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解:(1)由折叠的性质,可知∠APO=∠B=90°,
∴∠APD+∠OPC=90°,
∠POC+∠OPC=90°,
∴∠APD=∠POC,∵∠D=∠C=90°,
∴△OCP∽△PDA.
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(2)∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4,
∴△OCP与△PDA的相似比为1∶2,
∴PC=AD=3.
设AB=x,则DC=x,AP=x,DP=x-3,
在Rt△APD中,AP2=AD2+PD2,
即x2=62+(x-3)2,
解得x=7.5,即AB=7.5.
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(3)证明:∵点P是CD边的中点,∴DP=DC,
∵AP=AB=CD,∴DP=AP,∴∠DAP=30°,
由折叠的性质,可知∠OAB=∠OAP=30°,
∵AD=6,∴DP2=AP2-AD2,
∴DP2=4DP2-62,解得DP=2,
∴2DP=AP=4,∴PC=DP=2,
由折叠性质,可得△APO≌△ABO,∴AB=AP=4,
∵OB=AB,由勾股定理,得OB=4,
∴2PC2=2×(2)2=24,AD·OB=6×4=24,
∴2PC2=AD·OB.
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北师大版 九年级数学上册(共35张PPT)
4.4 探索三角形相似的条件（2）
北师大版 九年级数学上册
数学
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知识点 相似三角形的判定定理3
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为 .
三边成比例的两个三角形相似
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典型例题
【例】已知△ABC三边长是, , 2,与△ABC相似的三角形三边长可能是 ( )
A.1, , B.1, ,
C.1, , D.1, ,
思路点拨:根据相似三角形的判定定理即可求解.
解析:∵△ABC三边长是, , 2,
∴△ABC三边长的比为∶2∶=1∶∶,∴与△ABC相似的三角形三边长可能是1∶∶.故选A.
答案:A
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对应练习
1.已知△ABC的三边长分别为1, , ,△DEF的三边长分别为, , ,则△ABC与△DEF ( )
A.一定相似 B.一定不相似
C.不一定相似 D.无法判定是否相似
A
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对应练习
2.下列各组条件中,一定能够判定△ABC与△DEF相似的是 ( )
A.∠A=∠B,∠D=∠E
B.∠B=∠E,AB=3,AC=4,DE∶DF=3∶4
C.△ABC三边长分别为6, 18, 21,△DEF三边之比为2∶7∶6
D.∠C=91°,∠E=91°,DE∶AB=EF∶AC
C
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一、选择题
1.若△ABC的三边长分别为1, , ,△DEF的三边长分别2, 2, 2,则△ABC与△DEF ( )
A.一定相似 B.一定不相似
C.不一定相似 D.无法判定是否相似
解析:∵==,∴△ABC与△DEF一定相似.故选A.
A
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2.把△ABC的各边都扩大为原来的5倍,得到三角形△A1B1C1,则下列结论不正确的是 ( )
A.△ABC与△A1B1C1的三边成比例
B.△ABC∽△A1B1C1
C.△ABC与△A1B1C1的三角分别相等
D.△ABC与△A1B1C1的相似比为5
3.已知△ABC的三边长分别为7.5, 9和10.5,△DEF的一边长为5,当△DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似 ( )
A.4, 5 B.5, 6 C.6, 7 D.7, 8
D
C
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4.如图,在下列四个三角形中,与△ABC相似的是 ( )
A
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解析:设网格的边长是1,则AB==,BC==2,AC==,
∴AC∶BC∶AB=∶2∶=1∶2∶.
A项,三边之比是:2∶4∶2=1∶2∶,符合题意;
B项,三边之比是:∶∶3≠1∶2∶,不符合题意;
C项,三边之比是:∶∶4≠1∶2∶,不符合题意;
D项,三边之比是:∶3∶2≠1∶2∶,不符合题意.
故选A.
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二、填空题
1.△ABC的三边长分别为7, 6, 2,△DEF的两边长分别为1, 3,要使
△ABC∽△DEF,则△DEF的第三边长应为 .
2.一个直角三角形的两条边分别为4和8,另一个直角三角形的两条边分别为3和6,那么这两个直角三角形 (填“一定” “不一定”或“一定不”)相似.
不一定
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三、解答题
如图,在△ABC中,点D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,AD=3,
AE=6,DE=5,BD=15,CE=3,BC=15.根据以上条件,你认为∠B=∠AED吗
请说明理由.
解:∠B=∠AED.理由:
AB=AD+BD=3+15=18,
AC=AE+CE=6+3=9.
==3,==3,
==3,∴==,
∴△ABC∽△AED,∴∠B=∠AED.
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1.如图,在正方形网格上有6个斜三角形:①△ABC,②△BCD,③△BDE,
④△BFG,⑤△FGH,⑥△EFK,在②~⑥中,与①相似的三角形有 ( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
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2.如图,有一正方形ABCD,边长为6,E是边CD上的中点,对角线BD上有一动点F,当△ABF与△DEF相似时,BF的值为 .
解析:依题意,可得BD===12,设BF=x,则有DF=12-x.①当△ABF∽△FDE时,由=,
即=,解得x=6.②当△ABF∽△EDF时,
由=,即=,解得x=8,综上所述,BF的值为6或8.
6或8
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3.四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=2 cm,AB=7 cm,BC=3 cm,试在AB边上确定P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角
形相似.则AP的长是 cm.
或1或6
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解析:如图,设AP=x,则BP=7-x,∵AD∥BC,∴∠B=∠A=90°,
当∠APD=∠BPC,△APD∽△BPC,∴=,即=,解得x=;
当∠APD=∠BCP时,△APD∽△BCP,∴=,即=,解得x=1或x=6.
综上所述,当AP的长为 cm或1 cm或6 cm时,
以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.
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4.如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是矩形,其中点A,C分别在x轴,y轴上,B(4,2).P是x轴负半轴上一点,OP=OC,过点P的直线l分别与y轴、边BC交于点D、点E,连接AE.当△POD与△ABE相似时,求CE的长.
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解:①如图1,当△ABE∽△DOP时,∠AEB=∠DPO,
∵BC∥AP,∴∠EAP=∠AEB,
∴∠EPA=∠EAP,∴EP=EA,
∴点E的横坐标为1,∴CE=1.
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②如图2,当△ABE∽△POD时,过点E作EH⊥PA于点H.
∵∠BAE=∠EPA,∠BAE+∠EAP=90°,
∴∠EPA+∠EAP=90°,
∴∠AEP=90°,
∵EH⊥AP,
∴∠EHP=∠EHA=90°,
∴∠PEH+∠EPH=90°,
∠PEH+∠AEH=90°,
∴∠EPH=∠AEH,
∴△PHE∽△EHA,
∴EH2=PH·AH,设AH=x,
则PH=6-x,∴x(6-x)=4,
∴x2-6x+4=0,
∴x=3-或3+(舍去),∴CE=+1.
综上所述,满足条件的CE的值为1或+1.
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知识点 黄金分割
一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如右图所示),
如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
黄金分割值(黄金比)∶=≈ .
[注意]一条线段有 个黄金分割点.
点C是AB的黄金分割点,若AD=BC,则 也是AB的黄金分割点.
0.618
=
两
点D
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典型例题
【例1】如图,点C是靠近点B的黄金分割点,若AB=10 cm,则AC= cm.
(结果保留根号)
思路点拨:直接由黄金分割点的定义和黄金比值代入计算即可.
解析:∵点C是靠近点B的黄金分割点,AB=10 cm,
∴AC>BC,AC=AB=×10=(5-5) cm.
答案:5-5
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对应练习
1.已知点P是线段AB的黄金分割点,AP>PB.若AB=2,则AP值为 ( )
A. B.3- C.-1 D.-3
2.若点P是线段AB的黄金分割点,且AP>BP,若AP=4-4,则线段AB的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
C
D
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对应练习
3.已知点P是线段AB的黄金分割点,且AP>BP,则下列各式不正确的是( )
A.AP∶BP=AB∶AP B.AP=AB
C.BP=AB D.AP≈0.618AB
C
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一、选择题
1.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,如果AB长为20,则AC为 ( )
A.10-10 B.10-10
C.30-10 D.20-10
A
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2.比值为(约0.618)的比例被公认为是最能引起美感的比例,因此被称为黄金分割比,我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例,如果某面国旗长为2米,则其宽约为 ( )
A.1.5米 B.1.2米
C.1.0米 D.0.8米
3.正常人的体温一般在37 ℃,室温太高、太低都会感觉不舒服.有人研究认为人的满意温度与正常体温的比是黄金分割比,根据你的生活体验和数学知识,该温度约为 ( )
A.18 ℃ B.20 ℃ C.23 ℃ D.25 ℃
B
C
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二、填空题
1.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,AC=1,则AB的长为 .
解析:=,∴=,解得AB=.
2.已知线段MN=6,点O是线段MN的黄金分割点,且MO>NO,
那么NO的长为 .
解析:∵点O是线段MN的黄金分割点,且MO>NO,MN=6,∴OM=,MN=×6=3-3,NO=6-(3-3)=9-3.
9-3
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三、解答题
如图,2022年国际世界乒乓球锦标赛的吉祥物是一只大熊猫,这只大熊猫的头身比接近黄金比.小兰将熊猫的头画成☉A,熊猫的身体画成☉B,☉A与☉B的直径的比按照黄金比画,若☉B的直径为4,请计算☉A的周长.
解:∵☉A与☉B的直径的比按照黄金比画,☉B的直径为4,
∴☉A的直径=×4=2-2,
∴☉A的周长=(2-2)π,
∴☉A的周长为(2-2)π.
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1.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠CBA=90°,E为边AB的黄金分割点(AE>BE),AD=AE,BC=BE.AC,DE将四边形分为四个部分,它们的面积分别用S1, S2, S3, S4表示,则下列判断正确的是 ( )
A.S1=4S2 B.S4=3S2
C.S1=S3 D.S3=S4
C
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解析:设AB=a.∵点E是AB的黄金分割点,AE>EB,
∴AD=AE=a,BE=BC=a=a,
∴S△ADE=·=a2,
S△ABC=×a×a=a2,
∴S△ADE=S△ABC,即S1+S2=S2+S3,
∴S1=S3.故选C.
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2.地球表面的纬度范围是0~90°,对其进行黄金分割,黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带,世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此,那么黄金地带纬度的范围
是: ~ (黄金比为0.618).
解析: 90°×0.618=55.62°,
90°-55.62°=34.38°,
∴黄金地带纬度的范围是34.38°~55.62°.
34.38°
55.62°
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3.以长为2 cm的定线段AB为边,作正方形ABCD,取AB的中点P.在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M落在AD上,如图所示.
(1)试求AM,DM的长;
(2)点M是线段AD的黄金分割点吗 请说明理由.
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解:(1)在Rt△APD中,AP=1 cm,AD=2 cm,
由勾股定理,知PD===(cm),
∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=(-1)(cm),
∴DM=AD-AM=(3-)(cm).
(2)点M是线段AD的黄金分割点.理由如下:
∵AM2=(-1)2=6-2,
AD·DM=2×(3-)=6-2,
∴AM2=AD·DM,
∴点M是线段AD的黄金分割点.
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4.如图1,我们已经学过:点C将线段AB分成两部分,如果=,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某校的数学拓展性课程班,在进行知识拓展时,张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果=,那么称直线l为该图形的黄金分割线.如图2,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠C的平分线交AB于点D.求证:
(1)点D是AB边上的黄金分割点;
(2)直线CD是△ABC的黄金分割线.
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证明:
(1)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=72°.
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB=36°,
∴∠BDC=∠B=72°,∠ACD=∠A=36°,
∴BC=DC=AD.
∵∠A=∠BCD,∠B=∠B,∴△BCD∽△BAC,
∴=.∴=.
∴D是AB边上的黄金分割点.
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(2)设△ABC的边AB上的高为h,
则∴=,=.
∵D是AB的黄金分割点,∴=,
∴=.
∴直线CD是△ABC的黄金分割线.
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