【沪科版八上同步练习】第13章 三角形中的边角关系命题和证明（基础知识）检测题（含答案）

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【沪科版八上同步练习】
第13章三角形中的边角关系命题和证明（基础知识）检测题
一、单选题
1．对于命题“如果，那么”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　）
A．， B．， C．， D．，
2．现有两根小木棒，它们的长度分别为 和 ，若要钉成一个三角形架，下列长度不可以作为第三根木棒长度的是（　　）
A． B． C． D．
3．设三角形三边之长分别为3，8，，则的值可能为（　　）
A．11 B．9 C．5 D．3
4．如图，在中，，、三等分，D、E在边上，则其中的相似三角形有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．6对
5．如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为，已知，则纸片的面积是（　　）
A．102 B．104 C．106 D．108
二、判断题
6．长度分别是6厘米、8厘米、10厘米的三根小棒，可以围成一个三角形。（　　）
7．一个三角形的三个内角之比是3∶1∶4，这是一个直角三角形．
三、填空题
8．命题：“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是：　 　（填“真命题”或“假命题”）.
9．在△ABC中，AB=AC， ，则∠C=　 　°.
10．一把直尺与含30°的直角三角板如图所示放置， ，则 　 　．
11．已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，若∠A=35°，则∠BCD=　 　 。
12．在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣ （x＜0），y＝ （x＞0）的图象上，则sin∠BAO的值为　 　．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是△ABC内一点，若∠AEB=∠CED=90°，AE=BE，CE=DE=2，则图中阴影部分的面积等于　 　．
四、计算题
14．已知，，是三角形的三边长，化简：．
15．将完全平方公式：适当变形，可以解决很多数学问题.例如：若，求的值.
解：
又
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x-y=5，xy=2，求的值；
（2）若，求xy的值；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，两正方形的面积分别为.若，求图中阴影部分的面积.【提示：可设】
16．在平面直角坐标系xOy中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来．
第一组：A（﹣3，3）、C（4，3）；
第二组：D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1）．
（1）直接写出线段AC与线段DE的位置关系；
（2）在（1）的条件下，线段AC，DE分别与y轴交于点B，F．若点M为射线OB上一动点（不与点O，B重合）．
①当点M在线段OB上运动时，连接AM、DM，补全图形，用等式表示∠CAM、∠AMD、∠MDE之间的数量关系，并证明．
②当△ACM与△DEM面积相等时，求点M的坐标．
五、解答题
17． 如图，Rt△ABC中，∠C = 90°，把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上．
（1）若∠BDA = 70°，求∠BAC的度数．
（2）若BC = 8，AC = 6，求△ABD中AD边上的高．
18．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B=40°，∠C=70°，
求：∠AEC和∠DAE的度数.
19．如果一个三角形中最大角是最小角的4倍，求它的最小角的取值范围．
六、综合题
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
21．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
22．已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ▲ ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ▲ ；
所以∠C＝（　　），
所以∠APC＝（ ▲ ）+（ ▲ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
七、实践探究题
23．将三角形纸片 沿 折叠，使点 落在点 处．
（1）（感知）如图①，若点 落在四边形 的边 上，则 与 之间的数量关系是　 　．
（2）（探究）如图②，若点 落在四边形 的内部，则 与 之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
（3）（拓展）如图③，若点 落在四边形 的外部， ， ，则 的大小为　 　度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
6．【答案】正确
【知识点】三角形三边关系
7．【答案】正确
【知识点】三角形内角和定理
8．【答案】真命题
【知识点】真命题与假命题；逆命题
9．【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
10．【答案】80°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
11．【答案】55°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质
12．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质
13．【答案】4
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定
14．【答案】
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
15．【答案】（1）解：∵x-y=5，
∴（x-y）2=25，
又，
，
.
（2）解：，
又，
，
.
（3）解：设，则
又

【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积
16．【答案】（1）解：∵A（﹣3，3）、C（4，3），
∴AC∥x轴，
∵D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1），
∴DE∥x轴，
∴AC∥DE；
（2）①如图，∠CAM+∠MDE＝∠AMD．
理由如下：
过点M作MN∥AC，
∵MN∥AC（作图），
∴∠CAM＝∠AMN（两直线平行，内错角相等），
∵AC∥DE（已知），
∴MN∥DE（平行公理推论），
∴∠MDE＝∠NMD（两直线平行，内错角相等），
∴∠CAM+∠MDE＝∠AMN+∠NMD＝∠AMD（等量代换）．
②由题意，得：AC＝7，DE＝4，
设M（0，m），
（i）当点M在线段OB上时，BM＝3﹣m，FM＝m+1，
∴S△ACM＝ AC BM＝ ×7×（3﹣m）＝ ，
S△DEM＝ DE FM＝ ×4×（m+1）＝2m+2，
∵S△ACM＝S△DEM，
∴ ＝2m+2，
解得：m＝ ，
∴M（0， ）；
（ii）当点M在线段OB的延长线上时，BM＝m﹣3，FM＝m+1，
∴S△ACM＝ AC BM＝ ×7×（m﹣3）＝ ，
S△DEM＝ DE FM＝ ×4×（m+1）＝2m+2，
∵S△ACM＝S△DEM，
∴ ＝2m+2，
解得：m＝ ，
∴M（0， ）；
综上所述，点M的坐标为（0， ）或（0， ）．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；三角形的面积
17．【答案】解：(1) 由旋转得△ACB≌△DEB
∴BD = BA
∴∠BAD =∠BDA =70°
∴∠ABD =40°
∴∠ABC =∠ABD =40°
∵∠C =90°
∴∠BAC =50°
(2) ∵BC = 8，AC = 6，∠C =90°
∴
∵∠DEB =∠C =且BE = BC = 8，DE ="AC" = 6
∴AE =" AB" – BE = 2
在Rt△DEA中，
设AD边上的高为h
∴
∴
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；勾股定理；旋转的性质
18．【答案】解：∵∠B=40°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC= ∠BAC=35°.
∵AD是高，∠C=70°，
∴∠DAC=90°-∠C=20°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=35°-20°=15°，
∠AEC=90°-15°=75°.
【知识点】三角形内角和定理
19．【答案】解：设∠A是它的最小角，∠C是最大角，∠B是中间的角，则∠A≤∠B≤∠C，又∠C=4∠A．由可得∠A＋∠A＋4∠A≤180°，即么A≤30°．可得∠A＋4∠A＋4∠A≥180°，即∠A≥20°．所以最小角的取值范围为20°≤4≤30°．
【知识点】三角形内角和定理
20．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE= ∠CBD=65°
（2）解：∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
21．【答案】（1）解：∵∠A=80°．
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）=180°﹣ ×100°=130°，
（2）解：∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB= （∠MBC+∠NCB）
= （360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
= （180°+∠A）
=90°+ ∠A
∴∠Q=90°﹣ ∠A；
（3）解：∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E= ∠A；
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
= ∠ABC+ ∠MBC
= （∠ABC+∠A+∠ACB）=90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，则90°﹣ ∠A=∠A，解得∠A=60°；
④∠E=2∠Q，则 ∠A=2（90°﹣ ∠A），解得∠A=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
22．【答案】（1）解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；
所以∠C＝（∠CPH），
所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．
（2）解：①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，
∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．
∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；
②如图3，
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，
∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，
∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，
∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），
∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；推理与论证
23．【答案】（1）2∠A=∠1
（2）解： ．
理由：连结 ．
∵ ，
∴
∴ ．
由翻折，得
∴
∴2∠A=∠1+∠2
（3）28
【知识点】角的运算；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
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