湖北省武汉市第六中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷（含答案 ）

2023-2024武汉六中高一六月月考
一 单选题
1.已知向量.若，则（ ）
A.-6 B.-2 C.3 D.6
2.已知在中，，则（ ）
A.1 B. C. D.
3.已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4.在正方体中，二面角的大小是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. B. D.
6.数据的第75百分位数是（ ）
A.34.5 B.46 C.49 D.52
7.《九章算术》中关于“刍童”（上 下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.现有“刍童”，其上 下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该“刍童”的体积为（ ）
A.224 B.448 C. D.147
8.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色 无臭 无毒 不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（ ）
①此八面体的表面积为；
②异面直线与所成的角为；
③此八面体的外接球与内切球的体积之比为；
④若点为棱上的动点，则的最小值为.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二 多选题
9.已知为虚数单位，复数为方程的两个根，则下列选项中正确的有（ ）
A. B.
C.复数在复平面上对应的点在第二象限 D.
10.已知为两个平面，且是两条不重合的直线，则下列结论正确的是（ ）
A.存在，使得
B.存在，使得
C.对任意，存在，使得
D.对任意，存在，使得
11.如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则下列说法正确的有（ ）
A.直线与直线共面
B.
C.二面角的平面角余弦值为
D.过点的平面，截正方体的截面面积为9
三 填空题
12.若是纯虚数，则实数的值为__________.
13.杭州亚运会期间，某社区有200人参加协助交通管理的志愿团队，为了解他们参加这项活动的感受，用按比例分配的分层抽样的方法随机抽取了一个容量为40的样本，若样本中女性有16人，则该志愿团队中的男性人数为__________.
14.如图，正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长，以点为球心作一个半径为的球，则该球被平面所截的圆面的面积为__________.
四 解答题
15.如图，在直角梯形中，，与交于点.
（1）用和表示；
（2）设，求的值.
16.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，分组的频率分布直方图如图.
（1）求直方图中的值；
（2）估计月平均用电量的中位数；
（3）在月平均用电量为的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
17.如图，在四棱锥中，平面，分别为的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求直线与平面所成线面角的正弦值.
18.在锐角中，内角所对的边分别为，满足.
（1）求证：；
（2）若，求边的范围；
（3）求的取值范围.
19.如图所示，在半径为1的球的内接八面体中，顶点分别在平面两侧，且四棱锥与都是正四棱锥.设二面角的平面角的大小为.
（1）求该内接八面体体积的最大值.
（2）求的取值范围.
参考答案与解析
选择题：
1-8CBCBCCBB
多选题
9.ABD 10.BC 11.ABC
12.2 13. 14.
15.（1）（2）
【分析】（1）利用向量的基底运算可得答案；
（2）先用和表示，再利用向量相等可得答案.
【详解】（1）因为，所以；
因为，所以
.
（2）设，则，
由（1）知，因为，所以，
则，解得.
16.（1）（2）224（3）3
【分析】（1）根据频窈分布直方图相关数据直接计算即可；
（2）根据频率分布直方图相关数据直接计算中位数即可；
（3）根据分层抽样相关知识，结合抽样比例进行计算即可.
【详解】（1）由，
得，
所以直方图中的值是0.0075
（2）因为，
所以月平均用电量的中位数在内，
设中位数为，
由，得，
所以月平均用电量的中位数是224
（3）月平均用电量为的用户有（户），
月平均用电量为）的用户有（户），
月平均用电量为的用户有（户），
抽取比例，
所以月平均用电量在用户中应抽取户
17.（1）（2）.
【分析】（1）根据，再根据棱锥的体积计算公式，求解即可；
（2）根据（1）中所求棱锥的体积，求得点到平面的距离，结合的长度，利用公式，直接求解即可.
【详解】（1）面面，故，故，
又在直角梯形中，；
又为中点，故
.
（2）因为，故，又面面，故，
又面，
故面面，则，则为直角三角形；
易知，
故，
设点到面的距离为，
由（1）可得，解得；
因为分别为的中点，故，
则面，又面，则，
故为直角三角形，则，
设直线与平面所成角为，则.
18.（1）证明见解析（2）（3）.
【分析】（1）由，进而得到，再利用正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式求解；法二：由，利用正弦定理转化为，进而得到，再利用和差化积求解.
（2）由（1）知，进而得到，再根据为锐角三角形，得到，再由，利用正弦定理求解；
（3）由（2）知，转化为，再令，得到求解.
【详解】（1）解：因为，
所以，
由正弦定理可得，
又因为，
代入可得，
即，
因为，则，故，
所以或，即或（舍去），
所以.
法二：由正弦定理可得：，
则，
则，
又，故，
因为，则，故，
所以或，即或（舍去），
（2）因为为锐角三角形，，
所以，
由，解得，
又故.
（3）由（2）知.
由，
，
令，则在上单调递增，所以，
所以的取值范围为.
19.【分析】设球心到平面的距离为，球的半径为1，分别求出二面角 的正切值，利用两角和的正切值公式求得关于的函数表达式，进而根据的取值范围求得的取值范围.
【详解】
（1）
故，当最大时，八面体体积最大，最大为最大值为
（2）设二面角的大小为，二面角的大小为，
设与平面的交点为，取中点为，连接，如图所示.
则，设球心到平面的距离为，球的半径为1，则
，
，