贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考试题 数学（含解析）

高一数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页。考试结束后，请将答题卡交回。满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设，则的实部与虚部之和是（ ）
A． B．1 C．－1 D．0
2．已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．平面内有不共线的三个点到平面的距离相等，则
C．若，则
D．若与不相交，则
4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设名全是男生名全是女生恰有一名男生至少有一名男生，则下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量满足，且，则（ ）
A．3 B． C． D．5
7．设，则“”是“”的（ ）条件。
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分又不必要
8．在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的直径为4，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．某校抽取了某班20名学生的数学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格．
成绩 80 95 100 105 110 115 123
人数 2 3 3 5 4 2 1
下列结论正确的是（ ）
A．这20人成绩的众数为105 B．这20人成绩的极差为43
C．这20人成绩的分位数为95 D．这20人成绩的平均数为97
10．已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上单调递增 D．的值域为
11．已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．若不等式的解集为，则
12．已知函数的部分图象如图所示，令
，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在上的值域为
D．的单调递增区间为
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．同时抛掷两颗骰子，得到点数分别为，则的概率是___。
14．已知，则的值是______．
15．在四面体中，，且异面直线与所成的角为，则四面体的外接球的表面积为______．
16．已知是定义在上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的的取值范围为______．
四、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
对某校高一年级第二学期第一次月考的2000名考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，分以下视为不及格。观察图形中的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在内的频率，并计算本次月考中不及格考生的人数；
（Ⅱ）从频率分布直方图中，分别估计本次月考成绩的众数和中位数。
18．（本小题满分12分）
已知命题：“，使等式成立”是真命题。
（I）求实数的取值集合；
（II）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围。
19．（本小题满分12分）
设两个向量满足。
（Ⅰ）若，求与的夹角；
（Ⅱ）若的夹角为（Ⅰ）中的，向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围。
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，，
平面分别为的中点，。
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小。
21．（本小题满分12分）
的内角的对边分别为，满足。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）的角平分线与交于点，求的最小值。
22．（本小题满分12分）
如果对于函数的定义域内任意的，都有成立，那么就称函数是定义域上的“平缓函数”．
（Ⅰ）判断函数是否是“平缓函数”；
（Ⅱ）若函数是闭区间上的“平缓函数”，且，证明：对于任意的，都有成立。
贵阳一中2023级高一年级教学质量监测卷（四）
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D D C B B C
【解析】
1．由题意可得，故选C．
2．，所以，还原如图所示：则，所以平面图形面积，故选D．
3．因为是两条不同的直线，是三个不同的平面，
对于，若，则与可能相交，故错误；
对于B，或与相交，故错误；
对于，相交或平行或异面，故错误；
对于，由两平面平行的性质定理知，由已知共面且无公共点，所以，故选D．
4．至少有1名男生包含2名全是男生，1名男生1名女生，故，故正确；事件与是互斥事件，故，故正确；表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，故，D错误，故选 D．
5．因为，所以，因为，所以，即，综上，，故选 C．
6．向量满足，
两边平方可得：，即
，故选 B．
7．由，得到，即，所以时，能得出，当时，不妨取，此时，故时，得不出，所以是“”是的必要不充分条件，故选B．
8．由于，且外接圆的直径为4，所以。由余弦定理得，则，故选C．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 AB BC ACD ACD
【解析】
9．根据表格可知：这20人成绩的众数为105，故A对；极差为，故B对；又，所以分位数为，故错；平均数为，故D错，故选AB．
10．函数，由，解得，
因此的定义域为，
显然，函数是奇函数，错误，B正确；
函数，显然在单调递增，当时，，函数在上单调递增，
于是在上单调递增，正确；
当或时，，函数在上单调递减，
于是在上单调递减，图象如图所示，
所以值域为，故D错误，故选BC．
11．因为有且只有一个零点，所以，即。
对于选项，因为，所以，故选项正确；
对于选项，因为，当且仅当时，等号成立，故选项错误；
对于选项，因为，所以不等式的解集为，故选项正确；
对于选项，因为不等式的解集为，所以方程的两根为，且，所以，故选项D正确，故选ACD．
12．对于函数，由图可知，则，所以，又
，所以，解得
，又，所以；则，所以
．
对于的最小正周期为，A正确；
对于：对于，令，得的对称轴方程为错误；
对于：当时，，所以，即在上
的值域为，C正确；
对于：令，解得
，即的单调递增区间为，D正确，
故选ACD．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 或
【解析】
13．同时抛掷两枚骰子共有种结果，其中满足有：，
，
，
，共30种结果，所以的概率为．
14．因为，
所以，
所以，因为，所以
15．将四面体补形为直三棱柱如图所示（设为直三棱柱上下底面三角形的外接圆圆心）：
图甲中，图乙中，在图甲乙中可知：
，所以平面，图甲乙中取的中点，
连接，则为四面体的外接球的球心，为外接球的半径，图甲中，且为等边三角形，所以，所以，所以外接球的表面积为；图乙中，，且为等边三角形，所以，所以，所以外接球的表面积为。
16．设，由，
得，
所以，令，则，
所以函数在上单调递增，因为是定义在上的偶函数，
所以，所以对任意的，
所以，函数为上的偶函数，且，由，
可得，即，即，所以，
解得．
四、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：，
解得，
所以分数内的频率为，
本次月考中不及格考生的人数为：（人）．
（Ⅱ）由题意得：因为成绩在的频率最大，又，
所以众数为75分；
设中位数为，则，
解得，所以中位数为
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意，方程在上有解，
令，只需在值域内，
易知值域为，
的取值集合为
（Ⅱ）由题意，，显然不为空集。
①当，即时，，
， ；
②当，即时，，不合题意舍去；
③当，即时，。
， ；
或
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），又，
，又
（Ⅱ）的夹角为且，
，
向量与的夹角为锐角，
且与不共线，
解得：或且且，
。
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：平面平面，
又，
平面，
又在中，分别为中点，
故平面，
平面，
平面平面
（Ⅱ）解：如图，
取的中点，连接，取的中点，连接，
由平面，可得平面，
又，可得，
因为是斜线在平面上的射影，
由三垂线定理可得，
所以是二面角的平面角，
在中，设，则，
可得，在中，，
可得，在直角三角形中，，可得，，
则二面角的大小为。
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由得：，
由正弦定理得：，
由，有，化简得，
得，所以。
（Ⅱ）由，得，
即，得，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）对于任意的，有，即，
从而，
所以函数是“平缓函数”．
（Ⅱ）当时，由已知，得；
当时，因为，
不妨设，所以
因为，
所以
所以对任意的，都有成立．