准 考 证 号 姓 名
机密★启用前
江西省 2024 年初中学业水平考试
数 学 试 题 卷
说明:1. 本试题卷满分 120 分,考试时间 120 分钟。
2. 请按试题序号在答题卡相应位置作答,答在试题卷或其它位置无效。
一、单项选择题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的,请将其代码填涂在答题卡相
应位置。 错选、多选或未选均不得分。
1. -5 的相反数是
A. 5 B. -5 C. 1 D. - 1
5 5
2. “长征是宣言书,长征是宣传队,长征是播种机” . 二万五千里长征是中国历史上的伟大壮
举,也是人类史上的奇迹. 将 25 000 用科学记数法可表示为
A. 0. 25×106 B. 2. 5×105 C. 2. 5×104 D. 25×103
3. 如图所示的几何体,其主视图为
A B C D
4. 将常温中的温度计插入一杯 60℃ 的热水(恒温)中,温度计的读数 y(℃ )与时间 x( min)的
关系用图象可近似表示为
A B C D
5. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图,关于各月空气质量为优
的天数,下列结论错·误·的是
A. 五月份空气质量为优的天数是 16 天 B. 这组数据的众数是 15 天
C. 这组数据的中位数是 15 天 D. 这组数据的平均数是 15 天
( 5 ) 第 题 (第 6 题)
6. 如图是 4×3 的正方形网格,选择一空白小正方形,能与阴影部分组成正方体展开图的方法有
A. 1 种 B. 2 种 C. 3 种 D. 4 种
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二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
7. 计算:( -1) 2 = .
8. 因式分解:a2 +2a= .
9. 在平面直角坐标系中,将点 A(1,1)向右平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度得到
点 B,则点 B 的坐标为 .
10. 观察 a,a2,a3,a4,…,根据这些式子的变化规律,可得第 100 个式子为 .
11. 将图 1 所示的七巧板,拼成图 2 所示的四边形 ABCD,连接 AC,则 tan∠CAB= .
(第 11 题) (第 12 题)
12. 如图,AB 是☉O 的直径,AB = 2,点 C 在线段 AB 上运动,过点 C 的弦 DE⊥AB,将 DBE 沿
DE 翻折交直线 AB 于点 F,当 DE 的长为正整数时,线段 FB 的长为 .
三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分)
13. (1)计算: π0 + -5 ;
(2) x 8化简: -- .x 8 x-8
14. 如图,AC 为菱形 ABCD 的对角线,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)如图 1,过点 B 作 AC 的垂线;
(2)如图 2,点 E 为线段 AB 的中点,过点 B 作 AC 的平行线.
15. 某校一年级开设人数相同的 A,B,C 三个班级,甲、乙两位学生是该校一年级新生,开学初
学校对所有一年级新生进行电脑随机分班.
(1)“学生甲分到 A 班”的概率是 ;
(2)请用画树状图法或列表法,求甲、乙两位新生分到同一个班的概率.
16. 如图,△AOB 是等腰直角三角形,∠ABO = 90°,双曲线 y = k ( k > 0,x > 0) 经过点 B,过
x
点 A(4,0)作 x 轴的垂线交双曲线于点 C,连接 BC.
(1)点 B 的坐标为 ;
(2)求 BC 所在直线的解析式.
数学试题卷 第 2 页(共 6 页)
(
17. 如图,AB 是半圆 O 的直径,点 D 是弦 AC 延长线上一点,连接 BD,BC,∠D= ∠ABC= 60°.
(1)求证:BD 是半圆 O 的切线;
(2)当 BC= 3 时,求 AC 的长.
四、解答题(本大题共 3 小题,每小题 8 分,共 24 分)
18. 如图,书架宽 84 cm,在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书,已知每本数学书
厚 0. 8 cm,每本语文书厚 1. 2 cm.
(1)数学书和语文书共 90 本恰好摆满该书架,求书架上数学
书和语文书各多少本;
(2)如果书架上已摆放 10 本语文书,那么数学书最多还可以
摆多少本
19. 图 1 是世界第一“大碗”———景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑,其造型灵感来自于宋
代湖田窑影青斗笠碗,寓意“万瓷之母” . 如图 2,“大碗”的主视图由“大碗”主体 ABCD 和
矩形碗底 BEFC 组成,已知 AD∥EF,AM,DN 是太阳光线,AM⊥MN,DN⊥MN,点 M,E,F,N
在同一条直线上. 经测量 ME=FN = 20. 0 m,EF = 40. 0 m,BE = 2. 4 m,∠ABE = 152°. (结果
精确到 0. 1 m)
(1)求“大碗”的口径 AD 的长;
(2)求“大碗”的高度 AM 的长.
(参考数据:sin62°≈0. 88,cos62°≈0. 47,tan62°≈1. 88)
20. 追本溯源
题(1)来自于课本中的习题,请你完成解答,提炼方法并完成题(2) .
(1)如图 1,在△ABC 中,BD 平分∠ABC,交 AC 于点 D,过点 D 作 BC 的平行线,交 AB 于
点 E,请判断△BDE 的形状,并说明理由.
方法应用
(2)如图 2,在 ABCD 中,BE 平分∠ABC,交边 AD 于点 E,过点 A 作 AF⊥BE 交 DC 的延长
线于点 F,交 BC 于点 G.
① 图中一定是等腰三角形的有( )
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
② 已知 AB= 3,BC= 5,求 CF 的长.
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(
五、解答题(本大题共 2 小题,每小题 9 分,共 18 分)
21. 近年来,我国肥胖人群的规模快速增长. 目前,国际上常用身体质量指数(Body Mass Index,
体重(单位:kg)
缩写 BMI)来衡量人体胖瘦程度,其计算公式是 BMI =
身高2 2
. 中国人的 BMI 数值
(单位:m )
标准为:BMI<18. 5 为偏瘦;18. 5≤BMI<24 为正常;24≤BMI<28 为偏胖;BMI≥28 为肥胖.
某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查,从该校所有七年级学生中随
机抽出 10 名男生、10 名女生,测得他们的身高和体重值,并计算出相应的 BMI 数值,再参
照 BMI 数值标准分成四组:A. 16≤BMI<20;B. 20≤BMI<24;C. 24≤BMI<28;D. 28≤BMI<32.
将所得数据进行收集、整理、描述.
收集数据
七年级 10 名男生数据统计表
编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高(m) 1. 56 1. 50 1. 66 1. 58 1. 50 1. 70 1. 51 1. 42 1. 59 1. 72
体重(kg) 52. 5 49. 5 45. 6 40. 3 55. 2 56. 1 48. 5 42. 8 67. 2 90. 5
BMI 21. 6 s 16. 5 16. 1 24. 5 19. 4 21. 3 21. 2 26. 6 30. 6
七年级 10 名女生数据统计表
编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高(m) 1. 46 1. 62 1. 55 1. 65 1. 58 1. 67 1. 55 1. 46 1. 53 1. 62
体重(kg) 46. 4 49. 0 61. 5 56. 5 52. 9 75. 5 50. 3 47. 6 52. 4 46. 8
BMI 21. 8 18. 7 25. 6 20. 8 21. 2 27. 1 20. 9 22. 3 22. 4 17. 8
整理、描述数据
七年级 20 名学生 BMI 频数分布表 七年级 20 名学生 BMI 扇形统计图
组别 BMI 男生频数 女生频数
A 16≤BMI<20 3 2
B 20≤BMI<24 4 6
C 24≤BMI<28 t 2
D 28≤BMI<32 1 0
应用数据
(1) s= ,t= ,α= ;
(2)已知该校七年级有男生 260 人,女生 240 人.
①估计该校七年级男生偏胖的人数;
②估计该校七年级学生 BMI≥24 的人数.
(3)根据以上统计数据,针对该校七年级学生的胖瘦程度,请你提出一条合理化建议.
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22. 如图,一小球从斜坡 O 点以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用二次函数 y=ax2 +bx(a<0)
刻画,斜坡可以用一次函数 y = 1 x 刻画,小球飞行的水平距离 x (米) 与小球飞行的
4
高度 y(米)的变化规律如下表:
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
7 15 15 7
y 0 2 6 2 8 2 n 2 …
(1) ① m= ,n= ;
② 小球的落点是 A,求点 A 的坐标.
(2) 小球飞行高度 y(米)与飞行时间 t(秒)满足关系:y= -5t2 +vt.
① 小球飞行的最大高度为 米;
② 求 v 的值.
数学试题卷 第 5 页(共 6 页)
六、解答题(本大题共 12 分)
23. 综合与实践
如图,在 Rt△ABC 中,点 D 是斜边 AB 上的动点(点 D 与点 A 不重合),连接 CD,以 CD 为直
角边在 CD 的右侧构造 Rt△CDE,∠DCE= 90°,连接 BE,CE =CB=m.
CD CA
特例感知
(1)如图 1,当 m= 1 时,BE 与 AD 之间的位置关系是 ,数量关系是 .
类比迁移
(2)如图 2,当 m≠1 时,猜想 BE 与 AD 之间的位置关系和数量关系,并证明猜想.
拓展应用
(3)在(1) 的条件下,点 F 与点 C 关于 DE 对称,连接 DF,EF,BF,如图 3. 已知 AC = 6,
设 AD= x,四边形 CDFE 的面积为 y.
① 求 y 与 x 的函数表达式,并求出 y 的最小值;
② 当 BF= 2 时,请直接写出 AD 的长度.
数学试题卷 第 6 页(共 6 页)江西省 2024 年初中学业水平考试
数学试题参考答案
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分. 每小题只有一个正确选项)
1. A 2. C 3. B 4. C 5. D 6. B
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
7. 1 8. a(a+2) 9. (3,4) 10. a100 11. 1 12. 2- 3或 2 或 2+ 3
2
三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分)
13. 解:(1) 原式= 1 + 5
= 6;
-
(2) = x 8原式
x - 8
= 1.
14. 解:(1) 如图 1,
图 1
答:直线 BD 即为所求.
(2) 方法一:
如图 2,
图 2
答:直线 BF 即为所求.
方法二:
如图 3,
图 3
答:直线 BF 即为所求.
数学试题参考答案 第 1 页(共 11 页)
15. 解:(1) 1 ;
3
(2) 解法一:
根据题意,列表如下:
乙 甲 A B C
A (A,A) (B,A) (C,A)
B (A,B) (B,B) (C,B)
C (A,C) (B,C) (C,C)
总共有 9 种结果,每种结果出现的可能性相同,而甲、乙分到同一个班的结果有
3 种:(A,A),(B,B),(C,C),
所以 P (甲、 3 1乙分到同一个班) = = .
9 3
解法二:
根据题意,画树状图如下:
总共有 9 种结果,每种结果出现的可能性相同,而甲、乙分到同一个班的结果有
3 种:(A,A),(B,B),(C,C),
3 1
所以 P (甲、乙分到同一个班) = = .
9 3
16. 解:(1) B(2,2);
(2) ∵ 双曲线 y = k 经过点 B(2,2),x
∴ 2 = k .2
解得 k = 4.
∴ 4双曲线的解析式为 y = .x
∵ AC ⊥ x 轴,A(4,0),
∴ 点 C 的横坐标为 4.
将 x = 4 代入 y = 4 ,得 y = 4 = 1.
x 4
∴ 点 C 的坐标为(4,1) .
设 BC 所在直线的解析式为 y = ax + b,则
{2a + b = 2,4a + b = 1.
数学试题参考答案 第 2 页(共 11 页)
ì a = - 1 ,
解得í 2
b = 3.
∴ BC 1所在直线的解析式为 y = - x + 3.2
17. 解:(1) 方法一:
∵ AB 是半圆 O 的直径,
∴ ∠ACB = 90°.
∵ ∠ABC = 60°,
∴ ∠BAD = 30°.
∵ ∠D = 60°,
∴ ∠ABD = 90°.
∴ BD ⊥ OB.
∵ 点 B 是半径 OB 的外端点,
∴ BD 是半圆 O 的切线.
方法二:
∵ AB 是半圆 O 的直径,
∴ ∠ACB = 90°.
∴ ∠CAB + ∠ABC = 90°.
∵ ∠D = ∠ABC,
∴ ∠CAB + ∠D = 90°.
∴ ∠ABD = 90°.
∴ BD ⊥ OB.
∵ 点 B 是半径 OB 的外端点,
∴ BD 是半圆 O 的切线.
(2) 连接 OC.
在 Rt△ABC 中,
∵ ∠ABC = 60°,
∴ ∠BAD = 30°.
∵ BC = 3,
∴ AB = 2BC = 6.
∴ OA = OC = 3.
∴ ∠ACO = ∠BAD = 30°.
∴ ∠AOC = 120°.
∴ × ×AC = 120 π 3的长 = 2π.180
因此,AC 的长为 2π.
数学试题参考答案 第 3 页(共 11 页)
(
(
四、解答题(本大题共 3 小题,每小题 8 分,共 24 分)
18. 解:(1) 方法一:
设该书架上有数学书 x 本,则有语文书(90 - x) 本.
依题意,得 0. 8x + 1. 2 (90 - x ) = 84.
解得 x = 60.
90 - 60 = 30.
答:该书架上有数学书 60 本,语文书 30 本.
方法二:
设该书架上有数学书 m 本,语文书 n 本.
m + n = 90,
依题意,得{0. 8m + 1. 2n = 84.
{m = 60,解得 n = 30.
答:该书架上有数学书 60 本,语文书 30 本.
(2) 设在该书架上还可以摆数学书 y 本.
依题意,得 0. 8y + 1. 2 × 10 ≤ 84.
解得 y ≤ 90.
答:数学书最多还可以摆 90 本.
19. 解:(1) ∵ AD ∥ EF,AM ∥ DN,
∴ 四边形 AMND 是平行四边形.
∴ AD = MN.
∵ ME = FN = 20. 0 m,EF = 40. 0 m,
∴ MN = ME + EF + FN = 80. 0 m.
∴ AD = 80. 0 m.
即“大碗” 的口径为 80. 0 m.
(2) 作 BG ⊥ AM 于点 G,则 ∠AGB = ∠BGM = 90°.
∵ 四边形 BEFC 是矩形,
∴ ∠BEF = 90°.
∴ ∠BEM = 90°.
∵ AM ⊥ MN,
∴ ∠AME = 90°.
∴ 四边形 GMEB 是矩形.
∴ GB = ME = 20. 0 m,GM = BE = 2. 4 m.
∵ ∠ABE = 152°,
∴ ∠ABG = ∠ABE - ∠GBE = 152° - 90° = 62°.
∴ AG = GB·tan∠ABG = 20·tan62° ≈ 37. 6(m) .
∴ AM = AG + GM = 37. 6 + 2. 4 = 40. 0(m) .
即“大碗” 的高度约为 40. 0 m.
数学试题参考答案 第 4 页(共 11 页)
20. 解:(1) △BDE 是等腰三角形.
理由如下:
∵ BD 平分 ∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠DBC.
∵ DE ∥ BC,
∴ ∠EDB = ∠DBC.
∴ ∠EDB = ∠EBD.
∴ EB = ED.
∴ △BDE 是等腰三角形.
(2) ① B;
② 方法一:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB ∥ CD,AB = CD,AD ∥ BC,AD = BC.
∴ ∠AEB = ∠EBC,∠BAF = ∠AFD.
∵ BE 平分 ∠ABC,
∴ ∠ABE = ∠EBC.
∴ ∠ABE = ∠AEB.
∴ AB = AE.
∵ AF ⊥ BE,
∴ ∠BAF = ∠DAF.
∴ ∠DAF = ∠AFD.
∴ DF = AD = BC.
∵ AB = 3,BC = 5,
∴ CF = DF - CD = AD - AB = BC - AB = 5 - 3 = 2.
方法二:
连接 BF,EF.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB ∥ CD,AB = CD,AD ∥ BC,AD = BC.
∴ ∠AEB = ∠EBC,∠EDF = ∠FCB,
∠ABF + ∠CFB = 180°.
∵ BE 平分 ∠ABC,
∴ ∠ABE = ∠EBC.
∴ ∠ABE = ∠AEB.
∴ AB = AE.
∵ AF ⊥ BE,
∴ AF 垂直平分 BE.
数学试题参考答案 第 5 页(共 11 页)
∴ EF = BF.
∴ △ABF ≌ △AEF.
∴ ∠ABF = ∠AEF.
∵ ∠DEF + ∠AEF = 180°.
∴ ∠DEF + ∠ABF = 180°.
∴ ∠DEF = ∠CFB.
∴ △DEF ≌ △CFB.
∴ DE = CF.
∵ ED = AD - AE = BC - AB = 5 - 3 = 2.
∴ CF = 2.
五、解答题(本大题共 2 小题,每小题 9 分,共 18 分)
21. 解:(1) s = 22,t = 2,α = 72°;
(2) ① 260 × 2 = 52(人).
10
答:估计该校七年级男生偏胖的人数为 52 人.
② 260 × 2
+ 1 + 240 × 2 = 126(人).
10 10
答:估计该校七年级学生 BMI ≥ 24 的人数为 126 人.
(3) 建议一:偏胖青少年要加强体育锻炼,注意科学饮食;
建议二:BMI 正常的青少年应保持良好的生活习惯;
建议三:偏瘦青少年需要加强营养,增强体质.
22. 解:(1) ① m = 3,n = 6;
② 方法一:
ìx = 1, {x = 2,把í 7 和 分别代入 y = ax2 + bx,得
y = y = 6
2
ì a + b =
7 ,
í 2
4a + 2b = 6.
ì 1
a = - ,
解得í 2
b = 4.
∴ y = - 1 x2 + 4x.2
将 y = 1 x 1代入 y = - x2 + 4x,得
4 2
1 x = - 1 x2 + 4x.
4 2
数学试题参考答案 第 6 页(共 11 页)
解得 x1 = 0(舍),x =
15
2 .2
x = 15
将 代入 y = 1 x,得 y = 15 .
2 4 8
∴ A (15点 的坐标是 ,15) .2 8
方法二:
设 y = a (x - 4 ) 2 + 8,
将(2,6) 代入,得
a (2 - 4 ) 2 + 8 = 6,
解得 a = - 1 .
2
∴ y = - 1 (x - 4 ) 2 + 8.2
即 y = - 1 x2 + 4x.
2
将 y = 1 x 1代入 y = - x2 + 4x,得
4 2
1 x = - 1 x2 + 4x.
4 2
解得 x1 = 0( ),x =
15
舍 2 .2
15 1
将 x = 代入 y = x, y = 15得 .
2 4 8
∴ A 15 15点 的坐标是( , ) .2 8
2
(2) ① 8;( v填“ ” 亦可)
20
② 方法一:
2 2
∵ y = - 5t2 + vt = - 5 ( t - v ) + v ,10 20
∴ v
2
= 8.
20
∴ v1 = 4 10 ,v2 = - 4 10 .
∵ y = - 5t2 + vt = - 5 ( t - v ) 2 2+ v v的对称轴为 t = ,10 20 10
∴ v > 0.10
∴ v > 0.
∴ v = 4 10 . (答案写“4 10 米 / 秒” 亦可)
数学试题参考答案 第 7 页(共 11 页)
方法二:
∵ y = - 5t2 + vt 的顶点纵坐标为 8,
∴ 4 × ( - 5 ) × 0 - v
2
=
4 × ( -
8.
5 )
∴ v1 = 4 10 ,v2 = - 4 10 .
当 v = - 4 10 时,y = - 5t2 + vt = - 5t2 - 4 10 t,
∵ t ≥ 0,
∴ y ≤ 0.
∴ v = - 4 10 不成立.
∴ v = 4 10 . (答案写“4 10 米 / 秒” 亦可)
六、解答题(本大题共 12 分)
23. 解:(1)BE ⊥ AD,BE = AD. (或填“垂直”,“相等”)
(2) BE ⊥ AD,BE = mAD;
如图 1,
∵ ∠ACB = 90°,∠DCE = 90°,
∴ ∠ACD = ∠BCE.
∵ CE = CB,CD CA
∴ △BCE ∽ △ACD.
图 1
∴ BE = CB = m,∠EBC = ∠DAC.AD CA
∴ BE = mAD.
∵ ∠BAC + ∠ABC = 90°,
∴ ∠EBC + ∠ABC = 90°.
即 ∠ABE = 90°.
∴ BE ⊥ AD.
(3) ① 方法一:
如图 2,
由(1) 知:当 m = 1 时,BE = AD = x,BE ⊥ AD.
∴ CB = CA = 6,CD = CE.
∵ ∠ACB = ∠DCE = 90°,
∴ AB = CA2 + CB2 = 62 + 62 = 6 2 .
∴ BD = AB - AD = 6 2 - x. 图 2
∴ DE2 = BE2 + BD2 = x2 +(6 2 - 2x) = 2x2 - 12 2 x + 72.
∵ 点 C 与点 F 关于 DE 对称,
∴ CD = CE = EF = DF.
数学试题参考答案 第 8 页(共 11 页)
∴ 四边形 CDFE 是正方形.
∴ y = 1 DE2 = x2 - 6 2 x + 36.2
∴ y = ( - ) 2x 3 2 + 18.
∴ 当 x = 3 2 时,y 的最小值为 18.
方法二:
如图 3,作 DG ⊥ AC 于点 G,
∴ ∠DGA = 90°.
∵ 在 Rt△ABC 和 Rt△CDE CE中, = CB = 1,CD CA
∴ CD = CE,CB = CA.
∴ ∠A = 45°.
∴ DG = AG. 图 3
∵ 点 C 与点 F 关于 DE 对称,
∴ 四边形 CDFE 是正方形.
∴ AG = DG = 2 AD = 2 x.2 2
在 Rt△CDG 中,CD2 = CG2 + DG2 .
2 2
∴ CD2 = (6 - 2 x +2 ) ( 2 x2 ) .
∴ y = x2 - 6 2 x + 36.
∴ y = ( - ) 2x 3 2 + 18.
∴ 当 x = 3 2 时,y 的最小值为 18.
方法三:
如图 4,作 CG ⊥ AB 交 AB 于点 G,连接 CF.
∵ CE CB在 Rt△ABC 和 Rt△CDE 中, = = 1,CD CA
∴ CD = CE,CB = CA.
∴ ∠A = 45°.
∴ CG = AG.
∵ 点 C 与点 F 关于 DE 对称,
∴ 四边形 CDFE 是正方形. 图 4
∵ AC = 6,
∴ CG = AG = 3 2 .
∴ DG = 3 2 - x 或 DG = x - 3 2 .
在 Rt△CGD 中,CD2 = CG2 + DG2,
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∴ CD2 = (3 2 - x ) 2 + ( 23 2 ) .
∴ y = x2 - 6 2 x + 36.
∴ y = ( 2x - 3 2 ) + 18.
∴ 当 x = 3 2 时,y 的最小值为 18.
② 2 2 或 4 2 .
方法一:
如图 5,作 CG ⊥ AB 于点 G,连接 CF,
则 △CBG 和 △CFD 都是等腰直角三角形,
∴ CB = CF = 2 ,∠BCG = ∠FCD = 45°,CG CD
∴ ∠FCB = ∠DCG.
∴ △CFB ∽ △CDG.
BF BC ∴ = . 图 5DG CG
∴ 2
= 6 .
3 2 - x 3 2
∴ x = 2 2 .
如图 6,同理可得:BF = BC .
DG CG
∴ 2 = 6 .
x - 3 2 3 2
∴ x = 4 2 .
即 AD = 2 2 或 4 2 . 图 6
方法二:
如图 7,连接 CF 交 DE 于点 O,连接 OB.
∵ △CDE 是等腰直角三角形,点 C 与点 F 关于 DE 对称,
∴ CD = CE = FE = FD.
∴ 四边形 CDFE 是正方形.
∴ OF = OC = OD.
∵ ∠CBE = ∠CAD = 45°,∠CBA = 45°,
∴ ∠EBA = 90°.
∵ 点 O 是 DE 的中点,
图 7
∴ OB = OD.
∴ OB = OC = OD = OF.
∴ 点 B,C,D,F 在以 O 为圆心,以 OB 为半径的圆上.
∴ ∠CBF + ∠CDF = 180°.
∵ ∠CDF = 90°,
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∴ ∠CBF = 90°.
∵ BC = AC = 6,BF = 2,
∴ CF = BC2 + BF2 = 62 + 22 = 2 10 .
∴ y = 2 10 × 2 10 × 1 = 20.2
∴ x2 - 6 2 x + 36 = 20.
∴ x1 = 2 2 ,x2 = 4 2 .
即 AD = 2 2 或 4 2 .
方法三:
如图 8,作 CG ⊥ AB 于点 G,连接 CF 交 DE 于点 O,连接 OB.
∵ △CDE 是等腰直角三角形,点 C 与点 F 关于 DE 对称,
∴ CD = CE = FE = FD.
∴ 四边形 CDFE 是正方形.
∴ OF = OC = OD.
∵ ∠CBE = ∠CAD = 45°,∠CBA = 45°,
∴ ∠EBA = 90°.
∵ 点 O 是 DE 的中点,
∴ OB = OD.
图 8
∴ OB = OC = OD = OF.
∴ 点 B,C,D,F 在以 O 为圆心,以 OB 为半径的圆上.
∴ ∠CBF + ∠CDF = 180°.
∵ ∠CDF = 90°,
∴ ∠CBF = 90°.
∵ BC = AC = 6,BF = 2,
∴ CF = BC2 + BF2 = 62 + 22 = 2 10 .
∴ CD = 2 5 .
∵ AC = 6,
∴ CG = AG = 3 2 .
∴ DG2 = (2 5 ) 2 - ( 23 2 ) = 2.
∴ DG = 2
∴ AD = AG - DG = 2 2 .
如图 9,同理可得:AD = AG + DG = 3 2 + 2 = 4 2 . 图 9
即 AD = 2 2 或 4 2 .
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