(共38张PPT)
1.3正方形的性质与判定（2）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
返回目录
知识点一 正方形的判定定理
1.有一组邻边 的矩形是正方形.
2.对角线互相 的矩形是正方形.
3.有一个角是 的菱形是正方形.
4.对角线 的菱形是正方形.
相等
垂直
直角
相等
数学
返回目录
典型例题
【例1】已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一个条件,使得该四边形成为正方形,那么所添加的这个条件可以是 ( )
A.∠D=90° B.AB=CD
C.AB=BC D.AC=BD
思路点拨:先根据条件判断它为矩形,接着思考什么样的矩形会成为正方形,即可得出答案.
解析:由∠A=∠B=∠C=90°可判定四边形ABCD为矩形,因此再添加条件:一组邻边相等,即可判定四边形ABCD为正方形.故选C.
答案:C
数学
返回目录
典型例题
【例2】如图,等边△AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.求证:矩形ABCD是正方形.
数学
返回目录
典型例题
思路点拨:先判断出AE=AF,
∠AEF=∠AFE=60°,
进而求出∠AFD=∠AEB=75°,
进而判断出△AEB≌△AFD,
即可得出结论.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=∠C=90°,
∵△AEF是等边三角形,
∴AE=AF,
∠AEF=∠AFE=60°,
∵∠CEF=45°,
∴∠CFE=∠CEF=45°,
∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°,
∴△AEB≌△AFD(AAS),
∴AB=AD,
∴矩形ABCD是正方形.
数学
返回目录
对应练习
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,添加下列一个条件,能使菱形ABCD成为正方形的是 ( )
A.BD=AB
B.AC=AD
C.∠ABC=90°
D.OD=AC
C
数学
返回目录
对应练习
2.如图,在△ABC中,AD是角平分线,AD的垂直平分线分别交AB,AC于点E,F.
(1)求证:四边形AEDF是菱形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AEDF是正方形 并说明理由.
数学
返回目录
对应练习
(1)证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
又∵EF⊥AD,
∴∠AOE=∠AOF=90°,
在△AEO和△AFO中,
∴△AEO≌△AFO(ASA),
∴EO=FO,
∵EF垂直平分AD,∴EF,AD相互平分,
∴四边形AEDF是平行四边形,
又∵EF⊥AD,∴平行四边形AEDF为菱形.
数学
返回目录
对应练习
(2)解:在△ABC中,当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形.
理由:∵∠BAC=90°,
∴四边形AEDF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).
数学
返回目录
知识点二 中点四边形:依次连结四边形的四条边的中点的四边形叫做中点四边形
中点四边形的形状与原四边形的对角线间的关系有关:若E,F,G,H依次是任意四边形ABCD四边AB,BC,CD,AD的中点,此时四边形EFGH是平行四边形;又若AC=BD,则四边形EFGH是菱形;又若AC⊥BD,则四边形EFGH是矩形,又若AC=BD,AC⊥BD,则四边形EFGH是正方形.请判断:
(1)平行四边形的中点四边形是: .
(2)矩形的中点四边形是: .
(3)菱形的中点四边形是: .
(4)正方形的中点四边形是: .
(5)等腰梯形的中点四边形是: .
平行四边形
菱形
矩形
正方形
菱形
数学
返回目录
典型例题
【例3】如果一个四边形的对角线相等,顺次连接该四边形四条边的中点,可以得到 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
思路点拨:因为四边形的两条对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得出所得的四边形的四边相等,则所得的四边形为菱形.
解析:根据上面的知识,当对角线相等时,得到的中点四边形是菱形,故选C.
答案:C
数学
返回目录
对应练习
3.如图,小健家的四棵小树E,F,G,H刚好在梯形院子ABCD各边的中点上,若在四边形EFGH上种小草,则这块草地的形状一定是 ( )
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
A
数学
返回目录
对应练习
4.若顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是菱形,
则原四边形一定是 ( )
A.平行四边形
B.矩形
C.对角线相等的四边形
D.对角线互相垂直的四边形
C
数学
◆ 基础巩固◆
返回目录
一、选择题
1.如图,已知AC= cm,小红作了如下操作:分别以A,C为圆心,1 cm的长为半径作弧,两弧分别相交于点B,D,依次连接A,B,C,D,则四边形ABCD的形状是 ( )
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
D
数学
返回目录
2.已知菱形ABCD,下列条件中,不能判定这个菱形为正方形的是 ( )
A.∠A=∠B B.∠A=∠C
C.AC=BD D.AB⊥BC
3.如果顺次连接一个四边形的各边中点所得到的四边形是矩形,那么这个四边形一定是 ( )
A.矩形 B.菱形
C.对角线垂直的四边形 D.对角线相等的四边形
B
C
数学
返回目录
二、填空题
1.如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相等且互相平分,再添加一个条件,使得四边形ABCD是正方形,可添加的条件是 .(写出一个即可)
BC=CD
数学
返回目录
2.我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”,设菱形相邻两个内角的度数分别为α°,β°,将菱形的“接近度”定义为|α-β|,于是|α-β|越小,菱形越接近正方形.
(1)若菱形的一个内角为80°,
则该菱形的“接近度”为 ;
(2)当菱形的“接近度”等于 时,菱形是正方形.
20
0
数学
返回目录
解析:∵菱形相邻两个内角的度数和为180°,∴α+β=180,即80+β=180,解得β=100,∴该菱形的“接近度”为|α-β|=|80-100|=20;∵四个角都为直角的菱形是正方形,∴当α=β=90时,
菱形是正方形,∴|α-β|=0时,菱形是正方形,故答案为:20, 0.
数学
返回目录
三、解答题
1.如图,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线交对角线AC于点M,ME⊥AB,MF⊥BC,垂足分别是E,F,判定四边形MEBF的形状,并证明你的结论.
数学
返回目录
解:四边形MEBF是正方形.
证明如下:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°.
又∵ME⊥AB,MF⊥BC,
∴∠MEB=∠MFB=90°.
∴四边形MEBF是矩形.
又∵BM是∠ABC的平分线,
∴ME=MF.∴四边形MEBF是正方形.
数学
返回目录
2.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=BE.求证:四边形BECF是正方形.
数学
返回目录
证明:∵EF垂直平分BC,
∴BE=EC,BF=CF,
∵CF=BE,
∴BE=EC=CF=BF,
∴四边形BECF是菱形;
∵∠A=45°,∠ACB=90°,
∴∠EBC=45°,
∵BE=EC,
∴∠ECB=∠EBC=45°,
∴∠BEC=90°,
∴菱形BECF是正方形.
数学
◆ 能力提升◆
返回目录
1.如图,将边为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.-
B.3-
C.2-
D.3-
B
数学
返回目录
解析:设CD,EF相交于点M,连接AM,DM=x,
∵将边为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH,
∴∠DAH=30°,
∵AM=AM,AE=AD,
∴Rt△AEM≌Rt△ADM(HL),
∴∠DAM=∠EAM,∴∠MAD=30°,AM=2x,
∴x2+3=4x2,解得x=1,
∴AM=2,∴S阴影=SABCD-SAEM-SADM=3-.故选B.
数学
返回目录
2.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边AD,CD上的点,且AE=DF,AF与BE交于点G,取BF中点H,连结GH,则下列结论:①AF=BE;②BF=2GH;③△ABG与四边形EGFD面积相等,正确结论的序号是 ( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
D
数学
返回目录
解析:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DA,∠BAE=∠ADF,在△BAE和△ADF中,∴△BAE≌△ADF(SAS),∴BE=AF,故①正确;∵△BAE≌△ADF,∴∠ABE=∠DAF,∵∠ABE+∠AEB=90°,∴∠DAF+∠AEB=90°,∴∠AGE=90°,∴∠BGF=90°,∵点H是BF的中点,∴BF=2GH,故②正确;∵△BAE≌△ADF,∴S△ABG+S△AGE=S△AGE+S四边形EGFD,∴△ABG与四边形EGFD面积相等,故③正确.故选D.
数学
返回目录
3.如图,在四边形CDEF中,∠C=∠D=90°,CF+DE=CD=4,G为DE的中点,点H在EF上,且EH=EF,连接GH,则GH的长为 .
第3题图
数学
返回目录
解析:如图,延长DE至点A,使得EA=CF,延长CF至点B,使得BF=DE,连接AB.
∵CF+DE=CD,∴AD=BC=CD.∵∠BCD=∠ADC=90°,∴四边形ABCD为正方形.连接AC交EF于点O,∴∠EAO=∠FCO=45°,
∵∠AOE=∠COF,EA=FC,∴△AEO≌△CFO(AAS),∴AO=CO,EO=FO,
∴O为AC和EF的中点,连接OD,则H为EO的中点,G为DE的中点,
∴GH为△EOD的中位线,
∴GH=OD,OD=AC,AC=CD=4,
∴OD=2,∴GH=OD=.故答案为.
数学
返回目录
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2,若直线y=k(x-1)与线段BC有公共点,则k的取值范围是 .
第4题图
解析:∵正方形OABC的边长为2,
∴B(2,2),C(0,2).
把B(2,2)代入y=k(x-1),得2=k(2-1),此时k=2.把C(0,2)代入y=k(x-1),得2=k(0-1),此时k=-2.
∴k的取值范围是k≤-2或k≥2.
k≤-2或k≥2
数学
返回目录
5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,过点A的直线MN∥BC,D为BC的中点,过点D作DE⊥AB,交直线MN于E,垂足为F,连接AD,BE.
(1)求证:四边形ADBE是菱形;
(2)当∠C的大小满足什么条件时,四边形ADBE是正方形 请说明你的理由.
数学
返回目录
(1)证明:∵DE⊥AB,∴∠BFD=90°,
又∵∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠BFD,
∴DE∥AC,又∵MN∥BC,
∴四边形ACDE是平行四边形,
∴AE=CD,又∵D为BC的中点,
∴BD=CD,
∴BD=AE,又∵AE∥BD,
∴四边形ADBE是平行四边形,∵DE⊥AB,
∴四边形ADBE是菱形.
数学
返回目录
(2)解:当∠C=45°时,四边形ADBE是正方形.理由:
∵∠BAC=90°,∠C=45°,
∴∠ABC=∠C=45°.
∵由(1)得四边形ADBE是菱形,
∴∠ABC=∠ABE=45°,∴∠DBE=90°,
∴菱形ADBE是正方形.
数学
返回目录
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当D在AB的中点时,四边形BECD是什么特殊的四边形 说明你的理由;
(3)若D为AB的中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形 说明你的理由.
数学
返回目录
(1)证明:∵DE⊥BC,
∴∠DFB=90°,又∵∠ACB=90°,∴∠DFB=∠ACB,∴DE∥AC,
又∵MN∥AB,
∴四边形ADEC为平行四边形,
∴CE=AD.
数学
返回目录
(2)解:四边形BECD是菱形.
理由:∵在Rt△ABC中,D是AB的中点,
∴DB=AD=CD.∵由(1)得CE=AD,
∴DB=CE.
又∵MN∥AB,
∴四边形BECD为平行四边形,
又∵DB=CD,∴四边形BECD为菱形.
数学
返回目录
(3)解:当∠A=45°时,四边形BECD为正方形.
理由:∵AC∥DE,∴∠BDE=∠A=45°,
且由(2)得当D是AB的中点时,四边形BECD为菱形,
∴∠CDE=∠BDE=45°,
∴∠BDC=90°,
∴菱形BECD为正方形.
谢谢观看
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
返回目录
北师大版 九年级数学上册(共27张PPT)
1.2矩形的性质与判定（2）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
返回目录
知识点 矩形的判定
1.定义法:有一个角是直角的 叫做矩形.
2.定理1:对角线 的平行四边形是矩形.
3.定理2:有三个角是 的四边形是矩形.
平行四边形
相等
直角
数学
返回目录
典型例题
【例1】已知平行四边形ABCD中,添加下列条件,其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是 ( )
A.AB=BC B.AC⊥BD
C.AC=BD D.AC平分∠BAD
思路点拨:根据矩形的判定方法去判断即可.
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,又∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,故选C.
答案:C
数学
返回目录
典型例题
【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,四边形ABDE是平行四边形.求证:四边形ADCE是矩形.
数学
返回目录
典型例题
证明:∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE∥BC,AB=DE,
∵D为BC的中点,
∴CD=BD,
∴CD∥AE,CD=AE,
∴四边形ADCE是平行四边形,
在△ABC中,∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴平行四边形ADCE是矩形.
思路点拨:先证明四边形ADCE是平行四边形,再由等腰三角形的性质得AD⊥BC,则∠ADC=90°,即可证明四边形ADCE是矩形.
数学
返回目录
对应练习
1.如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分,添加下列条件,仍不能判定四边形ABCD为矩形的是 ( )
A.∠BAD=90°
B.AC⊥BD
C.AC=BD
D.∠ACD=∠BDC
B
数学
返回目录
对应练习
2.如图,在 ABCD中,DE⊥AB,垂足为E,点F在CD上,且CF=AE.求证:四边形DEBF是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥DC,
∵AE=CF,
∴AB-AE=DC-CF,即DF=EB,
又∵AB∥DC,
∴四边形DEBF是平行四边形,
∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,
∴四边形DEBF是矩形.
数学
◆ 基础巩固◆
返回目录
一、选择题
1.下列命题是真命题的是 ( )
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.一组对边平行且相等的四边形是矩形
C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形
2.对角互补的平行四边形是 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
C
B
数学
返回目录
3.工人师傅在做矩形门窗时,不仅要测量两组对边的长度是否分别相等,还要测量它们的两条对角线是否相等,以确定门窗是否为矩形.这样做的依据是 ( )
A.矩形的两组对边分别相等
B.矩形的两条对角线相等
C.有一个角是直角的平行四边形是矩形
D.对角线相等的平行四边形是矩形
D
数学
返回目录
二、填空题
1.如图,在平行四边形ABCD中,在不添加任何辅助线的情况下,请添加一个条件 ,使平行四边形ABCD是矩形
∠A=90°
数学
返回目录
3.如图,在平行四边形ABCD中,若∠1=∠2,则四边形ABCD是 .
2.木工师傅要做一个长方形桌面,做好后量得长为 80 cm,宽为60 cm,对角线为100 cm,则这个桌面 (填“合格”或“不合格”).
合格
矩形
数学
返回目录
三、解答题
1.如图,在平行四边形ABCD中,过点D作DF⊥BC于点F,点E在边AD上,AE=CF,连接BE.求证:四边形BFDE是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵ED=AD-AE,BF=BC-CF,AE=CF,
∴ED=BF,
∴四边形BFDE是平行四边形,
又∵DF⊥BC,
∴∠DFB=90°,
∴平行四边形BFDE是矩形.
数学
返回目录
2.如图所示,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上,且AM=BP=CN=DQ.求证:四边形MPNQ是矩形.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB=OC=OD.
∵AM=BP=CN=DQ,
∴OM=OP=ON=OQ,
∴四边形MPNQ是平行四边形.
又∵OM+ON=OQ+OP,
∴MN=PQ.
∴四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
数学
◆ 能力提升◆
返回目录
1.如图,矩形ABCD中,∠BOC=120°,BD=12,点P是AD边上一动点,则OP的最小值为 ( )
A.3
B.4
C.5
D.6
A
数学
返回目录
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P是AB上的任意一点,作PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,连接DE,则DE的最小值为 .
第2题图
4.8
数学
返回目录
解析
∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,∴AB=10,连接CP,
∵PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,∴四边形DPEC是矩形,
∴DE=CP,当DE最小时,则CP最小,
根据垂线段最短可知当CP⊥AB时,
则CP最小,
∴DE=CP==4.8.
数学
返回目录
3.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,AD上的动点,P是线段EF的中点,PG⊥BC,PH⊥CD,G,H为垂足,连接GH.若AB=8,AD=6,EF=6,则GH的最小值是 .
7
第3题图
数学
返回目录
解析:
如图,连接AC,AP,CP,∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=6,
∠BAD=∠B=∠C=90°,∴AC==10,
∵P是线段EF的中点,∴AP=EF=3,
∵PG⊥BC,PH⊥CD,∴∠PGC=∠PHC=90°,
∴四边形PGCH是矩形,∴GH=CP,
当A,P,C三点共线时,CP最小=AC-AP=10-3=7,
∴GH的最小值是7.
数学
返回目录
4.如图,已知四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形,分别连接FD,EC.
(1)求证:四边形CDFE是平行四边形;
(2)设AB与EC交于点G.如果EG=CG,
∠AFD=∠ADF,求证:四边形CDFE是矩形.
数学
返回目录
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵四边形ABEF是平行四边形,
∴AB∥EF,AB=EF,
∴CD∥EF,CD=EF,
∴四边形CDFE是平行四边形.
数学
返回目录
(2)∵∠AFD=∠ADF,∴AF=AD,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,
∵四边形ABEF是平行四边形,∴AF=BE,
∴BC=BE,∵EG=CG,∴AB⊥CE,
由(1)得:AB∥EF,∴EF⊥CE,∴∠CEF=90°,
又∵四边形CDFE是平行四边形,
∴平行四边形CDFE是矩形.
数学
返回目录
5.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,
四边形AECF是矩形 并说明理由.
数学
返回目录
(1)证明:∵MN交∠ACB的平分线于点E,
交∠ACB的外角平分线于点F,
∴∠2=∠5,∠4=∠6,
∵MN∥BC,
∴∠1=∠5,∠3=∠6,
∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EO=CO,FO=CO,∴OE=OF.
数学
返回目录
(2)解:∵∠2=∠5,∠4=∠6,
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°,
∵CE=12,CF=5,
∴EF==13,
∴OC=EF=6.5.
数学
返回目录
(3)解:当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.
证明:当O为AC的中点时,AO=CO,
∵EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵∠ECF=90°,
∴平行四边形AECF是矩形.
谢谢观看
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
返回目录
北师大版 九年级数学上册(共39张PPT)
1.2矩形的性质与判定（1）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
返回目录
知识点一 矩形的定义
有一个角是 的平行四边形叫做矩形.
直角
数学
返回目录
典型例题
【例1】若 ABCD添加一个条件后,能推出它是矩形,则添加的条件可以是 ( )
A.AB=AD B.AC平分∠BAD
C.AC⊥BD D.AB⊥BC
思路点拨:根据矩形的定义判断即可.
解析:∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,又∵四边形ABCD是平行四边形,∴ ..ABCD是矩形,故选D.
答案:D
数学
返回目录
对应练习
1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,DF∥AB,DE∥AC,
则当∠B= °时,四边形AEDF是矩形.
45
数学
返回目录
知识点二 矩形的性质
1.矩形具有平行四边形的一切性质.
2.角:四个角都是 .
3.对角线:对角线 .
4.矩形是 图形,它有 条对称轴,它的对称轴是经过对边中点的直线,矩形也是 图形,对角线的交点即为对称中心.
直角
相等
轴对称
两
中心对称
数学
返回目录
典型例题
【例2】如图,在矩形ABCD中,∠AOD=60°,AD=4,则AB= .
思路点拨:根据矩形的性质和∠AOD=60°得出△AOD是等边三角形,从而求出BD的长,再根据勾股定理求出AB即可.
解析:在矩形ABCD中,∠DAB=90°,OA=OC,OB=OD,AC=BD,
∴OA=OD,∵∠AOD=60°,
∴△AOD是等边三角形,∴OD=AD=4,
∴BD=2OD=8,
由勾股定理得AB==4.
答案:4
数学
返回目录
对应练习
2.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AB=8,BC=6,则OD的长为 .
第2题图
5
数学
返回目录
对应练习
3.如图,已知在矩形ABCD中,O为对角线的交点,∠BOC=120°,AE⊥BO于点E,AB=4,则AE的长为 .
第3题图
2
数学
返回目录
知识点三 直角三角形斜边上的中线的性质
1.性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若点D是AB的中点,则CD= AB.
2.推论:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
如图,在△ABC中,若点D是AB的中点,且CD=AB,
那么△ABC是直角三角形.
一半
数学
返回目录
典型例题
【例3】如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是CD边的中点.若AB=12,OM=,则线段OB的长为 ( )
A.7
B.8
C.
D.
数学
返回目录
典型例题
思路点拨:依据OM是△ADC的中位线即可求出AD的长,再根据矩形的性质即可求出CD的长,再利用勾股定理求出AC的长,最后由直角三角形斜边上的中线的性质即可得到OB的长.
解析:∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是CD边的中点,
∴OM△ADC的中位线,∴AD=2OM=9,∵四边形ABCD是矩形,AB=12,
∴∠D=∠ABC=90°,CD=AB=12,∴Rt△ACD中,AC==15,
∴Rt△ABC中,OB=AC=.故选C.
答案:C
数学
返回目录
对应练习
4.如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的中线,若CD=2,则AB= .
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=62°,CD⊥AB,垂足为D,E是BC的中点,连接ED,则∠EDC的度数是 .
第4题图
第5题图
4
62°
数学
返回目录
对应练习
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在斜边AB上,且AD=CD,则下列结论中错误的是 ( )
A.∠DCB=∠B
B.BC=BD
C.AD=BD
D.∠ACD=∠BDC
B
数学
◆ 基础巩固 ◆
返回目录
一、选择题
1.下面性质中矩形具有而菱形没有的是 ( )
A.对角线相等 B.邻边相等
C.对角线垂直 D.对边相等
2.如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,若△AOB的面积是3,则矩形ABCD的面积是 ( )
A.6 B.9
C.12 D.15
A
C
数学
返回目录
3.在矩形ABCD中,对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=2,则AC的长为 ( )
A.2
B.3
C.4
D.2
C
数学
返回目录
二、填空题
1.矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠AOD=120°,AC=6,则△ABO的周长为 .
2.如图,三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏,目标物放在斜边AC的中点O处,已知AC=6 m,则点B到目标物的距离是 m.
第1题图
第2题图
9
3
数学
返回目录
3.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,若点B的坐标是(1,3),则CA的长是 .
数学
返回目录
三、解答题
1.如图,已知AC,BD是矩形ABCD的对角线,过点A作AE∥BD,交CD的延长线于点E.求证:AE=AC.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AB∥CD,
又∵BD∥AE,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AE=BD,∴AE=AC.
数学
返回目录
2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ADF∶∠FDC=3∶2,DF⊥AC交BC于点F,垂足为E,求∠BDF的度数.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°,AC=BD,CO=AC,DO=BD,
∴CO=DO,∵∠ADF∶∠FDC=3∶2,
∴∠FDC=×90°=36°,∵DF⊥AC,
∴∠DEC=90°,
∴∠DCO=90°-∠FDC=90°-36°=54°,
∵CO=DO,∴∠ODC=∠DCO=54°,
∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=54°-36°=18°.
数学
◆ 能力提升 ◆
返回目录
1.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,FC=,则AB的长为 ( )
A.2
B.3
C.4
D.6
B
数学
返回目录
解析:如图,连接BO,∵四边形ABCD是矩形,
∴DC∥AB,∠DCB=90°,∴∠FCO=∠EAO,
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF,OA=OC,
∵BF=BE,∴BO⊥EF,∠BOF=90°,
∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE,
∴∠EAO=∠EOA,∴EA=EO=OF=FC=,
数学
返回目录
在Rt△BFO和Rt△BFC中,
∴Rt△BFO≌Rt△BFC(HL),∴BO=BC,在Rt△ABC中,
∵AO=OC,∴BO=AO=OC=BC,∴△BOC是等边三角形,
∴∠BCO=60°,∠BAC=30°,∴∠FEB=2∠CAB=60°,
∵BE=BF,∴△BEF是等边三角形,
∴EB=EF=2,
∴AB=AE+EB=+2=3.故选B.
数学
返回目录
2.如图,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O.下列结论:①△ABE△≌△AHD;②HE=CE;③H是BF的中点;④AB=HF;⑤BC-CF=2HE.其中正确的有 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
C
数学
返回目录
解析:∵在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,∴∠BAE=∠HAD=45°,∠ABE=∠AHD=90°,∴△ABE与△AHD是等腰直角三角形,∴AD=AH,AE=AB,∵AD=AB,∴AH=AB,AD=AE,
在△ABE与△AHD中,
∴△ABE≌△AHD(SAS),故①正确;
∵在矩形ABCD中,△ABE与△AHD是等腰直角三角形,
△ABE≌△AHD,∴DH=AH=AB=BE,AD=AE=BC,
∴AE-AH=BC-BE,∴HE=CE,故②正确;
数学
返回目录
∵AB=AH,∴∠AHB=(180°-45°)=67.5°,∴∠OHE=∠AHB=67.5°,
∴∠DHO=90°-67.5°=22.5°,∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°,∴∠EBH=∠OHD,在△BEH和△HD中,∴△BEH≌△HDF(ASA),
∴BH=HF,即H是BF的中点,故③正确;∵AB=AH,∠BAE=45°,∴△ABH不是等边三角形,∴AB≠BH,∵BH=HF,∴AB≠HF,故④错误;∵CF=CD-DF,∴BC-CF=BC-(CD-DF),∵DF=HE,∴BC-CF=BC-(CD-HE)=BC-CD+HE,∵HE=AE-AH=BC-CD,∴BC-CF=HE+HE=2HE,故⑤正确.
综上所述,正确的为:①②③⑤,共有4 个.故选C.
数学
返回目录
3.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为 .
(2,4)或(3,4)或(8,4)
数学
返回目录
解析:由题意,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况:
(1)如答图①所示,PD=OD=5,点P在点D的左侧.过点P作PE⊥x轴于点E,
则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理,得DE===3,
∴OE=OD-DE=5-3=2.
∴此时点P坐标为(2,4);
数学
返回目录
(2)如答图②所示,OP=OD=5.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.
在Rt△POE中,由勾股定理,得OE===3,
∴此时点P坐标为(3,4);
数学
返回目录
(3)如答图③所示,PD=OD=5,点P在点D的右侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理,得DE===3,
∴OE=OD+DE=5+3=8,∴此时点P坐标为(8,4).综上所述,
点P的坐标为:(2,4)或(3,4)或(8,4).
数学
返回目录
4.如图所示,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使BC与AD交于点E.若AD=8 cm,AB=4 cm,求△BDE的面积.
物理
返回目录
解:如右图,设DE=x cm,
则AE=(8-x) cm.由折叠的性质,知△BCD≌△BC'D,
则∠1=∠2.
在矩形ABCD中,
∵AD∥BC,∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3.∴BE=DE=x.
在Rt△ABE中,由勾股定理,
得BE2=AB2+AE2,
即x2=42+(8-x)2,解得x=5,
∴△BDE的面积为DE·AB=×5×4=10 (cm2).
数学
返回目录
5.长方形OABC的位置如图所示,点B的坐标为(8,4),点P从点C出发向点O移动,速度为每秒1个单位;点Q同时从点O出发向点A移动,速度为每秒2个单位.
(1)请写出点A,C的坐标.
(2)几秒后,P,Q两点与原点距离相等.
(3)在点P,Q移动过程中,四边形OPBQ的面积有何变化 说明理由.
数学
返回目录
解:(1)由题意,可知A(8,0),C(0,4).
(2)∵CP=t,OQ=2t,
∴OP=4-t,
由OP=OQ得到4-t=2t,
∴t= s时,OP=OQ.
数学
返回目录
(3)四边形OPBQ的面积不变.
理由:连接OB.
∵S四边形OPBQ=S△OPB+S△OQB
=·(4-t)·8+·2t·4=16-4t+4t=16,
∴四边形OPBQ的面积不变.
数学
返回目录
6.已知:如图,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别与AC,BC,AD交于点O,E,F,连接 AE和CF.
(1)求证:四边形AECF为菱形;
(2)若AB=,BC=3,求菱形AECF的边长.
数学
返回目录
(1)证明:∵对角线AC的垂直平分线EF分别与AC,BC,AD交于点O,E,F,
∴AF=CF,AE=CE,OA=OC,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠FAO=∠ECO,
在△AOF和△COE中,
∴△AOF≌△COE(ASA),
∴AF=CE,
∵AF=CF,AE=CE,
∴AE=EC=CF=AF,
∴四边形AECF为菱形;
数学
返回目录
(2)解:设AE=CE=x,则BE=3-x,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,
在Rt△ABE中,由勾股定理,
得AB2+BE2=AE2,
即()2+(3-x)2=x2,解得x=2,即AE=2,
∴菱形AECF的边长是2.
谢谢观看
北师大版 九年级数学上册
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
返回目录(共30张PPT)
1.1菱形的性质与判定（2）
北师大版 九年级数学上册
课前导学
Preview detection
基础巩固
Basic training
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
Advanced training
02
数学
◆ 课前导学 ◆
返回目录
知识点 菱形的判定
菱形 元素 用语言叙述 用数学符号语言叙述
判定 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是 ,
又AB BC,∴四边形ABCD是菱形
四条边都相等的四边形是菱形 ∵四边形ABCD中,
又AB BC CD DA,
∴四边形ABCD是菱形
对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是 ,
又AC BD,∴四边形ABCD是菱形
平行四边形
=
=
=
=
平行四边形
⊥
数学
返回目录
典型例题
【例】如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,
以AB,BD为邻边作 ABDE,连接EC,当∠BAC=90°时,说明四边形ADCE是菱形的理由.
数学
返回目录
典型例题
解:理由如下: ∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE=BD,AE∥BD,AB∥DE,
∵AD是边BC上的中线,
∴BD=CD,
∴CD=AE,且AE∥CD,
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AB∥DE,∠BAC=90°,
∴∠COD=∠BAC=90°,
即AC⊥DE且四边形ADCE是平行四边形,
∴四边形ADCE是菱形.
思路点拨:先证明四边形ADCE是平行四边形,再证明AC⊥DE,即可得ADCE是菱形.
数学
返回目录
对应练习
1.在下列条件中,能够判定四边形是菱形的是 ( )
A.两条对角线相等
B.两条对角线互相垂直平分
C.两条对角线互相垂直
D.两条对角线相等且互相垂直
B
数学
返回目录
对应练习
2.如图,在△ABC中,AC=BC,点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,连接DE,DF.求证:四边形DFCE是菱形.
证明:∵点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,
∴DE∥CF,DE=BC,DF∥CE,DF=AC,
∴四边形DECF是平行四边形,
∵AC=BC,∴DE=DF,
∴四边形DFCE是菱形.
数学
◆ 基础巩固 ◆
返回目录
一、选择题
1.如图,以O为圆心,OA长为半径画弧分别交OM,ON于A,B两点,再分别以A,B为圆心,以OA长为半径画弧,两弧交于点C,分别连接AC,BC,则四边形OACB一定是 ( )
A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
B
数学
返回目录
2.下列说法中,错误的是 ( )
A.平行四边形的对角线互相平分
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.菱形的对角线互相垂直
D.对角线互相垂直的四边形是菱形
3.下列选项中能使 ABCD成为菱形的是 ( )
A.AB=CD B.AB=BC
C.∠BAD=90° D.AC=BD
D
B
数学
返回目录
4.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是 ( )
A.对角线相等且互相垂直的四边形
B.对角线互相平分的四边形
C.对角线相等的四边形
D.对角线互相垂直的四边形
C
数学
返回目录
二、填空题
1.如图,剪两张对边平行且等宽的纸条,随意交叉叠放在一起,转动其中的一张,重合的部分构成了一个四边形,这个四边形是 .
2.如图,四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件 ,使四边形ABCD是菱形.(只需添加一个即可)
第1题图
第2题图
菱形
OA=OC
数学
返回目录
三、解答题
1.已知,如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线,分别过C,B作CE∥AB,BE∥CD,且CE与BE相交于点E.求证:四边形CDBE是菱形.
证明:∵BE∥CD,CE∥AB,
∴四边形CDBE是平行四边形.
∵∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,
∴CD=BD,
∴四边形CDBE是菱形.
数学
返回目录
2.如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线BD的中点,过O点作EF⊥BD,交AD于点E,交BC于点F,那么,四边形EBFD是菱形吗 为什么
数学
返回目录
解:四边形EBFD是菱形,
理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DEO=∠OFB,
∵EF⊥BD,
∴∠EOD=∠FOB=90°,
∵点O是对角线BD的中点,∴BO=DO,
∴△DOE≌△BOF(AAS),
∴BF=DE,∴四边形EDFB是平行四边形,
∵EF⊥BD,∴四边形EBFD是菱形.
数学
◆ 能力提升 ◆
返回目录
1.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,恰好得到菱形AECF.若AB=3,则菱形AECF的面积为 ( )
A.1
B.2
C.2
D.4
C
数学
返回目录
解析:∵四边形AECF是菱形,AB=3,
∴假设BE=x,则AE=3-x,CE=3-x,
∵四边形AECF是菱形,∴∠FCO=∠ECO,
∵∠ECO=∠ECB,∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°,2BE=CE,∴CE=2x,∴2x=3-x,解得x=1,∴CE=2,
利用勾股定理,得BC2+BE2=EC2,BC===,
又∵AE=AB-BE=3-1=2,则菱形的面积是AE·BC=2.
故选C.
数学
返回目录
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,D为斜边AB上一点,以CD,CB为边作平行四边形CDEB,当AD= ,平行四边形CDEB为菱形.
第2题图
2.8(或)
数学
返回目录
解析
如图,连接CE交AB于点O.∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.
∴AB==10,若平行四边形CDEB为菱形,则CE⊥BD,OD=OB,
CD=CB.∵AB·OC=AC·BC,∴OC=,
∴OB==,∴AD=AB-2OB=.
数学
返回目录
3.如图,菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD交于点O,E为CD延长线上一点,且CD=DE,连结BE,分别交AC,AD于点F,G,连结OG,则下列结论:
①OG=AB;②S四边形ODGF>S△ABF;③由点A,B,D,E构成的四边形是菱形;
④S△ACD=4S△BOG.
你认为结论正确的有 .
第3题图
①③④
数学
返回目录
解析:①由AAS证明△ABG≌△DEG,得出AG=DG,证出OG是△ABD的中位线,得出OG=AB,①正确;③先证明四边形ABDE是平行四边形,证出△ABD,△BCD是等边三角形,得出AB=BD=AD,因此OD=AG,得出四边形ABDE是菱形,③正确;④证OG是△ACD的中位线,得OG∥CD∥AB,OG=CD,则S△ACD=4S△AOG,再由S△AOG=S△BOG,则S△ACD=4S△BOG,④正确;②连接FD,由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等,则S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四边形ODGF,则S四边形ODGF=S△ABF.②错误.
数学
返回目录
4.如图所示,在等边三角形ABC中,BC=6 cm.射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s 的速度运动,设运动时间为t s.
(1)连接EF,当EF经过AC边的中点D时,求证:△ADE≌△CDF;
(2)当t为何值时,四边形ACFE是菱形
数学
返回目录
(1)证明:∵AG∥BC,
∴∠EAD=∠FCD,
∵D是AC的中点,
∴AD=CD.
又∵∠ADE=∠CDF,
∴△ADE≌△CDF(ASA).
数学
返回目录
(2)解:∵当四边形ACFE是菱形时,
AE=AC=CF=EF,
由题意,知AE=t cm,CF=(2t-6)cm.
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC=6 cm.
∴t=6,2t-6=6,即t=6.
∴当t的值为6时,四边形ACFE是菱形.
数学
返回目录
5.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点F,E是AC的中点,过A作AD∥BC,交FE的延长线于点D.
(1)求证:四边形AFCD是平行四边形;
(2)∠BAC和∠ACB满足什么数量关系时,四边形AFCD是菱形.请证明你的结论.
数学
返回目录
(1)证明:∵E是AC的中点,
∴AE=CE,
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠FCE,
在△EAD和△ECF中,
∴△EAD≌△ECF(ASA),∴DE=EF,
∴四边形AFCD是平行四边形.
数学
返回目录
(2)解:当∠BAC=2∠ACB时,四边形AFCD是菱形,
证明:∵AF是∠BAC的角平分线,
∴∠BAF=∠CAF,且∠BAC=2∠ACB,
∴∠CAF=∠ACB,∴FA=FC,
又∵由(1)得四边形AFCD是平行四边形,
∴四边形AFCD是菱形.
数学
返回目录
6.如图,在△ABC中,点D,E分别是边BC,AC的中点,过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F,连接AD,CF,过点D作DG⊥CF于点G.
(1)求证:四边形ADCF是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCF是菱形 为什么
(3)在(2)的条件下,若AB=6,BC=10,求DG的长.
数学
返回目录
(1)证明:∵点D,E分别是边BC,AC的中点,
∴DE∥AB,BD=DC,
又∵AF∥BC,
∴四边形ABDF是平行四边形,∴AF=BD,则AF=DC,
∵AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形.
(2)解:当△ABC是直角三角形时,四边形ADCF是菱形.
理由:∵点D是边BC的中点,△ABC是直角三角形,∴AD=DC,且由(1)得四边形ADCF是平行四边形,
∴四边形ADCF是菱形.
数学
返回目录
(3)解:∵△ABC是直角三角形,AB=6,BC=10,BD=DC,
∴AD=DC=5,AC===8,
∵四边形ADCF是菱形,
∴AC⊥DF,AE=AC=4,
∴DE===3,
∴DF=2DE=6,
∴S菱形ADCF=AC·DF=FC·DG,
即×8×6=5·DG,解得DG=.
谢谢观看
北师大版 九年级数学上册
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
返回目录(共38张PPT)
第一章 特殊平行四边形
题型专练
北师大版 九年级数学上册
数学
返回目录
一、中点四边形类型
1.顺次连结菱形各边中点所得四边形是 ( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
2.依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是 ( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
B
B
数学
返回目录
3.顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为矩形,则四边形ABCD一定满足 ( )
A.AC=BD B.AC⊥BD
C.AC=BD,AC⊥BD D.AB⊥BC
B
数学
返回目录
二、规律图形
4.如图,正方形ABCD边长为1,以AC为边作第2 个正方形ACEF,再以CF为边作第3 个正方形FCGH,……,按照这样的规律作下去,第2 023 个正方形的边长为 ( )
A.(2)2 019
B.()2 021
C.(2)2 020
D.()2 022
D
数学
返回目录
解析:由题知,第1 个正方形的边长AB=1,
根据勾股定理,得第2 个正方形的边长AC=,
根据勾股定理,得第3 个正方形的边长CF=()2,
根据勾股定理,得第4 个正方形的边长GF=()3,
根据勾股定理,得第5 个正方形的边长GN=()4,
根据勾股定理,得第6 个正方形的边长=()5,…
则第2 023 个正方形边长=()2 022.
数学
返回目录
5.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.如图,
由里向外数第2 个正方形开始,分别是由第1 个正方形各顶点的横坐标
和纵坐标都乘2, 3, …得到的,请你观察图形,猜想由里向外第2023 个正
方形四条边上的整点个数共有 ( )
A.8084
B.8088
C.8092
D.8096
C
数学
返回目录
解析:由内到外规律,
第1 个正方形边上整点个数为4×1=4(个),
第2 个正方形边上整点个数为4×2=8(个),
第3 个正方形边上整点个数为4×3=12(个),
第4 个正方形边上整点个数为4×4=16(个),…
故第n 个正方形边上的整点个数为4n 个.
所以4×2 023=8 092.
数学
返回目录
三、翻折问题
6.如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点D落在点E处,AE与边BC的交点为M.已知:AB=2,BC=3,则BM的长等于 ( )
A. B. C. D.
D
数学
返回目录
7.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B'的位置,AB'与CD交于点E,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于点G,PH⊥EC于点H,若AB=8,DE=3,则PG+PH的值为 ( )
A.3
B.4
C.5
D.6
第7题图
B
数学
返回目录
8.如图所示,长方形纸片ABCD中,AB=5 cm,BC=10 cm,现将其沿EF对折,便得点C与点A重合,则AF长为 ( )
A.3 cm
B.1 cm
C.5 cm
D.6.25 cm
第8题图
D
数学
返回目录
解析:设AF=x cm,则DF=(10-x) cm,
∵矩形纸片ABCD中,AB=5 cm,BC=10 cm,
现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,
∴DF=D'F,∠D'=∠D=90°,AD'=CD=5 cm,
在Rt△AD’F中,
∵AF2=AD'2+D’F2,
∴x2=52+(10-x)2,解得x=6.25,
∴AF=6.25 cm.
故选D.
数学
返回目录
四、距离最小问题
9.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点M为对角线BD上一动点,ME⊥BC于点E,MF⊥CD于点F,连接EF,则EF的最小值为 ( )
A.1
B.2
C.
D.
第9题图
D
数学
返回目录
10.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点M是边AB上一点(不与点A,B重合),作ME⊥AC于点E,MF⊥BC于点F,若点P是EF的中点,则PF的最小值是 ( )
A.1.5
B.2
C.2.4
D.2.5
第10题图
C
数学
返回目录
解析:连接CM,如图所示,
∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB==10,
∵ME⊥AC,MF⊥BC,∴∠CEM=∠MFC=90°,
∴∠ACB=90°,∴四边形CEMF是矩形,
∴EF=CM,EF与CM互相平分,∵点P是EF的中点,
∴PF=EF,当CM⊥AB时,CM最短,此时EF也最小,
则PF最小,此时,△ABC的面积=AB×CM=AC×BC,
∴CM===4.8,∴EF=4.8,∴PF=EF=2.4.故选C.
数学
返回目录
五、距离之和、距离之和最小问题
11.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为 ( )
A. B.
C. D.
C
数学
返回目录
解析:∵AB=6,BC=8,∴矩形ABCD的面积为48,AC==10,
∴AO=DO=AC=5,
∵对角线AC,BD交于点O,∴△AOD的面积为12,
∵EO⊥AO,EF⊥DO,∴S△AOD=S△AOE+S△DOE,
即12=AO×EO+DO×EF,
∴12=×5×EO+×5×EF,
∴5(EO+EF)=24,
∴EO+EF=.故选C.
数学
返回目录
12.如图,菱形ABCD的边长是8,对角线交于点O,∠ABC=120°,若点E是AB的中点,点M是线段AC上的一个动点,则BM+EM的最小值为 ( )
A.4
B.4
C.8
D.16
第12题图
B
数学
返回目录
解析:
连接DE,∵四边形ABCD是菱形,
∴AC是BD的垂直平分线,AB=AD,AD∥BC,
∴BM=DM,∴BM+EM=DM+EM,
∴当点D,E,M三点共线时,
DM+EM最小,DM+EM的最小值为DE的长,
∵AD∥BC,∴∠DAB=180°-∠ABC=60°,∴△ABD是等边三角形,
∵点E是AB的中点,∴DE⊥AB,AE=AB=4,
∴DE===4,∴BM+EM的最小值为4.故选B.
数学
返回目录
13.如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上,且BE=1,F为对角线AC上一动点,则△BFE周长的最小值为 .
第13题图
6
数学
返回目录
解析:
如图,连接ED交AC于一点F,连接BF,
∵四边形ABCD是正方形,∴点B与点D关于AC对称,
∴BF=DF,∴△BFE的周长=BF+EF+BE=DE+BE,
此时△BEF的周长最小,
∵正方形ABCD的边长为4,∴AD=AB=4,∠DAB=90°,
∵点E在AB上且BE=1,∴AE=3,∴DE==5,
∴△BFE的周长=5+1=6.
数学
返回目录
六、动点问题
14.数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具,此时测得∠D=60°,对角线AC长为16 cm,改变教具的形状成为图2所示的正方形,则正方形的边长为 ( )
A.8 cm
B.4 cm
C.16 cm
D.16 cm
C
数学
返回目录
15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=14 cm,点P从点B出发,沿BA方向以每秒2 cm的速度向终点A运动;同时,动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1.5 cm的速度向终点B运动,将△BPQ沿BC翻折,点P的对应点为点P',设Q点运动的时间t秒,若四边形QPBP'为菱形,求t的值为多少秒 并说明理由.
数学
返回目录
解:若四边形QPBP'为菱形,t=4 秒;理由如下:
∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,
又∵四边形BPQP'是菱形,∴BP=PQ,
∴△BPQ是等边三角形,∴BP=QB,
∵点P的速度是每秒2 cm,点Q的速度是每秒1.5 cm,
∴BP=2t cm,BQ=(14-1.5t) cm,
∴2t=14-1.5t,解得t=4,
即若四边形QPBP'为菱形,t的值为4 秒.
数学
返回目录
七、几何组合综合题
16.如图,在矩形ABCD中,O为AC的中点,EF过O点且EF⊥AC分别交DC于点F,交AB于点E,点G是AE的中点且∠AOG=30°,则下列结论正确的个数为 ( )
①DC=3OG; ②OG=BC;
③△OGE是等边三角形; ④S△AOE=S矩形ABCD.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
数学
返回目录
解析:
∵EF⊥AC,点G是AE的中点,∴OG=AG=GE=AE,
∵∠AOG=30°,∴∠OAG=∠AOG=30°,∠GOE=90°-∠AOG=60°,
∴△OGE是等边三角形,故③正确;
设AE=2a,则OE=OG=a,由勾股定理,
AO===a,
∵O为AC的中点,∴AC=2AO=2a,
∴BC=AC=×2a=a,
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB==3a,
∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=3a,
∴DC=3OG,故①正确;
数学
返回目录
∵OG=a,BC=a,∴OG≠BC,故②错误;
∵S△AOE=a·a=a2,S矩形ABCD=3a·a=3a2,
∴S△AOE=S矩形ABCD,故④正确;
综上所述,结论正确的是①③④,故选C.
数学
返回目录
17.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AD=2,∠COB=60°,BF⊥AC,交AC于点M,交CD于点F,延长FO交AB于点E,则下列结论:①FO=FC;②四边形EBFD是菱形;③△OBE≌△CBF;④MB=3.其中结论正确的序号是 ( )
A.②③④
B.①②③
C.①④
D.①②③④
D
数学
返回目录
解析:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,∴OA=OC=OD=OB,
∵∠COB=60°,∴△OBC是等边三角形,∴OB=BC=OC,∠OBC=60°,
∵BF⊥AC,∴OM=MC,∴FM是OC的垂直平分线,∴FO=FC,故①正确;
∵OB=CB,FO=FC,FB=FB,∴△OBF≌△CBF(SSS),∴∠FOB=∠FCB=90°,
∵∠OBC=60°,∴∠ABO=30°,∴∠OBM=∠CBM=30°,∴∠ABO=∠OBF,
∵AB∥CD,∴∠OCF=∠OAE,
∵OA=OC,∠AOE=∠FOC,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,
∵OB⊥EF,∴四边形EBFD是菱形,
故②正确;
数学
返回目录
∵由菱形EBFD可得△OBE≌△OBF,
∴△OBE≌△OBF≌△CBF,∴③正确;
∵BC=AD=2,FM⊥OC,∠CBM=30°,
∴BM=3,故④正确.
故选D.
数学
返回目录
八、添加条件类
18.如图,在△ABC中,点E,F分别是AB,AC的中点,点P为△ABC内一点,点G,H是PB,PC的中点,顺次连接点E,F,H,G.
(1)求证:四边形EFHG是平行四边形;
(2)若AP=6,BC=10,求四边形EFHG的周长;
(3)当线段AP,BC满足什么条件时,
四边形EFHG是正方形 请说明理由.
数学
返回目录
(1)证明:∵E,F分别是边AB,AC的中点,
∴EF∥BC,
EF=BC,
同理可得GH∥BC,GH=BC,
∴EF∥GH,EF=GH,
∴四边形EFHG是平行四边形.
数学
返回目录
(2)解:∵E,F,G分别是边AB,AC,PB的中点,
∴EF=BC,EG=AP,
∴EF=5,EG=3,
由(1)知四边形EFHG是平行四边形,
∴四边形EFHG的周长=2(EF+EG)
=2×(5+3)=16.
数学
返回目录
(3)解:当线段AP,BC满足AP=BC且AP⊥BC时,
四边形EFHG是正方形;理由如下:
∵AP=BC,EF=BC,EG=AP,
∴EF=EG,∴平行四边形EFHG是菱形,
∵E,F,G分别是边AB,AC,PB的中点,
∴EF∥BC,EG∥AP,
∵AP⊥BC,∴EF⊥EG,
∴菱形EFHG是正方形.
数学
返回目录
19.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)当点O在边AC上运动到什么位置时,
四边形AECF是矩形 并说明理由.
(3)当点O在边AC上运动到何处,
且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形
数学
返回目录
(1)证明:如图1,
∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,
∴∠2=∠5,∠4=∠6,∵MN∥BC,
∴∠1=∠5,∠3=∠6,∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EO=CO,FO=CO,∴OE=OF.
数学
返回目录
(2)解:当点O在边AC上运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
证明:如图2,连接AF,当O为AC的中点时,AO=CO,
∵由(1)得EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵由(1)得∠2=∠5,∠4=∠6,∠5+∠2+∠4+∠6=180°,
∴∠2+∠4=90°,
∴∠ECF=90°,
∴平行四边形AECF是矩形.
数学
返回目录
(3)解:当点O在边AC上运动到AC的中点时,且∠ACB=90°,
四边形AECF为正方形.
证明:如图2,由(2)可得点O在边AC上运动到
AC的中点时平行四边形AECF是矩形,
∵∠ACB=90°,∴∠2=45°,
∵平行四边形AECF是矩形,
∴EO=CO,
∴∠1=∠2=45°,∴∠MOC=90°,
∴AC⊥EF,∴四边形AECF是正方形.
谢谢观看
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
返回目录
北师大版 九年级数学上册(共30张PPT)
1.1菱形的性质与判定（1）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
返回目录
知识点一 菱形的定义
菱形:有 相等的平行四边形叫做菱形.
菱形定义的两个条件:①平行四边形;②一组邻边相等.
一组邻边
数学
返回目录
典型例题
【例1】在四边形ABCD中,如果BC∥AD,AB∥CD,则当 时(只填写一个条件),该四边形是菱形.
思路点拨:由已知条件可得四边形ABCD是平行四边形,再根据菱形的定义即可得出答案.
解析:∵BC∥AD,AB∥CD,∴该四边形是平行四边形,由菱形的定义可得,当有一组邻边相等时,这个四边形是菱形,所以可以填写AB=BC,BC=CD,CD=AD,DA=AB中任意一个.
答案:AB=BC,BC=CD,CD=AD,DA=AB中任意一个
数学
返回目录
对应练习
1.如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=10,则当AB= 时,四边形ABCD是菱形.
10
数学
返回目录
对应练习
2.如图,在 ABCD中,添加下列条件:①AB=CD,②AB=BC,③∠1=∠2中的一个,能使 ABCD成为菱形的有 ( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
数学
返回目录
知识点二 菱形的性质
1.菱形是一个平行四边形,具有平行四边形的一切性质.
2.菱形特有的性质:
①菱形的四条边都 .
②菱形的对角线 .
③菱形每条对角线平分 .
④菱形是中心对称图形, 的交点是它的对称中心;菱形也
是 .图形,两条对角线所在的直线是它的对称轴.
相等
互相垂直
一组对角
对角线
轴对称
数学
返回目录
典型例题
【例2】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中不一定成立的是 ( )
A.∠BAC=∠DAC
B.OA=OC
C.AC⊥BD
D.AC=BD
思路点拨:利用菱形的性质:邻边相等,对角线互相垂直且平分进而分析即可.
解析:∵四边形ABCD是菱形,∴∠BAC=∠DAC,OA=OC,AC⊥BD,故A,B,C项正确,故选D.
答案:D
数学
返回目录
对应练习
3.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是 ( )
A.对角线互相平分 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.对边平行且相等
4.如图,在菱形ABCD中,标出了四条线段的长度,其中有一个长度是标错的,这个长度是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
C
A
数学
返回目录
知识点三 菱形的面积
S菱形=底×高;S菱形=AC·BD
数学
返回目录
典型例题
【例3】若菱形的两条对角线的长分别为6和10,则菱形的面积为 ( )
A.15 B.24 C.30 D.60
思路点拨:利用菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半计算即可.
解析:S菱形=×6×10=30,故选C.
答案:C
数学
返回目录
对应练习
5.菱形的面积为12 cm2,一条对角线是6 cm,那么菱形的另一条对角线长为 ( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
6.如右图,在菱形ABCD中,已知AB=10,AC=16,
那么菱形ABCD的面积为 .
B
96
数学
◆ 基础巩固 ◆
返回目录
一、选择题
1.如图,菱形ABCD中,∠D=140°,则∠1的大小是 ( )
A.10° B.20°
C.30° D.40°
2.已知菱形的周长是20 cm,菱形的一条对角线的长为8 cm.则该菱形的另一条对角线的长是 ( )
A.4 cm B.6 cm C.10 cm D.8 cm
B
B
数学
返回目录
3.如图,四边形ABCD是菱形,顶点A,C的坐标分别是(0,2),(8,2),点D在x轴上,则顶点B的坐标是 ( )
A.(4,2) B.(5,2)
C.(4,4) D.(5,4)
4.如图,菱形ABCD的边长为4,∠ABC=60°,点E,F分别为AO和AB的中点,则EF的长度为 ( )
A.4 B.3
C.2 D.
C
D
数学
返回目录
二、填空题
1.如图,菱形花坛ABCD的周长为80 m,∠DAB=60°,沿着菱形的对角线修建两条小路AC和BD,则小路BD的长是 m.
第2题图
2.如图,菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=9和BD=6,那么菱形ABCD的面积为 .
3.在菱形ABCD中,∠A∶∠B=1∶5,高是8 cm,则菱形的周长是 cm.
第1题图
20
27
64
数学
返回目录
三、解答题
如图,已知四边形ABCD是菱形,过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.求证:BE=DF.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D,
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(AAS),∴BE=DF.
数学
◆ 能力提升 ◆
返回目录
1.如图,菱形ABCD的边长是5,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分,若菱形的一条对角线的长为4,则阴影部分的面积为 ( )
A.2 B.4 C.12 D.24
第1题图
A
数学
返回目录
2.如图,在菱形ABCD中,∠BAD∶∠B=1∶3,DE⊥BC于点E,交对角线AC于点P.过点P作PF⊥CD于点F.若△PDF的周长为4,则菱形ABCD的面积为 ( )
A.8 B.4 C.16 D.8
第2题图
D
数学
返回目录
解析:∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD,∠BCD=∠BAD,∠ACB=∠ACD,AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°.
∵∠BAD∶∠B=1∶3,∴∠BCD=∠BAD=×180°=45°,∵DE⊥BC,
∴△CDE是等腰直角三角形,∴∠CDE=45°,CD=DE,∵PF⊥CD,
∴△DPF是等腰直角三角形,∴PF=DF,PD=PF,设PF=DF=x,
则PD=x,∵△PDF的周长为4,∴x+x+x=4,解得x=4-2.
∵∠ACB=∠ACD,DE⊥BC,PF⊥CD,∴PE=PF=x,∴DE=x+x=(1+)×(4-2)=2,∴BC=CD=DE=4,∴菱形ABCD的面积=BC×DE=4×2=8.故选D.
数学
返回目录
3.如图,已知菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16,M,N分别是边BC,CD的中点,P是对角线BD上一动点,则PM+PN的最小值为 .
第3题图
10
数学
返回目录
解析
如图,作ME⊥BD交AB于点E,连接EN,则EN就是PM+PN的最小值,
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,
∵M,N分别是边BC,CD的中点,∴BE=CN,
∴四边形EBCN是平行四边形,
∴EN=BC,而由题意,可得BC=
=10,∴EN=10,∴PM+PN的最小值为10.
数学
返回目录
4.如图,在菱形ABCD中,AB的垂直平分线交对角线BD于点F,垂足为点E,连接AF,AC,若∠DCB=70°,则∠FAC= .
20°
第4题图
解析:∵EF是线段AB的垂直平分线,
∴AF=BF,∴∠FAB=∠FBA,
∵四边形ABCD是菱形,∠DCB=70°,
∴BC=AB,∠BCA=∠DCB=35°,AC⊥BD,
∴∠BAC=∠BCA=35°,
∴∠FBA=90°-∠BAC=55°,∴∠FAB=55°,
∴∠FAC=∠FAB-∠BAC=55°-35°=20°,
故答案为20°.
数学
返回目录
5.如图,菱形ABCD的周长为8,对角线BD=2,E,F分别是边AD,CD上的两个动点;且满足AE+CF=2.
(1)求证:△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由.
数学
返回目录
证明:(1)∵菱形ABCD的边长为2,对角线BD=2,
∴AB=AD=BD=2,BC=CD=BD=2,
∴△ABD与△BCD都是等边三角形,
∴∠BDE=∠C=60°,∵AE+CF=2,
∴CF=2-AE,
又∵DE=AD-AE=2-AE,
∴DE=CF,在△BDE和△BCF中,
∴△BDE≌△BCF(SAS).
数学
返回目录
解: (2) △BEF是等边三角形,理由如下:
由(1)可知△BDE≌△BCF,
∴BE=BF,∠DBE=∠CBF,
∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=
∠CBF+∠DBF=∠DBC=60°,
∴△BEF是等边三角形.
数学
返回目录
6.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,E是BC延长线上一点,连接DE,以DE为边向外作等边△DEF,连接AF,交菱形对角线BD的延长线于点P.
(1)若AB=4,CF=6,求CE;
(2)求证:BC=CF-2DP.
数学
返回目录
(1)解:∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,
∴AB=BC=CD=AD=4,∠ABD=∠DBC=60°,
∴△ABD,△BDC都是等边三角形,
∴DB=DC,∠ADB=∠BDC=60°,
∵△DEF是等边三角形,
∴DE=DF,∠EDF=∠BDC=60°,
∴∠BDC+∠CDE=∠EDF+∠CDE,
即∠BDE=∠CDF,∴△BDE≌△CDF(SAS),
∴BE=CF=6,∴CE=BE-BC=2.
数学
返回目录
(2)证明:作FK∥AD交DP的延长线于点K,连接AK.
∵FK∥AD,
∴∠DKF=∠ADK=180°-60°=120°,
∵∠DCE=180°-∠BCD=120°,
∴∠DKF=∠DCE,
∵∠CDE+∠CED=60°,
∠CDE+∠KDF=180°-60°-60°=60°,
∴∠KDF=∠CED,∵DF=DE,
∴△KDF≌△CED(AAS),
数学
返回目录
∴KF=CD,DK=EC,
∵CD=AD,∴AD=KF,
∵AD∥KF,
∴四边形ADFK是平行四边形,
∴PK=PD,
∴EC=2PD,
∵CF=BE,BE=BC+EC,
∴BC=BE-CE=CF-2DP.
谢谢观看
北师大版 九年级数学上册
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
返回目录(共37张PPT)
1.3正方形的性质与判定（1）
北师大版 九年级数学上册
名师导学
基础巩固
00
01
CONTANTS
目 录
能力提升
02
数学
◆ 名师导学 ◆
返回目录
知识点一 正方形的定义
定义:有一组邻边 ,
并且有一个角是 的 叫做正方形.
相等
直角
平行四边形
数学
返回目录
典型例题
【例1】如图,在平行四边形ABCD中,已知∠A=90°,若 ,则这个平行四边形为正方形.
思路点拨:成为正方形需要三个条件:
平行四边形、邻边相等且有一个角是直角.
解析:已知条件是平行四边形、一个内角为直角,所以只要有一组邻边相等即可.故答案为:AB=AD.
答案:AB=AD(答案不唯一)
数学
返回目录
对应练习
1.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中错误的是 ( )
A.当BC=CD时,它是菱形
B.当AC⊥BD时,它是菱形
C.当∠ABC=90°时,它是矩形
D.当AC=BD时,它是正方形
D
数学
返回目录
知识点二 正方形的性质
1.边:对边平行,邻边互相垂直,四条边都 .
2.角:四个角相等,都等于 .
3.对角线:两条对角线互相 且相等,
每条对角线平分 .
4.对称性:既是轴对称图形,有 条对称轴,又是中心对称图形,对称中心是对角线的交点.
相等
90°
垂直平分
一组对角
四
数学
返回目录
典型例题
【例2】若正方形ABCD的周长为8,则对角线AC的长为 ( )
A. B.4 C.2 D.
思路点拨:由正方形的周长可得正方形的边长,再由对角线等于边长的倍可得出结果.
解析:设正方形的边长为a,∵正方形ABCD的周长为8,∴4a=8,即a=2,∵对角线平分一组内角,∴正方形被对角线分成两个等腰直角三角形,AC=a=2,故选C.
答案:C
数学
返回目录
对应练习
2.如图,已知E是正方形ABCD对角线AC上一点,且AB=AE,则∠DBE的度数是 ( )
A.15°
B.32.5°
C.22.5°
D.30°
C
数学
返回目录
对应练习
3.如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE∶EC=2∶1,则线段CH的长是 ( )
A.3
B.4
C.5
D.6
B
数学
返回目录
知识点三 平行四边形、菱形、矩形、正方形的关系
数学
返回目录
典型例题
【例3】正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A.对角线互相垂直 B.对角线相等
C.对角相等 D.邻边相等
思路点拨:根据正方形与菱形的性质即可得出.
解析:菱形和矩形的性质合在一起得到了正方形.正方形具有而菱形不具有的性质即为矩形的特性,选项中只有矩形对角线相等满足条件.故选B.
答案:B
数学
返回目录
对应练习
4.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角都是直角 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分
5.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( )
A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直
C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等
C
A
数学
◆ 基础巩固◆
返回目录
一、选择题
1.下列说法正确的是 ( )
A.正方形的每一条对角线平分一组对角
B.矩形的对角线互相垂直
C.菱形的四个内角都是直角
D.平行四边形是轴对称图形
A
数学
返回目录
2.如图,正方形ABCD中,AB=1,则AC的长是 ( )
A.1
B.
C.
D.2
B
数学
返回目录
3.如图,正方形ABCD的周长为28,N为BD上一点,NG⊥BC,NM⊥CD,则四边形MNGC的周长是 ( )
A.7
B.14
C.18
D.24
B
数学
返回目录
4.如图,在正方形ABCD外侧作等边△ADE,则∠AEB的度数为 ( )
A.15°
B.22.5°
C.20°
D.10°
A
数学
返回目录
二、填空题
1.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=3,四边形ACEF是正方形,
则EF的长为 .
2.已知正方形ABCD中,对角线AC=4,这个正方形的面积是 .
3
8
数学
返回目录
三、解答题
1.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OB,OC上,OE=OF.求证:AE=BF.
数学
返回目录
证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴OA=OB,AC⊥BD,
∴∠AOE=∠BOF=90°,
在△AOE和△BOF中,
∴△AOE≌△BOF(SAS),
∴AE=BF.
数学
返回目录
2.如图,四边形ABCD是正方形,E是CD边上任意一点,连接AE,作BF⊥AE,
DG⊥AE,垂足分别为F,G.求证:AF=DG.
数学
返回目录
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠DAB=90°,
∵BF⊥AE,DG⊥AE,
∴∠AFB=∠AGD=∠ADG+∠DAG=90°,
∵∠DAG+∠BAF=90°,
∴∠ADG=∠BAF,
在△BAF和△ADG中,∵
∴△BAF≌△ADG(AAS),
∴AF=DG.
数学
◆ 能力提升◆
返回目录
1.已知:如图,M是正方形ABCD内的一点,且MC=MD=AD,则∠AMB的度数为 ( )
A.120° B.135°
C.145° D.150°
D
解析:∵MC=MD=AD=CD,∴△MDC是等边三角形,
∴∠MDC=∠DMC=∠MCD=60°,
∵∠ADC=∠BCD=90°,∴∠ADM=30°,∴∠MAD=∠AMD=75°,
∴∠BAM=15°,同理,可得∠ABM=15°,∴∠AMB=180°-15°-15°=150°,故选D.
数学
返回目录
2.如图所示,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为 ( )
A.16
B.17
C.18
D.19
B
数学
返回目录
解析:
设正方形S2的边长为x,根据等腰直角三角形的性质知,
AC=x,x=CD,
∴AC=2CD,CD=2,
∴EC2=CD2+DE2,
∴EC=2,∴S2=EC2=8,
又∵S1的边长为3,
∴S1=32=9,∴S1+S2=8+9=17.
故选B.
数学
返回目录
3.如图,两个正方形边长分别为2,a(a>2),图中阴影部分的面积为 .
第3题图
a2-a+2
解析:阴影部分的面积=a2+22-a2-×2(a+2)=a2-a+2.
数学
返回目录
4.如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且有AE=EF=FA.有下列结论:①△ABE≌△ADF;②CE=CF;
③∠AEB=75°;④BE+DF=EF;
⑤S△ABE+S△ADF=S△CEF.
其中正确的是 .
第4题图
①②③⑤
数学
返回目录
5.正方形ABCD的边长为6,E,F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.
(1)求证:EF=CF+AE;
(2)当AE=2时,求EF的长.
数学
返回目录
(1)证明:∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM,
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°,
AE=CM,
∴F,C,M三点共线,
∴DE=DM,∠EDM=90°,
∴∠EDF+∠FDM=90°,
∵∠EDF=45°,
∴∠FDM=∠EDF=45°,
在△DEF和△DMF中,
∵
∴△DEF≌△DMF(SAS),
∴EF=MF,∴EF=CF+AE;
数学
返回目录
(2)解:设EF=MF=x,
∵AE=CM=2,且BC=6,
∴BM=BC+CM=6+2=8,
∴BF=BM-MF=BM-EF=8-x,
∵EB=AB-AE=6-2=4,
在Rt△EBF中,由勾股定理,
得EB2+BF2=EF2,
即42+(8-x)2=x2,解得x=5,则EF=5.
数学
返回目录
6.如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,且AE=CF.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(2)若正方形边长为4,AE=,求菱形BEDF的面积.
数学
返回目录
(1)证明:如图,连接BD交AC于点O,
∵四边形ABCD为正方形,
∴BD⊥AC,OD=OB=OA=OC,
∵AE=CF,
∴OA-AE=OC-CF,
即OE=OF,
∴四边形BEDF为平行四边形,且BD⊥EF,
∴四边形BEDF为菱形.
数学
返回目录
(2)解:∵正方形边长为4,
∴BD=AC=4,
∵AE=CF=,
∴EF=AC-2=2,
∴S菱形BEDF=BD·EF=×4×2=8.
数学
返回目录
7.如图①所示,在正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,MN⊥DM于点M,且交∠CBE的平分线于点N.
(1)求证:MD=MN;
数学
返回目录
证明:取AD的中点F,连接MF.
∵M是AB的中点,F是AD的中点,
∴MB=MA=AB,FD=FA=AD.
∵AB=AD,∴AF=AM=DF=MB,
∴∠MFA=45°,
∴∠DFM=135°.
∵BN平分∠CBE,
∴∠CBN=45°,
∴∠MBN=135°,
∴∠MBN=∠DFM.
∵∠DMN=90°,
∴∠NMB+∠DMA=90°.
∵∠A=90°,∴∠ADM+∠DMA=90°,
∴∠NMB=∠ADM,
∴△DFM≌△MBN,
∴MD=NM.
数学
返回目录
(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”,其余条件不变,如图②所示,则结论“MD=MN”还成立吗 若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
数学
返回目录
解:MD=MN成立.证明如下:
在AD上取一点F',
使AF'=AM,连接MF',
∵AF'=AM,AD=AB,
∴DF'=BM,又由(1),
可得∠F'DM=∠BMN,
∠DF'M=∠MBN,
∴△DF'M≌△MBN,
∴MD=MN.
谢谢观看
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
返回目录
北师大版 九年级数学上册
